Post on 22-Jan-2016
APROXIMACIÓNINTERPOLACIÓN Y REGRESIÓN
INTERPOLACIÓN REGRESIÓN
INTERPOLACIÓN
Encontrar datos intermedios a partir de un
conjunto dado
0
40
80
120
160
0 2 4 6 8
y
x
y = ?
INTERPOLACIÓN
Funciones más conocidas y útiles para mapear conjuntos de datos
Polinomios algebraicos
VentajasFácilmente derivables e
integrables
Sus derivadas e integrales son polinomios
011
1 ...)( axaxaxaxP nn
nnn
12
11' ...)1()( axanxnaxP n
nn
nn
xaxa
nxa
nxa
xPn
nn
nn 0
211
1
2...
1)(
POLINOMIO INTERPOLANTE DE LAGRANGE
)()(...)()()( ,0,0 xLxfxLxfxP nnnn
Donde:
))...()()...()(())...()()...()((
)(1110
1110,
nkkkkkkk
nkkkn xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxL
Tiene en cuenta todos los puntos y correlaciona el comportamiento completo del conjunto usado
POLINOMIO INTERPOLANTE DE LAGRANGE
Año Consumo de energía
(EJ)1994
405
1998
420
2002
450
380
400
420
440
1990 1995 2000 2005Cons
umo
mun
dial
de
ene
rgía
(EJ)
Año
¿Consumo en 1996?
POLINOMIO INTERPOLANTE DE LAGRANGE
Año Consumo de energía
(EJ)1994
405
1996
390.63
1998
420
2002
450
380
400
420
440
1990 1995 2000 2005Cons
umo
mun
dial
de
ene
rgía
(EJ)
Año
Consumo en 1996
POLINOMIO INTERPOLANTE DE LAGRANGE
Funciona bien cuando el número de datos base es pequeño y por tanto el polinomio es de bajo orden
Pero…
Y si son muchos datos…
POLINOMIO INTERPOLANTE DE LAGRANGE
Año Consumo de energía (EJ)
1820 20
1840 23
1860 25
1880 28
1900 50
1920 70
1940 90
1960 150
1980 320
2000 440
2010 550
TRAZADOR CÚBICO (CUBIC SPLINE)
Se divide el intervalo de aproximación en trozos más pequeños
Se usan polinomios cúbicos (que tienen 4 constantes cada uno) entre cada par sucesivo de nodos, que se calculan como:
• En cada subintervalo se debe conocer una pareja x,y de manera que p(x) = y.
• Primera derivada intervalo a = primera derivada intervalo b, si son vecinos.
• Segunda derivada intervalo a = segunda derivada intervalo b, si son vecinos.
Año Consumo de energía (EJ)
1820 20
1840 23
1860 25
1880 28
1900 50
1920 70
1940 90
1960 150
1980 320
2000 440
2010 550
TRAZADOR CÚBICO (CUBIC SPLINE)
REGRESIÓN LINEAL
Encontrar el tipo de función más simple que represente apropiadamente un conjunto de datos dado
Aproximación lineal
Se desea ajustar una función lineal en sus parámetros
y = a + bx
y = a + bx + cx2
Ln y = b + ax
Ln y = b + a Ln x
REGRESIÓN LINEAL
Datos: x, y
Modelo: x,
Se busca minimizar la distancia entre y y
(para todos los puntos)
REGRESIÓN LINEAL
Si el modelo fuese de la forma: �̂�=𝑎1𝑥+𝑎0
El problema: min∑𝑖=1
𝑛
|𝑦 𝑖− 𝑦 𝑖|
Se convierte en: min∑𝑖=1
𝑛
|𝑦 𝑖−(𝑎1𝑥 𝑖+𝑎0)|
Que no es derivable en todos los puntos
MÍNIMOS CUADRADOS LINEALES
E=min∑𝑖=1
𝑛
[𝑦 𝑖− (𝑎1𝑥 𝑖+𝑎0 ) ]2
Para minimizar E se deriva con respecto a los parámetros que se desean estimar:
𝜕𝐸𝜕𝑎1
=0𝜕𝐸𝜕𝑎1
=0
MÍNIMOS CUADRADOS LINEALES
𝜕𝐸𝜕𝑎1
=2∑𝑖=1
𝑛
(𝑦 𝑖−𝑎1 𝑥𝑖−𝑎0 ) ( −𝑥𝑖 )=0
𝜕𝐸𝜕𝑎0
=2∑𝑖=1
𝑛
( 𝑦 𝑖−𝑎1𝑥 𝑖−𝑎0 ) (−1 )=0
MÍNIMOS CUADRADOS LINEALES
𝑎1=𝑛∑
𝑖=1
𝑛
𝑦 𝑖𝑥 𝑖−∑𝑖=1
𝑛
𝑦 𝑖∑𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖
𝑛∑𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖2−(∑
𝑖=1
𝑛
𝑥 𝑖)2
𝑎0=∑𝑖=1
𝑛
𝑦 𝑖∑𝑖=1
𝑛
𝑥 𝑖2−∑
𝑖=1
𝑛
𝑦 𝑖 𝑥 𝑖∑𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖
𝑛∑𝑖=1
𝑛
𝑥 𝑖2−(∑
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖)2
MÍNIMOS CUADRADOS LINEALES
𝑎0∑𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖1+𝑎1∑
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖2+𝑎2∑
𝑖=1
𝑛
𝑥 𝑖3+…+𝑎𝑚∑
𝑖=1
𝑛
𝑥 𝑖𝑚+ 1=∑
𝑖=1
𝑛
𝑦 𝑖𝑥 𝑖1
𝑎0∑𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖𝑚+𝑎1∑
𝑖=1
𝑛
𝑥 𝑖𝑚+1+𝑎2∑
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖𝑚+2+…+𝑎𝑚∑
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖2𝑚=∑
𝑖=1
𝑛
𝑦 𝑖𝑥 𝑖𝑚
.
.
.
MÍNIMOS CUADRADOS LINEALES
.
.
.
xi yi0.2 0.0504460.3 0.0984260.6 0.332770.9 0.72661.1 1.09721.3 1.56971.4 1.84871.5 2.5015
y = 1.4548x2 - 0.755x + 0.1877R² = 0.988
00.5
11.5
22.5
3
0 1 2Y
X
Series1
Polinómica(Series1)