Post on 05-Apr-2020
5 APLICACIONES DE LA
Recta Tangente
Llamamos Recta Tangente al gráfico de f(x) en el punto (x0;f(x0)) a pasa por ese punto y cuya pendiente es f´(x0).
���� � �´����. �� ��
1) Considere la función �
�� � � . Represente gráficamente.
Cálculo de: � � ���Cálculo de: �´��� � �
�.√�
Recta Tangente: ���� � Recta Normal= ���� �
Matemática - Cuarto Año - 1
APLICACIONES DE LA DERIVADA - Trabajo Práctico
Recta Tangente Recta Normal
Llamamos Recta Tangente al gráfico de )) a la recta que
pasa por ese punto y cuya pendiente es
Llamamos Recta Normal al gráfico de f(x) en el punto (x0;f(x0)) a la recta que pasa por ese punto y cuya pendiente es (La perpendicular a la recta tangente en ese punto).
�� � � ���� � ��´���� . ��
���� � √� � � y calcule las rectas tangente y normal en
. Represente gráficamente.
� �� � √� � � � � ������ ; luego resulta �´��� � �
�
� � � �� . �� � 3� � 2 → ���� � �
�� �
� � � 4. �� � 3� � 2 → ���� � 4� � 14
Trabajo Práctico
Recta Normal
Llamamos Recta Normal al gráfico de f(x) )) a la recta que pasa
por ese punto y cuya pendiente es -1/f´(x0). (La perpendicular a la recta tangente en
�� ��� � �
y calcule las rectas tangente y normal en
� �
2) Hallen los puntos (x;y) donde la recta tangente al gráfico de es:
a) Paralela a la recta
b) Perpendicular a la recta
c) Horizontal.
a) �´��� � �� �
Hacemos: �´��� � ! �� � � � Obtenemos:
� � ��
El punto solicitado es:
b) �´��� � �� �
Para que las rectas sean perpendicularopuestas, luego hacemos: �´��� � � →
Matemática - Cuarto Año - 2
Hallen los puntos (x;y) donde la recta tangente al gráfico de
Paralela a la recta � � �
Perpendicular a la recta � ��� � �
! � �"# � � �
!
�
� $��% �&�
El punto solicitado es: '�� ;&�)
! � �� "# � �
�� � � Para que las rectas sean perpendiculares, las pendientes deben ser recíprocas y opuestas, luego hacemos:
→ �� � � � → � � �"
El punto solicitado es:
Hallen los puntos (x;y) donde la recta tangente al gráfico de ���� � �� �� � �
s, las pendientes deben ser recíprocas y
� ���� � �
El punto solicitado es: ��; ��
c) Hacemos: �´��� �
El punto solicitado es:
es Mínimo de la función.
3) Si f´(4) = 3 y f(4) = 10, ¿Cuál es la ecuación d e la recta tangente al gráfico de
f(x) en el punto de abscisa 4?.
4) Realice estudio completo
a) ���� � �� �� �b) ���� � �
����
c) ���� � �����
d) ���� � �����
e) ���� � �����
f) ���� � ������
g) ���� � �� ���. ��
Matemática - Cuarto Año - 3
� � → �� � � � → � � �
El punto solicitado es: (1;2) que
Mínimo de la función.
Si f´(4) = 3 y f(4) = 10, ¿Cuál es la ecuación d e la recta tangente al gráfico de f(x) en el punto de abscisa 4?. ¿Y de la recta normal?
completo y gráfico de las funciones:
� � �
� � ���
→ � �
Si f´(4) = 3 y f(4) = 10, ¿Cuál es la ecuación d e la recta tangente al gráfico de
Nota: en el apunte de ejercicios resueltos encontrará más ejemplos, variantes de los
propuestos. Utilice los ejemplo resuel
5) ¿Cuáles son los valores de “a” y de “b” si
máximo relativo en x = 2 y la imagen de 2 a t ravés de f(x) es 6 ?
[Rta.: � �� * � + . Resuelva analíticamente y verifique con geogebra] .
6) Demuestre que el rectángulo de á
unidades” es un cuadrado.
7) ¿Cuál es el valor de “a” para que la función
en � � �? . Determinar si para el valor hallado de de “a” la fu nción tiene un
máximo ó un mínimo relativo.
8) Encuentre los puntos que pertenecen a la recta
próximos al origen de coordenadas. [Rta.:
para visualiza r el problema y la fórmula de distancia entre dos p untos
,��� � -�� ���� � � ��
Matemática - Cuarto Año - 4
: en el apunte de ejercicios resueltos encontrará más ejemplos, variantes de los
Utilice los ejemplo resueltos y geogebra para orientarse.
¿Cuáles son los valores de “a” y de “b” si ���� � ..máximo relativo en x = 2 y la imagen de 2 a t ravés de f(x) es 6 ?
. Resuelva analíticamente y verifique con geogebra] .
Demuestre que el rectángulo de á rea máxima con perímetro igual a “K
unidades” es un cuadrado. [/"0 � �1 � �2 � 3; Á0". � 1.2; 56.
¿Cuál es el valor de “a” para que la función 7��� � �� � .���
Determinar si para el valor hallado de de “a” la fu nción tiene un
máximo ó un mínimo relativo.
Encuentre los puntos que pertenecen a la recta � �� � �próximos al origen de coordenadas. [Rta.: / � '+8 ;
�8)] . Sugerencia:
r el problema y la fórmula de distancia entre dos p untos
�� .
: en el apunte de ejercicios resueltos encontrará más ejemplos, variantes de los
. �� � *. � tiene un
máximo relativo en x = 2 y la imagen de 2 a t ravés de f(x) es 6 ? -
. Resuelva analíticamente y verifique con geogebra] .
xima con perímetro igual a “K
56.. : 1 � 2 � ��3 ].
tenga un extremo
Determinar si para el valor hallado de de “a” la fu nción tiene un
� y que están más
Sugerencia: utilice GeoGebra
r el problema y la fórmula de distancia entre dos p untos
9) Juan tiene 20 m. de tela de alambre con la que plan ea cercar un espacio
rectangular para su perro. Si desea que el área sea máxima,
las dimensiones?
10) Encuentre dos números no negativos cuya suma sea 10 y cuyo producto sea
máximo.
11) Encuentre el volumen de una caja sin tapa más grand e que se pueda hacer con
una hoja cuadrada de cartón de 24 cm. de lado.
12) Ejercicio de E valuación del Programa de Diploma
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matemática - Cuarto Año - 5
Juan tiene 20 m. de tela de alambre con la que plan ea cercar un espacio
rectangular para su perro. Si desea que el área sea máxima,
Encuentre dos números no negativos cuya suma sea 10 y cuyo producto sea
Encuentre el volumen de una caja sin tapa más grand e que se pueda hacer con
una hoja cuadrada de cartón de 24 cm. de lado.
valuación del Programa de Diploma
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Juan tiene 20 m. de tela de alambre con la que plan ea cercar un espacio
rectangular para su perro. Si desea que el área sea máxima, ¿cuáles deben ser
Encuentre dos números no negativos cuya suma sea 10 y cuyo producto sea
Encuentre el volumen de una caja sin tapa más grand e que se pueda hacer con
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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13) Sea la función ���� �a) Coordenadas de Extremos.
b) Coordenadas del Punto de Inflexión.
Matemática - Cuarto Año - 6
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� � � �� � � se pide calcular y justificar:
Coordenadas de Extremos.
b) Coordenadas del Punto de Inflexión.
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. . . . . . . . . . . . . . . . .
14) Para la función ��6� �críticos. Calcule, si existen, valores máximos, mín imos e inflexión. Grafique.
15) Encuentre , � �´���.
.� � √�� �
*� � :"#�;�� <� � �� � ������
La Regla de L´Hospital recibe este nombre en honor de un noble francés, el marqués de
L´Hospital (1661-1704), pero fue descubierta en 1694 por el matemático suizo John Bernoulli
(1667-1748). La explicación es que ambos habían entrado en un curioso arreglo de negocios por
medio del cual el marqués de L´Hospital compró los derechos de los descubrimient
matemáticos de Bernoulli. Esta regla apareció impresa por primera vez en el libro Analyse des
Infiniment Petits, publicado por el Marqués de L´Hospital en 1696. Fue el primer libro de texto de
cálculo alguna vez publicado y el ejemplo que allí utilizó
Regla de L´Hospital : Supóngase que
y que 0)´( ≠xg cerca de
lím
lím
x
x
entonces:
Matemática - Cuarto Año - 7
� � � :"#�6� <=:�6�"#">?#6"0@.>=A�;;B críticos. Calcule, si existen, valores máximos, mín imos e inflexión. Grafique.
� � ,� para las siguientes funciones
Regla de L´Hospital
La Regla de L´Hospital recibe este nombre en honor de un noble francés, el marqués de
1704), pero fue descubierta en 1694 por el matemático suizo John Bernoulli
1748). La explicación es que ambos habían entrado en un curioso arreglo de negocios por
medio del cual el marqués de L´Hospital compró los derechos de los descubrimient
matemáticos de Bernoulli. Esta regla apareció impresa por primera vez en el libro Analyse des
Infiniment Petits, publicado por el Marqués de L´Hospital en 1696. Fue el primer libro de texto de
cálculo alguna vez publicado y el ejemplo que allí utilizó el marqués para ilustrar su regla fue:
4 3
3 243 .2
axa
xaaxxalím
ax−
−−
Supóngase que gf y son dos funciones derivables
cerca de a (excepto quizás en a). Si:
)( y )(
ó
0)( y 0)(
±∞=±∞=
==
xglímxflím
xglímxflím
axa
axa
)´(
)´(
)(
)(
xgxf
límxgxf
lím axax =
B identifique puntos críticos. Calcule, si existen, valores máximos, mín imos e inflexión. Grafique.
La Regla de L´Hospital recibe este nombre en honor de un noble francés, el marqués de
1704), pero fue descubierta en 1694 por el matemático suizo John Bernoulli
1748). La explicación es que ambos habían entrado en un curioso arreglo de negocios por
medio del cual el marqués de L´Hospital compró los derechos de los descubrimientos
matemáticos de Bernoulli. Esta regla apareció impresa por primera vez en el libro Analyse des
Infiniment Petits, publicado por el Marqués de L´Hospital en 1696. Fue el primer libro de texto de
el marqués para ilustrar su regla fue:
son dos funciones derivables
si el límite del segundo miembro existe (o es infinito).
La Regla de L´Hospital afirma que el límite de un cociente de funciones es igual al
límite del cociente de sus derivadas, siempre que se satisfagan las condiciones
previas (indeterminaciones del tipo
las condiciones referente
La Regla de L´Hospital también es válida para los límites laterales y los límites
en el ∞± ; es decir, x
siguientes:
,, +∞→→→ −+ xaxax 16) Resuelva los siguientes límites indeterminados
x 1 x
x x 13
x 0 x
lna) b)
1
ln 1c) d)
1 e) f)
g)
x
x elím lím
x x
x xlím lím
x
e tg xlím lím
sen x x
+∞ −
−
−
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
( )x x
x 0 x 03 2
2 2
x 1 x 0
x 2
ln 1 2
( ) cos ( ) 1) j)
ln(2 1) (2 )k) l)
( 1)
ln( ))
x
xlím lím
e
x sen x xi lím lím
x x
x sen x xlím lím
tg x x
x xm lím
x
+∞ +∞
+∞
+
− −
− +−+
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
uuur n) .ln( )2+
Matemática - Cuarto Año - 8
si el límite del segundo miembro existe (o es infinito).
afirma que el límite de un cociente de funciones es igual al
límite del cociente de sus derivadas, siempre que se satisfagan las condiciones
previas (indeterminaciones del tipo ∞∞
bien o 0
0). Es muy importante comprobar
las condiciones referentes a los límites de f y g , antes de aplicar la regla.
La Regla de L´Hospital también es válida para los límites laterales y los límites
ax → se puede reemplazar con cualquiera de los símbolos
., −∞→+∞ x
Resuelva los siguientes límites indeterminados
x 1 x 2
2
x x 1
x 0 x
a) b)
ln 1c) d)
1
1 e) f)
xx elím lím
x x
x xlím lím
x
e tg xlím lím
sen x xπ π
∞
+∞ −−+
−
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
)( )3
x x 2
2
x 0 x 03 2
2 2
x 1 x 0
ln h)
( ) cos ( ) 1) j)
ln(2 1) (2 )k) l)
xlím lím
x
x sen x xi lím lím
x x
x sen x xlím lím
tg x x
+∞ +∞
− −
− +
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
2x 0 n) .ln( )lím x x+uuur
afirma que el límite de un cociente de funciones es igual al
límite del cociente de sus derivadas, siempre que se satisfagan las condiciones
). Es muy importante comprobar
, antes de aplicar la regla.
La Regla de L´Hospital también es válida para los límites laterales y los límites
se puede reemplazar con cualquiera de los símbolos
Tasa de Variación Media
La tasa de variación media de una función
� en un intervalo A.; *B es el cociente:
�CD��; A.; *B� � ��*�*
(cociente incremental)
Ejemplos de aplicación resueltos:
17) Una población de 300 bacterias se introduce en un
según la expresión #�Calcular: a) El número y la tasa de crecimiento al cabo de 5 horas.b) El instante en que la velocidad de crecimiento e s de 300 bacterias/hora. a) E?6 � 8 → #�8� � ���
A las 5 horas hay aproximadamente 1277 bacterias.
La tasa de crecimiento al cabo de 5 horas es la tasa de variación media de la
función en el interval [0;5].
�CD�#; A
b) Puesto que la velocidad de
instantánea, el instante solicitado se obtendrá determinando el valor de
cual la derivada de la función vale 300.
Matemática - Cuarto Año - 9
Tasa de Variación Media Tasa de Variación Instantánea
La tasa de variación media de una función
es el cociente:
� � ��.�* .
(cociente incremental)
Se define la tasa de variación instantánea
de una función � en un punto
�CF��; ��� � GHIJ→� �CD
es decir:
�CF��; ��� � GHIJ→����
(derivada en �K
Ejemplos de aplicación resueltos:
Una población de 300 bacterias se introduce en un cultivo. Si su número crece
�6� � ���. '� � >#�6� � ��), siendo t el tiempo en horas.
a) El número y la tasa de crecimiento al cabo de 5 horas. b) El instante en que la velocidad de crecimiento e s de 300 bacterias/hora.
���. L� >#��+�M �≅ ��OO*.<6"0?.:
A las 5 horas hay aproximadamente 1277 bacterias.
La tasa de crecimiento al cabo de 5 horas es la tasa de variación media de la
función en el interval [0;5].
� A�; 8B� � #�8� #�8�8 � � ��OO ���
8 � �&8
Puesto que la velocidad de crecimiento pedida corresponde
instantánea, el instante solicitado se obtendrá determinando el valor de
cual la derivada de la función vale 300.
Tasa de Variación Instantánea
Se define la tasa de variación instantánea
en un punto �� como:
�CD��; A��; �= � JB�
��� � J� �����J
K ; P � ∆R)
cultivo. Si su número crece
el tiempo en horas.
b) El instante en que la velocidad de crecimiento e s de 300 bacterias/hora.
La tasa de crecimiento al cabo de 5 horas es la tasa de variación media de la
�&8, �
corresponde a una variación
instantánea, el instante solicitado se obtendrá determinando el valor de t para el
#´�6� � ��� Ecuación de Segundo grado de solución
Por tanto, transcurrida una hora
están reproduciendo a una velocidad de 300 bacterias
18) El crecimiento, en centímetros, de una planta duran te sus primeros ocho días
de vida viene dado por la función planta transcurridos “x” días de su nacimiento. a) ¿Cuánto mide la planta finalizado el día? b) ¿Cuál es la tasa de crecimiento en esos cuatro días ?c) ¿Cuál fue la tasa media de crecimiento en ese pe ríodo? d)¿Cree que la función dada puede representar el cr ecimiento de la planta a lo
largo de toda s u vida? a) ���� � ��� � �. ���<!b) TUVUWUXYZ[YZ\]\Y^V_
c) �CDA�; `B � ��`������`�� �
d) No. Supondría que
este comportamiento no es propio de los seres vivos.
importancia que tiene restringir el dominio de una función.
19) El espacio que recorre un coche en los primeros 10 minutos desde que sale de
un garaje hasta que entra en una autopista sigue la ecuación
el tiempo viene dado en minutos y el espacio en kil ómetros.a) ¿Cuál es la velocidad media del b) ¿A qué velocidad circula en el momento en que en tra en la autopista?
Exprésela en km/h.
Matemática - Cuarto Año - 10
#´�6� � ���$� � �66� � �% �
+��. 66� � �
��� → +��. 66� � � � ��� → ���. 6� +��. 6 � ���
Ecuación de Segundo grado de solución 6 � � hora, que es el instante buscado.
Por tanto, transcurrida una hora desde su inclusión en el cultivo, las bacterias se
están reproduciendo a una velocidad de 300 bacterias/hora.
El crecimiento, en centímetros, de una planta duran te sus primeros ocho días de vida viene dado por la función ���� � ���` , que indica la medida de la planta transcurridos “x” días de su nacimiento. a) ¿Cuánto mide la planta finalizado el cuarto día? ¿ Y si ha finalizado el octavo
¿Cuál es la tasa de crecimiento en esos cuatro días ? c) ¿Cuál fue la tasa media de crecimiento en ese pe ríodo? d)¿Cree que la función dada puede representar el cr ecimiento de la planta a lo
u vida?
<! ��`� � �� � �<!.
Z[YZ\]\Y^V_abY��`� ���� � �, &``<!.
� �,&``� � �, ��O<!/,í.
la planta crece indefinidamente, pues GHIeste comportamiento no es propio de los seres vivos. Este es un ejemplo claro de la
importancia que tiene restringir el dominio de una función.
El espacio que recorre un coche en los primeros 10 minutos desde que sale de
un garaje hasta que entra en una autopista sigue la ecuación
el tiempo viene dado en minutos y el espacio en kil ómetros. a) ¿Cuál es la velocidad media del coche en estos diez minutos?b) ¿A qué velocidad circula en el momento en que en tra en la autopista?
��� � �
hora, que es el instante buscado.
desde su inclusión en el cultivo, las bacterias se
El crecimiento, en centímetros, de una planta duran te sus primeros ocho días , que indica la medida de la
Y si ha finalizado el octavo
d)¿Cree que la función dada puede representar el cr ecimiento de la planta a lo
GHI�e ���� � �∞ , y
Este es un ejemplo claro de la
El espacio que recorre un coche en los primeros 10 minutos desde que sale de
un garaje hasta que entra en una autopista sigue la ecuación "�6� � 6��� , donde
coche en estos diez minutos?
b) ¿A qué velocidad circula en el momento en que en tra en la autopista?
c) Un día el conductor recibe una multa porque, seg ún el radar de la policía, en el minuto ocho sobrepasó el límite de 70 km/h exist entedonde circulaba. ¿Puede recurrir la multa?
a) C! � "�����"������� � 8
+g!
!?#h6=
b) "´�6� � 6+ → "´���� �
c) En el minuto “8” circulaba a estaba justificada.
20) Se quiere vaciar un depósito de agua.Sea i�6� � ���. �&�� �que quedan en el depósito al cabo de “t” minutos vaciarlo. a) ¿Cuántos litros de agua tiene inicialmente el de pósito?, ¿Cuánto tiempo tardará en vaciarse?, ¿Cuál es la función que descr ibe el número de litros que han salido al cabo de “t” minutos de haber comenzad o a vaciarlo?b) Calcula la función derivadaminutos. Relacione los resultados obtenidos con la rapidez con la que se vacía el depósito. a) Inicialmente se considera cuando
El depósito estará vacío cuando
y esto sucede a los
La función que describe el número de litros que han salido sera:
E��� � �`���� i�
b) i´�6� � ���. ��6 +�vacía el depósito. En
i´���� � ���. ��� i´���� � ���. ��� Lo cual indica que la velocidad de
Matemática - Cuarto Año - 11
c) Un día el conductor recibe una multa porque, seg ún el radar de la policía, en el minuto ocho sobrepasó el límite de 70 km/h exist entedonde circulaba. ¿Puede recurrir la multa?
g!!?#h6= � 8�g!/J
� � ��+
g!!?#h6= � ���J!/J
En el minuto “8” circulaba a "´�`� � ��
g!!?#h6= � `�J!/J ; por lo tanto, la multa
Se quiere vaciar un depósito de agua. � 6� +�6�la función que describe el número de litros
que quedan en el depósito al cabo de “t” minutos de haber comenzado a
a) ¿Cuántos litros de agua tiene inicialmente el de pósito?, ¿Cuánto tiempo tardará en vaciarse?, ¿Cuál es la función que descr ibe el número de litros que han salido al cabo de “t” minutos de haber comenzad o a vaciarlo?b) Calcula la función derivada de la función Q y su valor para minutos. Relacione los resultados obtenidos con la rapidez con la que se vacía
se considera cuando 6 � � , entonces hay i���estará vacío cuando i�6� � �, es decir, cuando
y esto sucede a los 6 � ��!?#h6=:. La función que describe el número de litros que han salido sera:
�6� � �����. 6 ���. 6� en el interval A�
+��es la función que proporciona la rapidez con la que se
vacía el depósito. En 6 � �� 6 � �� es:
+�� � `���
+�� � ����
Lo cual indica que la velocidad de vaciado disminuye con el tiempo.
c) Un día el conductor recibe una multa porque, seg ún el radar de la policía, en el minuto ocho sobrepasó el límite de 70 km/h exist ente en el lugar por
por lo tanto, la multa
la función que describe el número de litros de haber comenzado a
a) ¿Cuántos litros de agua tiene inicialmente el de pósito?, ¿Cuánto tiempo tardará en vaciarse?, ¿Cuál es la función que descr ibe el número de litros que han salido al cabo de “t” minutos de haber comenzad o a vaciarlo?
de la función Q y su valor para t=10 y t=20 minutos. Relacione los resultados obtenidos con la rapidez con la que se vacía
� � � �`����>?60=:. , es decir, cuando &�� +�6 � 6� � �
La función que describe el número de litros que han salido sera:
A�; ��B
es la función que proporciona la rapidez con la que se
vaciado disminuye con el tiempo.