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ani AULA 2
1. Formulação Geral Equações de Transporte.
2. xxx.
3. xxx
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Parte I
Formulação Geral
das Equações de Transporte
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Preliminares
• Na aula 1 foram vistas alguns tipos de Equações de Transporte.
• O desafio desta aula é colocar as equações vistas, e outras que serão apresentadas, numa única forma geral capaz de representar qualquer uma delas.
• A vantagem da representação geral permite que um único Solver possa tratar cada Equação isoladamente ou resolvê-las simultaneamente.
• A abordagem realizada neste tópico será baseada nas práticas empregadas pelo PHOENICS
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Forma Geral das Equações de Transporte
• O método dos volumes finitos parte da forma conservativa das Eq. Transporte. Considere uma variável escalar genérica:
SVt
• onde é o coeficiente difusivo definido por:
T
T
L
L
PrPr
• O fonte S tem natureza diversa: i) representam as condições de contorno do fenômeno;
ii) modelam a ação de forças ou energia de novos mecanismos físicos ou ;
iii) representam todos os outros termos da eq. particular que se quer representar e que não são representados pelo lado esquerdo da equação!
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O Coeficiente Difusivo,
• O coeficiente difusivo no PHOENICS tem um papel central no modelo:
• Ele representa a contribuição dos termos ‘laminares’ e ‘turbulentos’ da modelagem, sub-índices L e T, respectivamente.
T
T
L
L
PrPr
• O coeficiente de difusão de qualquer fenômeno é representado pelo produto da densidade e da viscosidade cinemática divido pelo parâmetro Pr que está associado a uma variável.
• O significado de Pr será explorado ao longo de exemplos nesta aula.
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Equações Auxiliares Para modelar um fenômeno é frequente a utilização de equações auxiliares para definir:
• Prop Termodinâmica.: densidade, entalpia, etc
• Prop Transporte: viscosidade, difusividade, condutividade, etc
• Termos Fonte: leis de cinética química, dissipação viscosa, Coriolis, absorção de radiação, etc
• Termos ´artificiais´: falso transiente para relaxação e condições de contorno
Todos os termos dependem de uma ou mais das variáveis e/ou das equações auxiliares. A medida que um número maior destas equações auxiliares se faz necessário, ele causa um aumento no ´grau´ de não-linearidade do sistema.
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Natureza dos Termos
SVt
• A equação geral possui três termos no lado esquerdo: transiente, convectivo e difusivo.
• Nem todos fenômenos de transporte requerem a existência simultânea destes termos. O comando TERMS no grupo 8 permite a ativação ou não de cada um deles:Group 8. Terms & Devices
* Y in TERMS argument list denotes:
* 1-built-in source 2-convection 3-diffusion 4-transient
* 5-first phase variable 6-interphase transport
TERMS (P1 ,Y,Y,Y,N,Y,N)
TERMS (U1 ,Y,Y,Y,Y,Y,N)
TERMS (V1 ,Y,Y,Y,Y,Y,N)
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• A seqüência desta parte I da aula 2 será a representação de alguns tipos de Equação de Transporte na forma geral identificando seus termos fontes.
• Serão representadas as Equações de– Massa– Q. Movimento– Energia– Concentração– Miscelânia
• Para facilitar a representação será adotado o sistema cartesiano e a notação indicial.
• Um paralelo com a prática do PHOENICS será realizado onde for possível.
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Notação Indicial para Eq. Geral de Transporte
SVt
S
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xt jj
j
• onde j pode variar de 1 a 3 representando cada uma das direções ortogonais.
• é uma variável escalar genérica e
• o operador ou /xj é o gradiente de uma grandeza escalar
• A Eq. de Transporte em Notação vetorial
• também pode ser representada em notação indicial pelos operadores
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Equação Diferencial da Massa
• Note que para fluidos incompressíveis, isto é, constante, a forma geral também satisfaz pq o termo transiente deixa de existir e ela se reduz para:
0Vxt j
j
• Fazendo = 1, = 0 e S = 0, chega-se a forma da Equação da Conservação da Massa:
0Vx j
j
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Equação de Navier Stokes
• A Equação de NS não é uma equação escalar mas vetorial. Esta é uma das dificuldades que a forma geral da equação de transporte encontra.
• Cada componente da Eq. NS é tratado como uma equação de escalar, para isto vamos escrever as componentes da Eq. NS.
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Equação de Navier Stokes
• onde i e j podem variar de 1 a 3 representando cada uma das direções ortogonais.
• Cada componente é gerada fixando um i e somando as variações de j,
• O próximo slide traz como exemplo a componente na direção X;
g2V3
2PVV
t
V
S
• A componente i é:
ii
j
j
i
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V
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Equação de Navier Stokes, dir. X
• Assumindo que os índices 1,2 3 representam as direções ortogonais X, Y e Z e que por sua vez estão associadas às velocidades U, V e W, então a equação para direção x é:
ii
j
j
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Equação de NS
• Pode-se perceber que a forma da equação de NS ainda está longe de se ajustar a forma geral:
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3
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S
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• Rearranjando os termos viscosos podemos re-escrever as componentes de NS como:
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j
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Equação de NS: compressível e variável
• A representação de NS atende a forma geral e é válida para um escoamento em regime laminar, compressível ou incompressível, e viscosidade variável (T ou S) ou constante.
• O lado direito da equação traz os termos fonte:– Pressão, Sp– Compressível, Sc– Viscoso, S– Força de Campo, Sg
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V
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3
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Note que a viscosidade do fluido pode variar com a temperatura ou também com o módulo do tensor S no caso de fluidos não Newtonianos Generalizados (power law fluids)
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Equação de NS: incompressível e variável
• Para escoamentos incompressíveis, V=0 portanto a eq. NS pode ser simplificada e um termo fonte é eliminado.
• Desejamos manter ainda a possibilidade de viscosidade variável (T ou S)
• O lado direito da equação traz os termos fonte:– Pressão, Sp– Viscoso, S– Força de Campo, Sg
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Equação de NS: incompressível e cte.• Se a viscosidade é constante, o termo fonte
viscoso, S é nulo:
• Neste caso a Eq. NS assume sua forma mais simples, com dois termos fonte: pressão e força de campo.
• O termo de campo é relevante somente para escoamentos com superfície livre; escoamentos internos ele pode ser incorporado ao termo de pressão: P* = P+gz.
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Equação de NS – Regime Turbulento• Considerando que a eq. NS representa o campo
médio de velocidades, surge um termo extra de tensão (tensões de Reynolds) devido a presença dos turbilhões.
• O tensor das tensões para um fluido Newtoniano, incompressível com constante é:
• e a equação de transporte passa a ser
• onde T é a viscosidade cinemática turbulenta obtida por meio de modelos de turbulência
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Termos Extras• A análise até o momento foi realizada num tensor
cartesiano. Para outros sistemas de coordenadas surgem termos associados a inércia e à viscosidade.
• Exemplo:, sistema cilíndrico-polar com axi-simetria para um fluido com propriedades constantes
• (,R,Z) correspondendo a (X, Y,Z)
Z
P
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Eq. Geral NS e seus termos fontes
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Representação válida somente para coordenadas cartesianas
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Eq. Geral NS e sua Implementação PHOENICS
• O PHOENICS já possui implementado três termos fontes para eq. NS : pressão, centrífugo e Coriolis. Todos os outros o usuário terá que inserir.
Compressivel? Viscosidade Regime S
Comp Incomp cte var Lam Turb Phoe User
X X X SP SC+S
X X X SP SC
X X X SP S
X X X SP -
X X X SP -
Sistema de coord. cilíndrico-polar requerem termos fonte viscosos que deverão ser implementados pelo usuário.
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Eq. Geral NS e sua Implementação PHOENICS
• Os efeitos de compressibilidades não são sentidos até Ma ~0.3. Em geral o termo 2/3V é pequeno e pode ser desprezado na maioria das aplicações, exceção pode ocorrer na presença de choques.
• O termo fonte viscoso se faz sentir para dois casos: quando m varia com a temperatura e também para simulações com fluidos não-Newtonianos.
1. A variação de com T ‘pode ser lenta’ e fazer com que o termo S seja desprezível. Ele de fato é para Camada Limites.
2. Fluidos não-Newtonianos tem a viscosidade dependente da deformação e o termo Sm não pode ser desprezado. O manual do PHOENICS não é claro sobre a prática adotada, vale a pena investigar mais..
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Equação de Navier Stokes
• Substituindo a Eq. constitutiva da Tensão para fluido Newtoniano vamos chegar às Equações de Navier-Stokes (NS):
gVVt
V
T
g2V3
2PVV
t
V
S
• A Eq. acima é válida para escoamentos compressíveis, e viscosidade variável. S é definido por:
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• A Eq. Transporte de Q. Movimento é:
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Equação de Navier Stokes Compressível
• vamos chegar às Equações de Navier-Stokes (NS) para um fluido compressível com constante:
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• Para constante e considerando a identidade:
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Equação Navier Stokes Incompressível
• Para e constantes temos que, .V =0, logo:
• Esta é a forma mais popular das Equações de Navier Stokes: fluido incompressível e com viscosidade constante.
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Equação Diferencial da Energia ‘e’
• A equação de transporte da Energia ‘e’, na sua forma não-conservativa é:
• Neste estágio é conveniente substituir T = -P+T’ e expandir os termos:
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Equação Diferencial da Energia ‘e’
• Para se chegar a forma final da Equação da Energia é necessário definir:
1. As formas de energia que ‘e’ representa;
2. A difusão do calor, qk
3. O tensor das tensões no fluido e seus produtos
• Estas tarefas serão feitas na seqüência.
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Modos de Energia ‘e’
• Vamos considerar três modos de energia: interna, cinética e potencial:
• A derivada total em termos das parcelas de ‘e’ fica sendo:
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Equação Transporte da Entalpia Total
• A entalpia específica e a entalpia total de um fluido compressível são definidas por:
• Neste estágio é conveniente substituir T = -P+T’ e expandir os termos:
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Equação de Transporte da Energia Interna, û
• Substituindo as equações constitutivas para o tensor desvio da tensão e da condução vamos ter:
• o termo -P.V está associado ao trabalho de compressão para fluidos compressíveis;
• é a função dissipação, sempre positiva:
• Os dois últimos termos referem-se a calor por condução e a geração de energia interna.
qVPTkDt
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02V3
2 2 S:S
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a função dissipação para coordenadas cartesianas, veja mais detalhes na brochura ‘Forma Dif. Eq. Transporte’.
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Equação de Transporte da Entalpia, h
• O termo do trabalho de pressão pode ser re-escrito em função da equação da massa:
• Substituindo a definição: h = û+P/ na equação de û, chega-se a forma não-conservativa da Equação de Transporte da Entalpia:
• ou a sua forma conservativa:
Dt
DPP
Dt
D
Dt
D1PVP
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Dh
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DPTkhV
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h
veja mais detalhes na brochura ‘Forma Dif. Eq. Transporte’.
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Equação de Transporte da Temperatura
• A partir da Equação de transporte da Entalpia e da relação termodinâmica para uma substância pura:
• onde é o coef expansão volumétrica, • Pode-se mostrar que a forma não-conservativa da
Equação de Transporte para Temperatura é:
• e a sua forma conservativa:
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DPTTk
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veja mais detalhes na brochura ‘Forma Dif. Eq. Transporte’.
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Equação de Transporte da Entropia• A equação de transporte de S é:
• o termo de produção, Os, é determinado a partir da relação termodinâmica para uma substância pura:
• substituindo as eqs. para h e s na relação acima vamos encontrar:
• As irreversibilidades estão associadas a uma troca térmica com diferença de temperatura ou ao trabalho viscoso realizado pelo fluido
veja mais detalhes na brochura ‘Forma Dif. Eq. Transporte’.
PsT
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Parte IV
Retorno às Equações Diferencias de Transporte
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NO
S D
E T
RA
NS
PO
RT
E –
CH
EM
TE
CH
MÓ
DU
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EQUAÇÃO DE BALANÇO: FORMA GENERALIZADA
• Considerando uma fase presente, a equação de
conservação de uma propriedade é escrita por:
SVt
• é densidade
• é a variável em questão
• é o coeficiente de difusão de
• S representa os termos fontes de
FE
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ME
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NS
PO
RT
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EM
TE
CH
MÓ
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FORMAS PARTICULARES: QUANTIDADE DE MOVIMENTO
• = U, V, W
• = .(L + T) onde L e T representam as
contribuições das viscosidades cinemática de
origem Laminar e Turbulenta
• S = - Grad(P) + Termos gravitacionais + atrito com
paredes + Força centrífuga + Força Coriolis +
Termos de empuxo + ...
gPVVVVt
FE
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FORMAS PARTICULARES: CONSERVAÇÃO CONSERVAÇÃO DA
ENERGIA (ENTALPIA)
• = h
• = .[(L /PrL) + T /PrT)] onde PrL e PrT são os
números de Prandtl de origem Laminar (L/L) e
Turbulenta (T/T)
• S = (trabalho compressão) DP/dt + (dissipação viscosa) 2S:S + fontes/sorvedouros de calor + ....
outrosS:S2Dt
DPhhVh
tSource InBuilt
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FORMAS PARTICULARES: CONSERVAÇÃO UMA ESPÉCIE QUÍMICA
• = c que representa a concentração (molar, em
massa ou volume) de uma espécie química
• = .[(L /PrL) + T /PrT)] onde PrL e PrT são os
números de Prandtl devido a transferência de massa
de origem Laminar (L/DL) e Turbulenta (T/DT),
também conhecidos por número de Schmidt onde D é
o coeficiente de difusão de massa.
• S = 0 + fontes/sorvedouros da espécie química por meio de reações químicas (combustão)
SccVct
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EQUAÇÃO DA ENERGIA• A equação da energia pode ser expressa em termos da entalpia ou da temperatura:
• A equação para h tem um complicante que seu termo difusivo depende da temperatura (variável não resolvida).• A equação para T tem um complicante no termo inercial que vem multiplicado pelo calor específico.• Ambas equações não podem ser colocadas diretamente na forma geral: Div(V-Ggrad) = S
y
Tk
yx
Tk
xVh
yUh
x
y
Tk
yx
Tk
xVTC
yUTC
x PP
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EQUAÇÃO DA ENTALPIA (H1) (sem fontes)• Para um processo a pressão constante, a entalpia e a temperatura estão relacionadas por:
•assim, a derivada da temperatura pode ser expressa por uma derivada da entalpia como:
• Substituindo-se esta relação na eq. da entalpia, pode-se expressar o termo difusivo em função de h!
dTCdh P
dx
dTC
dx
dhP
y
h
C
k
yx
h
C
k
xVh
yUh
x PP
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ani • O coeficiente difusivo da equação pode ainda ser
manipulado e expresso em função do n. Prandtl do fluido:
• onde
• A forma disposta acima está pronta para ser implementada no PHOENICS. Deve-se definir PRNDTL(H1) = n. Prandtl do fluido ()
EQUAÇÃO DA ENTALPIA (H1) (cont)
0y
h
PrVh
yx
h
PrUh
x
PC
k
Pr ;Pr
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OBTENÇÃO DA TEMPERATURA A PARTIR H1
• A temperatura pode ser deduzida a partir do campo de entalpias
• Para propriedades constantes :
•Para propriedades variáveis a dedução de T a partir de H1 é mais trabalhosa. Nestes casos é melhor resolver para T diretamente que o PHOENICS possui um procedimento específico para cuidar disto. Veja entrada em SPECIFIC HEAT na Encyclopedia.
dTChhdTCdhT
REFTPREFP
P
REFPREF C
hTTTChh