UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER SEDE MÁLAGA

APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES INGENIERÍA INDUSTRIAL

ANGELA PAOLA CARRILLO GARCIA 2094110LAURA CAMILA ORTIZ GUTIERREZ 2094019MAYERLY JAIMES ORTIZ 2094017

PROBLEMA

Un producto nuevo de cereal se introduce a través de unas campañas de publicidad a una poblaciónde1 millón de clientespotenciales. Lavelocidad a la quelapoblaciónse entera del productose supone que esproporcional al número depersonas quetodavía no son conscientesdel producto. Al finaldeun año, la mitad dela poblaciónha oído hablardelproducto. ¿Cuántoshanoído hablardeélporel finalde 2años?

SOLUCIÓN

En primer lugar definimos las variables que forman parte del problema:y:es el número en millones de personas (clientes potenciales).t: tiempo que han oído hablar del producto. (1-Y): es el número de personas que no han oído de este.dy : la velocidad a la que la población conoce sobre el producto.

dt

En segundo lugar especificamos la expresión diferencial que describe el problema.

dy =k (1- y) dt

Para resolver la ecuación diferencial:

1. Separamos las variables:

dy = k (1 - y) dt Forma Diferencial

dy = k dt(1 - y)

2. Integramos a ambos lados de la igualdad.

ʃdy = ʃ k dt(1 - y)

Esta ecuación significa que la tasa de cambio de y, es proporcional a la diferencia entre 1 y y.

- ln ǀ1 - yǀ = kt + C1

Ln |1 - y | = - kt + C1 Multiplicamos por -1

1 – y = ℮^- kt + C1 Aplicamos propiedad de los logaritmos y asumimos que y<1

Y = 1 - C℮^(- kt) solución general

Para el cálculo de la solución particular se debe aplicar las condiciones iniciales del problema a la solución general, es decir:

y = 0 cuando t = 0, por tanto C = 0

y = 0.5 cuando t = 1, por tanto k = ln 2 = 0.693 0.5 = 1 - ℮^(- k)

Y = 1 - ℮^(- 0.693t) solución particular

En la solución particular reemplazamos t por 2, esto es el número de años que ha transcurrido desde la publicación del producto y sobre el cual se va a evaluar el total de personas que lo conocen hasta el momento.

Y = 1 - ℮^(- 0.693(2))

Y = 0.75 o 750000 Personas

Como conclusión notamos que la curva asciende a medida que avanza el tiempo. Esto significa que los clientes potenciales aumentan cuando pasa el tiempo.

CONCIENCIA PUBLICITARIA

Clientes potenciales (en millones)

Tiempo (en años)