Post on 23-Jul-2015
Aplicación De Las Derivadas Parciales
Definición:
En resumen, las derivadas parciales es derivar respecto a una variable.
Ejemplo: si existe F(x,y), entonces la derivada parcial sería la derivada parcial respecto de x y
también la derivada parcial respecto de y. Si existieran más variables, se sigue derivando de la
misma manera dependiendo el número de variables que existan en la función.
Sí , las primeras derivadas parciales de respecto de x e y son las funciones
definidas como :
siempre que el límite existe.
Demostración:
Recordemos que la derivada de una función de una variable se define como :
Ahora como tenemos la función lo que hacemos es fijar el valor de una de las
variables a una constante, de esta manera analizamos el cambio en la función con respecto
solo al cambio de una de sus variables.
Entonces hacemos aquí lo que hicimos fue fijar el valor de , y al hacer esto
tenemos una función que depende sólo de .
Derivamos la función
Como entonces y cambiamos la expresión
anterior,
Entonces tenemos que la derivada de la función cuando fijamos y
cambiamos es, (o dicho de otra manera la derivada parcial de la función con respecto al eje
x)
En las aplicaciones en que intervienen funciones de varias variables suele presentarse la cuestión de cómo resulta afectada la función por cambio en una de sus variables independientes. Se puede contestar esta pregunta considerando por separado esa variable independiente. por ejemplo para determinar el efecto de un catalizador en una experimento, un químico puede realizar varias veces el experimento, con distintas cantidades de ese catalizador cada vez, mientras mantiene constantes todas las demás variables, tales como temperatura y presión. un procedimiento análogo sirve para encontrar el ritmo de cambio de una función f con respecto a una de sus varias variables independientes. Este proceso se llama derivación parcial y el resultado se llama derivada parcial de f respecto de esa variable independiente elegida.
Como entonces y cambiamos la expresión anterior,
Entonces tenemos que la derivada de la función cuando fijamos y
cambiamos es, (o dicho de otra manera la derivada parcial de la función con respecto al eje
x)
En las aplicaciones en que intervienen funciones de varias variables suele presentarse la
cuestión de cómo resulta afectada la función por cambio en una de sus variables
independientes. Se puede contestar esta pregunta considerando por separado esa variable
independiente. por ejemplo para determinar el efecto de un catalizador en una experimento, un
químico puede realizar varias veces el experimento, con distintas cantidades de ese catalizador
cada vez, mientras mantiene constantes todas las demás variables, tales como temperatura y
presión. un procedimiento análogo sirve para encontrar el ritmo de cambio de una función f con
respecto a una de sus varias variables independientes. Este proceso se llama derivación
parcial y el resultado se llama derivada parcial de f respecto de esa variable independiente
elegida.
Notación
Dada sus derivadas parciales se denotan por
y
Las primeras derivadas parciales evaluadas en el punto se denotan por
y
Interpretación Geométrica
Las derivadas parciales de una función de dos variables tienen una interesante
interpretación geométrica. Si es la curva intersección de la
superficie con el plano .
Por tanto,
da la pendiente de esa curva en el punto . Notar que tanlo la cura
como la recta tangente están en el plano . Análogamente,
da la pendiente de la curva intersección de con el
plano en como se ve en la siguiente figura,
Lo que viene a decirnos que los valores de y en el
punto dan las pendientes de la superficie en las direcciones del eje
x y el eje y.
Orden de las derivadas parciales
El orden de una ecuación diferencial parcial es el de la derivada mayor de orden que
aparezca en dicha ocasión.
Ejemplo:
1.
2.
Derivadas Parciales de Orden Superior
Tomando la función derivada de una función es posible a veces volver a derivar
aquella. Esto es análogo a calcular la segunda derivada de una función de una
variable cuando se deriva dos veces con respecto a la misma variable; las derivadas
obtenidas se llaman derivadas parciales segundas.
Si f es una función de 2 variables entonces son a su vez funciones, por lo
que tiene sentido calcularle sus derivadas parciales.
A las derivadas