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CÁLCULO UNIDAD Nº III Derivadas y sus aplicaciones
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Introducción
Esta sexta semana, que corresponde a la última semana de la unidad III y
del curso de cálculo, abordaremos el concepto de derivadas parciales, incluyendo
las funciones lineales como las de orden superior. Exploraremos su interpretación
gráfica y sus aplicaciones, como son las diferenciales o incrementos, introduciendo
así la explicación de la función y las derivadas implícitas.
Respecto a las derivadas implícitas, estas se usan principalmente cuando se
tiene una función, en la cual no es posible despejar una variable en función de la
otra.
Finalmente, se expondrá un método para resolver problemas de
maximización y/o minimización cuando las funciones a evaluar están sujetas a
restricciones. Este método usa variables constantes las que son denominadas
multiplicadores de LaGrange.
SEMANA 6
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Ideas Fuerza
• La segunda derivada de una función con respecto a una variable, es la
derivada de la derivada de esa función con respecto a la misma variable.
• Existen criterios para saber si hay una máximo o mínimo local, estos son de
la primera derivada y de la segunda derivada.
• Las derivadas parciales son derivadas que se realizan cuando la función
depende de dos variables o más y para derivar con respecto a una de esas
variables se considera la otra como una constante.
• Los multiplicadores de LaGrange, son constantes que se utilizan para
maximizar o minimizar una función encontrando su valor gracias a un sistema
de ecuaciones en el que están las derivadas parciales de la función y sus
restricciones.
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Desarrollo
1.- Definición de las derivadas parciales de una función de dos variables.
Si z = f (x, y), las primeras derivadas parciales de f con respecto a x e y
son las funciones f x y fy y estas se denotan como:
La definición anterior quiere decir que dada una 𝒛 = 𝒇 (𝒙, 𝒚), para
calcular f x hay que considerar a y como constante y derivar respecto a x, del mismo
modo para calcular f y se considera a x como constante y se deriva respecto a 𝒚.
Para graficar la definición anterior se procede a realizar un ejemplo.
Ejemplo:
Hallar las derivadas parciales f x y fy de la función:
𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝟑𝒙 − 𝒙𝟐𝒚𝟐 + 𝟐𝒙𝟑𝒚
Solución:
Considerando y como constante y derivando con respecto a x obtenemos.
𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = 3 − 2𝑥𝑦2 + 6𝑥2𝑦
Considerando x como constante y derivando con respecto a y obtenemos.
𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = −2𝑥2𝑦 + 2𝑥3
f(x+ Δx,y) - f(x, y)
Δx
f(x, y + Δy) - f(x, y)
Δy
Siempre que exista limite
f x (x,y) =lim
Δx 0
f y (x,y) =lim
Δy 0
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Interpretación grafica de la derivada parcial.
Si consideramos que la función z = f (x, y), representa una superficie S, y
que f(a,b)= c , entonces el punto P (a,b,c), existe sobre esta superficie de
manera que las pendientes de las rectas tangentes T en el punto P son las
derivadas parciales en las direcciones de x e y, respectivamente.
http://www4.ujaen.es/~angelcid/Archivos/Analisis_Mat_II_09_10/Apuntes/Tema3.a
rticle.pdf
A continuación, se ilustra gráficamente la derivada parcial en el plano 𝑥, 𝑦, 𝑧.
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Ejemplo:
Hallar las pendientes de la superficie de la ecuación:
𝑓(𝑥, 𝑦) = −𝑥2
2− 𝑦2 +
25
8
En el punto (1
2, 1,2) en la dirección 𝑥 𝑒 𝑦.
Solución:
Derivada parcial de la función con respecto a x:
f´x (x, y) = -x
y la valorización de su pendiente en el punto (1
2, 1,2)
y f´x (1/2, 1) = -1/2
Derivada parcial de la función con respecto a y:
f´y (x, y) = -2y
y la valorización de su pendiente en el punto (1
2, 1,2)
y f´y (1/2, 1) = -2
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2.-Derivadas parciales de orden superior
Al igual como sucedía con las derivadas ordinarias es posible encontrar, si
es que existen, las derivadas parciales segundas, terceras, cuartas u orden más
alto, estas se denotan por el orden por el cual se van realizando las derivaciones.
La notación para describirlas es análoga a la segunda derivada ordinaria de una
función con una sola variable.
Si se usa la notación fx para la derivada parcial (con respecto a x), las
derivadas parciales de segundo orden se denotan:
(fx) x = fxx
(fy) y = fyy
Y las derivadas parciales cruzadas o mixtas como:
(fx) y = fxy
(fy) x = fyx
Derivar dos veces respecto a x
d2f ∂ ∂f ∂
2f
dx2
∂x ∂x ∂x2
Derivar dos veces respecto a y
d2f ∂ ∂f ∂
2f
dy2
∂y ∂y ∂y2
Derivar con respecto a y primero y despues respecto a x (derivada mixta o cruzada)
d2f ∂ ∂f ∂
2f
dxdy ∂x ∂y ∂x∂y
Derivar con respecto a x primero y despues respecto a y (derivada mixta o cruzada)
d2f ∂ ∂f ∂
2f
dydx ∂y ∂x| ∂y∂x
= ( ) =
= ( ) =
= ( ) =
= ( ) =
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Para ilustrar la definición anterior se realizará un ejemplo.
Ejemplo:
Hallar las derivadas parciales de segundo orden de 𝑓 = 3𝑥𝑦2 − 2𝑦 + 5𝑥2𝑦2
evaluando el punto 𝑓𝑥𝑦(−1,2).
Solución:
Se debe comenzar resolviendo las derivadas parciales de primer orden.
𝑓𝑥 = 3𝑦2 + 10𝑥𝑦2 𝑓𝑦 = 6𝑥𝑦 − 2 + 10𝑥2𝑦
Ahora se derivan estas cada una de las derivadas anteriores por .
𝑓𝑥𝑥 = 10𝑦2 𝑓𝑦𝑦 = 6𝑥 + 10𝑥2
𝑓𝑥𝑦 = 6𝑦 + 20𝑥𝑦 𝑓𝑦𝑥 = 6𝑦 + 20𝑥𝑦
Ahora evaluamos 𝑓𝑥𝑦 = 6𝑦 + 20𝑥𝑦 = 6 ∙ 2 + 20 ∙ (−1) ∙ 2 = −28
Se observa en este ejemplo que las derivadas cruzadas o mixtas son iguales,
esto también sucede cuando hay tres o más variables, por lo tanto, el orden de las
derivadas parciales es irrelevante cuando son de dos o más variables.
A continuación, se denota el teorema de lo dicho anteriormente.
Teorema:
Si 𝑓 es una función de 𝑥 𝑒 𝑦 con 𝑓𝑥𝑦 𝑦 𝑓𝑦𝑥 funciones continuas en ℝ, entonces para
todo x e y en ℝ.
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Para ilustrar el teorema anterior a continuación se realizará un ejemplo.
Ejemplo:
Probar que 𝑓𝑥𝑧 = 𝑓𝑧𝑥 y 𝑓𝑥𝑧𝑧 = 𝑓𝑧𝑥𝑧 = 𝑓𝑧𝑧𝑥 para la función:
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦𝑒𝑥 + 𝑥 ln 𝑧
Solución:
• Primeras derivadas parciales:
𝑓𝑥 = 𝑦𝑒𝑥 + ln 𝑧
𝑓𝑧 =𝑥
𝑧
• Segundas derivadas
𝑓𝑥𝑧 =1
𝑧 𝑓𝑧𝑥 =
1
𝑧 𝑓𝑧𝑧 = −
𝑥
𝑧2
• Terceras derivadas
𝑓𝑥𝑧𝑧 = −1
𝑧2 𝑓𝑧𝑥𝑧 = −1
𝑧2 𝑓𝑧𝑧𝑥 = −1
𝑧2
Criterio de las segundas derivadas parciales
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Punto silla: puntos críticos que no son ni mínimos, ni máximos relativos.
3.-Aplicaciones de las derivadas parciales
Las aplicaciones de las derivadas parciales toman vital importancia en el
mundo de las matemáticas, sobretodo son usadas para resolver problemas
complejos de la ingeniería y otras ramas de la ciencia. A continuación, se
desarrollarán aplicaciones de las derivadas parciales que no escapen de lo visto en
este curso como por ejemplos.
Problemas de maximización o minimización
Cálculo de un volumen máximo:
Una caja rectangular posee la siguiente función.
6𝑥 + 4𝑦 + 3𝑧 = 24
Encontrar el volumen máximo posible de esta caja.
Solución:
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Denotamos que 𝑥, 𝑦, 𝑧 corresponde a la longitud, ancho y altura de la caja.
Despejando z en función de x e y, se obtiene:
𝑧 =1
3(24 − 6𝑥 − 4𝑦)
y así su volumen V (x, y, z), queda expresado
𝑉 = 𝑥 ∗ 𝑦 ∗ [1
3(24 − 6𝑥 − 4𝑦)]
=1
3(24𝑥𝑦 − 6𝑥2𝑦 − 4𝑥𝑦2)
• Primeras derivadas igualadas a 0.
𝑉𝑥 =1
3(24𝑦 − 12𝑥𝑦 − 4𝑦2) =
𝑦
3(24 − 12𝑥 − 4𝑦) = 0
𝑉𝑦 =1
3(24𝑥 − 6𝑥2 − 8𝑥𝑦) =
𝑥
3(24 − 6𝑥 − 8𝑦) = 0
Se deduce que los puntos críticos son (0,0) y el (4
3, 2), en el punto (0,0) el
volumen es 0, por lo tanto, no es máximo. Con el otro punto que queda es posible
utilizar el criterio de la segunda derivada.
𝑉𝑥𝑥 =1
3(−12𝑦) = −4𝑦
𝑉𝑦𝑦 =1
3(−8𝑥) = −
8𝑥
3
𝑉𝑥𝑦 =1
3(24 − 12𝑥 − 8𝑦)
Hay que recordar que para calcular los extremos relativos de f se debe
calcular d = fxx(a,b) * fyy (a,b) – [fxy(a,b)]2
Por tanto,
𝑑 = 𝑉𝑥𝑥 (4
3, 2) 𝑉𝑦𝑦 (
4
3, 2) − [𝑉𝑥𝑦 (
4
3, 2)]
2
= (−8) (−32
9) − (−
8
3)
2
=64
3> 0
𝑉𝑥𝑥 = −4𝑦 = −8
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Por lo tanto, hay un máximo relativo en ese punto crítico de acuerdo al criterio de la
segunda derivada.
Y el volumen máximo es:
𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) =1
3(24𝑥𝑦 − 6𝑥2𝑦 − 4𝑥𝑦2) =
1
3[(24 (
4
3) (2) − 6 (
4
3)
2
(2) − 4 (4
3) (2)2)]
=64
9
4.-Diferenciales
Generalidades.
Ya hemos vistos que entre los objetivos fundamentales del cálculo
infinitesimal es estudiar la variación de una función, con respecto a cambios en la
variable independiente. Si 𝒙 es la variable independiente de la función 𝒚 = ƒ(𝒙) y su
valor cambia desde x1 hasta x2, este cambio lo llamamos incremento de 𝒙 y se
denota por 𝜟𝒙, cuyo valor es 𝜟𝒙 = 𝒙𝟐 – 𝒙𝟏. Este cambio de 𝒙, generalmente da
como resultado un aumento o disminución del valor de y, el cual se denomina
incremento de la función y se denota por 𝜟𝒚, es decir: 𝜟𝒚 = 𝒇 (𝒙𝟐) − 𝒇(𝒙𝟏).
De la expresión anterior para 𝜟𝒙, podemos decir que 𝒙𝟐 = 𝜟𝒙 + 𝒙₁, con lo
cual tenemos que: 𝜟𝒚 = 𝒇 (𝒙𝟐 + 𝜟𝒙) − 𝒇(𝒙𝟏). Es importante indicar que se denomina
“incremento” tanto al aumento (+) como a una disminución (-).
Diferenciales
Sea la función 𝒚 = ƒ(𝒙) derivable en un intervalo abierto que contenga 𝒙,
la diferencial de una función correspondiente al incremento d𝒙 de la variable
independiente, es el producto f '(x) · d𝒙.
dy = f '(x) · d𝒙
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Definiremos el concepto de diferencial de modo que 𝒅𝒙 y 𝒅𝒚 tengan
significados por separado, donde 𝒅𝒙 es la diferencial de la variable independiente
𝒙 y 𝒅𝒚 es del diferencial de la variable dependiente 𝒚.
Definición del diferencial 𝒅𝒙
Si 𝒚 = ƒ(𝒙) es una función derivable en 𝒙, la diferencial de la variable independiente
coincide con el incremento de x; o sea: 𝒅𝒙 = 𝜟𝒙
Definición del diferencial 𝒅𝒚
Si 𝒚 = ƒ(𝒙) es una función derivable en 𝒙 y 𝒅𝒙 es el diferencial de 𝒙, el diferencial
𝒅𝒚 que corresponde a la variable dependiente 𝒚 se define como: 𝒅𝒚 = ƒ′ (𝒙) 𝒅𝒙
Se llama diferencial de una función al producto de la derivada por la
diferencial de la variable independiente.
Otras notaciones para la diferencial
Para funciones 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) de dos variables se utiliza una notación similar, ya
que Δx y Δy son 𝑥 𝑒 𝑦. A continuación, se muestra cual es la notación utilizada
para el incremento o diferencial Δz.
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Definición de la diferencial total
Si 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), y Δx y Δy son los incrementos de 𝑥 𝑒 𝑦, y las diferenciales de estas
variables son:
Y la diferencial total de la variable depende de z es
Esta definición se extiende a variables de 3 o más variables, si 𝑤 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑢) si
𝑑𝑥 = Δx , 𝑑𝑦 = Δy , 𝑑𝑧 = Δz 𝑑𝑢 = Δu entonces el diferencial de w es:
Ejemplo:
La diferencial total 𝑑𝑤 para la función 𝑤 = 𝑥2 + 𝑦4 + 𝑧10
Solución:
𝑑𝑤 =𝛿𝑤
𝛿𝑥𝑑𝑥 +
𝛿𝑤
𝛿𝑦𝑑𝑦 +
𝛿𝑤
𝛿𝑧𝑑𝑧 = 2𝑥𝑑𝑥 + 4𝑦3𝑑𝑦 + 10𝑧9𝑑𝑧
𝑑𝑥 = Δx 𝑑𝑦 = Δy
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5.-Funciones implícitas
Hasta este punto de la unidad las funciones que hemos visto son principalmente
explicitas, como, por ejemplo:
𝑦 = 5𝑥3 + 7
Donde la variable ya está explícitamente en función de 𝑥. Pero en algunas
ocasiones la función viene definida implícitamente como, por ejemplo.
Forma explícita 𝑦 =1
𝑥
Forma implícita 𝑥𝑦 = 1
Derivación implícita
A continuación, se derivará una función implícita para que se grafiquen lo pasos a
seguir.
Ejemplo:
Hallar la derivada 𝑑𝑦/𝑑𝑥 sabiendo que 𝑦3 + 𝑦2 − 5𝑦 − 𝑥2 = −4
Solución:
Derivamos ambos lados de la ecuación aplicando las reglas de derivación, teniendo
el cuidado que cuando derivemos y agregamos a continuación el termino 𝑑𝑦
𝑑𝑥,
entonces:
3𝑦2𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥− 5
𝑑𝑦
𝑑𝑥− 2𝑥 = 0
Ahora agrupemos los términos 𝑑𝑦/𝑑𝑥 en la izquierda
3𝑦2𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥− 5
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 2𝑥
Factorizamos 𝑑𝑦/𝑑𝑥 en la parte izquierda.
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𝑑𝑦
𝑑𝑥(3𝑦2 + 2𝑦 − 5) = 2𝑥
Despejamos 𝑑𝑦/𝑑𝑥.
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
2𝑥
3𝑦2 + 2𝑦 − 5
Podemos decir que las aplicaciones de funciones implícitas y más
específicamente de las derivadas implícitas son las mismas que las derivadas
explicitas, es posible hallar la pendiente de una función, también es posible calcular
derivadas de orden superior implícitamente, por lo tantos las aplicaciones de la
función implícita también se extienden en las aplicaciones de las derivadas de orden
superior.
Multiplicadores de la Grange
En muchos problemas de optimización los valores para lograr el objetivo
están sometidos a restricciones. Una técnica muy útil para encontrar el máximo o el
mínimo de una función multivariable se denominan multiplicadores de LaGrange.
Teorema
Sean 𝒇 𝑦 𝒈 funciones, donde su primera derivada parcial continua existe y 𝒇
tiene un extremo en el punto (𝒙𝟎, 𝒚𝟎) sobre la curva de la función restricción
𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑐, entonces ∆𝑓(𝑥0, 𝑦0) = 𝜆∆𝑔(𝑥0, 𝑦0). El escalar 𝜆 es denominado
multiplicador de LaGrange.
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Ejemplo:
Calcular el valor máximo de 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4𝑥𝑦
Sujetos a
𝑥2
32+
𝑦2
42= 1
Solución: Sabemos que:
𝑔(𝑥, 𝑦) =𝑥2
32+
𝑦2
42= 1
La solución del sistema de ecuaciones queda de la siguiente forma
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4𝑦 =2
9𝜆𝑥
4𝑥 =1
8𝜆𝑦
𝑥2
32+
𝑦2
42= 1
Despejamos 𝜆 en la primera ecuación y obtenemos 𝜆 = 18𝑦/𝑥 y lo reemplazamos
en la segunda ecuación.
4𝑥 =1
8(
18𝑦
𝑥) 𝑦
Sustituimos el valor de 𝑥2 en la tercera ecuación.
La técnica exige que 𝑥, 𝑦 > 0 por lo que se elige 2√2
Entonces el máximo de la función es
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Conclusiones
Las derivadas parciales de una función nos facilitan poder determinar
soluciones de manera óptima y en esto, las aplicaciones más importantes para la
resolución de problemas que tienen las derivadas parciales de orden superior, es el
poder determinar máximos relativos, mínimos relativos de ciertas expresiones
matemáticas, como también la importancia en la búsqueda de los intervalos de
aumento o disminución de valores de interés, una vez expresada por funciones.
Es importante recordar las consideraciones que se deben tener, para
determinar las derivadas parciales y poder interpretarlas de manera correcta, donde
podrás utilizarlas para problemas de maximización o minimización.
En muchos problemas de optimización los valores para lograr el objetivo
están sometidos a restricciones. Una técnica muy útil para solucionar esto tipos de
problemas se denominan multiplicadores de LaGrange.
.
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Bibliografía
• James Stewart. (2008). Cálculo de una variable. Cruz Manca, Santa Fe,
México: Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.
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