Una fábrica está situada cerca de un rio con caudal constante de 1000m3/s que vierte

sus aguas por la única entrada de un lago con volumen de 1000 millones de m3.

Suponga que la fábrica empezó a funcionar el 1 de enero de 1993, y que desde entonces,

dos veces por día, de 4 a 6 de la mañana y de 4 a 6 de la tarde, bombea contaminantes

al río a razón de 1 m3/s. Suponga que el lago tiene una salida de 1000m3/s de agua

bien mezclada. Esboce la gráfica de la solución y determine la concentración de

contaminantes en el lago después de un día, un mes (30 días), un año (365 días)

𝑣 = 109

Velocidad de entrada y salida de agua del lago es de:

𝑎 = 𝑏 = 1001

Concentración de contaminantes

𝑐 = 11001⁄

Ecuación diferencial para este caso

�̇� = 1001

1001−

𝑥

109 1001, O bien �̇� + 1001

109 = 1

Solución a la ecuación homogénea

𝑥ℎ(𝑡) = 𝑐 𝑒−

1001109 𝑡

Se usa el método de variación de parámetros. Buscando una solución de la

ecuación no homogénea de la forma

𝑥(𝑡) = 𝑐(𝑡) 𝑒−

1001109 𝑡

Entonces

𝑐′(𝑡) 𝑒−

1001109 𝑡

= 1 ⟹ 𝑐′(𝑡) = 𝑒 1001109 𝑡

⟹ 𝑐(𝑡) = 109

1001 𝑒

1001109 𝑡

+ 𝑐

Luego

𝑥(𝑡) = 109

1001 + 𝑐 𝑒

− 1001109 𝑡

.

0 = 𝑥(0) = 109

1001 (1 − 𝑒

− 1001109 𝑡

)

Por lo tanto

𝑥(𝑡) = 109

1001 (1 − 𝑒

− 1001109 𝑡

)

La concentración de contaminantes en el lago en el lago en el tiempo t es:

𝑥(𝑡)

𝑣=

1

1001 (1 − 𝑒

− 1001109 𝑡

).

Respuesta. Suponiendo una contaminación constante (que promedie los dos bombeos

diarios de contaminación) tenemos: La concentración

En un día es 0.0014%,

En un mes 0.012%

Y en un año0.146%