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8/17/2019 Aplicacion_de_la_derivada Al Trazado de Curvas 2014
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- Aplicación de la derivada altrazado de curvas
Unidad de Biomatemática
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Aplicación de la Derivada
Funciones crecientes y decrecientes, y elcriterio de la primera derivada
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• Una función f(x) definida en un intervalo es creciente enese intervalo si y solo si
Donde x1 y x son dos n!meros cuales"uiera del intervalo
2121 )()( x x x f x f <⇔<
• Una función f(x) definida en un intervalo es decrecienteen ese intervalo si y solo si
Donde x1 y x son dos n!meros cuales"uiera del intervalo
2121 )()( x x x f x f <⇔>
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$riterio de la primera derivada para
extremos relativos
( ) .)(,
,
)('
máximounhayc f cen
entoncescdedespues yantesevaluar al
negativaa positivadecambia x f Si
( ) .)(,
,
)('
mínimounhayc f cen
entoncescdedespues yantesevaluar al
positivaanegativadecambia x f Si
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Para determinar
analíticamente los extremos
relativos de f:
1% $alcular la derivada de f(x)
% Determinar los valores cr&ticosde f, es decir, los valores de x
para los cuales la derivada de
f(x)' o para los valores
donde la derivada de f(x) noexiste%
% Aplicar criterio de la primera
derivada
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*+emplo 1
19)( 2!++−= x x x x f
a) Determine puntos mximos y m&nimos de f(x)
) Determine intervalos de monoton&a
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• .unto /ximo0(1,)%
• .unto /&nimo0(,1)
• /onoton&a0
F(x)0 (-∞,1)∪(,∞2)
F(x)0 (1,)
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$oncavidad, puntos de inflexión
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Definición de concavidad 3acia
arria4e dice "ue la 5rfica de una función es cóncava 3acia arria en el punto
(c,f(c)) si existe en un intervalo aierto 6 "ue contiene a c tal "ue para todos
los valores de x7c en 6, el punto (x,f(x)) de la 5rfica est arria de la recta
tan5ente a la 5rfica en (c,f(c))%
)( '
c f
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Definición de concavidad 3acia
aa+o
4e dice "ue la 5rfica de una función es cóncava 3acia aa+o en el punto
(c,f(c)) si existe un intervalo aierto 6 "ue contiene a c tal "ue para
todos los valores de x7c en 6, el punto (x,f(x)) de la 5rfica est dea+o de la
recta tan5ente a la 5rfica en (c,f(c))%
)( ' c f
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#eorema
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$riterio de la se5unda derivada
para punto de inflexión
( ) inflexión)(,,
)(''
de puntounhayc f cenentoncescde
despues yantesevaluada ser al signosdecambia x f
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Para determinar analíticamente
los puntos de inflexión de f:
1% $alcular la se5unda derivada
de f(x)%
% Determinar valores para loscuales la se5unda derivada es
i5ual a cero%
% Aplicar criterio se5unda
derivada para punto de
inflexión %
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*+emplo 1
19)(2!
++−= x x x x f
a) Determine puntos de inflexión f(x)
) Determine intervalos de concavidad positiva y
ne5ativa
c) #razar la 5rafica de f(x)
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• .unto de inflexión0
(,)
• $oncavidad positiva0 f(x)0 (-∞,)
•$oncavidad positiva0
f(x)
0 (,∞
2)
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*+emplos
x
x x f
1!+
= )( "
1
−
+=
x
x x g )(
Considere las siguientes funciones:
Determine:
a) Dominio
b) Puntos máximos y mínimos si existen.
c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento
d) Puntos de inflexión si existen
e) Intervalos de concavidad positiva y negativa.
f) ráfico
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8rficas
• f(x) • 5(x)
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