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Cálculo diferencial (arq)

Regla de la cadena

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REGLA DE LA CADENA

Regla generalizada de la potencia

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¿Cómo se puede derivar la siguiente función?23 )3( xy

Naturalmente, se puede efectuar el cuadrado del binomio…. y derivar la función resultante

96 36 xxy

Pero ahora, ¿cómo haríamos para derivar ????)3( 203 xy

Por supuesto, el problema no pasa por elevar el binomio a la potencia 20.

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Con el fin de hallar una regla para estos casos, analicemos el primer ejemplo. Podríamos conjeturar que la derivada de la función es23 )3( xy

)1(...............)3(2' 3 xy

Es decir, estamos considerando la función interior como si fuera una variable (u)

Calculando la derivada de la expresión desarrollada se obtiene96 36 xxy

)3(6

3)3(2

186'

32

23

25

xx

xx

xxy

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Se observa, que derivar con la regla de potencias no es suficiente cuando se tiene la potencia de una función, faltó el factor que es justamente la derivada de dicha función.

23x

Regla generalizada de la potenciaSuponga que g(x) es una función de x. Luego, para cualquier número real k,

)()]([)]([ 1 xgdxd

xgkxgdxd kk

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Ahora, se va a derivar . Hay tres pasos a seguir.

203 )3( xy

203 )3( x 1. Se bloquea la función )3( 3 xu

2. Se deriva la función externa 20)(u193

19

)3(20

)(20

x

u

3. Se multiplica por la derivada de la función interna u.

2193 3)3(20 xx 1932 )3(60 xx

El paso 3 por lo general se omite. OJO!!!!...no olvidarlo

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Ejemplo 1:Derivar 2/13)1()( xxf

3

2

12

3:Rptax

x

8

Ejemplo 2:Derivar 2232 )1()1( xxy

)13)(1(2 :Rpta 22 xxx

9

Ejemplo 3:Derivar 104 )7()5()( xxxf

)739()7()5(2 :Rpta 93 xxx

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Ejemplo 4:Derivar 4

13)(

xxxf

2)1(1

1-x3x :Rpta

4/3

x

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Regla de la cadenaCuando analizamos el ejemplo inicial, pudimos, a partir de , plantear:23 )3( xy

2

3

entonces

3

uy

xu

Esta última expresión se puede derivar respecto a u.

ududy 2

Pero nosotros deseamos hallar por lo que escribimos dx

dy

dxdu

dudy

dxdy

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Lo cual es cierto desde el punto de vista de las fracciones algebraicas, pero una derivada es el límite de una razón de cambio, no una fracción. Sin embargo, apliquemos la última expresión a nuestro problema.

)3(6

6

32entonces

32

32

2

2

2

xx

xudxdy

xudxdu

dudy

xdxduu

dudy

Y esto es correcto según la diapositiva 4

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Regla de la cadenaPor lo tanto, podemos generalizar la regla de la cadena para derivadas

etc....

entonces)})]({([ Sea

dxdk

dkdh

dhdg

dgdf

dxdy

xkhgfy

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Ejemplo 5:Derivar 12 3 xy

Solución: Hacemos

uuf

xxu

2)(

1)( 3

entonces )(ufy

escribimos

22/121 3xu

dxdu

dudf

dxdy

reemplazando u

12

33

2

x

xdxdy Rpta

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Tarea de Conciencia

• Ejercicios 3.5 (pág. 221)• 7; 9; 11; 13; 21; 23; 41; 47; 51; 57.