Post on 06-Sep-2015
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MEDIDAS Y CLCULO DE ERRORES
Introduccin
Error absoluto y relativo
Representacin numrica de
resultados experimentales
Clculo de errores en medidas
directas
Clculo de errores en medidas
indirectas
Ajuste por el mtodo de mnimos
cuadrados
1
Una medida lleva asociado un error, que es la
desviacin que existe entre el resultado de la medida
de la magnitud y el verdadero valor de sta
Errores sistemticos
Debidos a imperfecciones en los instrumentos
Se producen siempre en el mismo sentido
No son fciles de detectar ni de tratar
Para evitarlos hay que calibrar los aparatos siempre que se
vayan a utilizar
Errores accidentales
Debidos a pequeas variaciones en los experimentos y a
imperfecciones de nuestros sentidos
Se pueden minimizar si se repite la medida un nmero
suficiente de veces
2
MEDIDAS Y CLCULO DE ERRORES
INTRODUCCIN
Errores accidentales Admiten tratamiento estadstico
Errores sistemticos
3
ERROR ABSOLUTO Y RELATIVO
o Error absoluto e Sensibilidad instrumento utilizado
o Medida de una magnitud
, +
o La ltima cifra significativa del valor y la ltima del error
han de ser del mismo orden decimal
Ejemplos: l=2.4560.001m ea=0.001m
m=2.450.01g ea=0.01g
rTS=(1.50.4)108 km ea=0.4x108 km
ex
4
ERROR ABSOLUTO Y RELATIVO
o Error relativo
o Precisin en la medida
Ejemplos
100x
ar
ee
l=1.470.02mm ea=0.02mm er=1.4 % m=25.50.1g ea=0.1g er=0.4% rTS=(1.50.4)10
8 km ea=0.4x108 km er=26.6 %
5
ERROR ABSOLUTO Y RELATIVO
Ejemplo 1
Se miden las masa de un hombre y de un camin
mh=8010 kg, mc=5000 10kg, calcular el error relativo
en cada caso.
Para la masa del hombre el error relativo es:
Para la masa del camin, el error relativo es:
%5.1210080
10rhe
%2.01005000
10
cre
6
ERROR ABSOLUTO Y RELATIVO
7
Ejemplo 2
Un tren viaja 890 km, de Berln a Pars, y rebasa el fin de la va 10m (a)Cul ser el error relativo de aproximacin en la distancia total
recorrida?
(b)Cul sera el error relativo si el viaje se realizase desde Albacete a la Roda, cuya distancia es 35km?
(a) En este caso el error absoluto es ea=10m=10-2km,
y el error relativo sera
%1012.1100890
10 32
xrhe
(b)En este caso el error absoluto es ea=10m=10-2km,
y el error relativo sera
%108.210035
10 22
xrhe
RESULTADOS EXPERIMENTALES
Cifras significativa es todo dgito (exceptuando el cero
cuando se utiliza para situar el punto decimal) cuyo valor
se conoce con seguridad
La longitud tiene 4 cifras significativas, la masa tiene
3 cifras significativas
En el error solamente debe emplearse una cifra distinta de
cero, aunque si la primera cifra es 1 o 2 suelen darse dos
cifras
l=2.4560.001m ea=0.001m m=2.450.01g ea=0.01g
8
El nmero que expresa el valor de la medida se redondea
hasta el orden de las cifras del error
Caso 1
x=8.0723 e=0.04 = 8.07 0.04
Caso 2
x=8.0774 e=0.04 = 8.08 0.04
Caso 3
x=8.0774 e=0.015 = 8.077 0.015
9
RESULTADOS EXPERIMENTALES
Si los ceros aparecen como primeras cifras de una
cantidad nunca son cifras significativas
57g y 0.057kg expresan la misma cantidad en diferentes
unidades ( 2 cifras significativas)
Si los ceros aparecen como ltimas cifras de una
cantidad pueden ser o no ser cifras significativas
x=530mm
Si lo hemos medido con un instrumento que aprecia mm
= 5.30 102mm
Si lo hemos medido con un instrumento que aprecia cm
= 5.3 102mm 10
RESULTADOS EXPERIMENTALES
RESULTADOS EXPERIMENTALES
El resultado de una medida no puede tener ms decimales
que el error
Medida (x) Error(e) Resultado (xe)
12.38 0.75 12.40.8
5.67x10-2 0.428x10-2 (5.70.4)10-2
925375 45 92540050
1.86x106 0.31x106 (1.90.3)x106
57.75 1.0 57.81.0
421605 790 421600800
345.2 3 3453 11
RESULTADOS EXPERIMENTALES
El resultado de una medida no puede tener ms decimales
que el error
Medida (x) Error(e) Resultado (xe)
124.3 12 12012
394976 245 395000250
6x109 0.47x109 (6.00.5)x109
87462 231 87500230
19.56437 0.013 19.5640.013
10.674 0.0878 10.670.09
23.463 0.165 23.460.17 12
EXPRESIN CORRECTA DE RESULTADOS
El nmero de cifras significativas del resultado de una
multiplicacin o divisin no debe ser mayor que el menor
nmero de cifras significativas de cualquiera de los factores
(1.14)(9.99x104)=11.3886x1041.14x105
12/(4.56x10-3)= 8.267349x1038.3x103
(5.6x10-5)(0.0000075)/(2.4x10-12)=175 180
63.25/(4.17x10-3)=15167.86 1.52x104
13
EXPRESIN CORRECTA DE RESULTADOS
El resultado de la suma o resta de dos nmeros carece
de cifras significativas ms all de la ltima cifra
decimal en que ambos nmeros originales tienen cifras
significativas
2.34x102+4.93=238.93239
27.6+5.99x102=626.6 627
138.2+27.153-11.74=153.613 153.6
(2.78x10-8)-(5.31x10-9)= (2.78x10-8)-(0.531x10-8)=
=2.249x10-8 2.25x10-8
14
CLCULO DE ERRORES EN MEDIDAS
DIRECTAS
e de cada medida
Sensibilidad del aparato utilizado
Instrumentos analgicos
15
CLCULO DE ERRORES EN MEDIDAS
DIRECTAS
e de cada medida
Instrumentos digitales Error debido a la precisin del aparato
(manual del aparato)
Error debido a las limitaciones de la salida en pantalla
Ejemplo
7.320.01V
(2.50.1)x10-3V
16
CLCULO DE ERRORES EN MEDIDAS
DIRECTAS
e de una medicin de la que se han realizado varias
medidas (1)Media aritmtica
(2)Se calcula el rango
(3)Se calcula el porcentaje de dispersin
minmax xxR
x
RT 100
n
x
n
xxxxx
n
in 1321 ........
17
CLCULO DE ERRORES EN MEDIDAS
DIRECTAS
Porcentaje de dispersin
0 T 2 % Bastan las tres medidas
realizadas
2 T 8 % Son necesarias 6 medidas
como mnimo
8 T 12 % Son necesarias 15 medidas
como mnimo
12T Son necesarias 50 medidas
como mnimo
18
CLCULO DE ERRORES EN MEDIDAS
DIRECTAS
e de una medicin de la que se han realizado
varias medidas
Hasta 6 medidas
Se asigna el mayor
n
i
in 1
1ee eD=R/4
19
CLCULO DE ERRORES EN MEDIDAS
DIRECTAS
e de una medicin de la que se han realizado
varias medidas
Distribucin normal
20
CLCULO DE ERRORES EN MEDIDAS
DIRECTAS
La desviacin tpica es ndice de la dispersin de
las medidas en torno al valor medio
n
xxi
2)(
21
CLCULO DE ERRORES EN MEDIDAS
DIRECTAS
e de una medicin de la que se han realizado
varias medidas
Ms de 6 Medidas Se asigna como error de la medicin el error cuadrtico
)1()1(
)( 2
nnn
xxic
e
22
CLCULO DE ERRORES EN MEDIDAS
DIRECTAS Ejemplo3.- Se mide con un tornillo micromtrico el espesor de
una chapa y se obtienen los siguientes resultados expresados en mm
l:7.05, 7.03, 7.04, 7.05, 7.04
Calculamos el valor medio
El error absoluto medio es
El error de dispersin es
El valor de la medida con su error es
El porcentaje de dispersin es T=0.28% . Es suficiente el nmero de medidas
mml 042.7
mm01.0e
mmD 005.0e
mml 01.004.7
23
CLCULO DE ERRORES EN
MEDIDAS DIRECTAS
Ejemplo 4.- Supongamos que disponemos de un cronmetro que aprecia dcimas de segundo, con el que hemos medido un tiempo, los valores obtenidos han sido:
t: 6.3s, 6.2s,6.4s,6.2s
Calculamos el valor medio
El error absoluto medio es
El error de dispersin es
El valor de la medida con su error es
El porcentaje de dispersin es T=3.2% . Seran necesarias 6 medidas como mnimo
st 275.6
s1.0e
sssR
D 05.04
2.64.6
4
e
st 1.03.6 24
CLCULO DE ERRORES EN
MEDIDAS DIRECTAS
Ejemplo 5.- Supongamos un ejemplo similar al anterior donde el tiempo se ha medido con un cronmetro, que aprecia dcimas de segundo, pero ahora los valores de tiempo estn ms dispersos
t: 5.5s, 5.7s, 6.2s, 6.5s
Calculamos el valor medio
El error absoluto medio es
El error de dispersin es
El valor de la medida con su error es
El porcentaje de dispersin es T=16.7%>12%. Seran necesarias 50 medidas como mnimo
st 975.5
s1.0e
sssR
D 25.04
5.55.6
4
e
st 25.097.5
25
CLCULO DE ERRORES EN
MEDIDAS DIRECTAS
Ejemplo 6 .-Supongamos que se obtienen los siguientes valores al
medir una resistencia, expresados en ohmios
R: 4.615,4.638,4.597,4.634,4.613,4.623,4.659,4.623
Calculamos el valor medio
Como se han realizado ms de 6 medidas, calculamos el error cuadrtico
As el valor de la resistencia y su error sera
26
625.4R
)1()1(
)( 2
nnn
xxic
e
007.07
01746.0
)1(nc
e
007.0625.4R
CLCULO DE ERRORES EN MEDIDAS INDIRECTAS
MTODO GENERAL
El error mximo de M
El error cuadrtico
....),,( zyxfM
dzz
fdy
y
fdx
x
fdM
zyxMz
f
y
f
x
feeee
.......
222
zyxC
z
f
y
f
x
feeee 27
CLCULO DE ERRORES EN MEDIDAS INDIRECTAS
Ejemplo7. Un cilindro tiene un dimetro D=8.500.02cm y una altura
h=0.0500.005cm. Determinar
(a)El volumen del cilindro con su error
(b)El cociente D/h con su correspondiente error
(a) El volumen del cilindro viene dado por:
hrhSV 2
hDhD
V
2
2
42
DhD
V2
4
667.050.8050.0
2
D
V
2
4D
h
V
75.5650.8
4
2
h
V
32 837.205.0)50.8(4
cmV
28
CLCULO DE ERRORES EN MEDIDAS INDIRECTAS
El error cuadrtico del volumen vendr dado por
El volumen del cilindro con su error es
322 284.0005.075.5602.0667.0 cmc e
3)28.084.2( cmV
29
22
hDc
h
V
D
Veee
CLCULO DE ERRORES EN MEDIDAS INDIRECTAS
El cociente es
El error cuadrtico del cociente D/h vendr dado por
As el error del cociente resulta
El valor del cociente con su error es
30
170050.0
50.8
h
DC
22
hDc
h
C
D
Ceee
hD
C 1
2h
D
h
C
2005.0
1
D
C
340005.0
5.82
h
C
17005.0340002.020 22 xxce
17170C
Ejemplo 8.- La velocidad con la que se propagan las ondas en una
cuerda se obtiene a partir de la ecuacin
Donde T es la tensin de la cuerda, y m su densidad lineal de masa. Una
cuerda tienen una densidad lineal de masa m=525g/m , y est sometida
a una tensin T=45N. Obtener la velocidad con la que se propagan las
ondas en esa cuerda con su error absoluto
Para calcular La velocidad con que se propagan las ondas en la cuerda
empleamos unidades del S.I.
31
CLCULO DE ERRORES EN MEDIDAS INDIRECTAS
m
Tv
smmkg
Nv /2582.9
)/(525.0
45
El error cuadrtico se obtiene a partir de la
ecuacin
Calculamos las derivadas parciales
El error cuadrtico ser
La velocidad con su error absoluto es
32
CLCULO DE ERRORES EN MEDIDAS INDIRECTAS
22
me
mee
v
T
vTc
mm
TT
v
2
1
mm
m T
Tv
22
1
10287.0
525.0
45525.02
1
T
v
8173.8
525.0
45525.0
45
2
1
2
m
v
smc /10325.0108173.8110287.0232 e
smv /)10.026.9(
CLCULO DE ERRORES EN MEDIDAS INDIRECTAS
Funciones de una nica variable
La magnitud y, cuyo valor queremos hallar depende
solamente de la magnitud x, mediante la relacin funcional
y=f(x). El error de y, cuando se conoce el error de x, viene
dado por la expresin
donde es el valor medio de la magnitud x
33
xxfy )('
x
CLCULO DE ERRORES EN MEDIDAS INDIRECTAS
Ejemplo 9. Supongamos que queremos medir el periodo T, de un
oscilador, es decir, el tiempo que tarda en efectuar una oscilacin
completa, y disponemos de un cronmetro, que aprecia centsimas
de segundo, 0.01s. Medimos el tiempo que tarda en realizar 20
oscilaciones, por ejemplo t=8.26s, obtener el periodo T, con su error
Dividiendo este tiempo entre 20, resulta T=0.413s, que es el periodo medio
Obtenemos para el error T=0.0005, por tanto podremos expresar la
medida como
Podemos aumentar la resolucin instrumental para medir T aumentando el
numero de oscilaciones en la medida directa de T, pero de esta forma
tambin se incrementa la probabilidad de cometer errores al contar el
nmero de oscilaciones.
Otro factor a tener en cuenta es que la amplitud del oscilador no
permanece constante, normalmente debido al amortiguamiento ir
disminuyendo hasta pararse.
20
t
N
tT
20
t
N
tT
sT 0005.04130.0
34
CLCULO DE ERRORES EN MEDIDAS INDIRECTAS
MTODO DE LOGARITMOS NEPERIANOS
.......cba zyxKM
......lnlnlnln ybxaKM
...y
dyb
x
dxa
K
dK
M
dM
...
y
yb
x
xa
K
K
M
M35
CLCULO DE ERRORES EN MEDIDAS INDIRECTAS
MTODO DE LOGARITMOS NEPERIANOS
MrMM ee
MM e
...... ryrxrKrM ba eeee
36
CLCULO DE ERRORES EN MEDIDAS INDIRECTAS
Ejemplo 10.- Una pelota que se mueve en lnea recta con velocidad
constante recorre una distancia d=2.357m durante un tiempo t=5.2s
Determinar la velocidad de la pelota con su error absoluto.
Se trata de un movimiento rectilneo y uniforme
Tomamos logaritmos neperianos
t
xv
t
xv lnln
txv lnlnln
smv /453269.02.5
357.2
37
CLCULO DE ERRORES EN MEDIDAS INDIRECTAS
Diferenciando la expresin anterior
x=2.3570.001m t=5.20.1s
t
dt
x
dx
v
dv
txv
txvrv
eeee
41054.1962.5
1.0
357.2
001.0 xrve
vrvv ee
smxv /109.83e
009.0453.0 v m/s 38
AJUSTE POR EL MTODO DE MNIMOS
CUADRADOS
Ajuste de funciones lineales
x x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
y y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8
x 1 3 4 6 8 9 11 14
y 1 2 4 4 5 7 8 9
39
AJUSTE POR EL MTODO DE MNIMOS
CUADRADOS
0
2
4
6
8
10
0 5 10 15
YY
X
40
AJUSTE POR EL MTODO DE MNIMOS
CUADRADOS
Se trata de encontrar la pendiente, m, y la
ordenada en el origen, b, de la recta de ajuste
0
2
4
6
8
10
0 5 10 15
YY
X
41
AJUSTE POR EL MTODO DE MNIMOS
CUADRADOS
0
2
4
6
8
10
0 5 10 15
YY
X
di
d2
P1 (x1,y1)
P2(x2,y2)
42
AJUSTE POR EL MTODO DE MNIMOS
CUADRADOS
C= di2 = (yi-mxi-b)
2
La suma de los cuadrados de las desviaciones ha
de ser mnima
0)(21
n
i iiibmxyx
m
C
0)(21
n
i iibmxy
b
C
43
AJUSTE POR EL MTODO DE MNIMOS
CUADRADOS
Sistema de ecuaciones
)(2 iiii yxxbxm
ii ynbxm
44
AJUSTE POR EL MTODO DE MNIMOS
CUADRADOS
Obtencin de m y b
22 xnx
yxnyxm
i
ii
22
2
xnx
yxxxyb
i
iii
ixn
x1 iy
ny
1
45
02
4
6
8
10
0 5 10 15
Y
X
y = m1 + m2 * M0
ErrorValue
0.458820.54545m1
0.0566920.63636m2
NA2.5455Chisq
NA0.97701R
AJUSTE POR EL MTODO DE MNIMOS
CUADRADOS
46
AJUSTE POR EL MTODO DE MNIMOS
CUADRADOS
Movimiento uniforme
d(m) 14 32 42 64 71 92 108
t(s) 1 2 3 4 5 6 7
tvd
47
AJUSTE POR EL MTODO DE MNIMOS
CUADRADOS
Movimiento uniforme
tvd
0
20
40
60
80
100
120
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Movimiento uniforme
d(m
)
t(s)
y = m1 + m2 * M0
ErrorValue
2.7618-1.1429m1
0.6175615.393m2
NA53.393Chisq
NA0.996R
6.04.15 v m/s
48
AJUSTE POR EL MTODO DE MNIMOS
CUADRADOS
Ley de Hooke
x(cm) 3.2 6.4 9.6 12.8 16.1 19.1 22.4 25.7
P(p) 10 20 30 40 50 60 70 80
xKF
49
AJUSTE POR EL MTODO DE MNIMOS
CUADRADOS
Ley de Hooke
0
20
40
60
80
100
0 5 10 15 20 25 30
P(p
ond)
Ax(cm)
y = m1 + m2 * M0
ErrorValue
0.163690.047399m1
0.0101193.119m2
NA0.26523Chisq
NA0.99997R
xKF
50
AJUSTE POR EL MTODO DE MNIMOS
CUADRADOS
Ecuaciones no lineales, reducibles a forma
lineal
d(m) 0 10 20 30 40 50
t(s) 0 1.63 2.33 2.83 3.31 3.79
2
2
1tad
Movimiento
uniformemente acelerado
51
AJUSTE POR EL MTODO DE MNIMOS
CUADRADOS
Movimiento uniformemente acelerado
-10
0
10
20
30
40
50
60
-5 0 5 10 15
d -t ^2
d(m
)
t2
y = m1 + m2 * M0
ErrorValue
0.700020.72459m1
0.0829763.5169m2
NA3.8879Chisq
NA0.99889R
2
2
1tad
17.004.7 a m/s2
52
AJUSTE POR EL MTODO DE MNIMOS
CUADRADOS
Movimiento uniformemente acelerado
-10
0
10
20
30
40
50
60
-1 0 1 2 3 4
d(m
)
t(s)
Y = M0 + M1*x + ... M8*x8 + M9*x
9
-0.1786M0
1.435M1
3.1665M2
0.99938R
53
AJUSTE POR EL MTODO DE MNIMOS
CUADRADOS
CVP
V(l) 0.890 1.013 1.187 1.454 1.944 3.179
P(Atm) 4.162 3.366 2.557 1.931 1.305 0.687
54
AJUSTE POR EL MTODO DE MNIMOS
CUADRADOS
Ajuste de funciones no lineales
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
Trasformacion Adiabatica
P(Atm)
P(A
tm)
V(l)
CVP
55
AJUSTE POR EL MTODO DE MNIMOS
CUADRADOS
Ecuaciones no lineales reducibles a
forma lineal
Transformacin Adiabtica
CVP
CVP lnlnln 56
AJUSTE POR EL MTODO DE MNIMOS
CUADRADOS
2
2.5
3
3.5
4
4.5
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
Transformacion Adiabatica
lnP
lnP
ln(V)
y = m1 + m2 * M0
ErrorValue
0.0212223.9058m1
0.037103-1.4042m2
NA0.006109Chisq
NA0.99861R
CVP lnlnln
=1.400.04
CVP lnlnln
bmxy
57