Post on 28-Feb-2018
7/25/2019 Arreglos y Permutaciones (1)
1/48
7/25/2019 Arreglos y Permutaciones (1)
2/48
Arreglos y
Permutaciones
Integrantes:Daniela valosCamila BadillaNicols ChvezConsuelo ContrerasAlan Henrquez
Pablo obles
Curso:! a"o medio B
Profesor:
Daniel #ontoya
8
8!
V=
5
5!
7/25/2019 Arreglos y Permutaciones (1)
3/48
$%& 'n alumno tiene que elegir un(ramo) entre * idiomas y + asignaturas
cient,cas% -De cuantas .ormas lo /uedehacer0
* idiomas 1 + asignaturas cient,cas 2 3 .ormas di.erentes
Princi/io sumativo
7/25/2019 Arreglos y Permutaciones (1)
4/48
!%&4n el liceo 5an Antonio se dan lascomo actividades de libre elecci6n789tbol: A;edrez: maneras que se /uedeelegir%
7/25/2019 Arreglos y Permutaciones (1)
5/48
?%& 'n alumno debe elegir un @dioma y unaasignatura cient,ca del siguiente cuadro7
@diomas Asignatura
Cient,ca%@ngles% #atemtica8rancs 8sicaAlemn umica
Biologa%Determine de cuantas maneras un alumno
/uede elegir% ?%$%&'n idioma% ?%!%&'na asignatura cient,ca% ?%?%& 'n idioma y una asignatura cient,ca% ?%*%&'n idioma o una asignatura cient,ca%
7/25/2019 Arreglos y Permutaciones (1)
6/48
?%$2 se suman los idiomas y nos daun total ? .ormas de elegir un idioma
?%!2 se suman las asig% Cient,cas ynos da un total de * .ormas de elegiruna asignatura cient,ca
?%?2 se multi/lica los idiomas y lasasig% Cient,cas 2 ? * 2 $! ?%*2 se suman los idiomas y las
asig% Cient,cas 2 ? 1 * 2
7/25/2019 Arreglos y Permutaciones (1)
7/48
4.- Considere la palabraMURCIELAGOMURCIELAGO. Determineel nmero de palabras que se pueden obtener si:
4.1.- Se toman todas las letras. 4.2.- Se toman 5 letras. 4.3.- Se toman 6 letras y la palabra debe empezar
con la letra A. 4.4.- Se toman 6 letras y la palabra debe terminar
en O. 4.5.- Se toman todas las letras y la palabraempiece con A y termine en O.
4.6.- Que las letras centrales sean A y E en eseorden!.
7/25/2019 Arreglos y Permutaciones (1)
8/48
4.1-
10x9x8x7x6x5x4x3x2x1 10! = 3.628.800
4.2- 10x9x8x7x6x5 =30240
4.3- 9x8x7x6x5 =15120 4.4- 9x8x7x6x5 =15120
4.5- 8x7x6x5x4x3x2x1
8! = 40.320
4.6- 8x7x6x5x4x3x2x1
8! = 40.320
En este problema podemos decir que de la palabra"#$C%E&A'O se pueden (ormar di)ersas palabras con respecto
de la misma. En este problema se puede notar la utilizaci*n del +bic,omatem-tico E/.:012!
$E 3 F > + * ? ! $
2 o/ciones/osibles
$E 3 F > +
A 3 F > +3 F > + G
A F > + * ? ! $ G
F > + A G * ? ! $
7/25/2019 Arreglos y Permutaciones (1)
9/48
4;ercicio +
+%& Considere la /alabra (A#P@G)% Determine el n9merode /alabras que se /ueden obtener: si7
+%$%&5e toman todas las letras% +%!%&5e toman todas las letras y la /alabra debe em/ezar
con P%
+%?%& 5e toman todas las letras y la !I y /en9ltima letra dela /alabra sean A y G res/ectivamente% +%*%& 5e tomen todas las letras J la segunda letra sea una
vocal% +%+%& 5e tomen todas las letras y la letra central sea una
vocal% +%>%& ue tenga + letras y que em/iece con A +%%& ue tenga + letras y que termine en G +%F%&ue tenga > letras y que termine en #% +%3%& ue tenga * letras y que no contenga vocales%
7/25/2019 Arreglos y Permutaciones (1)
10/48
es/uestas +%$%& K2 L>L+L*L?L!L$2+%E*E
4/licaci6n7 5e toman todas las letras y hay un totalde +%E*E /osibilidades o arreglos /osibles%
+%!%& M&$K2 >K2 >L+L*L?L!L$2 !E
4/licaci6n7 Hay una letra ,;a% +%?%& M&!K2 +K2 +L*L?L!L$2 $!E 4/licaci6n7 4isten /osibilidades a las cuales se le restan las que estn ,;as% +%*%& >KL?2 !%$>E
4/licaci6n7 4n la !O casilla se encuentran ? /osibilidades: /ues hay ? vocales:de;ando el resto de las /osibilidades >K
+%+%& >KL?2 !%$>E4/licaci6n7 4n la casilla del medio hay ? o/ciones que corres/onden a las ? vocales
de la /alabra: de;ando /ara las otras casillas >K o/ciones% +%>%& M&$KM&+K2 >K!K2 >L+L*L?L!K!K2 >L+L*L?2 ?>E 4/licaci6n7 Al .actorial de la di.erencia entre las o/ciones se le restan el dato ,;o: y
se divide /or el .actorial de las di.erencia de las o/ciones con la de las + que serntomadas en cuenta%
+%%& M&$KM&+K2 >K!K2 >L+L*L?L!K!K2 >L+L*L?2 ?>E 4/licaci6n7 5e realiza el mismo /rocedimiento del e;ercicio anterior% +%F%& M&$KM&>K2 >K$2 >K2 >L+L*L?L!L$2 !E
4/licaci6n7 Al .actorial de la di.erencia entre las o/ciones y el dato ,;o se divide /orel .actorial de la di.erencia entre las o/ciones y las > tomadas en cuenta% +%3%& *K2 *L?L!L$2 !* 4/licaci6n7 Como s6lo se tomaran en cuenta * o/ciones se calcula el .actorial de *
/ara sacar el resultado%
7/25/2019 Arreglos y Permutaciones (1)
11/48
>%& Considere la /alabra (CA#@NG)% Determine elnumero de /alabras que se /ueden obtener si7
>%$%& 5e toman todas las letras%
>%!%& 5e toman cuatro de las letras% >%?%&5e toman todas las letras y la /alabraem/iece con #%
>%*%& 5e tomen todas las letras y la /alabratermine con N%
>%+%& 5e tomen ? letras y la /alabra em/iece conuna vocal y las dos siguientes sean consonantesdistintas%
>%>%&De tres letras: y que las tres seanconsonantes distintas%
7/25/2019 Arreglos y Permutaciones (1)
12/48
>%$2 >K 2 >+*?!$2 !E >%!2 >+*?2 ?>E
>%?2 #+*?!$2 $!E >%*2 +*?!$n2 $!E >%+2 ??!2$F >%>2 ?!$2 >
7/25/2019 Arreglos y Permutaciones (1)
13/48
%& Considere la /alabra CA#AADA%-Cuntas /alabras ms se /ueden
.ormar si se toman todas las letras0F FK F>+*K
2 2
2F>+2 * *K *K
$>FE2 se /ueden .ormar $>FE/alabras
7/25/2019 Arreglos y Permutaciones (1)
14/48
4;ercicio numero F%
F%$ con la /alabra #atemtica PM$E:!:?:! $EK QQQQQQQQQQ 2 $+$%!EE !K?K!K F%! se toman + de las letras $E $EK QQQQQQ = 30.240 + +K F%? Con seis letras y eventualmente se /odran
re/etir
$E $EK 7 QQQQQQQ = 3.628.800 ?K
7/25/2019 Arreglos y Permutaciones (1)
15/48
3%&Considere el nI ?*+F%Cuantos n9meros se/ueden obtener7
Para las ? /reguntas del e;ercicio se usa el /rinci/iomulti/licativo MN #
4n los ! /rimeros no se re/iten las letras /or lo que sevan agotando las o/ciones
&Con los * dgitos sin re/etici6n% 7 *K 2 !*&Con los ? dgitos sin re/etici6n% 7 *?! 2 !*
4n esta /regunta se /ueden re/etir todas la letras
&Con los * dgitos con re/etici6n% 7 **** 2 !+>
7/25/2019 Arreglos y Permutaciones (1)
16/48
$E%& Considere el nI ?>%*F%Cuantosn9meros se /ueden obtener7
$E%$&De tres dgitos sin re/etici6n% $E%!%&De cuatro dgitos con re/etici6n
$E%$2 +*?2 >E $E%!2++++2 >!+
7/25/2019 Arreglos y Permutaciones (1)
17/48
$$%$%&-Cuntas /alabras ms se /uedenobtener con las letras de la /alabra CH@R4NG0
$$%!%& -Cuntas /alabras ms se /ueden
hacer con las letras de la /alabra CGRGCGRG0
$$%$2 MK&$2 >+*?!$2 +E*E&$2+E?3
$$%!2 F FK
2 QQQQ 2 420 MF:!:*:! !K *K !K
7/25/2019 Arreglos y Permutaciones (1)
18/48
$!%& 5e tienen + libros distintos dematemtica: ? de umica y ! de 8sica%
De cuantas maneras se /uede escoger7 $!%$%& 'n libro del total de ellos% $!%!%& 'no de cada materia%
$!%$2 se suman el total de libros eso nosda $E$!%!2 +?!!2 >E
7/25/2019 Arreglos y Permutaciones (1)
19/48
$!%& 5i en el /roblema anterior loslibros de cada materia son iguales %
-De cuantas maneras se /uedenordenar todos los libros en unestante /uestos en ,la0
$E $EK
2 2 !+!E M+:?:! +K?K!K
7/25/2019 Arreglos y Permutaciones (1)
20/48
$?%& Para una .unci6n eisten cuatroti/os distintos de entradas de galera: ydos ti/os de entradas distintos de/latea%
$?%$%& -De cuantas maneras distintas se/uede elegir una entrada0
$?%!%& -'na de galera y una de Platea0
$?%!%& -Dos de galera y una de /latea0
? l di i
7/25/2019 Arreglos y Permutaciones (1)
21/48
$?%$2 se suman las distintasentradas eso nos da un total de >
$?%!2 se multi/lican las entradas yeso nos da un total de F entradas
$?%?2 dos de galera 2 *?2 $! yuna de /latea ! 2 $!! 2 !*
7/25/2019 Arreglos y Permutaciones (1)
22/48
$*%&5u/onga ahora que en el/roblema anterior las entradas de
galera son todas iguales y las de/latea son tambin todas iguales%Calcule de cuantas maneras se/ueden ordenar las entradas /uestasen una mesa y una sobre otra%
> >K
2 2 $+
M*:! *K!K
$+ 4 t t h > . d
7/25/2019 Arreglos y Permutaciones (1)
23/48
$+%& 4n una estantera hay > .rascos demermeladas hechos de distinta .ruta y !.rascos de ca. de distinto ti/o% Calcule de
cuantas maneras se /uede elegir% $+%$%& 'n .rasco del total% $+%!%& 'n .rasco de mermelada y otro de
ca.%
$+%$2 se suman los .rascos demermeladas y de ca. y nos da un total de
F2 > 1 ! 2 F
$+%!2 se multi/lican los .rascos y nos da
un total de $! 2 > ! 2 $!
7/25/2019 Arreglos y Permutaciones (1)
24/48
$>%& Considere las + celdas: de ellas unasombreada% y considere adems el n9mero*!F3E%Determine de cuantas maneras se
/uede anotar7 $>%$%& 'no de los dgitos de numero en la
celda sombreada% $>%!%& 'no de los dgitos del numero en
una de las celdas no sombreadas% $>%?%& 4l F en una de las celdas no
sombreada%
$>%*%& 5i los n9meros se /ueden volver aelegir una vez elegido el anterior %Decuantas maneras se /uede anotar uno delos dgitos en la celda sombreada%
7/25/2019 Arreglos y Permutaciones (1)
25/48
$>%$ 2 se ve la cantidad de dgitos y se
multi/lican /or $ 2 >$ 2 > $>%!2 se ve la cantidad de casillas y la
cantidad de n9meros y se multi/lican2>+*?2 ?>E
$>%?2 se cuenta la cantidad de casillasno sombreadas2 *
$>%*2 se multi/lican la cantidad den9meros /or la cantidad de casillassombreadas 2 >$2>
6 5 4 3
$ it l ; i i t i
7/25/2019 Arreglos y Permutaciones (1)
26/48
$%& e/ita el e;ercicio anteriorconsiderando ahora el n9mero7 *!F!%
$%$2se ve la cantidad de dgitos y semulti/lican /or $2 +$2+
$%!2 se ve la cantidad de n9meros yla cantidad de casillas y se
multi/lican2 +*?!2 2 $!E $%?2 se multi/lica la cantidad de
n9meros /or la cantidad de casillassombreadas 2 +$2+
5 4 3 2
7/25/2019 Arreglos y Permutaciones (1)
27/48
$F%&'n estudiante tiene que elegir unidioma y una asignatura entre +
idiomas y * asignaturas% Hallar eln9mero de .ormas distintas en que/uede hacerlo%
& 5e multi/lica la cantidad de idiomas yla cantidad de asignaturas2 + * 2!E
$3 -de cuantas .ormas se /ueden
7/25/2019 Arreglos y Permutaciones (1)
28/48
$3%& -de cuantas .ormas se /uedenre/etir dos /remios entre $E /ersonas:sabiendo que ambos /remios0
$3%$%& no se /ueden conceder a unamisma /ersona
$3%!%& se /ueden conceder a la misma
/ersona% $3%$2 si un /remio se le concede a una
/ersona 2 $E y el otro a $E 2 $EE:
/ero se le resta $E /or los /remiosre/etido eso nos da un total de 3E $3%!2 se multi/lican las $E /ersonas
con /remios 2$E $E 2 $EE
!E -de cuantas maneras se /ueden
7/25/2019 Arreglos y Permutaciones (1)
29/48
!E%& -de cuantas maneras se /uedenintroducir + cartas en ? buzones0
se multi/lican los + cartas con lostres buzones /ero de manera de usartodas las /osibilidades de introducir+ cartas en ? buzones2 +*?!
?! 2eso nos da un total de !*? .ormas deintroducir + cartas en ? buzones
7/25/2019 Arreglos y Permutaciones (1)
30/48
!$ Hay * candidatos /ara /residente de un club: > /aravice/residente y ! /ara secretario% Calcule de cuantasmaneras se /ueden ocu/ar estos tres /uestos%
* Candidatos /ara /residente% > Candidatos /ara vice/residente%
! Candidatos /ara secretarios%
> S * S ! 2 *F
es/uesta 7 4stos tres /uestos se /ueden ocu/ar de *Fmaneras di.erentes%
7/25/2019 Arreglos y Permutaciones (1)
31/48
!!!! -De cuntas maneras-De cuntas maneras
distintas se /ueden ordenar +distintas se /ueden ordenar +/ersonas en una ,la0/ersonas en una ,la0
Desarrollo . -Desarrollo . - + S * S ? S ! S $ 2+ S * S ? S ! S $ 2
$!E$!E
RespuestaRespuesta 7 5e /ueden ordenar de $!E7 5e /ueden ordenar de $!Emaneras distintas%maneras distintas%
7/25/2019 Arreglos y Permutaciones (1)
32/48
!?%& -De cuantas maneras se /uedencolocar libros en una estantera0
K2 >+*?!$2 +E*E
7/25/2019 Arreglos y Permutaciones (1)
33/48
4;ercicio !*4;ercicio !*
Hallar el n9mero de .ormas en que se /uedenHallar el n9mero de .ormas en que se /uedencolocar en una ,la * cuadros de una colecci6ncolocar en una ,la * cuadros de una colecci6nque se com/one de $! cuadros%que se com/one de $! cuadros%
12 11 10 9
5oluci6n7 $!L$$L$EL3 2 $$FFE5oluci6n7 $!L$$L$EL3 2 $$FFE
7/25/2019 Arreglos y Permutaciones (1)
34/48
esoluci6n e;ercicio nI !+ de lagua7
4;ercicio7
-De cuantas manerasse /ueden colocar enuna ,la + hombres y *mu;eres de .orma queestas ocu/en loslugares /ares0
5oluci6n75e realiza multi/licando la .actorial de
hombres y mu;eres7*M#KM.actorial +MHK M.actorial*K+K2*?!$+*?!$2!FFE
5e soluciona as /or la sim/le raz6n deque como dice el e;ercicio lasmu;eres ocu/an lugares /aresentonces los hombres los im/ares ycom/letamos las (casillas) con lacantidad de .ormas que de las cualesse /ueden ordenar7
H#H#H#H#H + * * ? ? ! ! $ $J luego multi/licamos /ara ,nalizar : es
una .orma de e/licar loanteriormente dicho Mal /rinci/io
7/25/2019 Arreglos y Permutaciones (1)
35/48
!>% -De cuantas maneras se /ueden colocar cuadros di.erentes en una ,la sabiendo que unode ellos debe estar:
!>%$%%%& en el centro0!>%! -en uno de los etremos0
Desarrollo7Desarrollo7!>%$ P M&$2 >K!>%$ P M&$2 >K
>S+S*S?S!S$2 !E>S+S*S?S!S$2 !E!>%! P M &$ 2 >K S !K!>%! P M &$ 2 >K S !K M> S+S *S ? S!S$ S M!S $ 2$**EM> S+S *S ? S!S$ S M!S $ 2$**E
7/25/2019 Arreglos y Permutaciones (1)
36/48
!%& -De cuantas maneras /uedencolocarse 3 libros di.erentes sobre
una estantera de .orma que7 !%$%& -=res de ellos estn siem/re;untos0
!%!%& -=res de ellos no estn nuncatodos ;untos0 !%$2
2 >+*?!$?!2 *?!E !%!2
1 2 3 4 5 6 7 8 9
7/25/2019 Arreglos y Permutaciones (1)
37/48
e;ercicios7
!F% Hallar el n9mero de /alabras di.erentes de + letras que se /ueden .ormarcon las letras de la /alabra (em/u;ado)%
!F%$%& 5i cada letra no se em/lea ms de una vez7
7FTT>T+T*2>!E L5e toman + letras de las F letras de la /alabra
(em/u;ado) Msin re/etirse las letras!F%!%& 5i cada letra se /uede re/etir7
7FTFTFTFTF2 ?!>F
Lse toman + letras de la /alabra em/u;ado M F letras con la/osibilidad de re/etirse
7/25/2019 Arreglos y Permutaciones (1)
38/48
29.- Hallar los nmeros que se pueden formar con 4 de los dgitos:29.- Hallar los nmeros que se pueden formar con 4 de los dgitos:1, 2, 3, 4,51, 2, 3, 4,5
29.1.- i estos no se pueden repetir en cada nmero29.1.- i estos no se pueden repetir en cada nmero29.2.- i se pueden repetir29.2.- i se pueden repetir29.3.-i los dgitos no se pueden repetir.29.3.-i los dgitos no se pueden repetir.29.3.1.- !"u#ntos nmeros de 4 cifras se pueden formar,29.3.1.- !"u#ntos nmeros de 4 cifras se pueden formar,empe$ando por 2%empe$ando por 2%29.3.2.- !&erminando en 25%29.3.2.- !&erminando en 25%
!3%$ + dgitos: * casillas: sinre/etir
Q +KQ 2 +K 2 +K 2 $!EArreglos
M+&*K $K
+ !* ?!3%! + dgitos: * casillas: conre/etici6n de dgitos
+ 2 >!+
++++*
!3%?%$ + dgitos: un ,;o Mel ! en *casillas: sin re/etir
PM+&$ 2 P* 2 *K2 !*
!?*!
!3%?%! + dgitos: * casillas y terminacon ! y + ,;os
PM+&! 2 P? 2 ?K2 >
? ! +!
?E &Hallar cuantos n9meros se /ueden
7/25/2019 Arreglos y Permutaciones (1)
39/48
?E%&Hallar cuantos n9meros se /ueden.ormar con los $E dgitos :E:$:!:?:*:+:>::F:3 %
$+%$%&5i cada uno de ellos se em/lea solouna vez
$+%&!%& -Cuantos de ellos son im/ares0%
5e multi/lican los n9meros /ero se leresta el cero al /rinci/io que no se tomaen cuenta y que PM3&!2K2 +E*E
J se divide /or dos /ara saber cantos sonim/ares eso nos da un total de !+!E
?$%& Hallar los n9meros de + ci.ras que se /ueden
7/25/2019 Arreglos y Permutaciones (1)
40/48
?$% Hallar los n9meros de + ci.ras que se /ueden.ormar con los dgitos: $: !:?UUUUU%3%:/udiendo estos re/etirse
?$%!%& -Cuantos de estos n9meros0 ?$%!%$%&-4m/iezan /or *E0
?$%!%!%& -5on /ares0 ?$%!%?%& -5on divisibles /or +0
?$%! se multi/lican los 3 dgitos y nos da un total de3E%EEE
?$%!%$2 se divide /or 3E2 eso nos da un total de$EEE n9meros que em/iezan /or *E
?$%!%!2 se divide /or dos y nos da un total de*+EEE?$%!%?2 se divide /or + y nos da un total de $F%EEE
7/25/2019 Arreglos y Permutaciones (1)
41/48
?!%& -Cuantos n9meroscom/rendidos entre ?%EEE y +%EEE :
se /ueden .ormar con los dgitos :E:$:!:?:*:+:>0: si cada uno se /uedere/etir en cada numero%
5e multi/lica los n9meros y se venlos que estn entre esos n9meros y
eso nos da >K2 !*E n9meros
7/25/2019 Arreglos y Permutaciones (1)
42/48
4;ercicio ??5e /ueden tomar distintas /osibilidades7
RevantandoU$ banderola7 +
! banderolas7 +L*
? banderolas7 +L*L?* banderolas7 +L*L?L!
+ banderolas7 +L*L?L!L$
Ahora nosotros a/licamos /rinci/io sumativo7
+ 1 M+L* 1 M+L*L? 1 +K 1 +K 2 325
7/25/2019 Arreglos y Permutaciones (1)
43/48
?*%& -De cuantas maneras se /uedensentar + /ersonas alrededor de unamesa redonda0
se /onen +K2 +*?!$E $!E
7/25/2019 Arreglos y Permutaciones (1)
44/48
?+&%-De cuantas maneras se /uedensentar F /ersonas alrededor de unamesa redonda de modo que dos de
ellas estn siem/re ;untas0Ja que es redonda se usa Mn&$K 2 K2
$**E
7/25/2019 Arreglos y Permutaciones (1)
45/48
?>%& -De cuantas maneras se /uedencolocar * mu;eres y * hombres
alrededor de una mesa redonda demanera que cada mu;er este entredos hombres0
ya que es redonda se /onenintercalados es decir H#H#H#H# 2**??!!$$2 y como es
redonda se usa Mn&$K2 **??2$**
7/25/2019 Arreglos y Permutaciones (1)
46/48
?%& -Cuantas /ulseras se /uedenhacer ensartando en un hilo 3
cuentas de colores di.erentes0
5e usa el /rinci/io sumativo y se
multi/lica los 3 colores de cuenta dela /ulsera eso es igual a 3K2 !E$>E.ormas de /ulseras di.erentes
7/25/2019 Arreglos y Permutaciones (1)
47/48
?F%& -De cuantas maneras se /uedenelegir + idiomas de entre F de ellos0
F FK 2 &&&&&&&&&&2 eso nos da un total de
+>+ +K
7/25/2019 Arreglos y Permutaciones (1)
48/48
?3%& -Cuantas diagonales tiene unoctgono0
5e multi/lican los ochos lados deloctgono y se dividen /or dos ya que
se re/iten la mitad y eso nos da untotal de !E diagonales