Post on 29-Dec-2015
FACULTAD DE INGENIERÍAS Y ARQUITECTURA
EscuelaProfesionaldeIngenieríaElectrónicayTelecomunicaciones
Mag.LuisMarcosDelzoVivas
CicloIII
Dirección Universitaria de Educación a Distancia
CálculoVectorialAvanzado
©UniversidadAlasPeruanasDirecciónUniversitariadeEducaciónaDistancia(DUED)CalleLosLirios144,SanIsidro.Lima‐PerúTeléf.(511)422‐1808http://dued.uap.edu.pedued@uap.edu.peImpresoenlostalleresgráficosdelaUniversidadAlasPeruanasAv.SanFelipe1109,JesúsMaría.Lima‐PerúTeléf.(511)266‐0195Derechos reservados. No está permitida la reproducción total o parcial de la obra porcualquiermediooprocedimiento,comprendidoslareprografía,eltratamientoinformáticoyelectrónicosinlaautorizacióndelaUniversidadAlasPeruanas.2011
CálculoVectorialAvanzado●Guíadidáctica
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1. Presentación de la Guía didáctica
2. Presentación del docente-tutor
3. Introducción a la asignatura
4. Objetivos/Competencia y capacidades
5. Requisitos
6. Contenidos
7. Fuente de información
8. Medios didácticos
9. Actividades
10. Evaluación
11. Orientaciones para el estudio
12. Orientaciones para las tutorías
Esquemadecontenidos
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Estimado alumno:
Reciba usted una cordial bienvenida de la Facultad de Ingenierías y Arquitectura de la
Universidad Alas Peruanas.
La Universidad Alas Peruanas presenta el modelo educativo de estudios a distancia,
en el cual el estudiante es el protagonista de su éxito.
Esta Guía didáctica es el material autoinstructivo que le orientará en el estudio de la
asignatura de Cálculo Vectorial Avanzado y cuyo fiel cumplimiento de sus
instrucciones permitirá culminar exitosamente su estudio.
Al utilizar la guía debe tener en cuenta las siguientes recomendaciones:
Lea detenidamente este documento y utilícelo en todo su proceso de estudio,
consúltelo cada vez que sea necesario.
En caso de buscar un tópico específico, no dude en vez el índice en la parte
inicial de esta guía, el mismo que le facilitará la rápida ubicación del tema o
aspecto a consultar.
Recuerde: cuenta con el apoyo de sus profesores en general, y docente o
tutora particular, para alcanzar los objetivos planteados en este curso y lograr
la aprobación del mismo.
Esperamos que usted tenga éxito en la tarea emprendida y le deseamos buena
1.PresentacióndelaGuíadidáctica
CálculoVectorialAvanzado●Guíadidáctica
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La Universidad Alas Peruanas, por intermedio de la Dirección Universitaria de
Educación a Distancia (DUED), tiene a bien presentarle al magíster Luis Marcos Delzo
Vivas quien ha elaborado el presente material didáctico de acuerdo a las
características de ésta modalidad educativa.
El profesor Delzo es licenciado y magister en Matemática Pura, sus estudios los hizo
en la Facultad de Ciencias Matemáticas de la Universidad Nacional Mayor de San
Marcos, de la cual también fue profesor asociado.
Actualmente, el profesor Delzo es docente de la Facultad de Ingenierías y Arquitectura
de la Universidad Alas Peruanas desde hace 11 años, tiene a su cargo los cursos de
Matemática II, Cálculo Vectorial Avanzado y Cálculo IV en la modalidad presencial.
El profesor Delzo está a su servicio siempre que sea requerido.
2.Presentacióndeldocente‐tutor
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Cálculo Vectorial Avanzado es un curso de tercer ciclo de la Carrera Profesional de
Ingeniería Electrónica y Telecomunicaciones, contiene temas básicos del cálculo
superior que todo ingeniero electrónico debe conocer.
Datos informativos:
Asignatura : Cálculo Vectorial Avanzado
Ciclo Académico : III Ciclo
Créditos : 04
Naturaleza : Obligatorio
Requisitos : Matemática Básica II
El curso proporciona al estudiante los conceptos matemáticos necesarios para que
éstos puedan continuar con los siguientes cursos de matemática y otros de la
especialidad que le requiera.
Como todo curso de matemática el curso teórico – práctico; en la parte teórica se
fundamenta los conceptos matemáticos y sus teoremas correspondientes, la parte
práctica básicamente consiste en resolver los problemas que se propone en cada
unidad didáctica.
El curso está organizado en cuatro unidades didácticas:
a. Unidad de Aprendizaje I
Sistema de Coordenadas e Integrales múltiples.
En esta unidad se estudian algunos sistemas de coordenadas diferentes de las
rectangulares y sus aplicaciones al cálculo de integrales dobles y triples.
3.Introduccióna laasignatura
CálculoVectorialAvanzado●Guíadidáctica
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b. Unidad de Aprendizaje II
Funciones Vectoriales y Curvas en el Plano y el Espacio
En esta unidad se estudian las curvas vía las funciones vectoriales de una
variable.
c. Unidad de Aprendizaje III
Campos Vectoriales e Integrales Curvilíneas
Los campos vectoriales y sus operadores diferenciales, las integrales
curvilíneas son los temas que se desarrollan en esta unidad.
d. Unidad de Aprendizaje IV
Integrales de Superficie, Teorema de Green, Teorema de Divergencia y
Teorema de Stokes
Estos son los temas fuertes del cálculo superior avanzado que se estudian en
esta unidad didáctica.
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Objetivo General
Generar en el estudiante aptitudes y habilidades para el razonamiento lógico y
capacidad de síntesis, abstracción y generalización a fin de que los conceptos
matemáticos aprendidos, los use en generar modelos aplicados a la electrónica o en la
investigación de algún área de su interés.
UNIDAD DIDÁCTICA
OBJETIVOS GENERALES Semana de
Estudio
Primera Dominar la transformación de un sistema de
coordenadas a otro y aplicarlos correctamente al cálculo de integrales múltiples.
1ra. y 2da.
Segunda Entender lo que son las funciones vectoriales y como éstas definen una curva en el plano y el
espacio. 3ra y 4ta.
Tercera
Entender lo que son los campos vectoriales y sus operadores diferenciales.
Entender lo que son las integrales curvilíneas y como éstas son generalizaciones de las integrales
definidas en un intervalo de reales.
5ta. y 6ta.
Cuarta
Entender el significado de los teoremas de Green, de la Divergencia y Stokes y como éstos relacionan
integrales curvilíneas, integrales dobles y triples.
7ma. y 8va.
4.Objetivos
CálculoVectorialAvanzado●Guíadidáctica
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En esta sección se detallan los requisitos mínimos que el alumno debe cumplir para
poder llevar el curso con relación al Plan de Estudios.
Haber aprobado el curso de Matemática Básica II.
En el aspecto académico:
Conocer el cálculo de derivadas e integrales de funciones de una y más
variables.
Dominar la gráfica de curvas en el plano y superficies en el espacio.
Conocer bien las operaciones vectoriales en el plano y en el espacio.
5.Requisitos
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A continuación les mostramos los contenidos distribuidos por unidades didácticas y
semanas de estudio.
UNIDAD DIDÁCTICA
TEMAS SEMANA DE ESTUDIOS
UNIDAD DE
APRENDIZAJE I
SISTEMA DE COORDENADAS E
INTEGRALES MÚLTIPLES
- Sistema de coordenadas polares - Transformación de coordenadas polares a rectangulares y viceversa - Gráfica de curvas en coordenadas polares - Sistema de coordenadas esféricas y cilíndricas - Transformaciones en el plano y en el espacio - Jacobiano de una transformación - Transformaciones de integrales múltiples - Aplicaciones físicas de las integrales múltiples
1ra. y 2da.
UNIDAD DE APRENDIZAJE II
FUNCIONES
VECTORIALES Y CURVAS EN EL PLANO
Y EL ESPACIO
- Funciones vectoriales - Límites, continuidad y derivada de funciones vectoriales - Curvas en el plano y el espacio - Ecuaciones paramétricas de curvas - Longitud de arco - Vectores tangente, normal y binormal - Curvatura y torsión - Vector desplazamiento y velocidad
3ra y 4ta.
EXAMEN PARCIAL 4ta.
UNIDAD DE APRENDIZAJE III
CAMPOS
VECTORIALES E INTEGRALES CURVILINEAS
- Campos vectoriales y escalares - Derivada de un campo vectorial - Gradiente, divergencia y rotacional de un campo vectorial - Integrales curvilíneas - Propiedades de las integrales curvilíneas - Independencia de trayectoria
5ta. y 6ta.
6.Contenidos
CálculoVectorialAvanzado●Guíadidáctica
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UNIDAD DE APRENDIZAJE IV
INTEGRALES DE
SUPERFICIES T. de Green
T. de la Divergencia T. de Stokes
- Curva simple cerrada y región simple conexa - Teorema de Green - Superficies - Integral de superficie - Integral de flujo - Teorema de la Divergencia - Teorema de Stokes
7ma. y 8va.
EXAMEN FINAL 8va.
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A continuación se detalla las fuentes de información que usted podrá usar:
a. Biblografía Básica
Es el material de estudio obligatorio. Su lectura y comprensión es fundamental
para lograr los objetivos del curso.
Nuestro Texto
b. Bibliografía Complementaria
1. W. Swokowsky Earl (1980).Cálculo con Geometría Analítica. Segunda
Edición. Grupo Editorial Iberoamérica. México D.F.
2. Leithold Louis (2009). El Cálculo. Séptima Edición. Hoxford – Harla.
México D.F.
3. Mitacc Meza Máximo (2005). Cálculo III. Cuarta Edición. Editorial Thales
S.R.L. Lima.
4. Kreyzig Erwin (2003). Matemática Avanzada para Ingenieros: T.I.
Tercera Edición. Editorial Limusa Wiley. México D.F.
5. Larson Rom (2006). Cálculo de Varias Variables. Editorial McGraw–Hill.
México D.F.
c. Bibliografía Complementaria
Direcciones de la web, que brindan información adicional, incluidos
ejemplos resueltos y propuestos, que podrán ayudar a la mejor
comprensión del curso para verlos, buscarlos en el campo virtual.
7.Fuentesdeinformación
CálculoVectorialAvanzado●Guíadidáctica
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Pasaremos a especificar aquellos medios que utilizaremos en el desarrollo del curso.
1. IMPRESOS
- La Guía didáctica
Requiere de la lectura obligatoria por parte de usted para iniciar adecuadamente
su estudio. Recuerde que deberá consultarla cada vez que tenga dudas sobre
algún ítem del curso.
- Las unidades didácticas
Son los contenidos del curso. Las unidades didácticas desarrollan los temas del
sílabo del curso, cuyo conocimiento es obligatorio. Las unidades didácticas las
encontrará en el presente texto.
2. CAMPUS VIRTUAL
Es el espacio disponible en Internet, adonde usted va a ingresar con un usuario y
clave que le serán entregados en el momento de su matrícula, en la Coordinación de
su Unidad Descentralizada.
En el Campus Virtual encontrará las Aulas Virtuales (una por cada curso en que se
haya matriculado).
8.Mediosdidácticos
Ruta Web del Campus Virtual: http://dued.up.edu.pe
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En cada aula virtual usted visualizará:
(NOMBRE Y CÓDIGO DEL CURSO) CICLO 20XX-X
Docente:
Correo electrónico (e-mail):
Orientaciones generales del curso
En esta opción se descargará un archivo con información importante que lo
ayudará en el desempeño del curso.
Cronograma del curso
Aquí tiene usted el Cronograma de evaluaciones (examen parcial, final,
sustitutorio y trabajo académico) y el horario del curso.
Visualizar tutorías grabadas
En esta opción podrá visualizar las tutorías grabadas del curso, previa
ubicación de la fecha de la tutoría programada.
Ingrese al Foro
En esta sección se realizarán los debates académicos definidos para el curso: el
docente planteará temas a ser discutidos, con la finalidad de profundizar o
CálculoVectorialAvanzado●Guíadidáctica
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aclarar temas de la asignatura. Usted puede participar del foro cuando lo
requiera, además, planteando sus dudas o comentando sobre lo aprendido.
Anotaciones
Es esta sección, el alumno registrará dos tipos de anotaciones:
privadas, a manera de recordatorio, asignándoles prioridades (alta,
normal o baja)
al coordinador, consignando sugerencias, reclamos o incidencias a
manera de reporte al coordinador de carrera.
Sala de conferencias
Es el espacio en el cual usted encontrará al tutor para recibir su asesoramiento
en línea, para intercambiar opiniones, preguntas y respuestas acerca del curso.
Los horarios de tutoría están especificados en esta sección. Tenga en cuenta
que a esta sala ingresan de todos los participantes. Recuerde, además, que:
1. Para utilizar adecuadamente esta sala debe tener conectados audífonos o
parlantes y micrófonos.
2. Debe instalar con anticipación el programa de la Sala de conferencia.
3. Debe ingresar a la sala identificándose con su nombre completo (nombres y
apellidos).
Además, se recomienda:
1. Prestar atención a las instrucciones durante la charla para mantener el orden
dentro de la sala.
2. Leer el manual de uso de la sala.
Biblioteca virtual
Con el objetivo de brindar formación integral a la comunidad universitaria, en
esta sección se proporciona acceso a bibliotecas virtuales de reconocido
prestigio.
El procedimiento de acceso y adecuada comunicación a través de la Sala de conferencias seencuentradetalladoenelapartadodelaGuíadidácticatitulado«Orientacionesparalastutorías».
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Compañeros del curso
Este icono muestra la lista de alumnos matriculados en el curso, sus fotos y
correos, para que usted pueda relacionarse con ellos y realizar también trabajos
grupales.
Descargar examen
Para descargar el examen, parcial, final o sustitutorio, a desarrollar.
Envío de exámenes
Para enviar el examen previamente comprimido.
Enviar trabajo académico
Se emplea para enviar los trabajos académicos en los plazos establecidos.
Visualizar trabajos enviados
En esta opción puede asegurarse de que su trabajo fue correctamente enviado.
Visualizar notas
Con este enlace puede ir viendo las calificaciones del curso.
Material del curso
En esta opción encontrará la presentación del docente, ayudas y enlaces
interesantes que ingrese el docente.
En esta sección usted contará con:
Presentación del docente Es la presentación que el docente hace de su asignatura.
Modelo de examen
Es el espacio desde el cual usted podrá descargar un modelo de examen,
de tal forma que pueda prepararse adecuadamente para su evaluación. El
modelo de examen, como bien dice su nombre, es una demostración de la
forma en que vendrá elaborado el examen original.
CálculoVectorialAvanzado●Guíadidáctica
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Trabajo académico
Es el espacio en el Aula Virtual en el que usted podrá descargar el trabajo
académico obligatorio que necesita desarrollar y entregar en el plazo que
figura en el «Calendario de evaluación». No olvide descargarla para que
pueda elaborarla.
Ayudas En este espacio usted podrá descargar o compartir las ayudas que se
colocarán cada semana de estudio para reforzar o complementar sus
conocimientos; ellos son parte de las evaluaciones del presente curso.
También usted puede descargar los ejercicios que se resuelven en cada
tutoría o cualquier ejercicio de consulta formulada por los participantes.
Autoevaluaciones
Aquí el docente colocará preguntas, problemas o ejercicios que usted
desarrollará para asegurarse que su nivel de comprensión de los temas
desarrollados cada semana es adecuado.
Enlaces interesantes
Es el espacio en el que el docente colocará rutas o enlaces a páginas web,
con temas de la semana.
Además:
En la parte inferior de cada aula virtual verá:
Tiene un cuadro con los nombres de todas las autoridades de su Facultad.
Para que usted pueda realizar sus pedidos.
Con todos los documentos que usted deberá conocer para cumplir con sus
obligaciones, ejercer sus derechos, cumplir con las normas de su Facultad, así
como efectuar trámites siguiendo las instancias apropiadas, para evitarse
inconvenientes, frustraciones o demoras
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Con todos los programas que usted deberá trabajar:
3. CORREO ELECTRÓNICO
Es el medio de comunicación que utilizará para comunicarse con el docente
planteándole sus dudas o comentarios al respecto de los temas del curso. Si usted
tiene algún inconveniente con sus notas, trátelo a través de este medio; la Universidad
le ha proporcionado un correo electrónico que tiene la siguiente estructura:
donde «código» es el número de matrícula que la Universidad le asignó.
Ejemplo:
La clave debe solicitarla en la Coordinación de su Unidad Descentralizada luego de
haber efectuado su pago de matrícula y primera cuota, y haberse matriculado en la
coordinación de la Escuela.
código @alu.uap.edu.pe seguido de
2007145862@alu.uap.edu.pe
CálculoVectorialAvanzado●Guíadidáctica
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a. Trabajo académico
Su cumplimiento en cuanto al desarrollo adecuado y entrega oportuna es de
carácter obligatorio, es decir según lo programado en el Aula Virtual; usted debe
desarrollar y los detalles pertinentes que usted necesitará conocer para
realizarla, teniendo en cuenta la fecha límite para la presentación, pudiendo
antes del plazo, consultar con el docente.
Recuerde que el trabajo académico solamente la encontrará en su Aula Virtual.
9.Actividades
IMPORTANTE
Estimado alumno: Usted remitirá el trabajo académico (actividad obligatoria) a más tardar en la sétima semana de estudios:
Publicándolo en el Campus virtual: el alumno ingresa su trabajo académico en el aula virtual del curso, usando el enlace o link:
Una vez que haya ingresado a la opción señalada en la imagen, siga las indicaciones.
Recuerde verificar que el trabajo académico se ha publicado correctamente a través de la opción:
Al publicar su trabajo debe considerar lo siguiente: o El archivo que envía debe estar comprimido (formato WinZip ) y no ser mayor a 4 Mb. o Debe tener como nombre la siguiente estructura:
[Código de alumno].zip Por ejemplo: 20032001549.zip
No se aceptará el trabajo académico después de la fecha límite o entregado mediante cualquier vía diferente de la aquí mencionada.
Las actividades que se encuentran en el texto servirán para su autoaprendizaje, mas no para la calificación, por lo que no deberán ser remitidas. Usted solo deberá realizar y remitir el trabajo académico obligatorio que se le indica en el Aula virtual.
Evite las sanciones académicas por plagio: Internet deber ser únicamente una fuente de
consulta.
i
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b. Actividades sugeridas y autoevaluaciones
Las actividades sugeridas y las autoevaluaciones las encontrará en cada Unidad
Didáctica así como el correspondiente solucionario. .
En este caso no hay entrega de trabajos aplicativos, pero estamos seguros de
que los ejercicios propuestos por resolver afianzarán lo aprendido y ayudarán de
buena forma a conseguir el éxito que se busca.
CálculoVectorialAvanzado●Guíadidáctica
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La evaluación valora y mide los logros del aprendizaje en función de los objetivos
propuestos en el curso. Para ello, se tiene en cuenta una evaluación esencialmente
formativa, que permita formar juicio o calificación y que nos lleve a tomar decisiones
de mejora.
El procedimiento de evaluación está basado en la aplicación de pruebas y la
presentación del Trabajo Académico Obligatorio.
Los instrumentos de evaluación son:
o Un (01) Examen Parcial y un (01) Examen Final, los que se rendirán en forma
virtual en la 4.ª y 8.ª semanas, respectivamente; de acuerdo al cronograma del
curso (disponible en el campus virtual).
Los exámenes serán de tipo mixto, incluyendo aspectos teóricos y prácticos. En la
elaboración de la prueba se incluirán ítems de Verdadero-Falso, completar la frase
y de solución de casos que corresponderán propiamente al examen. El puntaje
asignado a cada pregunta será de acuerdo a la importancia y grado de dificultad, y
su especificación estará indicada en la hoja de preguntas.
Los exámenes serán programados en las fechas indicadas en el campus virtual,
para ser descargados en las fechas indicadas en el cronograma del curso.
o Un (01) Examen sustitutorio. El alumno podrá rendir un Examen Sustitutorio, el que
será único, abarcará todo el curso y cuya nota reemplazará al examen de más baja
nota o a aquel en el cual no haya sido evaluado. Este examen se aplicará en la
decimoctava semana
Procedimiento para descargar y enviar el examen
1. Ingresar al curso según la programación de evaluación 2. Hacer clic en la opción descargar examen
3. Desarrollar el examen y guardarlo con el nombre apellido_nombre 4. Enviar el examen a través del campus con la opción envió de examen. El
archivo debe estar previamente comprimido para adjuntar.
10.Evaluación
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5. Si la opción no está habilitada es porque no está al día en sus pagos 6. Si ha cancelado en el banco y aun se muestra la opción deshabilitada enviar su
examen al correo del docente adjuntando el boucher escaneado. Indicar en el correo los datos: semestre, sección, curso, UDED, código y nombre de alumno. NOTA: solo serán corregidos aquellos que adjunte el Boucher escaneado.
Forma de calificación
Las pruebas se calificarán teniendo en cuenta el planteamiento de la pregunta o caso,
el criterio utilizado y la respuesta e interpretación de ser el caso. La escala de
evaluación es de 0 a 20.
La autoevaluación al final de cada unidad, por los objetivos que persigue, no recibe
puntuación en el promedio final.
El Trabajo académico (TA) es la actividad obligatoria presentada por el alumno.
Para el Promedio Final (PF), el porcentaje de criterios evaluativos es el siguiente:
Donde: PF= Promedio Final. TA= Trabajo Académico. EP= Examen Parcial. EF= Examen Final.
Inasistencias a exámenes, el alumno que no rinda alguno de los exámenes parcial o
final podrá rendir el examen sustitutorio para reemplazar dicha nota.
Observación a evaluaciones, todo estudiante podrá presentar, previa coordinación
con su tutor, observaciones a alguna de sus calificaciones dentro de los 07 días
siguientes a la publicación de los resultados. Para ello, utilizará preferentemente el e-
mail; de no ser posible lo hará por correo postal. La respuesta a su solicitud es
inapelable.
PF=30%TA+35%EP+35%EF
CálculoVectorialAvanzado●Guíadidáctica
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Para organizar el desarrollo académico del curso mediante el estudio de las unidades
temáticas, es necesario que el alumno tenga presente lo siguiente:
Decida su horario de estudios
Realice el estudio y análisis del material didáctico y textos bibliográficos
Es necesario recordar que estos materiales son un medio fundamental para el
aprendizaje, de acuerdo a una organizada planificación personal de estudio
usted podrá aprovechar al máximo la información que en ellos se encuentra,
fundamental para alcanzar los objetivos propuestos.
Contará con un glosario de términos que ayudará en la comprensión y
explicación específica en algunos casos al tratar un nuevo tema.
11.Orientacionesparaelestudio
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Con relación a las tutorías telemáticas
Es el espacio virtual donde el docente resolverá las inquietudes y profundizará los
conocimientos que usted necesita adquirir o dominar en la presente asignatura.
La comunicación con el docente se realizará a través de la sala de conversación, en
los horarios que usted encontrará en el campus virtual.
Antes de comunicarse con el docente a través de la sala de conversación, usted
deberá preparar:
Las preguntas de los temas que usted considere de difícil comprensión.
Comentarios al docente para profundizar algunos conocimientos o para
consultar los conocimientos que usted considere conveniente.
Se le recuerda que debe tener presente estas consideraciones cuando acuda a la
tutoría telemática:
1. Haga primero el intento de solucionar sus inquietudes estudiando con seriedad,
consultando la bibliografía pertinente e intercambiando opiniones con sus
compañeros, etc. Si después de ello persiste su duda, haga preguntas
específicas y no del tema en general. De lo contrario, indicaría que no está
haciendo su mejor esfuerzo para aprender.
2. Formule sus preguntas de forma concreta y precisa. Esto ayudará a que el tutor
esté en mejores condiciones para atenderlo y evitar confusiones innecesarias.
3. No haga preguntas rebuscadas o que no sean pertinentes al tema. El tiempo es
un recurso valioso para todos.
4. Respete el horario establecido para la tutoría. Si usted estudia a último minuto, lo
más probable es que no podamos atender sus requerimientos de la misma
forma. Por eso, se le sugiere elaborar y cumplir un horario de actividades con la
finalidad de que esto lo ayude a organizarse en su estudio, prácticas y
evaluaciones.
12.Orientacionesparalastutorías
CálculoVectorialAvanzado●Guíadidáctica
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5. Como estudiante de la carrera de Ingeniería de Sistemas e Informática debe
contar con las herramientas y equipos para usar en las tutorías y evaluaciones:
PC
Internet
Audífonos/parlantes y micrófono
Cámara Web
Convenciones
El tutor estará esperando su participación en la Sala de Conferencia, según el horario
de tutoría virtual del presente curso.
A continuación se muestran los acuerdos para lograr una mejor comunicación a través
de la Sala de Conferencia:
Si usted desea formular preguntas, en sala de conferencia debe tener audífonos o
parlantes y micrófono. Haga clic en el icono mano para que el docente le
autorice a plantear una interrogante o su comentario. Automáticamente se
visualizará el orden de las participaciones de cada alumno(a).
Si usted está escribiendo un mensaje en la sala de chat de la Sala de conferencia
y no tiene la posibilidad de escribir más caracteres, coloque al final tres puntos
suspensivos (…) y envíe este mensaje a la sala de texto, esta señal le indicará a
todos los participantes que usted no ha culminado con su participación, sino que
seguirá escribiendo otro nuevo mensaje; por ende, todos estará a la expectativa
de lo que usted siga escribiendo.
Utilice la Sala de conferencia para temas académicos, si usted tiene alguna
pregunta sobre su calificación, haga su consulta a través del correo electrónico al
tutor de la asignatura.
¡Éxitos!
El libro de texto resulta bueno e interesante, porque conjuga la experiencia y conocimientos del docente sobre la materia y la compilación de información de diversas fuentes (bibliográficas y/o electrónicas) cuidadosamente seleccionadas y citadas. Se hace la presente aclaración a fin de deslindar responsabilidades por plagio literario.
CálculoVectorialAvanzado●UnidaddidácticaI
5
I Unidad didáctica:
Sistema de Coordenadas e
Integrales Múltiples
1.1. Sistema de coordenadas polares
1.2. Transformación de coordenadas rectangulares a polares
y viceversa
1.3. Gráfica de curvas en coordenadas polares
1.4. Sistema de coordenadas en el espacio
1.5. Coordenadas esféricas
1.6. Coordenadas cilíndricas
1.7. Transformaciones en el plano y en el espacio.
Coordenadas curvilíneas
1.8. Jacobiano de una transformación
1.9. Transformaciones de integrales múltiples
1.10. Aplicaciones físicas de las integrales múltiples
Esquemadecontenidos
Escue
6
elaProfesional
1
2
3
deIngenieríaE
1. Operar e
rectangu
2. Operar e
rectangu
vicevers
3. Domina
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alternati
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eficienteme
ulares o pol
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na
CálculoVectorialAvanzado●UnidaddidácticaI
7
Un sistema de coordenadas es un sistema de referencias que permite ubicar puntos
en el plano y el espacio; en particular, un sistema de coordenadas cartesianas o
rectangulares en el plano consiste en dos rectas mutuamente perpendiculares donde
un punto queda ubicada por sus distancias dirigidas a éstas rectas; en el espacio un
sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares consiste en tres planos
mutuamente perpendiculares donde un punto queda determinado por sus distancias a
estos planos.
La geometría analítica es justamente el estudio de la geometría clásica euclideana
usando métodos algebraicos donde la relación entre algebra y geometría, es la
correspondencia entre punto y par ordenado, terna ordenada de números reales
(coordenadas rectangulares del punto).
Casi toda la geometría analítica que hemos estudiado se hace en coordenadas
rectangulares; sin embargo, hay curvas y superficies que en coordenadas
rectangulares es muy difícil estudiarle, en estos casos es preferible usar otros
sistemas de coordenadas como las coordenadas polares en el plano y las
coordenadas esféricas y cilíndricas en el espacio.
Introducción
Escue
8
1.1.
Uni
dad
elaProfesional
SISTEMA
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el par or
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CálculoVectorialAvanzado●UnidaddidácticaI
9
Como r OP es longitud dirigida, entonces el punto ( , )P r se
considera como el punto simétrico con respecto al polo del punto ( , )P r , tal
como se muestra en la Fig. 2.
1.2. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS RECTANGULARES A POLARES Y
VICEVERSA
Sean ( , )x y y ( , )r las coordenadas rectangulares y polares de un pto.
P respectivamente; si el origen de coordenadas y el polo, el semieje positivo X
y el eje polar coinciden tal como se muestra en la Figura 3, entonces del gráfico
se deduce el siguiente teorema.
Teorema 1
De lo anterior las relaciones de transformación se puede resumir en lo
siguiente:
a. cosx r , y r sen , 2 2 2x y r y
ytg
x
Escue
10
Ejerc
Ubiq
difere
Solu
En e
elaProfesional
b. r
En
( , )F r
esta ecua
A
coordenad
cicio 1
ue el punto
ente de la d
ción
ste problem
deIngenieríaE
2 2x y ,
coordenad
0 y r
ción la llam
continuac
das rectang
o 2,3
P
e
dada.
ma 2r y
ElectrónicayT
sen
as polares
( )f si es
maremos ecu
ción reso
gulares a po
EJERCI
en el plano
603
Telecomunicaci
2 2
y
x y, c
s la ecuac
s posible d
uación pola
lveremos
olares y vice
CIOS RESU
polar y mo
º lo cual se
iones
cosx
ción de un
espejar r d
ar.
ejercicios
eversa.
UELTOS
strar dos co
e muestra en
2 2
x
x y ,
na curva e
de la ecua
de tran
oordenadas
n la Figura
yarctg
x
es de la f
ación anter
nsformación
s polares pa
4.
forma
rior, a
n de
ara P
CálculoVectorialAvanzado●UnidaddidácticaI
11
también 2r y º5 3003
son coordenadas polares del punto P, lo cual se
muestra en la Figura 5 ; como los ángulos y 2n , n Z son coterminales,
entonces ( 2 , 2 )n son también coordenadas polares de P ; de lo anterior
podemos observar que el punto P tiene infinitas coordenadas polares.
Ejercicio 2
Ubique el punto 3 , 23
P
en el plano polar y mostrar dos coordenadas polares
diferentes de la dada para el punto P.
Solución
Ubicamos el punto 3 , 23
P
en el plano polar, el punto 3 , 2
3P
es su
simétrico con respecto al polo tal de P’ como se muestra en la Figura 6.
Escue
12
tamb
se m
Ejerc
Halle
polar
Solu
Com
tiene
luego
elaProfesional
bién 3r ,
muestra en la
cicio 3
e las coord
res.
ción
mo 2r y
e: ( 2)x
( 2)y
o 1 , 3
deIngenieríaE
3
y r
a Figura 7.
denadas re
23
, e
cos 2 (3
) 2 (3
sen
son las coo
ElectrónicayT
3 , 5
ctangulares
entonces d
12)
2
32)
2
ordenadas r
Telecomunicaci
3
son coor
s del punto
de acuerdo
1
3
rectangulare
iones
rdenadas p
o 2 , 2P
a las fórm
es del punto
polares del p
3
dado e
mulas de tra
o P
punto P tal
en coorden
ansformació
como
nadas
ón se
CálculoVectorialAvanzado●UnidaddidácticaI
13
Ejercicio 4
Halle las coordenadas polares del punto 2 3 , 2P dado en coordenadas
rectangulares.
Solución
Como 2 3x e 2y
entonces: 222 3 2 4r
como 2 1
2 3 3tg
y C
entonces: º5 1506
luego las coordenadas polares del punto P son 4,56
Ejercicio 5
Halle la ecuación polar de la recta:
: 0x y L
Solución
Como cosx r e y rsen , entonces cos 0r rsen
simplificando y reduciendo obtenemos 1tg de donde 34
luego la ecuación polar de la recta dada es 34
Escue
14
Ejerc
Halle
Solu
Reem
cons
tanto
pued
exist
Ejerc
Halle
Solu
Com
polar
elaProfesional
cicio 6
e la ecuació
:C x
ción
mplazando
2r
siderándola
r
o (1) como (
de observar
tencia de r
cicio 7
e la ecuació
ción
mo 2 2r x
r de la circu
deIngenieríaE
ón polar de
2 2 4x y x
cosx r
4 cos 6r
como una e
(4cos 6s
(2) con un s
r que r f
( )f .
ón polar de
2y , entonc
unferencia C
ElectrónicayT
la circunfer
6 4 0x y
e y rsen
6 4rsen
ecuación de
) (4
2
sen
solo signo e
( )f , el teo
la circunfer
ces 2 4r d
C.
Telecomunicaci
encia:
0
en la ec
0
e segundo g
4cos 6sen
es la ecuac
rema de la
encia: :C x
de donde r
iones
cuación ten
(
grado en r
2) 16n
ción polar d
“función im
2 2 4x y
2r o r
emos:
(1)
tenemos:
(2)
e la circunf
mplícita” en
2 , ambas
ferencia C d
(1) garant
son la ecu
de (2)
iza la
ación
CálculoVectorialAvanzado●UnidaddidácticaI
15
Ejercicio 8
Halle la ecuación polar de la circunferencia: 2 2 2 4 0C x y x y
Solución
Como cosx r e y rsen , remplazando en la ecuación dada se tiene
2 2 cos 4 0r r rsen de donde 2cos 4r sen , ésta es la ecuación polar de la
circunferencia C.
Ejercicio 9
Halle la ecuación polar de la hipérbola: 2 2: 16H x y
Solución
Reemplazando cosx r e y rsen en la ecuación tenemos:
2 2 2 2cos 16r r sen
ó 2 2cos 2 16r (1)
despejando
r : 4 sec 2r (2)
tanto (1) como (2) con un solo signo es la ecuación polar de la hipérbola dada.
Ejercicio 10
Halle la ecuación rectangular de la curva: : 4C r sen
Solución
Como
2 2r x y y 2 2
ysen
x y
Escue
16
enton
simp
Com
(0,2)
Ejerc
Halle
Solu
Com
enton
elimi
elaProfesional
nces:
2x
plificando se
2x
ó x
mo podemos
) y radio 2.
cicio 11
e la ecuació
:C r
ción
mo
r
nces:
2x
nando los r
2(x
deIngenieríaE
2 2 4y
e tiene
2 4y y
2 2( 2)x y
s observar,
ón rectangu
2 (1 cosr
2 2x y y
2 2 2y
radicales ele
2 22 )y x
ElectrónicayT
2 2
y
x y
2 4
la ecuación
lar de la cu
s )
y cos
2 22
x
x y
evando al c
2 24(x y
Telecomunicaci
n dada repr
rva:
2 2
x
x y
2
cuadrado y
)
iones
resenta a u
simplificand
na circunfe
do se tiene:
erencia de c
centro
CálculoVectorialAvanzado●UnidaddidácticaI
17
Como puede observarse, ésta ecuación es de cuarto grado en x e y , es muy difícil
estudiarla en coordenadas rectangulares por eso es preferible hacerlo exclusivamente
en coordenadas polares. Esta curva llamada cadioide la veremos luego.
1.3. GRÁFICA DE CURVAS EN COORDENADAS POLARES
Sea la curva : ( )C r f , para graficar C se siguen los siguientes pasos:
1. Intersecciones con los ejes polar y de 90
a. Con el eje polar, resolver la ecuación ( ),r f n n Z
Y obtener los valores de r
b. Con el eje de 90, resolver la ecuación 2 1 ,2
r f n n Z
Y obtener los valores de r
2. Simetrías
a. Si la ecuación polar ( )r f no se altera al reemplazar por
hay simetría con respecto al eje polar.
b. Si la ecuación polar ( )r f no se altera al reemplazar por
hay simetría con respecto al eje 90.
c. Si la ecuación polar ( )r f no se altera al reemplazar r por r hay
simetría con respecto al polo.
Escue
18
Ejerc
Grafi
Solu
Sigu
1. Int
a
b
elaProfesional
cicio 12
ique el card
: 2C r
ción
iendo los pa
terseccione
a. Con el e
si 0 ,
si
para mú
luego, la
b. Con el e
si 2
si 32
en valor
intercepc
deIngenieríaE
diode:
(1 cos )
asos dados
es:
eje polar
entonces r
, entonces
ltiplos enter
a curva inter
eje de 90
, entonces
2
, entonce
res múltiplo
ciones con
ElectrónicayT
EJERCI
s para grafic
2(1 cosr
2(1 cor
ros de se
rcepta al eje
2 1 cor
es 2 1r
os impares
el eje polar
Telecomunicaci
CIOS RESU
car curvas e
s0) 4 ,
os ) 0
e repite los
e polar en lo
os 22
,
cos3 22
de 2
se o
r son los pu
iones
UELTOS
en coordena
valores de
os puntos (
2
obtiene el m
ntos 2,2
adas polare
r obtenido
(0, ) y (4,0
mismo valo
y 2,32
es se tiene:
os
0)
or de r lueg
go las
CálculoVectorialAvanzado●UnidaddidácticaI
19
2. Simetrías
a. Si , entonces 2(1 cos( ))r
2(1 cos )r
como la ecuación no se altera, hay simetría con respecto al eje polar.
b. Si , entonces 2 1 cos( )r
2 1 cosr
como la ecuación se altera, no hay simetría con respecto al eje de 90.
c. Si r r , entonces 2(1 cos )r
en este caso la ecuación también se altera, luego no hay simetría con respecto
al polo.
3. Hallando algunos valores de r y
Llevando los valores de y r al plano polar se obtiene la gráfica del cardiode
2(4 cos )r .
Escue
20
En
po
Pa
pa
cu
co
1.4.
elaProfesional
n la obtenc
or eso los v
ara termina
ara graficar
urva es co
omplica com
SISTEMA
Com
coordenad
mutuamen
mutuamen
eje X y e
( , , )x y z qu
en la Figu
deIngenieríaE
ción del grá
valores de
ar esta secc
rla es prefer
onocida se
mo en el cas
A DE COOR
mo sabemo
das rectang
nte perpend
nte perpend
el eje Y; a
ue son sus
ra 9.
x
C
ElectrónicayT
fico se ha c
se han co
ción, si una
rible primero
grafica co
so de cardio
RDENADAS
os para fija
gulares se
diculares y q
diculares; u
todo punto
coordenad
z
x
z
FIG. 9
Telecomunicaci
considerado
onsiderado
curva está
o transform
omo en ge
oide, se gra
EN EL ES
ar la posic
considera
que se cort
na vertical,
o P del esp
as rectangu
y
A
P
9
iones
o la simetrí
de 0 a .
á dada por s
marla a coord
eometría an
afica en coo
PACIO
ción de un
sus distanc
an en pares
el eje z y la
pacio le co
ulares y vice
B
ía con resp
su ecuación
denadas re
nalítica; si
ordenadas p
n punto en
cias dirigida
s en tres ej
as otras dos
rresponde
eversa tal c
( ,
( ,
( ,
x d P B
y d P
z d P A
y
ecto al eje
n polar r
ectangulares
la ecuació
polares.
n el espaci
as a tres p
jes coorden
s horizontal
una única
como se mu
)
)
)
B
C
A
polar
( )f
s si la
ón se
io en
lanos
nados
es: el
terna
uestra
CálculoVectorialAvanzado●UnidaddidácticaI
21
En general, una ecuación en las variables , ,x y z representa una
superficie; si la ecuación es de segundo grado estas superficies se llaman
superficies cuadráticas.
A continuación estudiaremos dos sistemas de coordenadas en el
espacio: la coordenada esférica y cilíndrica, dada su importancia en el estudio de
algunas superficies y en el cálculo de integrales triples como veremos más
adelante.
1.5. COORDENADAS ESFÉRICAS
Sea la esfera 2 2 2 2: x y z r con centro en el origen de coordenadas
y radio r , si ( , , )P x y z es un punto cualquiera de la esfera en el primer octante
y '( , , )P x y z su proyección sobre el plano XY tal como se muestra en la Figura
10, entonces el punto P puede también ubicarse en términos de los números
,r y donde r OP es la distancia del origen de coordenadas al punto P,
es el ángulo que determina el rayo OP con el semieje positivo Z como lado
inicial y como en coordenadas polares, la terna ( , , )r son las coordenadas
esféricas del punto P.
Escue
22
elaProfesional
Observan
x
como
'OP
x
lo anterior
Teorema 2
Las coord
un punto P
a. x
b. r
do
deIngenieríaE
do el gráfic
'cosOP ,
' rsen , e
cosrsen
r lo resumim
2
denadas rec
P del espac
cosrsen
2 2x y
nde 0,r
x
ElectrónicayT
o vemos qu
'y OP sen
entonces
, y r se
mos en el si
ctangulares
cio, están re
s , y r s
2z , ar
0
x
z
A
F
z
C
O
Telecomunicaci
ue
n y z r
n sen ,
guiente teo
( , , )x y z y
elacionadas
sen sen ,
yrctg
x,
0y
y
z
FIG. 10
z
C ’
O
iones
cosr
cosz r
orema.
las coorde
s por las fór
, cosz r
arccosx
2
B
P
P ’
nadas esfé
mulas:
2 2 2
x
x y z
ricas ( , ,r
y
) de
CálculoVectorialAvanzado●UnidaddidácticaI
23
1.6. COORDENADAS CILÍNDRICAS
Sea la superficie cilíndrica
2 2 2S x y r
y ( , , )P x y z un punto del cilindro en el primer octante y '( ,0,0)P x su proyección
sobre el plano XY tal como se muestra en la Figura 11.
del gráfico podemos deducir:
cosx r , y rsen y z z
la terna ( , , )r z son las coordenadas cilíndricas del punto P ; lo anterior lo
resumimos en el siguiente teorema.
Teorema 3
Si ( , , )x y z y ( , , )r z son las coordenadas rectangulares y cilíndricas de
un punto P del espacio, entonces
a. cosx r , y rsen , z z
Escue
24
Ejerc
Halle
coord
Solu
A co
como
como
como
luego
elaProfesional
b. r
A co
coordenad
ecuacione
respectiva
cicio 13
e las coord
denadas re
ción
ordenadas
o 2r x
o arcco
o arc tg
o 2,3 ,74
deIngenieríaE
2 2x y
ontinuación
das tenien
es de un
amente.
denadas e
ctangulares
esféricas:
2 2y z , e
sz
r
, en
ygx
, ent
4
son la
ElectrónicayT
2z , ar
resolverem
do presen
na superfic
EJERCI
esféricas y
s.
entonces: r
tonces:
tonces:
as coordena
Telecomunicaci
yrctg
x, don
mos ejercic
nte que F
cie en co
CIOS RESU
cilíndricas
2 21 1r
arccos
1
1arc tg
adas esféric
iones
nde 0r y
cios referen
( , , ) 0F r
oordenadas
UELTOS
s del punto
2
2 2
2 3
2 4
74
cas del pun
y 0 2
tes a la tra
0 y ( , ,F r
s esféricas
o 1, 1,.P
2
nto P .
ansformació
, ) 0z son
s y cilínd
2 dad
ón de
n las
dricas
o en
CálculoVectorialAvanzado●UnidaddidácticaI
25
A coordenadas cilíndricas:
como 2 2r x y , entonces 2 21 1 2r
como y
arc tgx
, entonces 1 34
arc tg
luego 2 , 3 , 24
, son las coordenadas cilíndricas del punto P.
Ejercicio 14
Halle las coordenadas rectangulares del punto 2, ,6 4
P
dado en coordenadas
esféricas.
Solución
Como 2r , 6
y 4
entonces:
1 2 22 cos 2
6 4 2 2 2x sen
1 2 22 s 2
6 4 2 2 2y sen en
32cos 2 3
6 2z
luego 2 2
, , 32 2
son las coordenadas rectangulares del punto P.
Escue
26
Ejerc
Halle
esfér
Solu
Pasa
luego
Pasa
luego
elaProfesional
cicio 15
e las coorde
ricas.
ción
ando primer
x
y
z
o 1 , 0 ,
ando a coor
r
o 1 , ,
deIngenieríaE
enadas cilín
ro a coorde
2 34
sen
2 34
sen
2 cos 34
1 son las c
rdenadas ci
2 21 0 1
1 son las c
ElectrónicayT
ndricas del
nadas recta
cos
sen
24
coordenadas
líndricas:
1 , arctg
coordenada
Telecomunicaci
punto P
angulares:
22 1
2
22 0
2
21
2
s rectangula
0
1g ar
s cilíndricas
iones
2,3 ,4
1 1
0
ares del pu
0rctg
s del punto
que está
nto P.
P.
en coordennadas
CálculoVectorialAvanzado●UnidaddidácticaI
27
Ejercicio 16
Halle la ecuación rectangular de la superficie 4r dada en coordenadas esféricas.
Solución
Como 2 2 2r x y z , entonces 2 2 2 4x y z de donde 2 2 2 16x y z
luego la superficie 4r es la esfera 2 2 2 16x y z
Ejercicio 17
Identifique la superficie cuya ecuación en coordenadas polares es 9secr
Solución
Transformando a coordenadas rectangulares
como 2 2 2r x y z y 2 2 2
cosz
x y z
reemplazando en la ecuación dada
2 2 2
2 2 2
9 9
cosx y z
z
x y z
simplificando y reduciendo se tiene
9z
esta superficie es un plano paralelo al plano XY
Escue
28
Ejerc
Ident
Solu
Tran
simp
comp
ésta
Ejerc
Grafi
Solu
Tran
simp
comp
ésta
al eje
elaProfesional
cicio 18
tifique la su
r
ción
sformando
2x
plificando y r
2x
pletando cu
2x
ecuación c
cicio 19
ique la supe
ción
sformando
2x
plificando y r
2x
pletando cu
(x
ecuación c
e Z tal como
deIngenieríaE
uperficie cuy
6r sen s
a coordena
2 2 2y z
reduciendo
2 2 6y z
uadrados
23y
corresponde
erficie cuya
la ecuación
2 2 4y
reduciendo
2 4 0y x
uadrados
2 22) y
corresponde
o se observ
ElectrónicayT
ya ecuación
3 cossen
adas rectan
26
y
x y
se tiene:
6 3 0y z
23 4
2z
e a una esfe
ecuación e
n dada a co
2 2
x
x y
0
4
e a una sup
va en la Figu
Telecomunicaci
n en coorde
s
gulares:
2 23
y
y z
45
4
era de centr
en coordena
oordenadas
perficie cilín
ura 12.
iones
nadas esfé
2 2
z
x y
ro 3
0,3,2
C
adas cilíndr
rectangula
ndrica circul
éricas es
2z
3
2
y radio r
ricas es r
res se tiene
ar de radio
3 5
2r
4cos
e:
o 2 y eje paralelo
CálculoVectorialAvanzado●UnidaddidácticaI
29
Ejercicio 20
Transforme la ecuación
2 2 26 1x xy y z
a coordenadas esféricas y cilíndricas.
Solución
A coordenadas cilíndricas
como cosx r , y rsen y z z
entonces:
2 2 2 2 2cos 6( cos )( ) 1r r rsen r sen z
ó 2 2 2 2 2 2cos 6 cos 1r r sen r sen z
es la ecuación en coordenadas cilíndricas.
A coordenadas esféricas:
en este caso
cosx r sen , y r sen sen y cosz r
x
y
FIG. 12
z
O
(2,0,0)
Escue
30
lleva
redu
finalm
es la
1.7.
elaProfesional
ndo a la ec
2r se
ciendo
2r se
mente
2r
a ecuación e
TRANSFO
CURVILÍN
La t
cilíndricas
en el espa
Si T
es una tra
el gráfico
deIngenieríaE
cuación se t
2 2cosen
2 2cosen
2 23 cor sen
en coordena
ORMACION
NEAS
transformac
s y viceversa
acio como v
2 2:T R R
ansformació
u
13 muestra
ElectrónicayT
iene
6 corsen
2sen
os 2 1 0
adas esféric
NES EN EL
ción de coo
as, son cas
veremos lue
/ ( , )T x y
ón del plano
( , ) ,x y v
a esta corres
Telecomunicaci
os rsen
2 23r sen sen
0
cas.
PLANO Y E
ordenadas r
sos particula
ego.
( , ), (x y x
o la cual tam
( , )x y
spondencia
iones
2sen r s
22 cosn r
EN EL ESP
rectangulare
ares de tran
, )x y es un
mbién puede
a.
2 2en sen
2s 1
PACIO – CO
es a polare
nsformacion
na función,
e expresars
2 2cosr
OORDENAD
es; a esféric
nes en el pl
, diremos q
se como:
1
DAS
cas y
ano y
que T
CálculoVectorialAvanzado●UnidaddidácticaI
31
Si ( , )x y son las coordenadas rectangulares del punto P, ( , )u v son
también coordenadas del mismo punto en el plano UV llamadas coordenadas
curvilíneas de P.
Si la transformación T está definida por las ecuaciones
( , )u x y , ( , )v u v .
considerando a T como biyetiva la transformación inversa 1T estará
definida por:
( , )x f u v , ( , )y g u v .
Las coordenadas polares ( , )r es un caso particular de coordenadas
curvilíneas del punto P, en este caso la transformación es
cosx r , y rsen .
y
xO
FIG. 13
P(x,y)
v
uO
P(u,v)
Escue
32
1.8.
elaProfesional
JACOBIA
Si x f
definen un
u y v se d
supondrem
si (u x
es el Jaco
En el espa
x
definen u
, ,u v w se
deIngenieríaE
NO DE UNA
( , )u v y y
na transform
define como
( , )
( , )
xx y u
yu v
u
mos que f
, )x y , (v
( , )
( , )
xu v
x y
x
obino de u y
acio las ecu
( , ,x f u v w
na transfor
define com
( , , )
( , , )
x y z
u v w
ElectrónicayT
A TRANSF
( , )g u v
mación en e
o el determ
x x
u vy y
u v
y g son fu
( , )x y es la
u u
x y
v v
x y
y v con res
uaciones
)w , ( ,y g u
mación, en
mo el determ
x x
u vy y
u vz z
u v
Telecomunicaci
ORMACIÓN
(1)
el plano, el J
inante
unciones co
transforma
specto a x e
, )v w , z h
este caso e
minante
x
wy
wz
w
iones
N
Jacobiano d
ontinuas con
ación invers
e y .
( , , )h u v w
el Jacobino
de x e y c
ntinuament
sa de (1), en
o de , ,x y z c
con respecto
e diferencia
ntonces
con respect
o a
ables.
to a
CálculoVectorialAvanzado●UnidaddidácticaI
33
la transformación inversa será
( , , )u x y z , ( , , )v x y z , ( , , )w x y z y
( , , )
( , , )
u u u
x y z
u v w v v v
x y z x y z
w w w
x y z
su Jacobiano correspondiente; en ambos casos se considera a las funciones
, ,f g h y , , como continuas y continuamente diferenciales.
Las transformaciones
cosx r sen , y r sen sen , cosz r (Esféricas)
y cosx r , y r sen , z z (Cilíndricas)
ya vistas son casos particulares de transformaciones en el espacio;
( , , )r y ( , , )r z
son casos particulares de coordenadas curvilíneas.
EJERCICIOS RESUELTOS
Ejercicio 21
Escue
34
Dada
recta
Jaco
Solu
Si x
luego
halla
com
enton
como
luego
es la
halla
elaProfesional
a la trans
angulares, h
obiano.
ción
cosx r , y
(
(
x
r
o ( , )
( , )
x y
r
ando la trans
mo x
nces:
x
o y
tgx
,
o 2x x
a transforma
ando su Jac
( , )
( , )
r
x y
deIngenieríaE
sformación
halle el Ja
y y rsen
, )
, )
xx y r
yr
r
r
sformación
cosx r ,
2 2 2x y r
, entonces
2 ,y
ación invers
cobiano:
r r
x y
x y
ElectrónicayT
de coord
cobiano co
entonces
cox
y se
inversa:
y y rsen
, de donde
yarc tg
x
yarc tg
x
sa
2
2
x
x
y
x
Telecomunicaci
enadas x
orrespondie
os
cos
rsen
en r
e 2r x
y
x
2 2
2 2
y
y x
x
y x
iones
cosr y
nte y la tra
2(cosn
r
2y
2
2
y
y
y y rsen
ansformació
2 2 )sen
de polar
ón inversa
r
es a
y su
CálculoVectorialAvanzado●UnidaddidácticaI
35
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
x y
x y x y x y x y
2 2
1 1
rx y
luego 2 2
( , ) 1
( , )
r
x y x y
de lo desarrollado se concluye que
( , ) ( , )
. 1( , ) ( , )
x y r
r x y
en realidad, este resultado se esperaba ya que una de las transformaciones es la
inversa de la otra.
Ejercicio 22
Dada la transformación de coordenadas
cosx r , y rsen , z z
de cilíndricas a rectangulares, hallar su Jacobiano correspondiente y su
transformación inversa
Solución
Como cosx r , y rsen , z z
entonces:
Escue
36
halla
su Ja
pued
recta
Ejem
elaProfesional
ando su tran
r
acobiano es
de observa
angulares e
mplo 23
deIngenieríaE
( , , )
( , , )
x y z
r z
nsformación
2 2r x y
s
( , , )
( , , )
r z
x y z
2 2
1
1
x y
r
arse que a
l producto d
ElectrónicayT
x x
ry y
rz z
r
cos
c
r
sen r
r
n inversa:
2 , arc tg
r r
x y
x y
z z
x y
al igual qu
de los Jacob
Telecomunicaci
cos
0
x
zy
senzz
z
cos
rsen
ygx
, z z
r
z
z
z
z
ue en coo
bianos es ta
iones
cos
0
rsen
r
2 2
2 2
0
x
x y
y
x y
ordenadas
ambién 1.
0
0
1
2 2
2 2
0
y
x y
x
x y
polares, e
0
0
1
en coordennadas
CálculoVectorialAvanzado●UnidaddidácticaI
37
Dada la transformación de coordenadas
cosx rsen , y r sen sen , cosz r
de esféricas a rectangulares, halle su Jacobiano.
Solución
Hallando el Jacobiano de x , y y z con respecto a r , y
cos cos cos( , , )
cos cos( , , )
cos 0
x x x
rsen r rsen sen
x y z y y ysen sen r sen rsen
r rrsen
z z z
r
factorizando 2r sen
2
cos cos cos
cos cos
cos 0
sen sen
r sen sen sen sen
sen
desarrollando con respecto a la tercera columna y factorizando convenientemente
2 2 2 2cos coscos
cos cos
sen senr sen sen r sen
sen sen
2 2 2 2cosr sen sen r sen
2r sen
luego:
Escue
38
1.9.
elaProfesional
TRANSFO
E
coordenad
regiones c
coordenad
calcular in
integral do
denotará l
Los
dobles y t
Teorema 4
a. Si (
recta
x
ento
dond
plan
coor
deIngenieríaE
( , , )
( , , )
x y z
r
ORMACION
En el curso
das rectang
cerradas e
das polares
ntegrales d
oble de (F x
la integral tr
siguientes
riples.
4
( , )u v son
angulares d
( , )f u v , y
onces
(D
F
de ( , )G u v
no XY la cu
rdenadas.
ElectrónicayT
2r sen
NES DE INT
o anterior
gulares y s
n el plano
s en el plan
dobles y tri
, )x y en la
riple de (F x
s teoremas
las coord
de un punt
( , )y g u v
( , )D
x y dA
( ( , )F f u v
ual se tran
Telecomunicaci
TEGRALES
se definió
se aplicó a
y en el es
no y las esf
iples; en lo
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, , )x y z en la
permiten
denadas cu
to del plano
'
(( , )
D
G u v
, ( , ))g u v ,
nsforma en
iones
S MÚLTIPLE
ó las integ
al cálculo d
spacio; en e
féricas y cil
o que sigu
el plano; ta
a región D d
el cambio
urvilíneas
o, determin
( , )
( , )
x ydA
u v
D es la re
'D del pl
ES
rales doble
de áreas y
esta secció
índricas en
e ( ,D
F x y
ambién en
del espacio
de variabl
y ( , )x y la
nado por la
egión de in
ano UV po
es y triple
y volúmene
ón usaremo
el espacio
)dA denota
( , ,D
F x y z
o.
le en integ
as coorden
a transform
ntegración
or el camb
es en
es de
os las
o para
ará la
)z dV
grales
nadas
ación
en el
io de
CálculoVectorialAvanzado●UnidaddidácticaI
39
b. Si ( , , )u v w son las coordenadas curvilíneas y ( , , )x y z son las coordenadas
rectangulares de un punto del espacio determinadas por la transformación
( , , )x f u v w , ( , , )y g u v w y ( , , )z h u v w .
entonces
( , , )( , , ) ( , , )
( , , )D D
x y zF x y z dV G u v w dV
u v w
donde ( , , ) ( ( , , ) , ( , , ) , ( , , ))G u v w F f u v w g u v w h u v w y D es la región de
integración del espacio X Y Z la cual se transforma en 'D
del espacio
UVW por el cambio de coordenadas.
Como vemos en cada caso el Jacobiano es el factor de conversión, los límites de
integración de la región D’ se determina de acuerdo a como varían las nuevas
variables.
EJERCICIOS RESUELTOS
Ejercicio 24
Halle la integral doble 2 2( ) ( )
D
x y x y dxdy donde D es la región acotada por el
cuadrado de vértices (0,1), (1,2), (2,1) y (1,0).
Solución
Este ejemplo nos mostrará la conveniencia de hacer un cambio de coordenadas pues
para hallar la integral doble tal como está planteado habrá que dividir la región en dos
o más partes.
Escue
40
si se
enton
por e
tal co
el Ja
luego
elaProfesional
considera
u
nces la tran
x
el cambio de
D
omo se mue
acobiano de
o ( )D
x y
(0,
deIngenieríaE
la transform
u x y , v
nsformación
1( )
2x u v
e coordena
' ,D u v
estra en el g
e x e y con
( , )
( , )
x y
u v
2 2) ( )x y d
y
O
(1
(1,
,1) D
ElectrónicayT
mación de c
v x y
n inversa es
, 1
(2
y v
das la regió
2 / 1R u
gráfico adju
n respecto a
x x
u vy y
u v
1 3
1 1dA u
,2)
(2,1)
0)
Telecomunicaci
coordenada
s
)u
ón D del pla
1 ,1u v
unto.
a u y v es
1 1
2 21 1
2 2
2 2 1
2u v dv
x
(
(
FIG.
iones
s
ano XY se c
3 del pla
:
1
2
vdu
v
O
( 1,3)
( 1,1)
14
’D
convierte en
ano UV
v
O
(1,3
(1,1
’
n la región
3)
1)
u
u
CálculoVectorialAvanzado●UnidaddidácticaI
41
331 2
11
1
2 3
vu du
2127 1
6u dU
13
1
26
6 3
u
26
9
Ejercicio 25
Halle el volumen del sólido limitado por el cilindro 2 2: 9S x y y los planos z x ,
0y y 0z .
Solución
El sólido está limitado superiormente en el plano z x e inferiormente por la región
2 2, / 0 3,0 4D x y R x y x
tal como se muestra en la figura adjunta.
Escue
42
trans
luego
luego
en el
es f
elaProfesional
sformando a
D
o el volume
D
V f
3
0
3
0r
3
0
o 9V
l cálculo ha
( , ) cof r r
y
O
(0,3
deIngenieríaE
a coordenad
,D r
en es
,f r dA
22
0cosr
22
0r sen
2 9r dr
y que tener
os
)
(3,0
ElectrónicayT
das polares
2 / 0R r
32
0 0.r r
d dr
r presente q
x0)
y = 4 x 2
Telecomunicaci
s la región D
3,0r
cos d d
que ( , )f x y
x
FIG. 15
iones
D se convie
4
dr
x lo que
z
rte en
en coordennadas polar
res
y
CálculoVectorialAvanzado●UnidaddidácticaI
43
en coordenadas rectangulares comprobar que
23 9
0 09
xV x dydx
Ejercicio 26
Hallar el volumen de una esfera de radio a usando integrales dobles.
Solución
Sea la esfera 2 2 2 2:S x y z a con centro en el origen y radio r, la ecuación define
implícitamente a las funciones de dos variables
2 2 2( , )z f x y a x y , 2 2 2( , )z g x y a x y
que representa el casquete superior e inferior de la esfera respectivamente tal como
se ve en la Figura 16.
x
z
y
FIG. 16
z = a x 2 2 2y
z = a x 2 2 2y
y
xO
y = a x 22
( a,0) (a,0)
D
y = a x 2 2
Escue
44
el vo
dond
calcu
Integ
Veam
se co
( ,f r
elaProfesional
olumen de la
V
de la región
ulando la int
V
grando con
2a
V
2a
V
2a
V
a
aV
V a
43
aV
mos ahora c
onvierte en
2) a
deIngenieríaE
a esfera es
22D
V a
de integrac
( , )D x y
tegral
2a
aV
respecto a
2
2
a
a
ya
2 2(
2
a
a
a x
2
22
a
a
a x
2 2( )aa x dx
32
3
a
a
xa x
3
3
a
como el cál
' ( , )D r
2r
ElectrónicayT
2 2x y dA
ción es
2 /R a
22
22
x
x
a
adydx
la variable
2 2 (ax y
)(1)arc sen
2
2
xdx
x
culo se sim
2) / 0R r
Telecomunicaci
A
,x a a
y e iterand
2 2)
2
a xarc
2 2()
2
a x
mplifica usan
,0r a
iones
2 2a x y
do
2
yc sen
a
)(arc sen
ndo coorden
2 y (f
2 2a x
2
22
a x
a
y
x
1)
nadas polar
2( , )x y a
2
2
x
x
dx
res; la regió
2 2x y e
ón D
en
CálculoVectorialAvanzado●UnidaddidácticaI
45
luego
2 2 2
'
2D
V a x y dA
2 2
'
2D
a r r dA
2 2
0 0
22
aa r rd dr
22 2
0 02
ar a r dr
2 2
02 2
ar a r dr
2 2
04
ar a r dr
3
2 2 243
a
o
a r
343a
Ejercicio 27
Halle el volumen de la esfera de radio a usando integrales triples
Solución
Sea la esfera
2 2 2 2:S x y z a
en este caso la región de integración es
3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( , , ) / , ,D x y z R a x a a x y a x a x y z a x y
Escue
46
el vo
la int
halla
el vo
de lo
coord
recta
elaProfesional
olumen es
V
V
tegral triple
ando el volu
olúmen es
V
os ejemplos
denadas po
angulares.
deIngenieríaE
34
3
D
V dv
aV
se reduce a
men en coo
' ( ,D r
2
'D
V r se
0 0
a
0 0
ar
02
a
02
a
3
43
r
34
3
a
25 y 26, ob
olares y esfé
ElectrónicayT
2 2
2 2
a x
a x
a
a
a la integra
ordenadas e
3, , ) /
en dV
2 2
0r sen
2
2
0r sen
2
0r sen d
2
0cos
ar
0
a
bservamos
éricas es m
Telecomunicaci
2 2 2
2 2 2
a x y
a x yd
l doble del e
esféricas, la
/ 0 0,0r
d d dr
d dr
d dr
0dr
que el cálc
menos labori
iones
dz dy dx
ejemplo ant
a región de
0 ,0
ulo de integ
ioso que ha
terior.
integración
2
grales doble
acerlo en co
n es
es y triples e
oordenadas
en
s
CálculoVectorialAvanzado●UnidaddidácticaI
47
Ejercicio 28
Halle el volumen de un cilindro de radio a y altura h
Solución
Considerando el cilindro
2 2 2:S x y a
con el eje en el eje Z y base en el plano XY (Figura 17) , la región de integración es:
3 2 2 2 2( , , ) / , ;0D x y z R a x a a x y a x z h
el volumen es
2 2
2 2 0
a a x h
a a xD
V dV dz dy dx
2 2
2 20
ha a x
a a xz dydx
x
y
FIG. 17
z
O
y
xO
y = a x 22
( a,0) (a,0)
D
y = a x 2 2
Dz = h
(0,a)
Escue
48
luego
halla
la reg
el vo
elaProfesional
h
2
2
2
V
o V a
ando el volu
gión de inte
D
olumen es:
V
deIngenieríaE
2 2
2 2
a a x
a a xh
2
2
a xa
a ah y
22a
ah a
222
xh a
22h a arc se
2a h
2h
men en coo
egración es
' , ,D r z
'D
V r dV
2
0 0
2
0 0
0
0
2
2
a
a
a
a
r
h r d
h r
a h
ElectrónicayT
2dydx
2
2
x
xdx
2x dx
22
2
ax arc
1en
ordenadas c
3 / 0z R
V
0
0
h
h
r dz d dr
r z d dr
dr
r dr
Telecomunicaci
a
a
xc sen
a
cilíndricas:
, 0r a
r
iones
2 , 0 z h
CálculoVectorialAvanzado●UnidaddidácticaI
49
reiterando lo dicho, en este caso el uso de coordenadas cilíndricas es mucho más
simple.
Ejercicio 29
Hallar la integral triple
22 2 2 2 2
0 0 0
x xz x y dzdydx
Solución
La región de integración es
3 2( , , ) / 0 2 , 0 2 , 0 4D x y z R x y x x z
como 22y x x , entonces 2 2( 1) 1x y , la región de integración es parte del
cilindro 2 2( 1) 1x y de altura 4 y radio 2 en el primer octante tal como se muestra
en la Figura adjunta.
x
y
FIG. 18
z
O
(2,0,0)
(0,0,4) z = 4
Escue
50
como
pasa
de do
luego
luego
elaProfesional
o 2y x
ando a coor
r
onde
r
o en coorde
D
o:
deIngenieríaE
2x , entonc
denadas cil
2 2 2r sen r
2cosr
enadas cilín
( , ,D r z
22 2
0 0
x x
2cos2
0 0
2cos2
0 0
2c2
0 08
3
2
08
3
r
2
0
64co
3
64
3sen
128
9
ElectrónicayT
ces 2 2y x
líndricas
2cos cr r
ndricas la re
3) / 0z R
2 2
0z x
4 2
0z r dz dr
42s 2
02
zr d
cos 2r dr d
2cos
0
d
3os d
3 2
03
sen
Telecomunicaci
2x x
cos
egión de inte
2cosr
2y dz dy dx
r d
dr d
iones
egración es
, 02
x
s
, 0 42
z
4
CálculoVectorialAvanzado●UnidaddidácticaI
51
1.10. APLICACIONES FÍSICAS DE LAS INTEGRALES MÚLTIPLES
INTEGRALES DOBLES
Si la masa M se distribuye de modo continua en la región D del plano y ( , )x y
es la densidad de la masa en el punto ( , )x y , entonces
a.
( , )D
M x y dA
b. El primer momento de la masa M con respecto al eje X es
( , )x
D
M y x y dA
c. El primer momento de masa respecto al eje Y es
( , )x
D
M x x y dA
d. Las coordenadas del centro de masa (centroide o centro de gravedad)
son:
Myx
M ,
MxY
M
otras aplicaciones físicas son los momentos de inersia de la masa M llamados
también segundos momentos de masa, así se tiene:
e. Momentos de inersia respecto al eje X
2 ( , )x
D
I y x y dA
f. Momentos de inersia respecto al eje Y
2 ( , )y
D
I x x y dA
Escue
52
elaProfesional
INTEGRA
Si la masa
, ,x y z
entonces:
a.
b.
c.
x
d.
en el uso
respecto a
así, si D e
( , ,x y z
deIngenieríaE
ALES TRIPL
a M se distr
es la dens
Masa
M
Momentos
xyM
xzM
yzM
Las coorde
(D
x x
xM
Momentos
xI
xI
xI
de estas fó
a los ejes y
es simétrico
) ( , ,x y
ElectrónicayT
LES
ribuye de m
idad de la m
( , ,D
x y z
de masa re
( ,D
z x y
( ,D
y x y
( ,D
x x y
enadas del
, , )x y z dV
M ,
de inersia
2 2(D
y z2 2(
D
x z2 2(
D
x y
rmulas es d
planos coo
respecto a
)z
Telecomunicaci
odo continu
masa en el
)z dV
especto a lo
, )y z dV
, )y z dV
, )y z dV
centro de la
D
y
y
respecto a
) ( , , )x y z d
) ( , , )x y z d
) ( , , )x y z d
de gran utili
ordenados.
al plano XY
iones
uo en la reg
punto ,x y
os planos co
a masa son
( , , )x y z dV
M
los ejes coo
dV
dV
dV
dad las sim
Y lo cual geo
gión D del e
,y z
oordenados
n:
y
Dz
ordenados:
metrías de la
ométricame
espacio, y
s
( , , )D
z x y z
M
a región D
ente es
)dV
CálculoVectorialAvanzado●UnidaddidácticaI
53
entonces 0z ; análogamente con respecto a los otros planos coordenados.
Si D es simétrico con respecto al eje x , es decir si ( , , ) ( , , )x y z x y z ;
entonces
0y z
análogamente con respecto a los otros ejes coordenados.
EJERCICIOS RESUELTOS
Ejercicio 30
Halle el centro de gravedad (centro de masa) del sólido geométrico limitado por el
hemisferio superior de la esfera 2 2 2 2: x y z a , si su densidad es proporcional a
su distancia al origen de coordenadas.
Solución
El sólido D (región de integración) está definido por
3 2 2 2 2 2 2 2( , , ) / , ,0D x y z R a r a a x x a x z a x y
Y la densidad por 2 2 2( , , )x y z K x y z , tal como se muestra en la Figura 19.
la masa es:
( , , )d
M x y z dV
por las características de la integral triple, conviene hallarlo en coordenadas esféricas;
la región D en coordenadas esféricas es
3( , , ) / 0 , 0 , 0 22
D r R r a
Escue
54
luego
evalu
como
halla
pasa
elaProfesional
o en coorde
M
uando la int
M
o ( , ,x y
x
ando z , ten
z
ando a coor
deIngenieríaE
enadas esfé
2
0 0
aM
2
0 0
a
tegral, se tie
41
2M k a
, ) ( , ,z x y
0x y
emos
(D
z x
zM
denadas es
x
ElectrónicayT
éricas, la ma
2 2
0krr sen
2 3
0kr sen
ene
4
, )z , el eje
, , )x y z dV
M
sféricas
z
(x,y,zr
Telecomunicaci
asa es:
n d d d
n d d d
de simetría
z
FIG. 19
z)
iones
dr
dr
de D es el
9
x2 2 +y +z
eje z, luego
y
2 2z = a
o
CálculoVectorialAvanzado●UnidaddidácticaI
55
2 22
0 0 0
4
cos
12
ar r sen kr d d dr
zka
2 42
0 0 0
4
cos
12
akr sen d d dr
zka
evaluando la integral
5
4
251 52
k aa
zka
luego el centro de gravedad es el punto 2
0,0,5
a
tal como se muestra en el
Gráfico 20.
x
z
y
FIG. 20
(0,0,z)
Escue
56
Ejerc
Una
( ,x
circu
como
Solu
En c
luego
elaProfesional
cicio 31
lámina delg
2)y x y
unferencia C
o se muestr
ción
oordenadas
o la masa M
5
6
M
deIngenieríaE
gada tiene l
1
2 2y
, halla
2 2:C x y
ra en la figu
s polares la
D
M es:
46
2.
senr r
=5
ElectrónicayT
a forma de
ar la masa d
22 4 y
ura adjunta.
a región está
2( , ) /r R
1dr d
D
56
Telecomunicaci
la región D
de la lámina
exterior a la
á dada por
/ 2 4r se
FIG. 21
y
O (
(x,y)
v
iones
D y su densi
a D, si es la
a circunfere
,6
en
(2,0)
=
= 4sen
dad es
región inte
encia 2 :C x
56
x
=6
erior a la
2 2 4y , tal
CálculoVectorialAvanzado●UnidaddidácticaI
57
5 462
6
56
6
4 2
senM r d
M sen d
4 3 4
3M
los momentos de masa son
5 4 5 46 6
2 26 6
cossen sen
x yM rsen drd y M r drd
evaluando las integrales
4 3 0x yM y M
luego el centro de gravedad es
, ,y X
M Mx y
M M
0 12 3, ,
12 3 4x y
M
12 3, 0 ,
12 3 4x y
Escue
58
De l
soluc
1
2
3
4
elaProfesional
os 20 ejerc
ciones con
. Ubique e
diferente
2. En un sis
5 ,4
A
Sol. 7
3. Halle la
polares y
a. r
b. r
c.
Sol.
a. x
b. x
c. x
4. Halle la
Sol. 2x
deIngenieríaE
cicios prop
las solucion
el punto en
e de la dada
stema de c
8y B
ecuación re
y graficar d
4r sen
cosr s
4
2 2 4x y y
2 2x y x
0x y
ecuación re
22 2y a
ElectrónicayT
puestos en
nes dadas e
EJERCIC
el plano P
a.
oordenadas
8 ,12
cal
ectangular d
ichas curva
sen
0y
0y
ectangular d
2a xy
Actividad
Telecomunicaci
esta unida
en cada eje
CIOS PROP
2, 23
s polares se
lcule la dist
de las siguie
as
de la curva
dessugeri
iones
ad, resolver
ercicio propu
PUESTOS
y dar tres c
e tiene en lo
ancia entre
entes curva
2 2 2r a sen
idas
r mínimo 8
uesto.
coordenada
os puntos
e dichos pun
as dada en c
2 , a cons
8, compara
as polares d
ntos.
coordenada
stante
r sus
e P
as
CálculoVectorialAvanzado●UnidaddidácticaI
59
5. Halle la ecuación polar de las siguientes curvas
a. 2 24 9 36x y
b. 2 6y x
c. 2 1 2y x
Sol.
a. 2 24 9cos 36r sen
b. 2 2 cos 6r sen
c. 1 cos 1r
6. Convierta las coordenadas esféricas dadas a coordenadas cilíndricas
a. 4 , ,3 3
b. 2 , 5 ,6 4
Sol.
a. 2 3 , , 23
b. 1 , , 34
7. Convierta las coordenadas rectangulares dadas a coordenadas esféricas
a. 1 ,1 , 2
b. 1 , 3 , 0
Sol.
a. 2
10 , , arccos4 5
b. 2 , ,3 2
Escue
60
8
9
1
elaProfesional
8. Conviert
superfici
a.
b. r
c.
Sol.
a. z
b. x
c. E
9. Encuent
esféricas
a. 3
b. y
c. 6
Sol.
a. 3
r
b. r
c. r
0. Halle la
cuadrant
Sol. 14
deIngenieríaE
ta las coord
ie resultante
6
4 cosr
0
23 3z x
2 2 2x y z
Eje Z
tre una ecua
s para la gr
3 4x y z
2 2 9y z
2 26x x y
3 cosr r s
3 cosr sen
2 2 2r sen z
6cos ,r
integral dob
te acotado
2
1 ae
ElectrónicayT
denadas dad
e
23y medio
4x esfer
ación en co
áfica de la e
12
2
4sen z
s sen sen
2 29, r s
6rsen
ble 2x y
D
e
por la circu
Telecomunicaci
das en coor
cono
ra
oordenadas
ecuación da
12
4 cosn
2 2sen sen
cos
2ydA donde
nferencia x
iones
rdenadas re
cilíndricas
ada
12
2cos
e D es la r
2 2 2x y a
ectangulare
y una en co
9
región en el
y los ejes
es y graficar
oordenadas
primer
coordenado
r la
s
os.
CálculoVectorialAvanzado●UnidaddidácticaI
61
11. Halle la integral doble 22 4 2 2
0 0
yx y dxdy
graficar la región de integración.
Sol. 43
12. Halle la integral doble
1
2 2 24D
dxdy
x y donde D es la región limitada por la
circunferencia 2 2 2 0x y x
Sol. 2 2
13. Halle el volumen del sólido limitado por las superficies
2 2 2 22 , 2 0 0x y x x y y z
Sol. 34
14. Halle el área de la región limitada por las circunferencias
2 2 2 22 , 4x y x x y x y la recta y x
Sol. 3
34 2
15. Calcule la integral triple 2 2
D
x y dx dy dz donde D es el sólido limitado por
las superficies 2 2 , 1z x y z
Sol. 6
16. Calcule la integral triple 2 2 21 1 1 2 2 2
0 0 0
x x yx y z dz dy dx
graficar la
región de integración.
Sol. 8
17. Calcule la integral triple 2 2
D
x y dx dy dz
donde D es la región limitada
por el cilindro 2 2 4x y y los planos 1, 2z z
Sol. 24
Escue
62
1
1
2
elaProfesional
8. Halle el v
plano z
Sol. 8
9. Evalúe la
2 2x y
Sol. 30
20. Calcule
superfici
Sol. 2
5
deIngenieríaE
volumen de
8
a integral tr
2 1z en
las coorden
ies 1x y
2 7, ,
5 30
ElectrónicayT
el sólido lim
riple 2
D
y d
el primer oc
nadas del ce
21, z x y
Telecomunicaci
itado por el
dV donde D
ctante
entro de gra
2 , 0,y x y
iones
l paraboloid
D es el sóli
avedad del
0
de 2 2x y
ido limitado
cuerpo limi
12z y e
por la esfe
itado por las
l
era
s
CálculoVectorialAvanzado●UnidaddidácticaI
63
1. Se definen las coordenadas polares en el plano y las coordenadas
esféricas y cilíndricas en el espacio y se hacen las correspondientes
transformaciones de coordenadas con las coordenadas rectangulares.
2. Se definen en general las transformaciones en el plano y en el espacio y los
correspondientes Jacobianos.
3. Se transforma las integrales dobles en coordenadas rectangulares a
coordenadas polares teniendo como factor de conversión al Jacobiano
correspondiente, todo ello para facilitar el proceso de integración.
4. Se transforma las integrales triples en coordenadas rectangulares a
coordenadas esféricas y cilíndricas teniendo como factor de conversión al
Jacobiano correspondiente; todo ello para facilitar el proceso de
integración.
Resumen
Escue
64
A. F
W
L
M
K
L
B. F
Direc
y pro
busc
elaProfesional
Fuentes bib
W. Swokow
Grup
Leithold Lou
Mitacc Meza
Lima
Kreyzig Erw
Edito
Larson Rom
D.F.
Fuentes ele
cciones de
opuestos, qu
carlos en el
deIngenieríaE
bliográfica
wsky Earl (
po Editorial
uis (2009). E
a Máximo
a.
win (2003). M
orial Limusa
m (2006). C
ectrónicas
la web, que
ue podrán a
campo virtu
F
ElectrónicayT
as
1980).Cálcu
Iberoaméric
El Cálculo. S
(2005). Cá
Matemática
a Wiley. Méx
Cálculo de
s
e brindan inf
ayudar a la
ual.
Fuentesde
Telecomunicaci
ulo con Ge
ca. México
Séptima Ed
álculo III. C
a Avanzada
xico D.F.
Varias Var
formación a
mejor comp
einformac
iones
eometría A
D.F.
dición. Hoxfo
uarta Edici
para Ingen
riables. Edi
adicional, in
prensión de
ción
Analítica. Se
ord – Harla
ón. Editoria
nieros: T.I. T
itorial McG
ncluidos eje
el curso par
egunda Ed
. México D.
al Thales S
Tercera Ed
raw-Hill. M
mplos resu
ra verlos,
dición.
.F.
S.R.L.
dición.
México
eltos
CálculoVectorialAvanzado●UnidaddidácticaI
65
Actuando con toda seriedad, sin ver el solucionario resuelva los ejercicios propuestos
y mida el nivel de su aprendizaje. Compare sus respuestas con el solucionario.
1. Transforme a coordenadas rectangulares el punto 5 , 53
P
dado en
coordenadas polares.
2. Halle las coordenadas cilíndricas del punto 2 , ,6
P
dado en
coordenadas esféricas
3. Identifique la curva 3
1 cosr
4. Usando coordenada polares, halle la integral doble
23 9 2 2
0 09
xx y dy dx
5. Halle la integral triple
D
y dx dy dz
Si D es parte de la esfera sólida de radio 2 en el primer octante. Usando
coordenadas esféricas.
Autoevaluación
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaII
69
II Unidad
didáctica:
Funciones
Vectoriales y
Curvas en el
Plano y en el
Espacio
2.1. Funciones Vectoriales
2.2. Límites y Continuidad de funciones vectoriales
2.3. Derivada e integral de una función vectorial
2.4. Curvas en el plano y en el espacio
2.5. Representación paramétrica de una curva en el plano y el
espacio
2.6. Ecuaciones paramétricas de las cónicas
2.7. Longitud de arco
2.8. Vectores tangente unitario, normal unitario, y binormal
unitario
2.9. Curvatura y torsión de una curva
2.10. Vector desplazamiento y vector velocidad
Esquemadecontenidos
Escue
70
elaProfesional
1
2
3
4
deIngenieríaE
1. Obtene
e integr
2. Hallar c
de una
(param
3. Domina
de una
4. Conoce
ElectrónicayT
er destreza
rales de fu
correctame
curva a pa
etrizar curv
ar el cálcul
curva del
er el cálcul
Compet
Telecomunicaci
a en el cálc
nciones ve
ente las co
artir de su
vas).
o del triedr
espacio.
o de la lon
tenciasyc
iones
culo de lím
ectoriales.
ordenadas
ecuación r
ro móvil en
ngitud de u
capacidade
ites, deriva
s paramétr
rectangula
n cada pun
na curva
es
ada
ricas
r
nto
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaII
71
Una función real de dos o tres variables asigna a cada par o terna ordenada de
números reales un número real, éstas funciones fueron estudiadas en cursos
anteriores al curso que estamos desarrollando; la correspondencia será ahora entre un
número real y un único vector del plano o del espacio, a ésta correspondencia le
llamaremos función vectorial.
Introducción
Escue
72
2.1.
2.2.
Uni
dad
elaProfesional
FUNCION
S
correspon
VECTORI
E
( ), ( )f t g t
funciones
es el conju
curva com
S
correspon
vectorial d
E
vectoriales
particulare
LÍMITES Y
Los conce
variables s
FUNC
deIngenieríaE
NES VECTO
Si ,a b es
ndencia F
IAL” de una
Esta corresp
), ( ) (h t f
componen
unto (Ran f
mo veremos
Similarmente
ndencia F
de una varia
En lo que s
s en el es
es de éstas
Y CONTINU
eptos de lím
se extiende
CIONES VE
ElectrónicayT
ORIALES
un interval
: ,a b R
a variable.
pondencia a
( ) ( )t g t i j
tes de F ,
) ( ),f f t g
s más adela
e si f y g
: ,a b R
able en el p
sigue, las d
spacio, las
.
UIDAD
mites y conti
en de mane
ECTORIAL
Telecomunicaci
o de R y f
3 / ( )F t f
asigna a un
( )h t k , la
el intervalo
( ), ( )g t h t
ante.
g son func
2 / ( )R F t f
lano.
definiciones
funciones
nuidad de f
ra natural a
LES Y CURESPACIO
iones
, , : ,f g h a b
( ), ( ), (f t g t h
n número re
as funcione
o ,a b es e
3 / ,t a b
ciones real
( ), ( )f t g t
y teorema
vectoriales
funciones re
a las funcion
RVAS EN EO
b R func
( )t se lla
eal ,t a b
es ,f g y h
el dominio y
será la d
es con do
define
as se darán
s en el pla
eales de do
nes vectoria
EL PLANO
ciones reale
ama “FUNC
un único v
h son llam
y el rango d
definición de
ominio ,a b
a una fu
n para func
no serán c
os o tres
ales.
Y EN EL
es, la
CIÓN
vector
madas
de F
e una
b , la
nción
iones
casos
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaII
73
DEFINICIÓN 1
a. Si 3,a b R es una función vectorial y 0t un punto de acumulación
de ,a b , entonces el vector 3Ru es el límite de ( )F t cuando t
tiende a 0t lo cual se expresa por 0
lim ( )t tF t u
si y solo si dado un número 0 , existe otro número 0 tal que
Si 00 ( )t t F t u
b. ( )F t es continua en 0t si 0 ,t a b y
00lim ( ) ( )
t tF t F t
Hay que precisar que u y ( )F t son vectores y ( )F t u es la normal del vector
diferencia.
DEFINICIÓN 2
Si 3: ,F a b R es una función vectorial y : ,a b R es una función real, la
función F se define como sigue : , / ( )( ) ( ) ( )F a b R F t t F t
Escue
74
elaProfesional
PROPIED
TEOREMA
Si F y G
Entonces:
1. lt
2. lt
3. lt
4. lt
en (2) es e
respectiva
TEOREM
Si ( )F t
,a b y u
0
limt t
Se ha res
dada la na
deIngenieríaE
DADES DE
A 1
G son func
:
0
lim ( )tF t
0
lim ( )tF t G
.
0
lim ( ) xtF t
0
lim ( )t
t F
el producto
amente.
MA 2
( ), ( ),f t g t
1 2 3( , ,u u uu
( )F t u
umido los c
aturaleza de
ElectrónicayT
LOS LÍMIT
ciones vecto
( )G t u
( )G t .u v
( ) XG t u
( )F t c u
interior y e
( )h t es un
3) un vector
0
0
0
lim
lim (
limt t
t t
t t
f
g
h
conceptos b
el curso obv
Telecomunicaci
TES
oriales tales
v
v
X v
donde 0
limt t
n (3) es el p
na función v
r de 3R , e
1
2
3
( )
( )
( )
f t u
g
t u
t u
básicos sob
viaremos su
iones
s que 0
limt tF
0
m ( )t c
producto ve
vectorial de
entonces:
re límites de
u demostrac
( )F t u y
ectorial de v
finida en el
e funciones
ción.
0
lim ( )t tG t
vectores
intervalo
s vectoriales
v
s,
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaII
75
EJERCICIOS RESUELTOS
Ejercicio 1
Dadas las funciones vectoriales definidas en R
2 1 cos( ) , , tsen t tF t e
t t
, 32
1 cos 4 2( ) 3 , ,
t tG t t
t t
y la función real
1
( )2
tet
t
Halle:
a. Los Dominios de F , G y
b. 0
lim ( ) ( )t
F t G t
c. 0
lim ( ) ( )t
F t G t
.
d. 0
lim ( )X ( )t
F t G t
e. 0
lim ( ) ( )t
t F t
Solución
a. ( ) 0Dom F R
( ) 4, 0
( ) 0
Dom G
Dom R
hallando el límite de las funciones correspondientes de F
0 2 0
2 2lim 2 lim 2
2t t
sen t sen t
t t
Escue
76
elaProfesional
lt
y 0
lim t
te
luego
lit
similarm
l
l
t
t
también:
lt
deIngenieríaE
0
1 cosimt
t
t
02 lim
tsen
(2)(0)(1)
0
1t
0im ( ) (2F t
ente para G
2
0
20
im 3
1 cosim
t
t
t
t
t
02
1lim
2
1
2
t
se
:
0
4imt
t
t
1
4
ElectrónicayT
2 0limt
sent
t
02
lim2 t
stn
2, 0,1)
G
0
3
2limt
set
t
2
2
ten
t
0
2limt
Telecomunicaci
2
2t
n
t
2
2
tsen
t
2
22t
en
t
1
4 2t
iones
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaII
77
luego 0
1 1lim ( ) 3, ,
2 4tG t
Para
0 0
1 1lim lim
2 2 2
t t
t t
e e
t
luego:
b. 0
1 1 1 5lim ( ) ( ) (2,0,1) 3, , 1, ,
2 4 2 4tF t G t
c. 0
1 1 23lim ( ) ( ) (2,0,1) 3, ,
2 4 4tF t G t
. .
d. 0
1 1 1 7lim ( ) X ( ) (2,0,1) X 3, , , ,1
2 4 2 2tF t G t
e. 0
1 1lim ( ) ( ) (2,0,1) 1,0,
2 2tt F t
2.3. DERIVADA E INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL
DEFINICIÓN 1
Si 3: ,F a b R es una función vectorial, la derivada de F se define como
sigue:
0
( ) ( )'( ) lim
h
F t h F tF t
h
si el límite existe; hay que precisar que la derivada 'F t es también una
función vectorial, geométricamente representa a un vector tangente a la curva
que define F como veremos más adelante.
Escue
78
elaProfesional
TEOREMA
Si ( )F t
F
siempre q
teorema e
TEOREMA
Si ( )F t y
( )t es u
1
2
3
4
en particu
Éstas r
el plano, e
3R .
deIngenieríaE
A 1
( ), ( ),f t g t
'( ) '(F t f t
ue las deriv
es consecue
A 2
( )G t son f
una función
. ( )F t G
2. ( )F t G.
3. ( )XF t G
4. ( ) (t F t
lar, si ( )t
reglas de d
excepto pa
ElectrónicayT
( )h t es un
), '( ), '(t g t h t
vadas de la
encia del te
funciones v
real, enton
( ) ' '(G t F
( ) ' ( )G t F t
( ) ' (G t F t
) ' ( )t t F
c , entonc
erivación s
ara la deriva
Telecomunicaci
a función v
)t
s funciones
orema refe
vectoriales q
ces
) '( )t G t
'( ) '(G t F.
)X '( )t G t F
'( ) '( )F t t F
es ( ( )) 'cF t
on válidas
ada del pro
iones
ectorial, en
s correspon
rente a los
que tienen d
( ) ( )t G t.
'( )X ( )F t G t
( )F t
'( )cF t
también pa
oducto vecto
tonces:
dientes exis
límites ya v
derivada (di
)
ara funcione
orial que so
sten, éste
visto.
iferenciable
es vectoriale
olo se defin
es) y
es en
ne en
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaII
79
DEFINICIÓN 2
Sea la función vectorial ( ) ( ( ), ( ), ( ))F t f t g t h t entonces
a. La integral indefinida de F se define como sigue
( ) ( ) , ( ) , ( )F t dt f t dt g t dt h t dt
b. La integral definida de ( )F t de a hasta b se define como sigue
( ) ( ) , ( ) , ( )b a a a
a b b bF t dt f t dt g t dt h t dt
siempre que las integrales definidas de las funciones correspondientes existan.
Si '( ) ( )H t F t
entonces ( ) ( ) ( ) ( )b b
aaF t dt H t H b H a
desde que ( ) ( )F t dt H t c
Resolveremos a continuación algunos ejercicios de los temas vistos.
EJERCICIOS RESUELTOS
Ejercicio 2
Sea F la función vectorial definida por 22
1( ) 4 , , ln
1F t t t t
t
, halle:
a. ( )Dom F
b. '( )F t
c. ( )F t dt
Escue
80
Solu
a
b
c
elaProfesional
ción
a. El domin
t Dom
2
luego
( )Dom F
b. La deriva
como
entonce
luego
c. La integr
como
deIngenieríaE
nio
( ) 4F t
2 24t t
2t t
) 0,1 1
ada
( )f t
es
'( )f t
'( )f t
ral definida
3 2
24t t d
3
22 1 2
dt
t
3
2lntdt t
ElectrónicayT
2 20t t
2 1 0t
1 0t
1, 2 0, 2
24 ,t t
2
2
2 4)
4
t
t
2
2
2 4)
4
t
t
1
3dt
1ln( 1)
2t
32ln( )t t t
Telecomunicaci
1 0 0t
1
2
1, ( )g t
t
2, '( )g t
t
22
4 2, ,
1
t
t
33
2
2
4 t
ln( 1)t
3ln(3)
iones
0
, ( ) l1h t
22
2, '( )
1
th t
1
t
11 2
3
3
2
1ln(3
2
2ln(2) 1
ln t
1)t
2
3) ln(2)
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaII
81
entonces:
3
2
1 1( ) 1 2 2 , ln(3) ln(2) ,3ln(3) 2 ln(2) 1
3 2F t dt
Ejercicio 3
Demuestre que ( )X ( ) ( )X ( ) ( )X ( )' ' 'F t G t F t G t F t G t
Solución
Demostración:
Si ( ) ( ) X ( )H t F t G t
entonces:
( ) ( ) ( ) X ( ) ( ) X ( )H t h H t F t h G t h F t G t
sumando y restando ( ) X ( )F t h G t
( ) X ( ) ( ) X ( ) ( ) X ( ) ( ) X ( )F t h G t h F t h G t F t h G t F t G t
agrupando
( )X ( ) ( ) ( ) ( ) X ( )F t h G t h G t F t h F t G t
dividiendo entre t y tomando límites
0
( ) ( )'( ) lim
h
H t h H tH t
t
0 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )lim ( ) X lim lim X lim ( )h h h h
G t h G t F t h F tF t h G t
h h
( ) X ( ) ( ) X ( )' 'F t G t F t G t
Escue
82
2.4.
elaProfesional
CURVAS
En g
ecuación
un sistem
representa
Intro
funciones
analítica y
DEFINICIÓ
Sea :F a
R
define una
se llaman
C
denotará a
Similarme
F
define a la
C
en el plan
deIngenieríaE
EN EL PLA
geometría
de dos var
ma de dos
a una supe
oduciremos
vectoriales
y permite el
ÓN 1
3,a b R u
( )Ran F
a curva en
ecuaciones
: ( ) ,C x f t
a la curva
ente, la func
: ,F a b
a curva
: ( ) ,C x f t
o.
ElectrónicayT
ANO Y EL E
analítica el
iables es u
s ecuacion
rficie.
ahora las
s de una
uso de der
una función
( ), ( ),f t g t h
el espacio
s paramétri
, ( ) ,y g t z
C en forma
ción vectoria
3 / ( )R F t
, ( ) ;y g t t
Telecomunicaci
ESPACIO
l conjunto d
na curva; e
nes con tr
s curvas en
variable, é
rivadas e int
n vectorial c
( ) /h t t a
o 3R ; las ec
cas de la cu
( ) ;z h t t
a paramétric
al
( ), ( )f t g t
,t a b
iones
de puntos
en el espac
res variable
n el plano y
ésta forma
tegrales de
continua, el
,a b
cuaciones x
urva; en lo q
,a b
ca.
del plano q
io una curv
es donde
y el espaci
de presen
funciones v
rango de F
( )x f t , y
que sigue
que verifica
va está dad
cada ecu
io por med
ntación es
vectoriales.
F
( )y g t , z
a una
a por
ación
io de
más
.
( )h t
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaII
83
2.5. REPRESENTACIÓN DE UNA CURVA EN EL PLANO Y EL ESPACIO
Una curva en el espacio puede expresarse analíticamente en una de las formas
siguientes:
a. Como la intersección de dos superficies
: ( , , ) 0 ; ( , , ) 0C F x y z G x y z
(Forma rectangular o cartesiana)
b. En forma paramétrica
: ( ) , ( ) , ( ) , ,C x f t y g t z h t t a b
donde t es un parámetro.
En el plano en una de las siguientes formas:
a. En forma rectangular
: ( , ) 0C F x y
b. En forma paramétrica
: ( ) , ( ) , ,C x f t y g t t a b
Como vemos, toda función vectorial continua define una curva que es
su rango y recíprocamente, las ecuaciones paramétricas de una curva definen
una función vectorial.
En ésta forma de definir una curva, ésta no necesariamente es una
“curva” en el sentido que percibimos, una recta también es una curva como
veremos luego.
Parametrizar una curva es transformar su ecuación rectangular a su
forma paramétrica.
Escue
84
Ejerc
Grafi
Solu
Si F
obse
por e
Figur
si (x
elaProfesional
cicio 4
ique la curv
F
ción
( )F t es un p
P
P
ervamos que
el punto (2,
ra.
, ) (2, 3x y
deIngenieríaE
va C definid
2: /F R R
punto P del
(2 3 ,4
(2,4)
P t
P t
e la expresi
4) en la dir
3 , 4 )t t
ElectrónicayT
EJERCI
da por la fu
/ ( ) (2F t
plano, ento
4 )
( 3,1),
t
t t
ión obtenida
rección del
u
P
Telecomunicaci
CIOS RESU
nción vecto
3 , 4 )t t
onces:
a es la ecua
vector u
FIG. 22
y
(2,4
u
iones
UELTOS
orial
ación vecto
( 3,1) tal c
4)
orial de la re
como se mu
x
ecta L que
uestra en la
pasa
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaII
85
entonces
2 3 , 4 ,x t y t t R
son justamente las ecuaciones paramétricas de la recta L , eliminando el parámetro t
se obtiene la ecuación 3 14 0x y que es la ecuación rectangular de la recta L .
Ejercicio 5
Grafique la curva definida por la función vectorial
2: / ( ) ( cos , ) , 0F R R F t r t r sent r
Solución
Las ecuaciones paramétricas de la curva son
cos ,x r t y rsent
el gráfico adjunto muestra a algunos de sus puntos
FIG. 23
y
xO( r,0) (r,0)
(0,r)
(0, r)
+ F(+)
0 (r,0)
2 (0,r)
( r,0)
32
(0, r)
2 (r,0)
Escue
86
que
coord
fuera
las e
obse
plano
tenem
que e
Ejerc
Para
Solu
Si x
luego
pudo
elaProfesional
llevados a
denadas y
a del interva
ecuaciones
C
ervamos que
o ya estudia
mos la ecua
x
es justamen
cicio 6
ametrice la
L
ción
t , entonc
o las ecuac
L
o haberse fij
L
deIngenieríaE
al plano f
radio r tal
alo 0,2 s
paramétrica
: cosC x r
e estas ecu
adas; elimin
ación:
2 2 2x y r
nte la ecuac
ecuación d
: 3 9x y L
ces 1
3y
ciones param
: ,x t yL
jado como
: 9 3x t L
ElectrónicayT
forman una
l como se m
se repiten l
as de la circ
,t y rsent
uaciones so
nando el pa
ción rectang
e la recta
9 0
33t
métricas de
13 ,
3y t
parámetro y
, ,t y t
Telecomunicaci
a circunfer
muestra en
os puntos.
cunferencia
, 0,2t t
n las coord
rámetro t
gular de la c
e la recta y
t R
y obtenidos
t R
iones
rencia con
la Figura 2
son:
enadas pol
circunferen
y son
se las ecuac
centro en
23, como pa
ares de un
cia C .
ciones
n el orige
ara valores
punto en e
n de
s de t
l
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaII
87
que también son las ecuaciones paramétricas de L , de lo anterior concluimos que
una curva puede tener varias ecuaciones paramétricas.
Ejercicio 7
Parametrice la ecuación de la circunferencia
2 2: ( 4) ( 1) 16C x y
Solución
Si ' 4 , ' 1x x y y
entonces
: 4cos , 4 , 0,2C x t y sent t
luego
4 cos , 1 4 , 0,2x t y sent t
son las ecuaciones paramétricas de la circunferencia C
Ejercicio 8
Grafique la curva definida por la función vectorial
30,2 / ( ) (2 2 , 2 3 , 3 2 )F R F t t t t
Solución
Si ( )F t es el punto ( , , )x y zP de 3R
entonces
( 2,2,3) ( 2, 3,2)P t t R
Escue
88
es la
direc
es un
como
Sus
elaProfesional
a ecuación v
cción del ve
P
n segmento
o se muestr
ecuaciones
C
deIngenieríaE
vectorial de
ctor ( 2u
(2,2,3)P
o de recta c
ra en la Fig
s paramétric
: 2 2C x t
ElectrónicayT
la recta L
, 3,2) , co
(2, 3,2t
uyos extrem
ura 24.
cas son:
, 2 3t y t
Telecomunicaci
que pasa p
omo 0,2t
) 0,2t
mos son los
, 3 2t z t
iones
por el punto
2 , entonc
2
s puntos (A
, 0,2t
o 0 (2,2,3)P
ces
(2,2,3) y B
) en la
(6, 4,7)B taal
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaII
89
2.6. ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LAS CÓNICAS
PARÁBOLA
a. Dada la parábola
2: 0x ax by c P
Sus ecuaciones paramétricas son
2
: , ,t a c
x t y t tb b b
P
b. Dada la parábola
2: 0y ax by c P
Sus ecuaciones paramétricas son
2
: , ,t b c
x t y t ta a a
P
ELIPSE
Sea la elipse
2 2
2 21 ,
x ya b
a b E:
Considerando dos circunstancias concéntricas una que inscribe y otra que
circunscribe a la elipse tal como se muestra en el gráfico adjunto,
se tiene:
y
x
(0,b)
(a,0)O B C
A P (x,y)
t
: xa
2
2+ y
b
2
2= 1
C : x + y = a22 2
FIG. 24
Escue
90
elaProfesional
en el OC
O
x
en el AO
A
y
luego
son las ec
Si se tiene
E
sus ecuac
E
HIPÉRBO
Sea la hip
deIngenieríaE
:CD
co
cos
OC OD
x a t
OB
AB OAsen
y bsent
: cosx a
cuaciones p
e la elipse
2 2
2 2:x y
b a E
ciones para
: cosx bE
OLA
pérbola H
ElectrónicayT
os t
nt
, ,t b bsent
paramétricas
1, a b
métricas so
,t y asent
2 2
2 2:x y
a b H
Telecomunicaci
, 0,2t
s de la elips
on
, 0,2t t
1 como se
iones
se E.
e muestra een la Figura adjunta.
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaII
91
en el OCD
sec
sec
OD OC t
x a t
en el EBO
BE OBtgt
y b tg t
luego las ecuaciones paramétricas de la hipérbola son
: sec , , 0,2x a t y btgt t H
y
x
(0,b)
(a,0)O B A
EP(x,y)
t
FIG. 25
D
: xa
2
2+ y
b
2
2= 1
’
C
Escue
92
elaProfesional
Ejercicio 9
Halle las e
C
Solución
Completa
(
ésta ecua
si
x
entonces
x
x
luego las e
Ejercicio 1
Halle la ec
deIngenieríaE
9
ecuaciones
2:9 4x yC
ndo cuadra
2( 2) (
4
x y
ción corres
2,x x
2 2
14 9
x y
2cos ,x t
ecuaciones
: 2 2C x
10
cuación rec
ElectrónicayT
EJE
paramétric
2 36 24y x
ados en la e
23)1
9
y
ponde a un
3y y
1 cuyas ecu
3y sent
s de la curva
2cos ,t y
ctangular de
:C x
Telecomunicaci
ERCICIOS R
cas de la cu
4 36 0y
ecuación se
na elipse co
uaciones pa
a son:
3 3 ,sent t
e la curva
2sec 1,t
iones
RESUELTO
rva
tiene:
n eje focal
aramétricas
0,2
y tg t
OS
paralelo al e
s son
2
eje y
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaII
93
Solución
Como 1
sec2
xt
y 2tgt y elevando al cuadrado y restando miembro a
miembro:
2 1
2 2 ( 1) ( 2)1 sec 1
4 1
x yt tg t
luego:
2 2( 1) ( 2)
: 14 1
x yC
es una hipérbola con centro en el punto ( 1,2) y eje focal paralelo al eje x
Ejercicio 11
Grafique la curva 2: , , 2 ,C x t y t t t y hallar su ecuación rectangular
Solución
Como x t e y t entonces x y , luego 2z y , la ecuación rectangular de la
curva es:
2: 0,C x y z y
C es la intersección del plano X Y y el cilindro 2z y tal como se muestra en
le Figura adjunta.
Escue
94
2.7.
elaProfesional
LONGITU
La lo
segmento
pequeños
Dada la cu
C
su longitud
L
ó
Para curva
Si :C x
L
ó
deIngenieríaE
UD DE ARC
ongitud de
os poligonal
s arcos.
urva del esp
: ( ),C x f t
d es:
'(b
aL F
ó b
aL
as en el pla
( ), (f t y g
'(b
aL F
ó b
aL
x
ElectrónicayT
O
una curva
les inscritos
pacio.
( ),y g t z
( )t dt
2'( )f t
ano:
( ), ,t t a b
( )t dt
2'( )f t
z
Telecomunicaci
se define c
s en la curv
( ),h t t a
2'( )g t h
entonces,
2'( )g t dt
z
FIG. 26
iones
como el lím
va determin
,a b
2( )h t dt
, su longitud
6
z = t2
x =
ite de las lo
nados por u
d es:
y
y = t
ongitudes d
una partició
de los
ón en
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaII
95
Si : ( ), ,C y f x x a b entonces, su longitud es:
21 ( )
b
aL f x dx
Si : ( )C r f es la ecuación polar, entonces:
2 2( )L r r d
donde ,
EJERCICIOS RESUELTOS
Ejercicio 12
Halle la longitud de la curva
: 2 , 1 2 , 4 3 , 1,2C x t y t z t t
Solución
Como 1, 2x y y 3z , entonces
2 22 2 2
1 11 2 3 14 3 14L dt dt
luego
3 14L
Se observa que : 2 , 1 2 , 4 3 , 1,2C x t y t z t t es un segmento de
extremos (1, 3,7)A y (4,3, 2)B cuya longitud es la distancia entre los extremos.
efectivamente, por la fórmula de la distancia entre dos puntos del espacio se tiene
2 2 2( , ) (4 1) (3 3) ( 2 7)L d A B
( , ) 3 14L d A B
Escue
96
Ejerc
Halle
Solu
Cons
ecua
luego
es la
halla
como
deriv
elaProfesional
cicio 13
e la longitud
ción
siderando la
aciones para
C
o, su longitu
L
L
L
L
a longitud de
aremos su lo
o
C
vando implic
y
deIngenieríaE
d de la una
a circunfere
amétricas s
: cosC x r
ud es 2 2 2
0(cos)()Lrt rsentdt
2
0:L
2
0L r
2
0L r t
2L r
e la circunfe
ongitud en c
2 2:C x y
citamente
xy
y
ElectrónicayT
circunferen
encia con ce
son
,t y rsent
cosr t
2 cosen t
2
0t
erencia
coordenada
2r
Telecomunicaci
cia de radio
entro en el o
, 0,2t t
r sent
2s tdt
as rectangu
iones
o r.
origen de co
2
dt
lares el res
oordenadas
sultado debe
s, sus
e ser el missmo:
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaII
97
luego:
la longitud del arco AB es (Figura 27)
2
01 ( )
r
ABL y dx
2
201
r xdx
y
2 20
r rdx
r x
0
rx
r arcsenr
2r
FIG. 27
y
xA(r,0)
B(0,r)
Escue
98
luego
Ejerc
Halle
Solu
Usan
enton
los lí
como
elaProfesional
o la longitud
L
cicio 14
e la longitud
C
ción
ndo la fórmu
nces
L
L
L
ímites de int
o se observ
deIngenieríaE
d de la circu
42
L r
d del cardioi
: 2(1C r
ula de la lon
22 (L
04 2L
16L tegración, e
va en la Figu
ElectrónicayT
unferencia C
2 r
ide
cos )t
ngitud en co
22 )sent
01 cost
es de 0 a
ura adjunta
O
FIG
t
Telecomunicaci
C es:
oordenadas
2 (1 co
tdt
pues hay
.
G. 28
(r
r = 2(1+
iones
s polares, co
2os )t dt
simetría co
(r,0)
r,t)
+cos )
omo 2r
on respecto
A
2sent
al eje polarr tal
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaII
99
Ejercicio 15
Halle la longitud de la curva
2 2 2: ,C x y r z h
Solución
La curva C es la intersección del cilindro 2 2 2x y r y el plano z h tal como se
observa en la Figura 29
sus ecuaciones paramétricas son:
: cos , , 4 ; 0,2C x r t y rsent z t
su longitud es:
2 2 2
2( ) ( cos )L rsent r t dt
2L r
en realidad estamos hallando la longitud de una circunferencia de radio r.
x
y
z
z = h
(0,r,0)
(0,r,h)
x + y = r22 2
C
FIG. 29
Escue
100
Ejerc
Halle
Solu
Las e
como
enton
2
t
elaProfesional
cicio 16
e la longitud
C
ción
ecuaciones
C
o
x
nces:
L
21 4
117 ln 4
2
t
deIngenieríaE
d de la curva
2:C y x de
paramétric
: ,C x t y
' , ' 2x t y
2
01 4L
1ln 2 1
2
4 17
t
ElectrónicayT
a
el punto 0,
cas de la cu
2 , 0, 2t t
2t
24t dt
2
2
0
4t
Telecomunicaci
0 hasta el
urva son
iones
l punto 2, 4
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaII
101
2.8. VECTORES UNITARIOS TANGENTE, NORMAL Y BINORMAL
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
VECTORIAL
Sea ( )F t una función vectorial derivable y C la curva que define ( )F t tal
como se muestra en la figura adjunta.
Los vectores OP y OQ corresponden a los vectores de posición ( )F t y
( )F t h 0h respectivamente,
como
OP PQ OQ ,
entonces PQ OQ OP
multiplicando por 1
h , se tiene:
1 1PQ OQ OPh h
en términos de F
x
z
y
FIG. 31
O
P
QF(t)
F(t + h)C
Escue
102
elaProfesional
1
h
si h tiende
coinciden
y se tiene
F
luego la d
tangencia
Una interp
DEFINICIÓ
Si F
define (F
t se defin
T
como los v
entonces
B
los tres v
“triedro m
para curva
el product
deIngenieríaE
1 1PQ Fh h
e a cero, en
y PQ se c
:
0( ) lim
hF t
erivada F
P.
pretación an
ÓN 1
( )F t es una
( )t , los vect
en respecti
(( )
(
F tt
F t
T
vectores T
(( )
(
F tt
F t
B
vectores un
óvil” pues e
as en el pla
to vectorial.
ElectrónicayT
( ) (F t h F
ntonces el p
convierte en
1m lim
hPQh
es un vect
náloga se d
a función ve
tores tange
vamente co
), ( )
)
tt
tN
( )t y F
) X ( )
) X ( )
t F t
t F t
itarios defin
existen en c
ano, excepto
Telecomunicaci
( )t
punto Q se v
n un vector t
0
( )mF t h
h
or tangente
a para func
ectorial der
nte unitario
omo sigue
( )
( )
T t
T t
( )t son par
nidos son m
cada punto
o el binorm
iones
va acercan
tangente a
) ( )F t
h
e a la curva
ciones vecto
rivable en e
, normal un
( )y t B
ralelos, lo m
mutuament
de la curva
al unitario p
do a P, en e
la curva en
a C en el pu
oriales en e
el espacio y
nitario y bino
( ) X ( )T t N t
mismo que
te ortogona
a C; similar
pues en 2R
el límite P y
el punto P
unto de
el plano.
y C la curva
ormal unitar
)
( )N t y F
ales y se lla
rmente se d
no está de
y Q
,
a que
rio en
( )F t
aman
define
finido
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaII
103
DEFINICIÓN 2
Si se fija 0t t , el punto de tangencia es 0P , las rectas que pasan por 0P
en las direcciones de 0 0 0( ),t t y tT N B se llaman respectivamente
“recta tangente, recta normal y recta binormal”.
DEFINICIÓN 3
Los planos “oscular”, “normal” y “rectificante” son los planos formados por
las rectas tangente y normal , normal y birnormal y tangente y binormal
respectivamente. La Figura adjunta ilustra gráficamente todos estos conceptos.
Plano rectificadorPlano normal
Plano osculador
Normal principalp
b
u
Tangente
Bin
orm
al
Curva
FIG. 32
Escue
104
2.9.
elaProfesional
CURVATU
La fu
arco”, der
DEFINICIÓ
Dad
llaman res
como (tT
tiene 2 (T t
multiplican
K
vemos qu
también s
N
De la defi
de variaci
palabras s
en un dete
deIngenieríaE
URA Y TOR
unción real
ivando se ti
ÓN 1
a la curva
spectivame
)t es un ve
). ( ) 0t T t
ndo escalar
( ) ( )t t .K T
e los vecto
on ortogona
( )( )
( )
K tt
tN
k
nición de v
ón de la di
simples, la
erminado p
ElectrónicayT
RSIÓN DE U
( )t
S t iene ( )S t
C, el vec
nte vector c
ector unitar
, luego (tT
rmente los v
1( )
( )t
S t
T
res ( )tK
ales, entonc
)
) que es o
vector curva
irección de
curvatura k
unto.
Telecomunicaci
UNA CURV
0
( ) ,t
tF t
( )F t , lue
ctor ( )t K
curvatura y
rio, entonce
) ( )y tT
vectores K
( ) 0t .T
( )y tT so
ces
otra versión
atura conclu
la curva c
( )k t mide e
iones
VA
0, t fijo se l
ego ( )t T
( )
( )
T t
S t
y su
curvatura d
es 1 ( )T t
) son ortogo
( ) (t yK T
on ortogona
n equivalent
uimos que K
con respecto
l grado de a
llama “Func
( )
( )
F t
S t
norma k
de la curva C
2( ) (T t T .
onales.
)t
ales y como
te de ( )N t
( )tK es el
o a la long
abertura qu
ción Longitu
( ) ( )k t t K
C en t .
( )t derivand
( )t yN
.
vector velo
itud de arc
ue tiene la
ud de
) se
do se
( )tT
cidad
co, en
curva
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaII
105
TEOREMA
Dada la curva C, si su curvatura ( )k t
es diferente de cero, existe un número
( )t tal que:
( ) ( ) ( )( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
t t tk t t k t t t t y t t
S t S t S t
T N B
N T B N
las fórmulas descritas se llaman “FÓRMULAS DE FRENET – SERRET” y el
número ( )t (función real) torsión de la curva; la torsión mide la tendencia de la
curva o alabearse con respecto al plano oscular.
La forma más directa de hallar la curvatura y la torsión de una curva del espacio
es mediante las fórmulas
3
( ) X ( )( )
( )
F t F tk t
F t
Y 2
( ) X ( ) ( )( )
( ) X ( )
F t F t F tt
F t F t
.
que se deducen de la definición de curvatura y torsión; no hay que perder de
vista que ( ) ( )k t t K donde ( )tK es el vector curvatura; ambos ( )k t y ( )t
son funciones reales de la variable t .
Para curvas en el plano
a. Si : ( )C y f x , entonces
3
2
( )( )
1 ( )
y xk x
y x
, Forma rectangular
b. Si : ( ), ( )C y f x y g t , entonces
Escue
106
2.10
elaProfesional
c. S
e
las curvas
. VECTOR
Si en la
posición d
es el vect
un instan
adjunto
el vector
respectiva
deIngenieríaE
(
( )f t
k tf
Si :C r f
entonces:
2
2
( )r
kr
s planas tien
DESPLAZA
función vec
de una part
or de posic
te arbitrario
velocidad V
amente por
( )tV
x
ElectrónicayT
2
) ( ) (
( ) (
g t g
t g
( )f ; ecua
2
32 22
(2 )r rr
r
nen torsión
AMIENTO, V
ctorial ( )F t
ícula móvil
ción en el in
o t es ( )F t
( )tV y el v
las ecuacio
( )F t y
x
Telecomunicaci
3
2 2
) ( )
)
t f t
t
,
ación polar
cero.
VELOCIDA
, la variab
en el espa
nstante 0t , e
0) ( )F t co
ector acele
ones:
( ) (a t V
z
FIG. 33
O
P
F(T0
iones
Forma re
de la curva
AD Y ACELE
ble t es el ti
cio; si 0t t
el desplaza
omo puede
eración ( )ta
( )t
3
P0
)
F(t)
F(t)
ctangular
,
ERACIÓN
iempo, (F t
0 es el tiem
amiento de
e apreciars
de la part
y
F(T ) 0
) es el vect
mpo inicial, F
la partícula
se en el g
tícula se de
tor de
0( )F t
a para
ráfico
efinen
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaII
107
EJERCICIOS RESUELTOS
Ejercicio 17
Si C es la curva definida por la función vectorial 21
( ) ,2
F t t t t R i j
halle: los vectores tangente unitario y normal unitario, la curvatura y las ecuaciones
de la recta tangente y normal en 1t .
Solución
La función vectorial que define a la curva C es
21( ) ,
2F t t t
como ( ) 1,F t t entonces
2 2
( ) 1( ) ,
( ) 1 1
F t tt
F t t t
T
evaluando en 1t , se tiene:
1 1
,2 2
T
que es el vector unitario tangente en el punto 1
1,2
como
3 3 12 2 22 2 2( ) (1 ) , (1 ) (1 )T t t t t t t
evaluando en 1t , se tiene
1 1
,2 2 2 2
N
luego
1 1
,2 2
N
Escue
108
la cu
cuya
elaProfesional
urva que def
C
ó
a gráfica se
Hallando
como
entonces
al mismo
deIngenieríaE
fine ( )F t e
: ,C x t y
ó 2
:2
xC y
muestra en
o la curvatu
y x
s
k
o resultado
ElectrónicayT
es la parábo
21
2y t
n la Figura 3
ra en 0 1
P
x e y
3
2
1
21 1
se llega si u
Telecomunicaci
ola:
34.
1,
2
1
1
2 2
usamos las
iones
s ecuacione
s paramétriicas:
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaII
109
Hallando la ecuación de la recta tangente
0:P P t L
1 1 1( , ) 1, ,
2 2 2x y
: 2 2 1 0x y L
Hallando la ecuación de la recta normal
0 0:P P N L
1 1 1( , ) 1, ,
2 2 2x y
: 2 2 3 0x y L
Ejercicio 18
Dada la curva 2 2: 2, 2 , 2 2 ,C x t y t z t t
Halle:
a. Los vectores unitarios ,T N y B
b. Las ecuaciones de los planos: oscular, normal y rectificante
c. Las ecuaciones de las rectas tangente, normal y binormal
d. La curvatura y torsión
todo en el punto 0 ( 1,2,0)P
Escue
110
Solu
La fu
en t
a
Halla
Com
enton
luego
elaProfesional
ción
unción vecto
F
1 se tien
a. Como F
entonces
T
en 1t
T
ando B
mo (1) (2F
nces
F
o
B
B
deIngenieríaE
orial que de
2( ) 2F t t
e el punto
( ) 2 ,2F t t
s
2
(2( )
4
tT t
t
1,
6T
2, 2, 4) y
(1) X (1F F
(1)X
(1)X
FB
F
2,0
5B
ElectrónicayT
efine a la cu
2 , 2 , 2 2t t
0 ( 1,2,0)P
2, 4t y
2
, 2, 4)
4 16
t
t
1 2,
6 6
(1) (F
1) 2 2
2 0
i j
X (1)
X (1)
F
F
10,
5
Telecomunicaci
urva C es
2t
( ) (2,F t
2,0,4)
4 8
4
k
i
iones
0, 4)
4k
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaII
111
hallando el vector normal N
2 1 1 5 2X 0
5 5 30 30 301 1 2
6 6 6
i j k
N B T i j k
1 5 2, ,
30 30 30N
hay que tener presente que
X , X XB T N N B T y T N B
b. Como el punto de paso es 0 ( 1,2,0)P entonces:
plano oscular OP
0: ( ) 0O P P B .P
: 1, 2, 2,0, 1 0x y z .
: 2 2 0O x z P
Plano Normal NP
0: 0N P P N .P
: 1, 2, 1, 5, 2 0x y z .
: 5 2 11 0N x y z P
Plano Rectificante RP
0: 0R P P T .P
: 1, 2, 1,1, 2 0x y z .
: 2 1 0R x y z P
Escue
112
c
d
Ejerc
elaProfesional
c. Recta ta
P
(
L
Recta No
P
(
L
Recta Bi
P
(
L
d. Curvatur
De la pa
luego
luego la
también
La torsió
cicio 19
deIngenieríaE
angente TL
0P P T
( . , ) (x y z
: 3T x y L
ormal NL
0P P N
( . , ) (x y z
1:
1N
x yL
inormal BL
0P P B
( . , ) (x y z
: 2B x z L
ra y torsión
rte (a) tene
(1)F
k
curvatura e
F
(
ón en el pun
ElectrónicayT
1,2,0) (1
3 0, 0z
N
1,2,0) (1
2
5 2
y z
B
1, 2,0) (
1 0, y
mos
) (2,2,4)
3
(1) X (
(1)
F F
F
en el punto
(1) X (1
(1) X
F F
F F
( 8,0, 4) (
( 8,0, 4
.
nto ( 1,2,0
Telecomunicaci
1,1, 2)
0
1, 5, 2)
2,0, 1)
2
(1) Xy F
(1) ( 8,0
(2, 2,
( 1,2,0) es
2
1) (1)
(1)
F
F
.
2
(0,0,0)0
4)
0) es 0
iones
X (1) (F
3
0, 4) 4
4) 2
s 5
12 6k
8,0, 4)
3
5
6
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaII
113
Dada la curva
: 2 2cos , 3 2 , 0, 2C x t y sent t
Halle:
a. Los vectores unitarios tangente y normal
b. La curvatura
c. La ecuación de la recta tangente y normal
todo lo anterior en el 0 (3, 3 3) P de la curva
Solución
a. En coordenadas rectangulares la curva es la circunferencia
2 2( 2) ( 3) 4C x y
tal como se muestra en la Figura 35
la función vectorial que define a la curva C es;
( ) 2 2cos , 3 2 , 0,2F t t sent t
FIG. 35
y
x
C(2, 3)(4, 3)
N
NT
T
Escue
114
b
elaProfesional
el punto
como
entonces
evaluand
el vector
evaluand
b. Hallarem
Como f
entonces
evaluand
deIngenieríaE
0P corresp
( )F t
s
( )T t
do en 3
t
T
r normal uni
( )N t
do en 3
t
( )N t
mos la curva
( ) 2 2cf t
s
( )f t
(f t
do en 3
t
3f
ElectrónicayT
ponde a t
) 2 ,sent
( )
( )
F t
F t
, se tiene
3 1,
2 2
itario es
( )
( )
T t
T t
se tiene
1,
2 2
atura usand
cos t y g
) 2 ,sent
) 2cos ,t
3,3
Telecomunicaci
3
, 2cos t
, cossent
cos ,t se
3
2
do la fórmula
( ) 3 2t s
( ) 2cg t
( )g t
13
g
iones
t
ent
a paramétri
sent
cos t
2sent
ica
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaII
115
1, 3
3 3f g
luego
3
2 22
3 3 1 ( 1)
3 1
k
1
2k
c. Ecuación de la recta tangente
0:T P P T L
( , ) 3, 3 3 3,1x y
: 3 6 3 3 0T x y L
Ecuación de la recta normal
0:N P P N L
1 3
( , ) 3, 3 3 ,2 2
x y
: 3 3 2 3 0N x y L
Ejercicio 20
Si C es la curva definida por la función vectorial 2 2( ) , , 4t tF t e e t
halle:
a. Los vectores unitarios ,T N y B
b. Las ecuaciones de las rectas tangentes normal y binormal
c. La curvatura y la torsión
todo lo anterior en el 0(1,1,4)P
Escue
116
Solu
a
elaProfesional
ución
a. Como P
derivand
( ) (F t
evaluand
'(0) (F
luego
el vector
el vector
Como N
N
1
14N
3
7N
deIngenieríaE
0 (1,1,4) CP
do ( )F t
2(2 , ,2t te e
do en 0t
(2, 1,0) ,
T
r tangente u
T
r unitario bin
B
B
XN B T ,
1 2,
14 14
1. 1
4 52
i
3 6, ,
70 70
ElectrónicayT
C , entonces
2 ) , ( )t F t
(0) (4,F
'(0) (2
'(0)
F
F
unitario es
2 1, ,
5 5
normal
0 X
0 X
F F
F F
1,
14
entonces
3, X
14
2 3
1 0
j k
5
70
Telecomunicaci
s 21 te , d
2(4 , ,2)t te e
,1, 2) y F
2 , 1,0)
5
0
0 2,
0 2,
2 3,
14 14
2 1, ,0
5 5
iones
e donde t
) (y F t
(0) (0,F
1,0 X 4,
1,0 X 4,
0
0
) (8 , tt t e
1,0)
1,2
1,2
,0)
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaII
117
luego el triedro móvil es
2 1 3 6 5 1 2 3, ,0 , , , , ,
5 5 70 70 70 14 14 14T N y B
b. Como el punto de paso es 0(1,1,4)P entonces
: (1,1, 4) (2, 1, 0),T P R L F. Vectorial
: 2 3 0, 4T x y z L F. Rectangular
Similarmente:
: (1,1, 4) (3, 6, 5),N P R L F. Vectorial
1 1 4:
3 6 5N
x y z L
F. Rectangular
c. Plano oscular:
0: . 0O P P B P F. Vectorial
( 1, 1, 4) ( 1, 2,3) 0x y z .
: 2 3 9 0O x y z P
F. Rectangular
Plano normal
0: . 0N P P T P F. Vectorial
( 1, 1, 4) (2, 1,0) 0x y z .
: 2 1 0O x y P
F. Rectangular
Plano rectificante
0: . 0R P P N P F. Vectorial
Escue
118
d
elaProfesional
( 1,x y
:3O xP
d. Curvatur
es la cur
También
es la tors
deIngenieríaE
1, 4) (3z .
6 5 2y z
ra y torsión
k
1
5k
rvatura en
n
F
1
sión en 0 (P
ElectrónicayT
3,6,5) 0
29 0
F.
3
'(0) X ''
'(0)
F F
F
1 56
5 5
0 (1,1,4)P
'(0) X ''(0
'(0) X
F F
F F
1
14
(1,1,4)
Telecomunicaci
. Rectangul
(0) (2,
2
0) '''(0)
''(0)
F
F
.
iones
ar
3
1,0) X (4,1
(2, 1,0)
( 2, 4,6)
( 2, 4
, 2)
2
(0, 1,0)
4,6)
.
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaII
119
De los 20 ejercicios propuestos en esta unidad, resolver mínimo 8, comparar sus
soluciones con las soluciones dadas en cada ejercicio propuesto.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Dadas las funciones vectoriales
2 4 3 2 2 3
2 2 3 2 2 22
4 2 2 3 2 2 4 5 10 8( ) , , ( ) , ,
5 6 4 2 2 4 4 8 44
t t t t t t t t tF t y G t
t t t t t t t t tt
halle:
a. 2
lim ( ) ( )t
F t G t
b. 2
lim ( ) ( )t
F t G t
.
c. 2
lim ( ) X ( )t
F t G t
Sol.
a. 5 13
3, ,4 4
b. 13
4
c. 5 49
, , 516 4
Actividadessugeridas
Escue
120
2
3
4
5
elaProfesional
2. Sean las
halle las
a. F
b. F
c. F
Sol.
a. b. 3
c. 3. Halle la
a. F
b. F
c. F
Sol.
a.
b.
c. (
4. Determin
función v
Sol. en l
5. Halle la
la funció
a. F
b. F
c. F
deIngenieríaE
s funciones
( )F t
derivadas
( )F t , en t
( ) ( )F t G t. , e
( ) X ( )F t G t
1,2,3
3
1,1,0
derivada de
2( )F t sen t
( ) 3F t
( ) cosF t t
2cos0,
4
3
, 02
(0,0,0)
ne los punto
vectorial (F
os puntos F
ecuación de
ón vectorial
3( )F t t
( ) cos3F t
( ) ,tF t e e
ElectrónicayT
vectoriales
2t t i j
parciales d
1t
en 1t
) , en 1t
e la función
2 ,t senti j
3 21,ln t 2cos 2ti j
os en que la
3( ) 3t t t
(2) 2,F
e la recta ta
F en el pu
22 , 1,3t t
3 , 3 ,3t sen t t
,te t punto
Telecomunicaci
s
3t y G k
e las siguie
vectorial da
en 2
t
1 , en t
3cos 3tj k
a recta tang
3 2 3,3 ,3t t t
12,14 , F
angente y d
nto indicado
punto (1)F
punto (0F
o (0)F
iones
( )G t t i j
entes funcio
ada en el p
0
, en t
gente a la c
es parale
( 1) 2,F
el plano no
o.
)
0)
1 t k
nes vectori
unto indicad
curva descr
ela al plano
3, 4
rmal a la cu
ales.
do.
rita por la
3x y z
urva descrit
5
ta por
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaII
121
Sol.
a. La recta: 1, 2 2 , 3x t y t z plano 2 3x y
b. La recta: 1, 3 , 3x y t z t plano 0y z
c. La recta: 1 2 , 1 ,x t y t z t plano 2 3 0z x y
6. Halle las siguientes integrales definidas
a. 2
0( )F t dt
si 2 2( ) 3 2 3F t t t t k i j
b. 1
0( )F t dt
si 2( ) t tF t e e t i j k
Sol.
a. 4,4,6
b. 2 11,1 ,
2e e
7. Halle la función vectorial ( )F t que define las curvas
a. Recta que pasa por el punto 1,1,0A en la dirección al vector k
b. Recta que pasa por los puntos 1,2,1 2,1,4A y B
c. Parábola 2 4y x
d. Elipse 2 2
41
4 9
x t y
Sol.
a. ( )F t t i j k
b. ( ) 3 3 2F t t t i j k
c. ( ) 1 cos 4 3F t t sent i j
Escue
122
8
9
elaProfesional
8. Halle la
a. F
b. F
c. F
d. F
Sol.
a.
b. x
c. x
d. y
9. Halle la
a. S
b. S
c. C
d. E
Sol.
a. x
b. x
c. x
d. x
OBS: (
deIngenieríaE
ecuación re
( ) (1 cF t
2( ) , ,F t t t
( ) ,tF t e e
( ) 2F t t
21x y
1,xy z x
12
2
yx
2 ,y x z x
ecuaciones
Segmento q
Segmento q
Circunferenc
Elipse: 29x
2,
7x t y
1 2 ,x t y
2 3 ,x t y
2 2cosx
b) una recta
ElectrónicayT
ectangular d
cos ) 1t i
3t
2,t te e
1 2t t i
21 1
2x
1
2
z
3x
s paramétric
que une los
que une los
cia: 2 2x y
24 36y x
2 24,
7 7t t
2, 1y z
3 3 ,y t
s , 1 3t y
a puede ten
Telecomunicaci
de la curva
sent j
2tj k
cas de las s
puntos (A
puntos (1,A
4 6x y
8 4 0y
2,5
2 , 0t t
0,2t
3 ,sent t
ner muchas
iones
definida po
siguientes c
2, 4) y
, 2,3) y B
4 0
0
,1
0,2
ecuaciones
r la función
curvas
(5,2)B del
( 1,2,1)B d
s paramétri
vectorial F
plano
del espacio
icas
F
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaII
123
10. Halle la longitud de las curvas dadas
a. 2: 12C y x ,limitado por la ordenada correspondiente a 3x
b. 2 2: 2 9C x y
c. : 2 3 6 , 0,3C x y x
Sol.
a. 6 2 ln 1 2
b. 6
c. 13
11. Halle la longitud de las curvas dadas
a. 2 2: , , 0,4C x t y t t
b. : , 1 cos , 0,2C x t sent y t t
c. : cos , , 0,4t tC x e t y e sent t
Sol.
d. 837 37 1
27
a. 8
a. 42 1e
12. Halle la longitud de las curvas representadas por las funciones vectoriales
a. ( ) cos , 0,2F t t sent sent t i j k
b. ( ) 2 cos2 , 0,1F t t sen t t t i j k
c. ( ) cos3 3 0,2F t t sen t t i j
Sol.
a. 3
b. 21 4 n
c. 6
Escue
124
1
1
1
1
elaProfesional
3. Dada la
halle los
3, 3
indicado
Sol.
T
: 3T xY
: 3N x Y
4. Halle los
curva C
Sol.
1
22T
0 :P x y
5. Halle la
plano no
función v
Sol. :TL
0
:
:B
P
L
6. Lo mism
punto F
Sol. :TL
0
:
:B
P L
deIngenieríaE
curva
:C x
vectores u
3 ; halle t
o
3 1, ,
2 2N
3 9x y
3 6 3y
s vectores u
2: 1 3x t
3, 2, 3 ,2
1 0y z
ecuación de
ormal, el pla
vectorial (F
1, ,x y t
1,
0, N
x y t
z y P
mo que en e
(0)F
1,x t y
1 ,
2
x t y
x y z
ElectrónicayT
2 2cos t
nitarios T
también la e
1,
2N
3 0
3 3 0
unitarios ,T
, 4 ,y t z
1
11N
e la recta ta
ano oscular
( ) cost t i
, :Nz t L
,
: 0,N
t z t
y z
l ejercicio 1
1 ,t z t
1 , 2
0, :N
t z t
P x
Telecomunicaci
, 3 2t y
y N , la
ecuación de
3,
2k
N y B y
24 3t
1, 3,1 , B
angente, la
y el plano r
sent tg j +
1 2 ,x t y
, : 1RP x
5 para la fu
: 3N x tL
0,
t
y z P
iones
2 , 0sent t
curvatura to
e recta tang
1
2
y la ecuació
1,0,
2B
recta norma
rectificante
g t k en el p
0, 0y z
unción vecto
1, 3t y t
: 2RP x y
0,2
odo ene l pu
gente y norm
ón del plano
1,
2
al, la recta b
de la curva
lano (0)P
orial ( )F t
1, 0z
2
unto
mal en el pu
o oscular de
binormal, e
a definida po
, ,t te e t e
unto
e la
l
or la
en el
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaII
125
17. Dada la curva
21 1: , ,
t tC x t y z
t t
halle la torsión y la ecuación de su plano oscular en 1t
Sol. 0 : 1 0, 0P x y z
18. Halle la ecuación de la recta tangente, el plano normal y el plano oscular de la
curva C definida por la función vectorial 2 3( )F t t t t i j k en el punto
2,4,8
Sol. 2 4 8
: , : 4 12 1441 2 12T N
x y zP x y z
L
0 :12 6 8 0P x y z
19. Demuestre que la curva C definida por la función vectorial
3 2 3( ) 3 ,3 ,3F T t t t t t tiene curvatura y torsión iguales en todos sus
puntos.
20. Dada la curva
2: , , 2C x t y t z t
halle el triedro móvil en 1t
Sol. 1 1 11,2,2 , 2,5, 4 , 4,0,2
3 3 5 20T N B
Escue
126
elaProfesional
1. Se in
difere
reale
2. Se i
funci
3. Se tr
vicev
4. Se d
travé
noció
deIngenieríaE
ntroduce la
enciales co
es de una va
ntroducen
iones vecto
ransforman
versa de cu
desarrolla un
és del triedr
ón de curva
ElectrónicayT
as funcione
orrespondien
ariable.
las curvas
oriales.
las ecuaci
rvas en el p
n aspecto e
ro móvil: ve
atura y torsió
R
Telecomunicaci
s vectoriale
ntes como
en el pla
ones rectan
plano y en e
elemental d
ectores unit
ón.
Resumen
iones
es de una
una extens
no y en e
ngulares a
el espacio,
de la geome
arios tange
variable y
ión natural
el espacio a
ecuaciones
etría diferen
ente, norma
sus operad
de las func
a través d
s parametri
ncial de curv
al y binorma
dores
ciones
e las
cas y
vas a
al y la
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaII
127
A. Fuentes bibliográficas
1. W. Swokowsky Earl (1980).Cálculo con Geometría Analítica. Segunda Edición.
Grupo Editorial Iberoamérica. México D.F.
2. Leithold Louis (2009). El Cálculo. Séptima Edición. Hoxford – Harla. México
D.F.
3. Mitacc Meza Máximo (2005). Cálculo III. Cuarta Edición. Editorial Thales S.R.L.
Lima.
4. Kreyzig Erwin (2003). Matemática Avanzada para Ingenieros: T.I. Tercera
Edición. Editorial Limusa Wiley. México D.F.
5. Larson Rom (2006). Cálculo de Varias Variables. Editorial McGraw–Hill. México
D.F.
B. Fuentes electrónicas
Direcciones de la web, que brindan información adicional, incluidos ejemplos resueltos
y propuestos, que podrán ayudar a la mejor comprensión del curso para verlos,
buscarlos en el campo virtual.
Fuentesdeinformación
Escue
128
Actu
y mid
1
2
3
4
5
elaProfesional
ando con to
da el nivel d
. Dada las
( ) lnF t
halle:
a.
b.
2.
a. P
C
b. H
C
3. Dada la
:C x
halle los
la curvat
4. Dada la
: 1C x
Halle los
torsión e
5. Halle la
: 2C x
deIngenieríaE
oda serieda
de su apren
s funciones
n t senti j
( ) ( )F t G t.
( ) (xF t G t
Parametrice
2 2:C x y
Halle la ecua
: 2C x
curva
2 2cos ,t
vectores u
tura en el p
curva
22 , 2t u
s vectores u
en el punto
longitud de
22 ,t y t
ElectrónicayT
ad, sin ver e
ndizaje. Com
vectoriales
te y k
'
) 't
e la ecuació
4 6 4x y
ación recta
2cos ,t y
3 3y s
nitarios T
unto donde
2 , 2 2t z
unitarios T y
donde t
la curva
, 1, 4t
Auto
Telecomunicaci
el solucionar
mpare sus r
s
2( )G t t i
n de la curv
4 0
ngular de la
3 3sen t
, 0,sent t
y N, la ecu
e 3
t
22 ,t t R
y N, la ecua
1
oevaluació
iones
rio resuelva
respuestas
cos 2t j k
va
a curva
t
2
uación de la
ación del pl
ón
a los ejercic
con el soluc
k
a recta tang
ano oscular
cios propues
cionario.
gente y norm
r, la curvatu
stos
mal y
ura y
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaIII
131
III Unidad
didáctica:
Campos
Vectoriales e
Integrales
Curvilíneas
3.1. Campos vectoriales y campos escalares
3.2. Derivada parcial de un campo vectorial
3.3. Gradiente de un campo escalar
3.4. Divergencia de un campo escalar
3.5. Rotacional de un campo vectorial
3.6. Integrales curvilíneas
3.7. Propiedades de las integrales curvilíneas
3.8. Independencia de la trayectoria de una integral curvilínea
Esquemadecontenidos
Escue
132
elaProfesional
1
2
3
deIngenieríaE
1. Entende
cálculo d
2. Conoce
de integ
3. Domina
ElectrónicayT
er lo que es
de su deriva
r y operar c
grales curvil
r el cálculo
Compet
Telecomunicaci
s un campo
ada, su rota
correctamen
íneas en el
del Laplaci
tenciasyc
iones
vectorial y
acional y div
nte las técn
plano y en
ano de un c
capacidade
dominar el
vergencia.
icas del cál
el espacio.
campo esca
es
culo
.
alar.
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaIII
133
Para estudiar los fenómenos de la naturaleza como la gravedad, expansión
del calor; fenómenos electromagnéticos, etc. se requiere un modelo matemático
que lo sustente y explique, en física por ejemplo al considerar el movimiento de
un fluido a cada partícula del fluido representado por un punto ( , , )x y z lo
asociamos un vector ( , , )V x y z que representa la velocidad de la partícula,
estudiar la velocidad de la partícula es estudiar la función vectorial ( , , )V x y z en
términos de sus derivadas parciales y otros operadores diferenciales que se
definen, como lo veremos más adelante.
Las funciones vectoriales de una variable asocian a un número real t un
vector del plano o del espacio, en esta sección extenderemos la correspondencia
entre pares y ternas de números reales; hay varias posibilidades para tal
correspondencia como se muestra luego:
( , ) ( , ) ( , )F x y f x y g x y i j
( , ) ( , ) ( , ) ( , )F x y f x y g x y h x y i i k
( , , ) ( , , ) ( , , )F x y z f x y z g x y j i k
( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )F x y z f x y z g x y z h x y z i j k
las correspondencias descritas son transformaciones de la forma:
: n mF R R
A estas transformaciones las llamaremos funciones vectoriales de varias
variables o campos vectoriales.
Introducción
Escue
134
3.1.
Uni
dad
elaProfesional
CAMPOS
DEFINICIÒ
U
es una fun
único vect
:F R
las funcion
reales de
en lo que
S
sigue:
:F R
las propie
campos ve
para funci
para la de
CA
deIngenieríaE
VECTORIA
ÒN 1
Un campo v
nción que a
tor ( , ,F x y z
3 3 /R R F
nes , ,f g h
tres variabl
sigue a ést
Similarmente
2 2 /R R F
dades usua
ectoriales s
ones vecto
erivada se ti
AMPOS VE
ElectrónicayT
ALES Y CA
ectorial de
asigna a cad
)z ; en la not
( , , )F x y z f
son llamad
es de la for
3
3
3
:
:
:
f R
g R
h R
os tipos de
e, un cam
( , ) (F x y f
ales de cont
son general
riales de un
ene:
ECTORIAL
Telecomunicaci
AMPOS ESC
tres variabl
da punto (x
tación usua
( , , )f x y z i
as funcione
rma
/
/ (
/ (
R z f
R z g
R z h
funciones l
po vectoria
( , ) (x y g xi
tinuidad, de
izaciones in
na variable
LES E INTE
iones
CALARES
es o funció
, , )x y z de u
al
( , , )g x y z j
es compone
( , , )
( , , )
, , )
x y z
x y z
x y z
las llamarem
al de dos
, )x y j
erivación, in
nmediatas d
ya estudiad
EGRALES
n vectorial d
una región D
( , , )h x y z k
entes de F,
mos “campo
variables s
ntegración, e
de las corre
da en la unid
CURVILÍN
de tres vari
D del espac
k
son funcion
os escalare
se define
etc. para
espondiente
dad anterio
NEAS
ables
cio un
nes
es”
como
es
or; así
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaIII
135
3.2. DERIVADA PARCIAL DE UN CAMPO VECTORIAL
DEFINICIÓN 2
Si ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )F x y z f x y z g x y z h x y z i j k es un campo vectorial, la
derivada parcial de F con respecto a ,x y y z se define respectivamente
como sigue:
0
0
0
( , , ) ( , , )lim
( , , ) ( , , )lim
( , , ) ( , , )lim
h
h
h
F F x h y z F x y z
x hF F x y h z F x y z
y h
F F x y z h F x y z
z h
si los límites existen, similarmente se definen las segundas derivadas parciales.
como
( , , ) ( , , ), ( , , ), ( , , )F x y z f x y z g x y z h x y z
entonces
1( , , ), ( , , ), ( , , )
Ff x y z g x y z h x y z
x x x x
similarmente para las otras variables parciales.
Si F y G son campos vectoriales, entonces
a. G FF G F G
x x x
. . .
b. X X XG F
F G F Gx x x
lo mismo para las otras variables.
Escue
136
3.3.
a.
b.
c.
elaProfesional
GRADIEN
DEFINICIÓ
Si (u f x
de f deno
en cada p
escalares
es llamado
campo es
si (u f x
( )f g
( )fg f
f g
g
Sea
0 0 0, ,P x y
deIngenieríaE
NTE DE UN
ÓN 3
, , )x y z es u
otado por g
,f
fx
punto ( ,x y
de dos var
ix y
o “operador
calar, así se
f
f
, , )x y z y v
f g
f g g
2
g f f
g
la superfic
0z S , la
0
fP
x
ElectrónicayT
CAMPO E
una función
( )grad f o
, ,f f
y z
, )y z del dom
riables, el op
j ky z
r diferencia
e tiene:
x y
f f
x y
i
i
( , , )g x y z
f
, 0g
g
ie : ( ,S f x y
a ecuación
0x x
Telecomunicaci
SCALAR
n de tres va
o f se de
f f
x y
i j
minio de f ;
perador dif
l NABLA”, e
fy z
f
z
j k
j k
son campo
0
, )y z c , c
del plano ta
0
fP y
y
iones
ariables (ca
efine como s
f
z
k
; la definici
ferencial
es un vecto
f
s escalares
constante,
angente a S
0
fy P
z
ampo escal
sigue:
ón es simil
r simbólico,
s, entonces
si el punto
S en el pun
0 0P z z
ar), el grad
lar para ca
, actúa sobr
nto 0P es:
0
diente
mpos
re un
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaIII
137
De donde
0 0 0 0 0 0, , , , 0f P f P f P x x y y z zx y z
.
luego el vector gradiente 0f P es normal a la superficie S en cada punto P.
3.4. DIVERGENCIA DE UN CAMPO ESCALAR
DEFINICIÓN 4
Si ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )F x y z f x y z g x y z h x y z i j k es un campo vectorial, la
divergencia de F denotado por ( )div F o F . es el campo escalar.
( )
f g hF div V
x y z
.
en la definición x y z
i j k está actuando como un vector y se tiene el
producto interno.
, ,F f g h
x y z
. .
f g h
x y z
Sea el campo escalar ( , , )z f x y z
como el gradiente f es un campo vectorial
entonces
, , , ,f f f
div f V fx y z x y z
. .
2 2 2
2 2 2
f f f
x y z
Escue
138
3.5.
elaProfesional
denotando
se llama
Laplaciano
escalar en
la ecuació
se conoc
satisface l
ROTACIO
DEFINICIÓ
Si ( ,F x y
rotacional
r
hay que t
por si solo
deIngenieríaE
o f . po
22
2
ff
x
“Laplacian
o”; actúa s
ntonces:
22
2
gg
x
ón diferencia
22
2
ff
x
e con el
la ecuación
ONAL DE U
ÓN 5
, ) ( ,y z f x y
de F denot
( ) Xrot F
tener prese
o no es un v
ElectrónicayT
or 2 f la fu
2 2
2 2
f f
y z
o” de f ;
sobre un c
2 2
2 2
g g
y z
al en deriva
2 2
2 2
f f
y z
nombre de
de Laplace
N CAMPO
, ) ( ,y z g xi
tado por ro
X F
ente que
vector.
Telecomunicaci
unción
2
f
; y el ope
campo esca
g
adas parcial
20
f
e “Ecuación
e se llama f
ESCALAR
, ) (y z h xj
( )ot F es el
F . y X
iones
rador 2
alar, así se
les
n de LAPL
función arm
, , )x y z k es
campo vec
F son pura
2 2
2 2x y
e tiene si g
LACE y to
ónica.
s un camp
torial
amente for
2
2z
“ope
g es un ca
oda función
po vectoria
rmales pues
erador
ampo
n que
al, la
s
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaIII
139
de la definición de rotacional se tiene
( ) X
i j k
rot F Fx y z
f g h
( )h g f h g f
rot Fy z z x x y
i j k
las propiedades del gradiente, divergencia y rotacional lo resumimos en el
siguiente teorema.
TEOREMA 1
Si F y G son campos vectoriales y ,f g son campos escalares, entonces
1. ( ) ( ) ( )div F G div F div G
2. ( ) ( ) ( )rot F G rot F rot G
3. f F f F f F . . .
4. X X Xf F f F f F
5. X X XF G G F F G . . .
6. X XF G G F G F F G F G . . . .
7. X X X XF G G F F G G F F G . . .
8. X 0f (vector cero)
9. X 0F . (cero real)
10. 2X X F F F .
Desde que ( , , ) , ( , , )F x y z G x y z son vectores y ( , , ) , ( , , )f x y z g x y z son
números reales, las propiedades descritas en el teorema, no son más que
propiedades vectoriales del producto interno, producto vectorial y productos
mixtos de vectores vistos ya en cursos anteriores.
Escue
140
Ejerc
Dado
( ,f x
Solu
elaProfesional
Hay que te
rotación, p
r
el menor
considera
cicio 1
o el campo
, , )y z xyz
a. El lapla
b. Diverge
c. Rotaco
d. Diverge
e. Rotacio
ción
a. Si (f x
deIngenieríaE
ener presen
por ejemplo
( )
i
rot Fx
f
compleme
formalmen
vectorial F
, halle:
aciano de f
encia de F
onal de F
encia de f
onal de f F
, , )y z x y
,f f
yzx
ElectrónicayT
nte que cua
o:
i j k
x y z
f g h
entario de
nte como h
y
EJERCI
( , , )F x y z x
f
F
F
y z , entonc
,f f
xzy z
Telecomunicaci
ando se des
i es el de
h g
y z
CIOS RESU
3 lnx z y ei
es sus deriv
fxy
z
iones
sarrolla el d
eterminante
UELTOS
2 2x x j
vadas parc
eterminante
y z
g h
2z k y el ca
iales de prim
e que define
cuyo valo
ampo esca
mer orden s
e a la
or se
lar
son
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaIII
141
las segundas derivadas parciales
2 2 2
2 2 20 , 0 , 0
f f f
x y z
luego el Laplaciano es
2 0f (Función cero)
b. Divergencia de F
3 2
3 2
2
( ) , , ln , , 2
ln 2
3 ln 2
x
x
x
div f F x z ye x zx y f
x z ye x zx y z
x z e
. .
como pude verse la divergencia de F
2 2( ) 3 ln 2div F x z e
es un campo escalar
c. Rotacional de f
3 2
( ) X
ln 2x
rot F F
i j k
x y z
x z ye x z
Escue
142
elaProfesional
0 ,
y
la rotac
r
d. Diverge
f
luego
e. Rotacio
Como
entonce
deIngenieríaE
y
ye
i
2
3
2
2 ,
x zz
xx y
z
cional de f
( ) 2rot f
encia de f
( )f F xyz
4x yz
( )
( )
f F
f F
.
.
4
onal de f F
4f F x y
es
ElectrónicayT
2 2x
y z
x z
x
x
ye iz
ye
f es el cam
3
2x
xz
j
f F
3 ln , xx z ye
2ln ,z z xy ze
4
,
ln
x y z
x y zx
34 lnx yz z
F
2ln ,yz z xy ze
Telecomunicaci
3 lnx
x z
j
2( 2x zx
mpo vectoria
xye k
2, 2x x z
3, 2x x yz x
4 ln ,x yz z
z x yy
.
2 xxyze x
3, 2xe x yz
iones
2 2z
z x z
3) ( lnz x z
al
2xyz
2 3
2
, ,x
x
xy ze x y
y z ez
3 4x y xyz
2xyz
3 ln
x
x z
k
) (z jx
2
3
2
2
yz xyz
x y zz
x
y
ye
( ) (xye xy
2x y z
3 ln )x z k
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaIII
143
4 2 3 2
X
ln 2x
i j k
rot f F f Fx y z
x yz z xy ze x yz xyz
3 2 2 4 4 2 2 2 42 ln 2 3 lnx xrot f F x z xz xy e i x y x y z yz x yz j y ze x z z k
Ejercicio 2
Halle un vector normal unitario a la superficie
2 2: 2 4 5 8S xy x z z
en el punto 0 (1,1, 1)P
Solución
Si 2 2( , , ) 2 4 5 8 0f x y z xy x z z
el gradiente de f en el punto (1,1, 1) será el vector normal a la superficie que
representa f , hallándolo
2( ) 2 8 2 4 10grad f y xz x x z i j k
evaluando en (1,1, 1)
( ) 10, 2,6grad f
luego el vector unitario es
5 1 3, ,
35 35 35u
Ejercicio 3
Si ( , , )f x y z xyz y 2( , , ) 4F x y z x y y z x y z i j k
halle 2
f Fx y
Escue
144
Solu
Com
enton
luego
Ejerc
Dem
Solu
Sea
enton
luego
se su
conti
elaProfesional
ción
mo 3f F x
nces:
f Fy
o
2
fx y
cicio 4
muestre que
ción
( , , )F x y z
nces
( )rot F
o
div rot
upone que l
inuas, en es
deIngenieríaE
2 2 2y zi xy z
32x y z i
26F x y z
la divergen
( , , )f x y z i
XF
F .
x
2h
x y
0
las funcione
se caso las
ElectrónicayT
2 2 24j x y z
22x y z j
22z y z i j
ncia de la ro
( , , )g x y z
h g
y z
i
X F
h g
y z
2h g
y x z
es compone
derivadas
Telecomunicaci
2k
2 28 x y z k
216x y z k
otacional de
) ( , ,h x y zj
f h
z x
f
y z
2 2f h
y z y x
entes de F t
mixtas son
iones
e un campo
)z k
g
x
j
h g
x z x
2h g
x z x
tienen segu
iguales.
o vectorial e
f
yk
g f
x y
2 f
z y
undas deriva
es cero.
adas parciaales
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaIII
145
En términos del operador diferencial , lo que se ha demostrado es
X 0F . (del teorema anterior)
Ejercicio 5
Demuestre que la rotacional del gradiente de un campo escalar es el vector cero.
Solución
En términos del operador diferencial , lo que hay que demostrar es:
X f , donde ( , , )u f x y z es un campo escalar (Teorema 8)
como
, ,f f f
fx y z
entonces
X
i j k
fx y z
f f f
x y z
2 2 2 2 2 2f f f f f f
y z z y z x x z x y y x
i j k
0 0 0 i j k
0
Escue
146
Ejerc
Si F
u f
Solu
En té
Ejerc
Dem
( ,G x
Solu
elaProfesional
cicio 6
( , , )F x y z f
, ,f x y z e
f F .
ción
érminos del
f F .
cicio 7
muestre que
1, , ) (y z g x
a. div F
b. rot F
ción
a. En térm
div F
deIngenieríaE
1( , , )f x y z i
es un camp
f F .
operador d
1f fx
1ff fx
1ffx
f F .
si ( , ,F x y z
2, , )x y z gi
(G div
(G rot F
minos del op
G .
ElectrónicayT
2 ( , , )f x y z
o escalar, d
F f.
diferencial
2f fy
21
fff fx y
32 ff
y z
F f .
1) ( , ,z f x y
2 ( , , )x y z j
) ( )F div G
) ( )F rot G
perador dife
F G
Telecomunicaci
3 ( , ,f x yj +
demuestre q
, lo que ha
2f f fz
22
ff fy
1
ff fx
2) ( ,z f x yi
3 ( , , )g x y z k
)
)
erencial
iones
)z k es un c
que
ay que dem
3f
33
f ff fz x
2 3
f ff fy x
3, ) (y z f xj
k son camp
campo vect
mostrar es:
f
x
f
x
, , )x y z k y
pos vectoria
torial y
ales, entoncces
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaIII
147
F G . . , por la distribuidad del producto interno
( ) ( )div F div G
luego ( ) ( ) ( )div F G div F div G
b. En términos del operador diferencial
Xrot F G F G
1 1 2 2 3 3
i j k
x y z
f g f g f g
1 2 3 1 2 3
i j k i j k
x y z x y z
f f f g g g
;
por propiedad de determinantes
X XF G
( ) ( )rot F rot G
luego ( ) ( ) ( )rot F G rot F rot G
Ejercicio 8
Halle la rotacional del campo vectorial
2 3( , , ) 3F x y z x y x y z x y z i j k
Solución
2 3
( )
3
i j k
rot Fx y z
x y x y z x y z
Escue
148
luego
3.6.
elaProfesional
o
r
INTEGRA
Las
generaliza
extendere
reemplaza
definida y
línea o int
Las
física y ot
F al despl
DEFINICIÓ
Sea
como se
definidas
partes eli
deIngenieríaE
3
x y zy
xx
3 1x z i
( )rot F x z
ALES CURV
integrales
ación de la
emos la n
ado por una
y acotada s
egral curvil
s integrales
ras áreas, c
azar a una
ÓN 6
C una cu
muestra en
en todo pu
igiendo n
ElectrónicayT
3
3
xz
y zz
3 1yz j
3 31,z y z
VILÍNEAS
s dobles
integral de
noción de
a curva de
sobre esta
ínea”.
de línea s
como por e
partícula a
urva del pla
n la figura
unto de la c
1 puntos
Telecomunicaci
2
3y z
x y
k
k
2x k
2,1 x
y triples
finida b
af
integral e
2R o R
curva ; dic
se presenta
ejemplo el tr
lo largo de
ano que un
36 y ( ,P x y
curvaC , co
dados por
iones
2x yz
han sido
( )f x dx en
en el cual
3R descrita p
cha integra
an de forma
rabajo que
una curva.
ne los punt
)y y ( ,Q x y
onsiderando
r 1 1, ,x y x
3x y zx
introducid
un intervalo
el interv
por una Fun
l será llam
a natural e
realiza un c
tos 1 1,A a b
)y dos func
o una partic
2 2, ...,x y x
3
j
das como
o cerrado
valo ,a b
nción Vecto
ada “integr
en problema
campo de fu
y 2 ,B a b
ciones cont
ción de C
1 1,n nx y s
una
,a b ,
será
orial F
ral de
as de
uerza
2b tal
tinuas
en n
iendo
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaIII
149
1 1 0 0 2 2 1 1, , , ,n na b x y y a b x y , si 1k k kx x x y 1k k ky y y y
,k k un punto deC situados entre 1 1,k kx y y ,k kx y el límite
1
lim , ,n
k k k k k kn
k
P x Q y
cuando 0 0k kx y y , si existe se llama “integral curvilínea” A lo largo
de C y se denota por
2 2
1 1
,
,( , ) ( , ) ( , ) ( , )
a b
C a bP x y dx Q x y dy ó P x y dx Q x y dy
de forma similar se define la integral curvilínea a largo de C si C es una curva
en el espacio; así se tiene
( , , ) ( , , ) ( , , )CP x y z dx Q x y z dy S x y z dz
1
lim , , , , , ,n
k k k k k k k k k k k kn
k
P x Q Y S z
cuando 0, 0 0k k kx y y z
y ( , , ), ( , , ) ( , , )P x y z Q x y z y S x y z son funciones continuas y el límite existe
Si ( , , ) ( , , ) ( , , ) , ( , , )F x y z P x y z Q x y z S x y z i j k y , ,dr dx dy dz ,
vectorialmente la integral curvilínea se expresa como:
c cP dx Qdz Sdz F dr .
Escue
150
3.7.
elaProfesional
similarme
donde (F
vectorial.
Si a cada
(campo de
representa
de la curv
PROPIED
TEOREMA
1. Ck
cons
2. cP
3. 2
1
( ,
( ,
a
a b
4. 2
1 1
( ,
( ,
a b
a b
donde 3( ,a
para curv
también s
deIngenieríaE
nte, si C es
cPd
( )x Pi Q
a punto ( ,x y
e fuerza), e
cF dr .
a físicamen
a C.
DADES DE
A 2
( , , )P x y z
stante
( , )P x y dx Q
2
1
)
)( , )
b
bP x y dx
2 )
)( , )
bP x y dx
3, )b es un p
vas en el
e cumplen.
ElectrónicayT
s una curva
dx Qdy
Qj y (dr
, )y z se aso
ntonces la
nte el trabajo
LAS INTEG
( ,dx Q x y
( , )Q x y dy
( , )dx Q x y
( , )x Q x y dy
punto cualq
espacio, e
Telecomunicaci
del plano, s
cF dr .
( , )dx dy , e
ocia a una
integral cur
o total efect
GRALES CU
, )y z dy K
( , )cP x y
1
2
( ,
( ,
a b
a bdy
3 3
1 1
( , )
( , )
a b
a by P
quiera de la
en forma s
iones
se tiene
n ambos c
fuerza F
rvilínea
tuando al de
URVILÍNEA
( , )C
K P x y
(c
dx Q x1
2
)
)( , )
b
bP x y dx
( , )P x y dx Q
curva entre
similar las
casos (F x
que actúa
esplazar el
AS EN EL P
) ( ,dx Q x y
, )x y dy
( , )x G x y d
( , )Q x y dy
e 1 1( , )a b y (a
propiedade
)x es un ca
sobre un o
objeto a lo
LANO
)y dy y k
dy
2 2
3 3
( , )
( , )( ,
a b
a bP x y
2 2, )a b ;
es mencion
ampo
objeto
largo
) ( ,y dx Q x
nadas
)y dy
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaIII
151
CÁLCULO DE INTEGRALES CURVILINEAS EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO
1. Si los extremos de la curva son los puntos 1 1( , )A a b y 2 2( , )B a b se tiene
a. Si : ( )C y f x entonces:
2
1
( , ) ( , ) ( , ( )) ( , ( )) '( )a
C aP x y dx Q x y dy P x f x dx Q x f x f x dx
b. Si : ( )C x g y , entonces:
2
1
( , ) ( , ) ( ( ), ) '( ) ( ( ), )b
C bP x y dx Q x y dy P g y y g y dy Q g y y dy
2. Si 1 2: ( ) , ( ) , ,C x f t y g t t t t
entonces
2
1
( , ) ( , ) ( ), ( ) '( ) ( ( ), ( )) '( )t
C tP x y dx Q x y dy P f t g t f t dx Q f t g t g t dx
donde 1t y 2t son los valores de t correspondientes a los puntos extremos A y B.
Similarmente si C es una curva del espacio.
3.8. INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA
Bajo ciertas condiciones la integral curvilínea
( , , ) ( , , ) ( , , )CM x y z dx N x y z dy S x y z dz
entre los puntos A y B resulta independiente de la curva que los une, es decir tiene el mismo valor para dos o más trayectorias que unen A y B. Como vemos
luego.
La diferencial ( , , ) ( , , ) ( , , )M x y z dx N x y z dy S x y z dz se dice que es
exacta si existe una función ( , , )f x y z real de tres variables tal que
df Mdx Ndy Sdz donde f f f
df dx dy dzx y z
es la diferencial de
f .
Escue
152
elaProfesional
TEOREMA
Sean func
derivadas
la condició
que la inte
no depend
Si 1 1,A a b
entonces:
CPf
donde df
Si ( , ,F x y
equivalent
F
Particulari
CP
deIngenieríaE
A 3
ciones (M x
parciales d
Mdx Ndy
es exa
ón dada en
egral curvilí
den de la cu
1 1,c y B
Pdx Qdy
2 2 2, ,a b c
Mdx Nd
) ( ,z M x y
te a
( )rot F
izando al pl
( , )P x y dx Q
ElectrónicayT
, , )x y z dx N
de primer or
dy Sdz
acta
el teorema
nea
Curva C sino
2 2 2, ,B a b c
Sdz 1 1 1, ,f a b c
Ndy Sdz
, ) (y z N xi
0
ano el teore
( , )Q x y dy
Telecomunicaci
( , , )N x y z dy
rden tambié
M N
y x
a anterior es
Mdx M
o solo de su
son dichos
2 2 2
1 1 1
, ,
, ,
a b c
a b cPdx
1
, , ) (y z Sj
ema anterio
iones
( , , )y S x y z
én continuas
;N M P
x z x
s condición
dy S dz
us extremos
s extremos,
x Qdy S
( , , )x y z k , la
or, la integra
)dz reales c
s, entonces
P Ny
z
necesaria y
s.
,
Sdz
a condición
al
continuas co
s
M
y
y suficiente
de exactitu
on
para
d es
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaIII
153
es independiente de la trayectoria C, si solo si existe una función ( , )f x y real tal
que:
, ,df P x y dx Q x y dy
y para que exista la exista f debe cumplirse
P Q
y x
y se tendrá:
2 2
1 1
,
,( , ) ( , ) ( , ) ( , )
a b
C a bP x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy
2 2 1 1( , ) ( , )f a b f a b
donde 1 1 1 2 2 2, ,A a b y B a b son los extremos de la curva C.
Escue
154
Ejerc
Halle
desd
Solu
Las e
tal co
luego
elaProfesional
cicio 9
e la integral
de 1, 2 has
ción
ecuaciones
omo se mue
o 2
Cx xy
deIngenieríaE
2
Cx xy
sta 4, 4
paramétric
estra en la g
y dx xy
4 2
12t
4 2
12t
6
5
ElectrónicayT
EJERCI
y dx xy
cas de la cu
grafica 37
2x dy
32 2t dt
32t dt
Telecomunicaci
CIOS RESU
2x dy si
urva son: 1,
3 12t t t
322t t dt
iones
UELTOS
C es parte
,4
12dt
de la paráb
bola 2 4y x x
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaIII
155
Ejercicio 10
Halle la integral 3 3
Cy x dx x y dy si C es el segmento que une los puntos
1,1 y 2, 4
Solución
La ecuación de la recta que pasa por los puntos 1,1 y 2, 4 es : 2y x L luego
la curva es:
: 2, 1, 2C y x x
tal como se muestra en la figura 38
en términos de x se tiene
3 3
Cy x dx x y dy
2 2 33
1 12 2x x dx x x dx
2 23 3 2
1 12 6 13 8x x dx x x x dx
2 2
16 14 10x x dx
69
Escue
156
Otro
Se tie
Com
depe
funci
por o
por la
si f
x
ésto
deriv
comp
elaProfesional
planteamie
ene ( , )P x y
mo P Q
y x
ende de la c
ión ( , )f x y
(df y x
otro lado: d
a unicidad d
(fdx yx
(fdx y xx
( , )f x y
es porque
vando f co
fx
y
parando
3( )c y x
deIngenieríaE
ento:
3) y x
1Q , la dife
curva C, sol
tal que:
3 ) (x dx x
fdf dx
x
de la diferen
3)y x dx
3)x dx ,
integ
4
4
xxy c
en el proce
on respecto
( )c y x
3 , de donde
ElectrónicayT
( , )y Q x y
erencial y
lo depende
3 )y dy
fdyy
ncial de f
y (
fx
y
grando con
y
so ( )c y es
o a y
3y pues
f
y
e 4
( )4
yc y
Telecomunicaci
3x y
3x dx x
de sus extr
, se cumple
3 )x y dy
respecto a
s constante;
fN dy
y
iones
3x y dy es
remos y por
e
x se tiene
hallando c
s exacta, lue
r ser exacta
( )c y
ego su valo
a existe una
or no
a
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaIII
157
luego
4 4
( , )4 4
x yf x y xy
evalundo la integral
3 3( ) ( ) (2,4) ( 1,1) 69
cy x dx x y dy f f
Y lo afirmado en el teorema anterior se cumple; téngase presente que esto solo
funciona para diferenciales exactas; C puede ser cualquier curva que pasa los puntos
( 1,1) y (2,4) el valor de la integral curvilínea es independiente de la trayectoria C.
Ejercicio 11
Halle la integral curvilínea
2 3 3(3 2) ( 4 )cx y dx x y dy
si la curva C es el segmento que une los puntos 3,4 4,3y
Solución
Si 2 3 3( , ) 3 2 ( , ) 4P x y x y y Q x y x y
como
23P Q
xy X
la diferencial Pdx Qdy es exacta y la integral curvilínea es independiente de la
trayectoria su valor solo depende de los extremos de C, por ser exacta, existe una
función ( , )f x y tal que:
2 3 3(3 2) ( 4 )df x y dx x y dy
Escue
158
como
enton
si
integ
( ,f x
Halla
luego
La fu
y el
elaProfesional
o también
fdf
x
nces
fdxx
fdyy
grando con
3, )y x 3x y y
ando ( )c x
( ,F x y
x
o '( ) 2c x
unción f e
( , )f x y
l valor de la
2(3Cx y
deIngenieríaE
fdx dy
y
2(3 2)x y dx
3( 4 3)x y dy
respecto a
34y dy c
4 ( )y c x
2)3
yx u c
( )y c x
es
3 4x y y
a integral cu
2) (y dx x
281 142
139
ElectrónicayT
fdx y d
y
dy
y se tiene
( )c x
'( ) (c x M x
2x
2x
urvilínea es
3 34 )x y dy
Telecomunicaci
3( 4dy x y
e
, )x y
(4,3)y f
iones
3)y dy
( 3,4)f
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaIII
159
Ejercicio 12
Halle la integral curvilínea 2
Cx ydx xydy
si C es la parábola de (1,2) a (2,8)
Solución
La curva
2: 2 , 1, 2C y x x se muestra en el gráfico adjunto.
hallando la integral curvilínea:
2 22 2 2 2
1 1
2 24 4
1 1
2 4
1
(2 ) ( )(2 )(4 )
2 8
10
62
Cx ydx xydy x x dx x x xdx
x dx x dx
x dx
Ejercicio 13
Sea el campo vectorial
2( , , ) (3 6 ) (2 3 ) (2 2 )F x y z x yz x xz xyz i j k
Escue
160
Halle
curva
Solu
elaProfesional
e F dr . de
as:
a. :C x
b. C: el se
c. C es la
ción
a. Como
CF d .
donde
son las
CF .
b. En este
C
luego
CF .
deIngenieríaE
esde el pun
3, ,t y t z
egmento de
a curva que
,dr dx dy
23C
dr x : ,C x t y
s ecuacione
1 2
03dr t
1
013 t 11
3
e caso la cu
: ,C x t y
1
03dr t 1
02
5
2
t
ElectrónicayT
nto (0,0, 0)
3t
e recta con e
se muestra
,y dz , ento
2 6yz dx
2 3, ,t z t
es paramétr
2 56t dt
12
06t dt t
urva C es
, ,t z t t
2 26t t dt
1
02dt dt
Telecomunicaci
hasta punt
extremos (
a en gráfico
onces
2 3x xz
, 0,1t
icas de C, l
1 2
04 6t
8t
0,1
22 3t t
1 3
02t t dt
iones
o (1,1,1) a l
0,0,0) y
40.
2 2dy
uego
15
06t dt
2 2dt
t
lo largo de
(1,1,1)
2xyz dz
1 2 8
06 6t t
32t dt
las siguient
dt
tes
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaIII
161
c. En este caso la curva C es 1 2 3:C C C C
Donde
1
2
3
: , 0, 0, 0,1
: 1, , 0, 0,1
: 1, 1, , 0,1
C x t y z t
C x y t z t
C x y z t t
tal como se muestra en el gráfico 40
entonces
1 2 3C C C CF dr F dr F dr F dr . . . .
1 1 12
0 0 03 2 2 1t dt dt t
4
Ejercicio 14
SI C es la curva formada por las superficies 2 2 2
1 04 3 1
x y zy z , halle el
trabajo realizado para mover una partícula a lo largo de la curva C en el primer
octante. Si el campo de fuerza está dado por
2 4( , , ) 2 3 2 2 4F x y z x y z x y z xz y z i j k
Escue
162
Solu
En e
elips
para
Lueg
T
elaProfesional
ción
l plano XY
e 2 2
4 3
x y
métricas so
: 4 cC x
go el trabajo
CF dr .
2
02 3x
2
02 4co
2
023se
2
0
23
2se
23cos 2
4t
236
2
deIngenieríaE
Y el campo
1 tal co
on
os , 3t y se
o realizado
2 3Cx y
3y dx x
os 3t se
cos 4ent t
2 24en t
20
12 sen
ElectrónicayT
vectorial es
omo se mue
, 0,2
ent t
es
,y x y d .
y dy
4ent se
248cos 36
2
01 cos 2
20
2 12n t
Telecomunicaci
s ( , )F x y
estra en el g
2
,dx dy
4entdt
6dt
2
02 36t
20t
iones
2 3x y i
gráfico adju
cos 3t sen
dt
x y j y
nto, sus ecu
3cosnt td
y la curva e
uaciones
dt
s la
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaIII
163
Ejercicio 15
Halle la integral curvilínea
2 2 2
Cx y dx y z dy z x dz
si
a. C: es el segmento que une el origen con el punto 1,1,1
b. C: es la intersección de las superficies 2y x , 3z x desde el origen al punto
1,1,1
Solución
a. La curva de integración es
: , , , 0,1C x t y t z t t
luego 2 2 2
Cx y dx y z dy z x dz
1 2
03
1
2
t t dt
b. Si x t entonces 2 3y t y z t
luego, las ecuaciones paramétricas de la curva C son:
2 3: , , , 0,1C x t y t z t
2 2 2
Cx y dx y z dy z x dz
1 4 3 6 2
02 3t t tdt t t t dt
1 15 4 8 3
0 02 3t t dt t t dt
29
60
Escue
164
Ejerc
Si la
desd
dond
Solu
Las e
Su g
Lueg
CF
elaProfesional
cicio 16
curva C es
de el punto
CF dr .
de ( , , )F x y z
ción
ecuaciones
: ,C x t y
ráfico se m
go
CF dr x .
2
Cx
1
0t
17
5
deIngenieríaE
s la intersec
0, 0, 2 ha
2) (x y x i
paramétric
2 , 2,y t z
uestra en la
2 (x ydx x
2 (ydx x
4 22 4t t t
ElectrónicayT
cción de la s
sta 1,1, 2
)x z x y j
cas de la cu
0,1t
a figura adju
)z dy xyz
2)dz desde
t
Telecomunicaci
superficie ci
halle la int
y z k
urva son
unta
zdz
e que 0dz
iones
ilíndrica y
egral curvil
0
2x y el pla
ínea
ano 2z ,
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaIII
165
De los 20 ejercicios propuestos en esta unidad, resolver mínimo 8, comparar sus
soluciones con las soluciones dadas en cada ejercicio propuesto.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Si 2 2, , 2F x y z xz y x y i j k es un campo vectorial y 2 2, ,x y z y z = x
es un campo escalar, hallar
a.
b. F .
c. X F
d. div F
e. rot F
Sol.
a. 3 2 3 2 22 3x y z x z x y z i j k
b. - 2z y
c. 22 4x x xy i j
d. 2 4 2 2 3 4 2 23 3 6x y z x y z x y z
e. 4 3 2 3 2 3 3 3 2 3 3 3 3 44 3 4 8 2x yz x y z x yz x y z xy z x z i j - k
2. Hallar un vector normal unitario a la superficie 2 2: 2 4 5 10 0S x yz z en el
punto (3, 1, 2)P
Sol. 3 2 6
, ,7 7 7
Actividadessugeridas
Escue
166
3
4
elaProfesional
3. Si ,x y
, ,F x y z
a.
b.
c.
d. F
e.
f.
g.
Sol.
a. b. 4
c. d. -
e. 1
f. g. 6
4. Si ,F x
es un ca
a.
b. r
c.
d. r
todo en e
deIngenieríaE
2, 3y z x
23z x y z i
F .
XF
F .
F.
X F
2
6, 1,1
4
1, 8, 5
15
3, 41, 3
6
, , 2y z xz
ampo escala
XF
rot F
X XF
rot grad
el punto 1,
ElectrónicayT
yz es un c
32x y i j
35
3z yz x i j
ar, hallar
F
,1,1
Telecomunicaci
campo esca
2x y zk , ha
3x z k es un
iones
alar y
allar en el p
n campo vec
punto (1,P
ctorial y
1,1)
2, ,x y z x 2y z
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaIII
167
Sol.
a. i j
b. 5 3 4k i j
c. 5 3i k
d. 0,0,0
5. Mostrar que el campo escalar
2 2 2
1, ,x y z
x y z
es armónica
6. Si 2, , 2F x y z z x x i + j k es un campo vectorial y 2 2 2, , 2x y z x y z ,
hallar XF en el punto 1, 1,1
Sol. 8, 4,4
7. Calcular la integral curvilínea
4,2
1,1x y dx y x dy
a lo largo
a. de la parábola 2y x
b. del segmento que une los puntos 1,1 y 4,2
c. de los siguientes segmentos de 1,1 a 1,2 y de 1,2 a 2,4
d. de la curva 2 22 1, 1x t y t
Sol.
a. 34
3
b. 11
c. 14
d.
32
3
Escue
168
8
9
1
1
1
1
elaProfesional
8. Calcular
0,0 , 3
Sol. 12
9. Si ,F x
0,0,0 a
a. C
b. C
c. C
Sol.
a. 2
1
b. 1
3
c. 5
3
0. Demostr
independ
1. Calcular
2:C x t
Sol. 23
14
2. Hallar la
Sol. 4
3. Calcular
arco que
Sol. cos
deIngenieríaE
r (2Cx y
3,0 (3,2)y
, , (3y z x
(1,1,1)a si:
: ,C x t y
2: ,C x z z
:C segmen
23
15
13
30
5
3
rar que la in
diente del c
r la integral
2 3, 2 ,y t z
integral cu
r la integral
e une los pu
1 e
ElectrónicayT
4) (5y
recorrido e
2 ) (y y i
2 3,t z t
2y
to de recta
ntegral (2,1)
(1,0)camino de in
curvilínea 2 1;t t
rvilínea C
curvilínea
untos 1,0 y
Telecomunicaci
3 6)x dy
en el sentido
22 )z x j k
que une dic
) 42xy y
ntegración y
2Cxy z
0,1
sCtg y dx x
cosx
Ce ydx
0,1y
iones
en torno al
o positivo.
k , calcular
chos puntos
23 dx x
y hallar su v
dx yz dy
2sec y dy de
xx e sen y d
l triángulo d
CF dr .
s.
34xy dy
valor.
x dz a lo l
e 2,0 ha
dy donde C
de vértices
de
es
argo de la c
asta 4,4
B
C es cualqu
curva
4
uier
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaIII
169
14. Evaluar la integral curvilínea (3,0) 4 3 2 2 4
( 2, 1)4 6 5x xy dx x y y dy
Sol. 60
15. Evaluar la integral curvilínea (2,4)
( 1, 1)y dx xdy
Sol. 5
16. Evaluar la integral curvilínea (2,1) 2
(0,2)2xydx x dy
Sol. 4
17. Evaluar la integral curvilínea (6,4,8)
(1,6, 3)xdx ydy z dz
Sol. 20
18. Evaluar la integral curvilínea
4 3 2 2 44 6 5Cx xy dx x y y dy
si C es cualquier arco que une los puntos 2, 1 3,0y
Sol. 60
19. Hallar la integral curvilínea 2 2Cx dx y x dy donde C es la frontera de
la región limitada por los gráficos de las rectas 0, 0,2 2x y y x y la
parábola 22 4y x
20. Hallar la integral curvilínea 3 2 2 2 22 8 6 1 8 3Cy xz dx xy dy x z dz si
C es cualquier curva que une los puntos 2,0,0 3,2,1y
Escue
170
elaProfesional
1. Se
corre
de u
2. Se d
rotac
3. Se d
espa
4. Se d
integ
deIngenieríaE
definen lo
espondiente
na variable
definen los
cional de un
efinen las i
acio y se da
dan las def
grales curvil
ElectrónicayT
os campos
es como un
.
vectores g
n campo vec
ntegrales c
an los corres
finiciones y
íneas que n
Re
Telecomunicaci
s vectoriale
na extensió
gradiente d
ctorial y se
curvilíneas a
spondientes
y teoremas
no depende
sumen
iones
es y sus
n natural d
de un camp
manejan su
a lo largo de
s teoremas
que permi
en de la tray
operadore
de las funcio
po escalar
us propieda
e curvas en
que permit
iten conoce
yectoria de
es diferenc
ones vecto
y divergen
ades.
n el plano y
ten calcular
er y calcula
integración
ciales
riales
ncia y
en el
los.
ar las
.
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaIII
171
A. Fuentes bibliográficas
1. W. Swokowsky Earl (1980).Cálculo con Geometría Analítica. Segunda Edición.
Grupo Editorial Iberoamérica. México D.F.
2. Leithold Louis (2009). El Cálculo. Séptima Edición. Hoxford–Harla. México D.F.
3. Mitacc Meza Máximo (2005). Cálculo III. Cuarta Edición. Editorial Thales S.R.L.
Lima.
4. Kreyzig Erwin (2003). Matemática Avanzada para Ingenieros: T.I. Tercera
Edición. Editorial Limusa Wiley. México D.F.
5. Larson Rom (2006). Cálculo de Varias Variables. Editorial McGraw–Hill. México
D.F.
B. Fuentes electrónicas
Direcciones de la web, que brindan información adicional, incluidos ejemplos resueltos
y propuestos, que podrán ayudar a la mejor comprensión del curso para verlos,
buscarlos en el campo virtual.
Fuentesdeinformación
Escue
172
Actu
y mid
1
2
3
4
5
elaProfesional
ando con to
da el nivel d
. Halle el g
f
2. Sean los
F
G
halle
a. d
b. r
3. Halle la
Si C es l
4. Halle la
Si C es l
5. Halle la
Si C es e
deIngenieríaE
oda serieda
de su apren
gradiente y
( , )f x y e
s campos ve
2
2
( , )
( , )
F x y x
G x y x y
( )div F
( )rot G
integral cur
2
Cx y dx x
a gráfica de
integral cur
2
Cx dx x y
a curva y
integral cur
22 2Cxy
el segmento
ElectrónicayT
ad, sin ver e
ndizaje. Com
y el Laplacia
y
x
ectoriales
2
lnxyz
z x ye
y z e
i
i j
rvilínea
2x y dy
e la curva x
rvilínea
y dy
22x desde
rvilínea
22y dx x
o que une lo
Autoeval
Telecomunicaci
el solucionar
mpare sus r
ano del cam
2ze x y z
x y z
j
j k
22x y des
e 1,2 a
2 2x dy
os puntos
luación
iones
rio resuelva
respuestas
mpo escalar
yk
sde 2,1
2,8
2, 1 y
a los ejercic
con el soluc
18,3a
4,3
cios propues
cionario.
stos
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaIV
175
IV Unidad
didáctica:
INTEGRALES DE
SUPERFICIES –
TEOREMA DE
GREEN
– TEOREMA DE
LA DIVERGENCIA
– TEOREMA DE
STOKES
4.1. Curva simple cerrada y región simple conexa
4.2. Teorema de Green
4.3. Superficies
4.4. Integral de su superficie
4.5. Integral de flujo
4.6. Teorema de la divergencia
4.7. Teorema de Stokes
Esquemadecontenidos
Escue
176
elaProfesional
1
2
3
deIngenieríaE
1. Domina
2. Domina
3. Entende
de Stoke
integrale
ElectrónicayT
r el cálculo
r el cálculo
er los Teore
es y saber a
es curvilíne
Competen
Telecomunicaci
de integrale
del flujo de
emas de Gre
aplicarlos a
as, integral
nciasycap
iones
es de super
e un campo
een, de la D
al cálculo de
es dobles y
pacidades
rficies
vectorial
Divergencia
e áreas,
y triples.
a y
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaIV
177
Los importantes teoremas que conforman esta sección estudian ciertas relaciones
entre las integrales curvilíneas, las integrales dobles, las integrales triples y las
integrales de superficies que definiremos luego; son los clásicos teoremas del cálculo
avanzado como son: Teorema de Green, el Teorema de Stoker y el Teorema de la
Divergencia, cuyas demostraciones se dan en cursos más avanzados.
Introducción
Escue
178
4.1.
Uni
dad
elaProfesional
CURVA S
DEFINICIÓ
Una
mismo en
C
es cerrada
f
Son curva
es cerrada
DEFINICIÓ
Una
dentro de
así, se dic
una regió
múltipleme
DEFINICIÓ
Sea la cur
C
al variar t
en sentido
INTEO
deIngenieríaE
SIMPLE CER
ÓN 1
a curva “SIM
ningún pun
: ( ) ,C x f t
a si f y
( ) ( )f a f b
as cerradas
a pero no e
ÓN 2
a región pla
la región p
ce que la re
ón con hu
ente conexa
ÓN 3
rva
: ( ) ,C x f t
t de a hasta
o anti horari
NTEGRAL OREMA DE
ElectrónicayT
RRADA Y R
MPLE CERR
nto; es deci
, ( ) ,y g t t
g son con
) ( )y g a
s por ejemp
s simple.
ana es SI
puede reduc
egión es M
uecos es
a,
, ( ) ,y g t t
a b, queda
io al sentido
DE SUPERE LA DIVE
Telecomunicaci
REGIÓN SI
RADA” es u
r: la curva
,a b
tinuas y se
( )g b
lo la circun
MPLEMEN
cirse a un p
MULTIPLEM
simplemen
,t a b
descrito un
o es positivo
RFICIES – ERGENCIA
iones
MPLE CON
una curva c
cumple:
ferencia, el
TE CONEX
punto sin sa
MENTE CON
nte conexa
n sentido o
o y negativo
TEOREMAA – TEOREM
NEXA
cerrada que
lipse, el 8 v
XA si toda
alirse de la
NEXA; en t
a y si tie
dirección d
o en caso c
A DE GREEMA DE ST
e no se corta
visto como
a curva ce
región; si n
érminos sim
ene hueco
de la curva,
contrario.
EN – OKES
a a si
curva
errada
no es
mples
s es
si es
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaIV
179
Así, si el sentido de la curva C es positivo, denotaremos con –C a la curva en
sentido contrario y se cumple
C C
si la curva es cerrada, la integral curvilínea correspondiente se denotará por
4.2. TEOREMA DE GREEN
Sean ( , ) ( , )P x y y Q x y funciones continuas con P Q
yy x
también continuas en una región simplemente conexa D cuya frontera es una
curva simple cerrada C, entonces:
C
D
Q PPdx Qdy dA
x y
como se dijo en la introducción, éste teorema relaciona bajo ciertas condiciones
una integral curvilínea y una integral doble; tiene muchas aplicaciones como se
verá más adelante.
en el Teorema de Green:
Si ( , ) 0 ( , )P x y y Q x y x ,
entonces C
D
xdy dA A
Si ( , ) ( , ) 0P x y y y Q x y ,
entonces C
D
ydx dA A
Escue
180
Ejerc
Halla
dond
Solu
La cu
la reg
elaProfesional
en ambos
2x
A d
de donde
cicio 1
ar la integra
3
Cx ydx
de C es la c
ción
urva C y la
gión D es:
,D x
deIngenieríaE
s casos A es
Cdy ydx
1
2 CA x
al curvilínea
2 3dx x x
curva cerrad
región que
2, / 0y R
ElectrónicayT
s el área de
x
xdy ydx
EJERCI
xy dy
da formada
encierra se
21;4x x
Telecomunicaci
e la región D
CIOS RESU
por la pará
e muestra e
4y x
iones
D; de lo ante
UELTOS
bola y P :
n el gráfico
erior
24x y la re
o 43.
ecta : y L 4x
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaIV
181
y 1 2:C C C donde
21 : , 4 , 0,1C x t y t t y
2 : , 4 , 0,1C x t y t t
por el Teorema de Green
3 2 33 2 3C
D
x ydx x xy dy x y x dA
2
1 4 3
0 42 3
x
xx y x dydx
2
421 3
04
2 32
x
x
yxy x y dx
1 4 3 4 5
016 8 20 4x x x x dx
8
3
Luego
3 2 83
3Cx ydx x xy dy
Ejercicio 2
Comprobar la validez del Teorema de Green para la integral curvilínea
2 22Cxy y dx x y dy
si D es limitada por la curva C que forman las parábolas 2 2y x y y x
Solución
La curva 2 2: ,C y x y x y la región D se muestra en el gráfico 44.
si 21 : , 0,1C y x x y 2
2 : , 0,1C x y x
entonces 1 2:C C C
Escue
182
evalu
Tam
Lueg
Halla
la reg
Lueg
elaProfesional
uando en ca
1
2C
xy
bién en 2C
2
2C
xy
go:
ando el equ
gión de inte
D
go
D
deIngenieríaE
ada una de
2y x dx
10
2x
1 5
02x
7
6
:
2y x dx
1 2
02 y 1 2
04y
17
15
1
2C
xy x7 17
6 5 3
ivalente en
egración es
,D x y
D
Q P
x y
ElectrónicayT
las curvas:
2x y dy
2 2x x x
5 2 32x x
x y dy
22y y
5 22 2y y
2x dx x
1
30
integrales
2 / 0R
1
0
PdA
y
1
0
1
0
1
30
Telecomunicaci
:
y
2 dx x
3 dx
y
2ydy
2y dy
dobles
21,x x
21 2
x
xx
1 2x y
122 2x x
iones
22 2x x
2 2y y d
y x
dydx
2
x
xdx
3322 2x x
xdx
dy
dx
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaIV
183
Luego
11 2
30D
x dA
Como puede verse, se verifica el Teorema de Green.
Ejercicio 3
Usando el T. de Green hallar el área de la circunferencia
2 2 2:C x y r
Solución
En coordenadas paramétricas, la circunferencia es:
: cos , , 0, 2C x r t y rsent t
luego
1
2 CA xdy ydx
Escue
184
Ejerc
Halla
usan
Solu
La re
Si C
dond
elaProfesional
cicio 4
ar el área de
ndo integrale
ción
egión plana
es la curva
C
de:
C
deIngenieríaE
2
0
1
2
2
0
1
2r
2
0
1
2r
2r
e la región p
es curvilíne
y la curva C
a cerrada, e
1C C C
2
1 : ,4
xC y x
ElectrónicayT
cos cr t r
2 2cosr tdt
2r dt
plana limita
eas
C que lo lim
ntonces
2C
0,4x y
Telecomunicaci
cos t dt
2 21
2r sen t
ada por las p
mita se mue
y 2 : 2C y
iones
rsent r
tdt
parábolas y
stra en el g
2 , 0,4x x
rsent dt
2 4y x y
gráfico adjun
4
2 4x y
nto
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaIV
185
Hallando el área de la región D
1 2C C CA xdy xdy xdy
1 2
4 42
0 0
1
C Cxdy xdy
x x dx x dxx
4 42
0 0
1
2x dx xdx
16
3
Luego 16
3A
Ejercicio 5
Verificar la validez del T. de Green para la integral curvilínea
2 3Cy dy dx xdy
donde D es la región limitada por la circunferencia 2 2 2:C x y r
Solución
Como ( , ) 2 ( , ) 3P x y y Q x y x
entonces
(3 2)D D
Q PdA dA
x y
2
D
dA
r
Escue
186
Lueg
Halla
como
enton
Lueg
lo qu
4.3.
elaProfesional
go:
D
Q
x
ando la inte
o cosx r
nces
go
2cydx
ue demuestr
SUPERFI
VECTOR
Si S es u
variables d
se ha dem
siempre q
simultánea
deIngenieríaE
PdA
y
gral curvilín
,t y r sen
2 3Cydx
3xdy
ra la validez
CIES
NORMAL Y
na superfic
de la forma
mostrado en
ue las deriv
amente, el
ElectrónicayT
2r
nea en coor
, 0, 2nt t
2
03 2xdy
22r
4
4 r 2r
2r
z del Teore
Y REPRES
ie, ésta pue
a:
n 3.4 que el
vadas parci
vector unita
Telecomunicaci
rdenadas po
2
2 rsent
22 2
0sen t d
2 2
0
5
2r r 2 25r r
ma de Gree
ENTACIÓN
ede represe
, ,G x y z
vector grad
ales de G s
ario normal
grad
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iones
olares
rsent dt
22
03dt r
2
0
5
2dt r
en.
N PARAMÉT
entarse por
0
diente grad
sean contin
a S en cad
d G
d G
3 cosr t
2cos t dt
2
0cos 2td
TRICA
una ecuaci
d G es no
uas y no se
da punto es
cosr t dt
dt
ón de tres
ormal a S
e anulan
s
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaIV
187
si la superficie S está definida por la función ( , )z f x y , haciendo
( , , ) ( , ) 0G x y z z f x y estamos en el caso anterior.
La superficie S se llama “superficie suave” si tiene una única normal n cuya
dirección depende de cada punto de S , será positiva si es hacia afuera y
negativa si es hacia dentro de la superficie.
Si S no es suave pero puede subdividirse en un número finito de partes suaves
se llama seccionalmente suave, por ejemplo la esfera es una superficie suave y
un cubo es seccionalmente suave.
Así como las curvas tienen su representación paramétrica, las superficies
también pueden representarse paramétricamente; eso es lo que haremos a
continuación.
Sea la función vectorial de dos variables
( , ) ( , ) ( , ) ( , )r u v f u v g u v h u v i j k
continua y definida en una región D acotada y simplemente conexa del plano
uv , si ( , )u v varía en todo D la expresión ( , )r u v describe una superficie S en
el espacio 3 , el gráfico siguiente ilustra la correspondencia.
Escue
188
elaProfesional
La función
r
se llama “
x
son las ec
VECTOR
Sea la sup
r
Si 0v v ,
r
determina
Si 0u u ,
r
deIngenieríaE
n vectorial d
( , ) (r u v f u
representac
( , ),x f u v y
cuaciones p
NORMAL
perficie S c
( , ) (r u v f u
la función v
0( , ) (r u v f
a una curva
la función v
0( , ) (r u v f
ElectrónicayT
de dos varia
, ) ( ,u v i g u
ción paramé
( , ),y g u v
paramétricas
A UNA SUP
cuya repres
, ) ( ,u v g ui
vectorial de
0( , ) (u v g ui
1C
vectorial de
0( , ) (u v g ui
Telecomunicaci
ables
) ( ,v j h u v
étrica de la
( , ),z h u v
s de S .
PERFICIE D
entación pa
) ( ,v h u vj
e una variab
0, ) (u v h uj
e una variab
0 , ) (u v h uj
iones
) ; ( , )k u v D
superficie
( , )u v D
DADA EN F
aramétrica e
)v k
ble
0, )u v k
ble
0 , )u v k
D
S , las ecua
FORMA PA
es
aciones
ARAMÉTRICCA
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaIV
189
determina otra curva 2C , tal como se muestra en el gráfico adjunto.
si , ,u vr u v y r u v , son las derivadas parciales de ,r u v respectivamente,
entonces
0 0 0 0, ,u vr u v y r u v
son los vectores tangentes a las curvas 1 2C y C en el punto
0 0 0 0 0 0, , , , ,f u v g u v h u v respectivamente, el vector normal unitario en
dicho punto es:
0 0 0 0
0 0 0 0
, ,
, ,u v
u v
r u v X r u vn
r u v Xr u v
esto se puede hacer en cualquier punto, luego el vector normal unitario en
cualquier punto de la superficie es:
, ,
, ,u v
u v
r u v X r u vn
r u v Xr u v
ésta fórmula nos da otra forma de hallar el vector normal unitario, cuando la
superficie está dada paramétricamente.
Escue
190
Ejerc
Halle
Solu
En 1
Si r
es la
son s
Si u
si v
tal co
si ur
enton
ur
evalu
el ve
elaProfesional
cicio 6
e la represe
ción
.6 hemos v
x
,a v
r
a representa
x a sen
sus ecuacio
2
se tien
2
se tien
omo se mue
vy r so
nces:
a senv se
uando en u
r
ector norma
n
deIngenieríaE
entación par
visto las coo
cox r sen
v y u
( , )r u v a se
ación param
cos ,nv u y
ones param
ne la curva
ne la curva
estra en la f
n las deriva
, cenu a senv
,2 2
u v
,0,0ur a
l unitario en
0,1,0n =
ElectrónicayT
EJERCI
ramétrica de
ordenadas e
os , y r se
, entonces
cosenv u i
métrica de la
a senv sen
métricas.
1C (meridia
2C (Ecuado
figura adjun
adas parcia
cos ,0u y
2
se tiene lo
0,0vy r
ntre es
= j
Telecomunicaci
CIOS RESU
e una supe
esféricas de
,en sen z
s la función
senv senu
a esfera de
, cosu z a u
ano)
or)
nta,
les de con
covr a
os vectores
0, a
iones
UELTOS
rficie esféric
e un punto,
cosr
vectorial
cosa vj
radio a y
0u con ,
respecto a
os cos , cv u a
s tangentes
ca de radio
las que son
2 , 0
u y v r
cos ,v senu
a.
n:
v
respectivam
a senv
mente,
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaIV
191
Ejercicio 7
Hallar la representación paramétrica del plano
: 3x y z P
Solución
Si , 3x u y v y z u v
entonces, la función vectorial
( , ) 3 ; ,r u v u v u v u v R i j k
es la representación paramétrica del plano P
Ejercicio 8
Hallar la representación paramétrica de la superficie cilíndrica
2 2: 1 2 9C x y
Solución
Si 1 3cos , 2 3x u y senu
entonces
1 3cos , 2 3x u y senu
Escue
192
luego
es un
son s
Ejerc
Grafi
Solu
Es m
es p
obten
Las e
de la
enton
es la
cónic
elaProfesional
o
r
na represen
x
sus ecuacio
cicio 9
icar la supe
r
ción
muy difícil g
preferible e
ner la ecua
ecuaciones
x
as dos prime
x
nces
x
a ecuación
ca tal como
deIngenieríaE
( , ) 1r u v
ntación para
1 3cosx u
ones param
erficie S cuy
( , )r u v u co
raficar la su
liminar los
ción rectan
paramétric
cos ,x u v y
eras ecuaci
2 2 2x y u
2 2 2x y z
rectangula
se muestra
ElectrónicayT
3cosu i
amétrica de
, 2 3u y
métricas..
ya represen
osv u seni
uperficie da
paramétro
gular y así
cas de la su
,y u senv z
iones eleva
2, como z
ar de la su
a en el gráfi
Telecomunicaci
2 3senu
el cilindro C
3 ,senu z v
ntación para
;nv u uj k
ando valore
os u y v de
identificarla
uperficie S s
z u
ndo al cuad
2u
uperficie; co
ico adjunto.
iones
; ,v uj k
y las ecuac
, ,v con u v
amétrica es
,u v R
es a u y v
e la repres
a.
son:
drado y sum
omo puede
.
v R
ciones
R
s la función
( , )y r u v ,
entación p
mando se tie
e verse es
vectorial
, en estos c
aramétrica
ene
una supe
casos
para
erficie
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaIV
193
Ejercicio 10
Graficar la superficie S cuya representación paramétrica es
( , ) cos cos
0 2 , 0
r u v a senv u b senv senu c u
con u v
i j k
Solución
Las ecuaciones paramétricas de la elipse son
cos , , cosx a senv u y b senv senu z c u
eliminando los parámetros u y v
tenemos:
cos , , cos
x y zsenv u senv senu c u
a b c
elevando al cuadrado y sumando miembro a miembro
2 2 22 2 2 2 2
2 2 2cos , cos
x y zsen v u sen v sen u u
a b c
2 2(1) cos
1
sen v u
luego
2 2 2
2 2 21
x y z
a b c
es la ecuación rectangular de la superficie y corresponde a una elipsoide tal como se
muestra en el gráfico adjunto.
Escue
194
4.4.
elaProfesional
INTEGRA
En la
camino de
pasaremo
DEFINICIÓ
Sea S un
continua d
1 2,A A
cada kS fo
k
la integral
define com
S
si el límite
TEOREMA
deIngenieríaE
ALES DE SU
as integrale
e integració
os a definirlo
ÓN 4
na porción d
definida en
... nA resp
ormamos la
1
,k kk
G x y
de superfic
mo sigue:
( , ,S
G x y z
e existe.
A 2 (TEOR
ElectrónicayT
UPERFICIE
es curvilínea
n es una su
o a continua
de una supe
S ; tomand
pectivament
a suma
,k k kz x ,
cie de ( ,f x
00
) limk
nS
ds
EMA DE EV
Telecomunicaci
E
as el camin
uperficie ten
ación.
erficie de ár
o una partic
e y un punt
, )y z sobre
1
,n
kk
G x y
VALUACIÓ
iones
o de integra
ndremos int
ea finita y G
ción 1 2, ,.S S
to kP de coo
S denotad
,k k ky z A
N)
ación es un
tegrales de
( , , )G x y z u
..., nS de S
ordenadas
do por S
G
na curva, si
superficie q
una función
de áreas
, ,k k kx y z
( , , )x y z ds
el
que
en
s se
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaIV
195
Sea ( , , )u x y z una función definida en S , entonces:
a. Si : ( , )S z f x y tiene derivadas parciales continuas en D , entonces
22
( , , ) , , ( , ) 1S D
f fG x y z dS G x y f x y dA
x y
donde D es la proyección de S al plano XY
b. Si : ( , )S y g x z tiene derivadas parciales continuas en D , entonces
2 2
( , , ) , ( , ) 1S D
g gG x y z dS G x h x z dA
x z
donde D es la proyección de S al plano XZ
c. Si : ( , )S x h y z tiene derivadas parciales continuas en D , entonces
2 2
( , , ) ( , ), , 1S D
h hG x y z dS G h y z y z dA
y x
donde D es la proyección de S al plano YZ
d. Si ( , , ) 1G x y z , entonces
S
A dS es el área en la superficie S
Si ( , , ) ( , , )G x y z x y z representa la densidad de una lámina S en el espacio,
entonces
a. La masa de la lámina es
( , , )S
M x y z dS
Escue
196
Ejerc
Halla
si S coord
Solu
La su
(b).
elaProfesional
b. El ce
c. Los
resp
cicio 11
ar la integra
D
es la super
denados
ción
uperficie S
deIngenieríaE
entro de gra
xM
momentos
pectivament
2x
D
I x
al de superfi
2
D
x yrficie formad
y su proye
ElectrónicayT
avedad ,x
1(
S
x xM
s de iners
te son
2 2y x
y I
EJERCI
icie
dS
da por los p
cción sobre
Telecomunicaci
,y z (mom
, , )x y z dS
1
S
zM
ia de la lá
, ,x y z dS
2z
D
I x
CIOS RESU
planos 3x
e el plano X
iones
mento de ma
1,
S
yM
( , ,z x y zámina S a
, y
D
I
2 ,y x y
UELTOS
2 6 0y
XY
se mues
asa) de la lá
( , ,S
y x y z
)dS
alrededor d
2 2x y
,y z dS
6y z
stran en la f
ámina es:
)z dS
de los ,x y
, ,x y z dS
y los plano
figura 51 (a
y z
S
s
a) y
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaIV
197
Como 2 3( , ) 6 ( , ) ,0 2 ; 0 3
2z f x y y D x y R x y x
entonces
22
2 2 1S D
f fx y dS x y dA
x y
3
2 3 22
0 0
xx y dy dx
2 2 3
0
21 21 99
2 4 8x x x dx
13
2
Ejercicio 12
Hallar la integral de superficie
2
S
x dS
si S
es la parte del cono 2 2 2z x y
entre los planos 1 2z y z
Escue
198
Solu
Las s
Com
En c
elaProfesional
ción
superficie S
mo ( ,z f x y
S
oordenadas
deIngenieríaE
S
y su proye
2)y x y
2
S
x dS
D
s polares:
1
ElectrónicayT
ección sobr
2y , entonce
2 1D
x
2 1D
xx
22
D
x dA
2 2
1 0
2 2 3
1 0
2 23
1 0
2 3
1
2 3
1
2
2
2
2
2
2
2
15 2
4
r
r
r
r
r dr
Telecomunicaci
re el plano
es
2z z
x y
2
2 2 2
x
y x
2 2
3 2
2
0
cos
cos
1 cos 2
1
2
r
d
s
r
iones
XY
se mue
2zdA
y
2
2 2
ydA
y
2
02
d dr
dr
d dr
sen d
estra en el g
dr
gráfico adjuunto.
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaIV
199
Ejercicio 13
Usando integrales de superficie, hallar el área de un cilindro circular de radio a y altura
h.
Solución
Sea el cilindro 2 2 2x z a
con eje en el eje Y tal como se muestra en la figura adjunta
Considerando la parte superior del cilindro 2 2z a x
se tiene
22
2 2 1S S
z zA dS dA
x y
Escue
200
luego
4.5.
elaProfesional
o:
2A a h
INTEGRA
El c
en particu
velocidade
delgada a
cruza la m
integral lla
DEFINICIÓ
Si S
punto y F
campo ve
D
Si , ,x y
D
deIngenieríaE
2
2
22
2
a
a
a
a
a
ah
xah
a h
ALES DE FL
oncepto de
ular, si se
es represen
a través del
membrana p
amado integ
ÓN
S es una su
F y es un c
ctorial F s
D
F dS .n
, z es la de
D
F dS .n
ElectrónicayT
20
2 2
2 2
2
h
a
dydx
a xdx
a x
xa x
LUJO
e flujo se pr
considera e
ntado como
l cual se fil
por unidad
gral de flujo
uperficie or
campo vect
obre la sup
ensidad de f
Telecomunicaci
2
2
2
aarcse
resenta en
el movimie
o una funció
tra el fluido
de tiempo,
.
ientada por
torial, la int
perficie S se
fluido, ento
iones
a
a
xena
muchas ram
nto de un
ón vectoria
o, el flujo e
su modelo
r su vector
tegral de flu
e define com
nces la inte
mas de la c
fluido com
l y S como
s el volume
o matemátic
normal uni
ujo o simpl
mo la integr
egral de flujo
ciencia; en
mo un camp
o una memb
en de fluido
co es un tip
itario n en
emente fluj
ral de supe
o
física
po de
brana
o que
po de
cada
jo del
rficie:
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaIV
201
es la masa de fluido que atraviesa S por unidad de tiempo.
en la definición anterior, la superficie puede darse en su forma rectangular como:
: , , 0S G x y z
o en su forma paramétrica como
: , , , ,S r u v f u v g u v h u v i j k
en ambos casos, se ha visto como hallar el vector unitario n .
EJERCICIOS RESUELTOS
Ejercicio 14
Hallar la integral de flujo del campo vectorial , , 2 2F x y z x y z i j k si la S
superficie es parte del plano 3 2 6x y z
en el primer octante
Solución
La superficie S y su proyección sobre el plano XY
se muestra en el gráfico adjunto
Escue
202
el flu
luego
Ejerc
Halla
Solu
La su
mues
elaProfesional
ujo es
S
F .n
o
S
F ds .n
cicio 15
ar el flujo de
x
ción
uperficie es
stra en el g
deIngenieríaE
2S
dS x
1
14
1
14
6
0
6
0
1
14
1
2
1
2
6
6s
el campo ve
2 2 2x y z
sférica, su p
ráfico adjun
ElectrónicayT
, 2 ,x y z .
2 6
2 6
S
D
x y
x y
1
6 23
0 0
2
2
9
2
56
6
xx
yxy
x x
ectorial F x
2 2a
proyección s
nto
Telecomunicaci
1 3,
14 1
.
2
2 1
y z dS
y z
12
3
0
19 6
2
6
6
x
y
y dx
dx
, ,x y z x
sobre el pla
iones
3 2,
14 14d
1 9
4 4dA
14
2dy dx
x y zi + j k
no XY y e
dS
si S
es la
el vector uni
esfera
tario normaal se
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaIV
203
como
2 2 2 2: ( , , ) 0S G x y z x y z a
entonces su gradiente es
( ) 2 , 2 , 2grad G x y z
luego el vector normal unitario en cualquier punto es
( ), ,
( )
grad G x y z
grad G a a a
n
dirigido en sentido positivo (hacia afuera), luego el flujo en la semiesfera superior 1S es
1 1
, , , ,S S
x y zF dS x y z dS
a a a . .n
1
1
2 2 2
2 2 2
, ,
1
S
S
x y zdS
a a a
x y z dSa
Escue
204
halla
luego
Ejerc
Halla
para
Solu
La su
elaProfesional
ando la integ
o el flujo en
S
cicio 16
ar el flujo
boloide z
ción
uperficie S
deIngenieríaE
gral en coor
n toda la esf
S
F dS .n
del campo
2 2x y ac
S , su proyec
ElectrónicayT
2
2
2
2
1
11
D
D
D
x ya
aa
da
a
rdenadas p
22
0 0
2
0
3
2
2
a
a
a r
a r a
a
fera es:
34 a
o vectorial
cotado por lo
cción sobre
Telecomunicaci
2 2 2
2
2 2
2 2
y a x
x
a x y
dA
x y
olares
1
22 2
2 2
a r d
a r dr
( , , )F x y z
os planos z
el plano X
iones
2
2
2 2 2
1y
y
y a x
d dr
x y z i j
0z y z
XY se mues
2
2
z z
x y
dAy
zk si S
e
4z
stra en el gr
zdA
y
es la parte
ráfico adjunt
e Del
to
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaIV
205
Como 2 2: , , 0S G x y z x y z
su gradiente es
( ) , , 2 ,2 1
G G Ggrad G x y
x y z
luego el vector normal unitario es
2 2 2 2 2 2
( ) 2 2 1, ,
( ) 4 4 1 4 4 1 4 4 1
grad G x y
grad G x y x y x y
n
el flujo es
2 2 2 2 2 2
2 2 1, , , ,
4 4 1 4 4 1 4 4 1D S
x yF dS x y z dS
x y x y x y
. .n
2 2
2 2
22 2 2
2 2
2 2
2 2
4 4 1
14 4 1
S
D
D
x y zdS
x y
x y z zdA
x yx y
x y dA
Escue
206
halla
luego
4.6.
elaProfesional
ando en coo
2
0
2
0
2
8
o el flujo es
S
F dS .n
EL TEOR
E
e integrale
Divergenc
integrales
simple, co
En lo que
evaluarse
también p
deIngenieríaE
ordenadas p
2 2
0
2 3
0
2 3
0
.r r d d
r d dr
r dr
8S
EMA DE LA
El teorema d
es dobles t
cia o Teore
de superf
orresponde
sigue D e
y S es la
puede evalu
ElectrónicayT
polares
dr
r
A DIVERGE
de Green en
tiene su an
ema de Ga
ficie, como
a cursos de
es una regió
frontera de
arse.
Telecomunicaci
ENCIA
n el plano R
nálogo en e
auss; éste t
ya se dijo
e cálculo su
ón 3R de e
e la región
iones
2R que rela
el espacio
teorema re
o en 4.1 s
uperior más
en la cual la
D en la cu
aciona integ
3R llamado
laciona inte
u demostra
avanzado.
as integrale
ual la integ
rales curvil
o Teorema
egrales trip
ación no e
es triples pu
ral de supe
íneas
de la
ples e
s tan
ueden
erficie
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaIV
207
TEOREMA DE LA DIVERGENCIA
Sea D una región de 3R acotada por una superficie cerrada S con un
vector normal unitario n en cada punto de S de dirigido hacia el exterior, si F es
un campo vectorial definido a y con derivada parciales continuas en D ,
entonces:
S D
F dS F dV . .n
En palabras simples, éste teorema afirma que el flujo de F sobre S es
igual a la integral triple de la divergencia de F sobre la región D .
Si , , , , , , , ,F x y z f x y z g x y z h x y z i i k
entonces
, , , ,div F F f g h
x y z
. .
f f f
x y z
por otro lado
, ,F f g h
f g h
. .. . .
n n
i n j n k n
luego
S D
f f ff g h dS dV
x y z
. . .i n j n k n
de donde se tiene:
S D
S D
S D
ff ds dV
x
gf ds dV
y
hf ds dV
z
.
.
.
i n
j n
k n
Escue
208
4.7.
elaProfesional
É
en término
las aplicac
EL TEOR
Con
demostrac
avanzado
integrales
TEOREMA
Si S es u
F
es un cam
donde dr
curva es a
superficie
deIngenieríaE
Éstas iguald
os de las fu
ciones del T
EMA DE ST
el mismo
ción, el Teo
cuya dem
de superfic
A DE STOK
na superfic
, ,F x y z
mpo vectoria
CF dr .
, ,dx dy d
antihorario (
(positivo).
ElectrónicayT
dades es otr
unciones co
T. de la Dive
TOKES
o comenta
orema de St
mostración
cie en integ
KES
ie abierta c
, ,M x y z
al con deriva
XS
F
dz y S e
(positiva) y
Telecomunicaci
ra forma de
omponente
ergencia.
rio del teo
tokes es otr
es muy
rales curvilí
uyo contorn
, ,N x y zi
adas parcia
dS.n
es la super
el vector n
iones
expresar e
s de F , la
orema de
ro teorema
laboriosa;
íneas.
no es la cur
,z P x yj
ales continu
rficie :S z
ormal n dir
el teorema d
s cuales so
la Diverge
clásico del
éste teore
rva cerrada
,y z k
uas, entonce
,f x y , e
rigido hacia
de la diverg
on muy útile
encia sobr
cálculo sup
ema transf
simple C y
es
el sentido
a el exterior
encia
es en
re su
perior
forma
y
de la
de la
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaIV
209
EJERCICIOS RESUELTOS
Ejercicio 17
Comprobar la validez del Teoreama de Stokes si S es la superficie del paraboloide
2 21
2z x y limitado por 2z el plano siendo el campo vectorial
2( , , ) 3 4F x y z y xy z i j k
Solución
La figura adjunta ilustra los aspectos gráficos del problema
el teorema de Stokes afirma que
X
S
F dr F dS . .n
evaluando la integral curvilínea
si 2z , entonces 2 2 4x y
luego el contorno de es la curva
: 2 cos , 2 , 2 ; 0, 2C x t y sent z t
Escue
210
luego
así s
Evalu
como
enton
luego
elaProfesional
o
se tiene
uando la int
o ( , , )G x y z
nces el vec
n
o
S
deIngenieríaE
CF dr
.
20CF dr .
tegral de su
X
3
i
Fx
y
2 2x y
ctor normal u
2
x
x y
n
XS
F .n
ElectrónicayT
2
0
2
0
2
0
3 ,
3
3 2
12
8
10
20
C
C
C
y
y dx
s
dt
d
0
uperficie, la
j k
x y z
y xz yz
2z
unitario es
2 2,
1y x
S
ds x n
Telecomunicaci
2
2
2
0
2
0
,
2
8c
4
2 co
x z y z
x xz dy
ent se
sen t
sen
dt
rotacional d
2
2
x zz
2,
1
y
y
2 , 0 ,z z
iones
2
2
2
, ,
2
os
os 2
dx dy d
y z dz
ent dt
t
n t dt
t dt
.
de F es:
3z i k
2 2
1
x y
3z ds .n
2 cos 2
dz
t
k
1
2 cos t dtt
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaIV
211
2 2
2 2
2 222 2 2 22
22 2 2 22
3
1
3 12 2
32 2
S
D
D
x z zdS
x y
x y x y z zx x dA
x y
x y x yx x dA
en coordenadas polares:
2 22 2 2 2
0 0
6 32 2 3 2
0 0
cos cos 32 2
coscos 3
4 2
r rr r t r t d dr
r t rr t r d dr
2 2 23 3
0 0 0
2 24 2
0 0
6
64 2
20
r dr r dr rdr
r r
luego
XS
F .n = 20
Como puede verse se comprueba la validez del Teorema de Stokes; hay que tener
presente que en la integral curvilínea se ha considerado la orientación negativa de la
curva para compatibilizar con la orientación de la normal que está dirigido hacia
afuera.
Escue
212
Ejerc
Sea
la cu
en el
vecto
Solu
El gr
el Te
evalu
dond
elaProfesional
cicio 18
la superficie
urva C la fro
l gráfico adj
orial ( ,F x y
ción
ráfico descr
eorema de S
uando la int
1C C de
C
C
Y 3 :C x
deIngenieríaE
e S parte d
ontera de c
junto, verific
2, ) 2z x i
ito en el en
Stokes afirm
CF dr .
tegral curvil
2 3C C
1
2
: cos
: 0,
C x
C x y
, 0sent y
ElectrónicayT
de la esfera
ompuesta d
car la valide
2 x y x zj k
unciado es
ma que:
XS
Fínea, la cur
, ;
cos ,
t y sent
y t z
, cos ; 0z t
Telecomunicaci
2 2x y z
de la curvas
ez del Teore
k
:
dS.n
rva de integ
; 0; 0
; 0
z
sent
02
t
iones
2 1z conte
s 1 2,C C y
ema de Sto
gración es:
2
2
t
t
enida en el p
3y C tal co
okes si F e
primer octan
omo se mue
es el campo
nte y
estra
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaIV
213
luego
2 2C CF dr x dx x y dz xz dz .
1 2 3
1 3
2 2
2 2
2 2 2 22 2
0 0
2 0
2
cos 2cos cos cos
C C C
C C
x dx xy dy dt x dx x z dz
x dx xy dy x dx x z dz
sent t sent dt sen t t sen t t dt
22
0
3 2
0
cos
cos
3
1
3
t sent dt
t
luego
1
3CF dr .
Evaluando la integral de superficie tenemos
2
( ) X 2
2
i j k
rot F F z yx y z
x xy xz
j k
el vector normal unitario a es
( , , )x y zn
luego
X 0, ,2 , ,S S
F ds= z y x y z dS . .n
222 2
2
1 1
S
D
D
yz yz dS
z zy x y
x y
y dy dx
Escue
214
como
enton
luego
como
Ejerc
Sea
la div
y los
Solu
La su
elaProfesional
o
D
nces
o
S
o puede ver
cicio 19
la función v
vergencia. S
planos coo
ción
uperficie es
deIngenieríaE
( , ,D x y z
21 1
0 0
1
3
xy
XS
F .n
rse, se verif
vectorial (F
Si D es la r
ordenados.
stá formada
ElectrónicayT
2) / 0z R
y dy dx
1
3ds n
fica el Teor
2( , , )x y z x
egión del e
por las car
Telecomunicaci
1 ,0x y
ema de Sto
2 2 2y z i j
espacio limi
ras del cubo
iones
21y x
okes
2k , verificar
tado por los
o que se mu
r la validez d
s planos x
uestra en el
del Teorem
1, 1 ,y z
l gráfico adj
ma de
1z
junto.
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaIV
215
el teorema de la divergencia afirma
S D
F dS F dV . .n
evaluando el flujo de F
en cada cara del cubo
Cara ABGF , si: 1x , vector normal unitario n i
flujo:
1 1
2 2 2, , 1,0,0S S
F dS x y z dS . .n
1
1
2
2 2
1 1
0 0
1
1
S
D
x dS
x xdA
y z
dy dz
donde 2, / 0 1,0 1D y z R y z
(Proyección de S
sobre el plano YZ )
Cara OCDE, 2 : 0S x , vector normal unitario n i
flujo:
2
2 2 2, , 1,0,0S S
F dS x y z dS . .n
0 pues 0x
Cara BCDG: 3 : 1S y , vector normal unitario n j
Escue
216
flujo:
dond
(Proy
Cara
como
Cara
flujo:
elaProfesional
S
de ,D x
yecciones d
a OAFE: 4S
o 0y , en
S
a DEFG: 5S
S
deIngenieríaE
3S
F dS .n
2 / 0z R
de S
sobre
: 0y , vec
ntonces
4S
F dS .n
: 1z , vec
5S
F dS .n
5
1
2
1 1
0 0
1
1
S
D
z
dy dx
ElectrónicayT
3
2 2, ,S
x y z
3
1
2
1 1
0 0
1
1
S
D
y dS
y
x
dz dx
1,0x z
el plano X
ctor normal
0
tor normal u
5
2 2, ,S
x y z
2z z
x y
dx
Telecomunicaci
2 0, 1 ,0z .
2y y
x z
x
1z
XZ )
unitario n
unitario n
2 0, 0 ,1z .
2zdA
y
iones
dS
2
dA
j
k
dS
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaIV
217
Cara ABCO: 6 : 0S z , vector normal unitario n k
flujo:
6
0S
F dS .n pues 0z
Sumando flujo en S
6
1 0 1 0 1 0 3S
F dS .n
luego
6
3S
F dS .n
evaluando la integral triple
D
F dV .
hallando la divergencia de F
2 2 2, , , ,F x y zx y z
. .
2 2 2
2 2 2
x y zx y z
x y z
como la región de integración es
3( , , ) / 0 1,0 1,0 1D x y z R x y z
entonces
1 1 1
0 0 02 2 2
D
F dV x y z dz dy dx .
Escue
218
como
Ejerc
Verif
F x
2x
elaProfesional
o puede ver
S
cicio 20
ficar el Teor
, , 2x y z x
2 6,y z
deIngenieríaE
rse, se cum
S
F dS .n
rema de la d
2xy z y i
0, 0x y
ElectrónicayT
1 1
0 0
1 1
0 0
1 1
0 0
1
0
1
0
2
2
2
2
2
2
22
3
xy
x
x
mple:
D
F dV .
divergencia
2 3x j k
0, 0z
Telecomunicaci
1
0
2
2
1
2
1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
x y z
zxz yz
x y
yy y
dx
x x
V
a para el cam
k en la regi
iones
12
0
1
0
1
0
2
z dz dy dx
z
dy dx
y
x
mpo vector
ión del espa
ial
acio limitadoo por los plaanos
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaIV
219
Solución
La región del espacio limitado por los planos 2 2 6, 0, 0, 0x y z x y z es el
prisma triangular D en el primer octante definido por
3, , / 0 3 , 0 3 , 0 6 2 2D x y z R x y x z x y
y mostrado en la figura adjunta.
el teorema de la divergenca establece:
S
F dS F dV . .n
evaluando el flujo deF ; como el vector normal unitario es 2 2 1
, ,3 3 3
n , entonces
2 2 2 12 , , 3 , ,
3 3 3S S
F dS xy y x dS . .n
Escue
220
en el
'D so
luego
Evalu
como
enton
elaProfesional
l cálculo D
obre el plan
o
S
F d .n
uando la int
o F
.
nces
deIngenieríaE
' ,x y
no XY
27dS
tegral triple
, ,x y z
D
F dV .
ElectrónicayT
'
'
14
3
14
3
14
3
S
D
D
xy
xy
xy
'
4 5D
xy x
3 3
0 0
3 2
0
3 3
0
4 3
4
2
4
3
1
3
27
xx
xy
x
x x
2 / 0R x
22 ,xy z
.
4D
V y d
Telecomunicaci
22 2
5 4 2
5 4 2
z y x
x y y
x y y
24 2x y y
2
2
5 4
5 2
3 12
12 27
xy x y
xy y
x x
x
3,0 3y
2 4y y
dV
iones
2
2
3
9 1
9 3
x dS
y
y dA
2 9 dA
2
3
3
0
2 9
29
3
27
7
y y
y
dx
3 x es la
2z
x
3
0
9
9x
dydx
y
a proyección
2zdA
y
n de la regióón
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaIV
221
3 3 6 2 2
0 0 0
6 2 23 3
0 0 0
3 3 2
0 0
4
4
4 6 2 2
x x y
x yx
x
y dz dy dx
y z dy dz
y xy y dy dz
33 2 2 3
00
3 3 2
0
34 3 2
0
24 3
3
14 3 9 9
3
1 94 9
12 2
27
x
y xy y dx
x x x
x x x x
así se tiene
27F dV .
luego se verifica la validez del Teorema de la divergencia.
Escue
222
De l
soluc
1
2
3
4
5
elaProfesional
os 20 ejerc
ciones con
. Hallar un
a. e
b. e
c. e
2. Evaluar
siendo S
octante.
Sol. 3 1
3. Evaluar
en donde
Sol. 0
4. Hallar el
vértices
Sol. 48
5. Aplicand
C es la
deIngenieríaE
cicios prop
las solucion
na represen
el plano y
el cilindro pa
el cilindro el
la integral d
S
y d
S la porción
14
la integral d
S
yz
e S es la s
flujo del ca
1, 1, 1
do el Teorea
circunferen
ElectrónicayT
puestos en
nes dadas e
EJERCIC
ntación para
x
arabólico z
íptico 2 4x
de superfici
dS
n del plano
de la superf
z dS
uperficie co
ampo vector
ama de Gre
ncia 2 2x y
Actividad
Telecomunicaci
esta unida
en cada eje
CIOS PROP
amétrica de
2y
24 4y
e
3 2x y z
ficie
on la ecuaci
rial , ,F x y
een, calcula
2a recor
dessugeri
iones
ad, resolver
ercicio propu
PUESTOS
e las siguien
6 compre
ión paramé
, 2 ,z x y
ar la integral
rido en sen
idas
r mínimo 8
uesto.
ntes superfic
endida en e
trica x uv
,3z siendo
l 2
Cx y dx
tido antihor
8, compara
cies
el primer
,v y u v
o S el cubo
2x xy dy d
rario.
r sus
con
onde
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaIV
223
Sol. 2
2
a
6. Aplicando el Teorema de Green, calcular la integral
2 2 2 2lnCx y dx y xy x x y dy
siendo el contorno C del rectángulo 1 4,0 2x y
7. Comprobar el Teorema deGreen para
2 3 2 2Cx xy dx y xy dy
siendo C un cuadrado de vértices 0,0 , 2,0 , 2,2 0,2y .
Sol. Valor común 8
8. Comprobar el Teorema deGreen para
3 2 2
Cx x y dx xy dy
siendo C el contorno de la región común a las circunferencias
2 2 2 24 16x y y x y
Sol. Valor común 120
9. Aplicando el Teorema de Green calcular la integral 32Cx y dx xy dy
siendo C el contorno de la región limitada por las circunferencias
2 2 2 21 9x y y x y
Sol. 60
10. Usando el Teorema de Green calcular el área limitada por la elipse
cos ,x a t y b sent
Sol. ab
11. Calcular la integral de superficie 2 2
S
x y dS siendo S la superficie del cono
2 2 23z x y entre 0 3z y z
Sol. 9
12. Determinar el área del plano 2 2 16x y z limitado por los planos
0, 0, 2, 3x y x y
Sol. 9
Escue
224
1
1
1
1
1
1
1
elaProfesional
3. Hallar la
que se e
Sol. 4
4. Hallar el
porción d
0 1x
Sol. 11
5. Hallar el
esfera x
Sol. 64
6. Hallar el
esfera x
Sol. 4
8
a
7. Verifique
, ,F x y z
2 2x y
Sol. 9
8. Verificar
, ,F x y z
Sol. 4
9. Verificar
, ,F x y z
espacio
Sol. 4
deIngenieríaE
integral de
encuentra e
2
flujo del ca
del parabol
1, 0 1y
10
6
e
flujo del ca
2 2 2x y z
43
flujo del ca
2 2 2x y z
4
e el Teorem
2 3z y x i
2 9z y la
r el Teorema
z x y i j
3a
r el Teorema
( )z x z i
: , ,D x y z
ElectrónicayT
e superficie
n el interior
ampo vector
oide 2z x
ampo vector
4
ampo vector
2a en el p
ma de Stoke
2x zj k sie
a curva C s
a de diverg
z k y es S
a de la dive
( )y z i j +
3 / 0z R
Telecomunicaci
S
x dS sie
r del cilindro
rial , ,F x y
2y que s
rial , ,F x y
rial , ,F x y
primer octan
es para el ca
endo S la p
su contorno
encia para
S la esfera
ergencia par
( )x y+ k s
2 2 1,y z
iones
ndo la S po
o 2 2 1x y
yz e y i +
e encuentra
2z xz i -
2 ,z x y
nte.
ampo vecto
parte superio
o.
el campo v
2 2 2x y z
ra el campo
siendo S la
, 0 2x
orción del p
1
2xy e x yj k
a arriba del
2 3y zj k s
2 2,y z a tra
orial
or de la sup
ectorial
2 2a
o vectorial
a frontera de
plano z y
k siendo S
cuadrado
siendo S la
avés de la
perficie esfé
e la región d
3
la
a
érica
del
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaIV
225
20. Verificar el Teorema de Stokes para el campo vectoria , ,F x y z z x y i j + k l
siendo el hemisferio superior de la esfera 2 2 2 2x y z a .
Sol. 2a
Escue
226
elaProfesional
1. Se d
el pla
2. Se e
curvi
3. Se d
camp
4. Se e
cálcu
deIngenieríaE
definen las c
ano y en el
estudia el te
ilíneas cerra
efinen las i
po vectorial
estudia el t
ulo de integ
ElectrónicayT
curvas simp
espacio.
eorema de G
adas a travé
ntegrales d
l.
teorema de
rales triples
Re
Telecomunicaci
ples cerrad
Green y su
és de integ
de superficie
e la diverge
s e integrale
sumen
iones
as y las reg
s aplicacion
rales dobles
es y se apli
encia y Sto
es curvilínea
giones simp
nes al cálcu
s.
ca al cálcul
okes y sus
as sobre cu
ples conexa
ulo de integ
lo del flujo d
aplicacion
urvas cerrad
as en
grales
de un
nes al
das.
CálculoVectorialAvanzado ●UnidaddidácticaIV
227
A. Fuentes bibliográficas
1. W. Swokowsky Earl (1980).Cálculo con Geometría Analítica. Segunda Edición.
Grupo Editorial Iberoamérica. México D.F.
2. Leithold Louis (2009). El Cálculo. Séptima Edición. Hoxford–Harla. México D.F.
3. Mitacc Meza Máximo (2005). Cálculo III. Cuarta Edición. Editorial Thales S.R.L.
Lima.
4. Kreyzig Erwin (2003). Matemática Avanzada para Ingenieros: T.I. Tercera
Edición. Editorial Limusa Wiley. México D.F.
5. Larson Rom (2006). Cálculo de Varias Variables. Editorial Mc. Graw–Hill.
México D.F.
B. Fuentes electrónicas
Direcciones de la web, que brindan información adicional, incluidos ejemplos
resueltos y propuestos, que podrán ayudar a la mejor comprensión del curso para
verlos, buscarlos en el campo virtual.
Fuentesdeinformación
Escue
228
Actu
y mid
1
2
3
4
elaProfesional
ando con to
da el nivel d
. Usando
Si C es l
2. Comprue
Si C es l
3. Halle la
S
si S es p
4. Halle el f
F
si S es p
deIngenieríaE
oda serieda
de su apren
el teorema
2 2Cx xy
la curva cer
ebe la valid
2Cx y d
la curva cer
integral de
S
x y z
parte del pla
flujo del cam
( , , ) 2F x y z
parte del pla
ElectrónicayT
ad, sin ver e
ndizaje. Com
de Green,
2y dx x
rrada forma
dez del teore
2dx x y
rrada forma
superficie
ds
ano 2x y
mpo vectori
2x y z i j
ano 2x y
Autoeva
Telecomunicaci
el solucionar
mpare sus r
halle la inte
y dy
ada por la pa
ema de Gre
dy
ada por las p
4z en e
ial
z k
6z en e
aluación
iones
rio resuelva
respuestas
egral curvilín
arábola y
een para la
parábolas y
el primer oc
el primer oc
a los ejercic
con el soluc
nea
2x y la rec
integral cur
2y x y x
ctante
ctante
cios propues
cionario.
cta x y
rvilínea
2y
stos
CálculoVectorialAvanzado●Solucionario
231
1. Como
cosx r e y rsen
entonces:
5 cos 53
5cos53
5
2
x
x
x
también:
5 53
5 53
35
2
x sen
x sen
x
luego:
5 3
, 52 2
son las coordenadas rectangulares.
2. Transformando primero a coordenadas rectangulares:
cos
2 cos6
2 cos6
x r sen
x sen
x sen
Solucionariodelaautoevaluación
UnidadI
Escue
232
3
elaProfesional
x
x
y
y
y
y
y
z
z
z
luego 1Transfor
r
r
r
como
Se está
coorden
3. Como
r
entonces
deIngenieríaE
12
2
1
x
x
2
26
12
2
0
y r sen s
y sen
y sen
y
y
cos
2cos
3
z r
z
z
1 , 0 , 3 so
rmando a ci
2 2
21 0
1
r x y
r
r
0
yarc tg
x
consideran
adas cilíndr
2 2r x y
s
ElectrónicayT
1
6
6
0
sen
sen
sen
6
on las coord
ilíndricas
2
do el meno
ricas del pu
2 cosy
Telecomunicaci
denadas re
or valor de
unto 2 ,P
2 2
x
x y
iones
ctangulares
, luego
,6
2
s
1 , 0 , 3
sson las
CálculoVectorialAvanzado●Solucionario
233
2 2
2 2
3
1x y
x
x y
2 2
2 2
3
1
x y
x y
luego
2 2 3x y x
elevando al cuadrado y simplificando
2 6 9y x
la ecuación correspondiente a la parábola.
4. En coordenadas rectangulares la región de integración es
2 2, / 0 3 , 0 9D x y R x y x
en coordenadas polares es
2' , / 0 3 , 02
D r R r
luego
23 9 32 2 22
0 0 0 09 9
xx y dydx r r d dr
3 2 2
00
3 2
0
9
92
92
r r
r r dr
5. La región de integración es
3, , / 0 2 , 0 , 02 2
D r R r
Luego
2 2 2 2
0 0 0D
y dx dy dz r sen sen r sen d d dr
Escue
234
elaProfesionaldeIngenieríaEElectrónicayT
2 2
0 0 0
2 2 2
0 0
2 2 3
0 0
2 3
0
2 3
0
1
2
4
r
r
r
r
Telecomunicaci
2 3 2
0
2 2
3 2
co
12
2
r sen s
sen
sen dr
sen
iones
2
0
2
0
os
en d d d
d dr
dr
dr
CálculoVectorialAvanzado●Solucionario
235
1. Producto interior de ( ) ( )F t y G t
2( ) ( ) ln , , , cos , 2tF t G t sent e t t. .
2
2
ln cos 2
1ln 2 2
2
t
t
t t sent t e
t t sen t e
Su derivada
( ) ( ) ' 2 ln cos 2 2 tF t G t t t t t e .
Producto vectorial
2
( ) ( ) ln
cos 2
x t
i j k
F t G t t sent e
t t
2 22 cos 2ln ln cost tt e t t e t t t t sent i j k
Su derviada
2
2( ) ( ) ' 2 cos 2
cosln cos 2
x t t t tF t G t e sent e t te tet
tt sent t t t sent
t
i j
k
2.
a. 2 2: 4 6 4 0C x y x y
: 2 2cos , 3 3C x t y sen t
la curva es una circunferencia con centro 2,3 y radio 3
si ' 2 , 3x x y y
entonces
Solucionariodelaautoevaluación
UnidadII
Escue
236
3
elaProfesional
lu
s
b. C
c
e
la
3. La funció
F
su deriva
F
F
vector ta
T
vector no
N
N
Ec. de la
punto de
deIngenieríaE
:C x
uego
:C x
son las ecua
: 2C x
como: cos t
elevando al
:x
C
a curva es u
ón vectorial
( ) 2F t
ada:
'( ) 2
'( ) 3
F t s
F t
angente unit
'3
'3
FT
F
ormal unita
'(( )
'(
1,
2
T tN t
T t
N
a recta tang
e paso P
ElectrónicayT
' 2 ,x
2 3cos
aciones par
2cos ,t y
2,
4
xs
cuadrado y
22
4
x y
una elipse c
l que define
2cos t i
, 2 cos
3,1
sen t t
tario:
3
2
rio:
)
)
3
2
tsen
t
gente:
1 ,3 3
Telecomunicaci
' 3y y
s , 3t y
ramétricas d
3 3sen t
3
9
ysent
y sumando
23
19
y
con eje foca
e a la curva
3 2sent j
1,2
, cost t
iones
3 3 ,sent t
de la curvas
t
miembro a
al vertical.
C es
j
0,2
s
miembro
CálculoVectorialAvanzado●Solucionario
237
3 1
: 1 ,3 3 ,2 2
: 3 2 3 3
T
T
P
x y
L
L
Ec. de la recta normal:
1 3
: 1 ,3 3 ,2 2
: 3 3 2 3 0
N
N
P
x y
L
L
Curvatura:
' 2 , cos
'' 2 cos , 2
F t sent t
F t t sent
evaluando en: 3
t
luego:
3
2 22
3 3 1 1 1
23 1
k
4. La función vectorial que define a la curva C es3
2 21 2 , 2 , 2 2F t t t t
Sus derivadas:
' 4 , 2 , 4
'' 4 , 0 , 4
F t t t
F t
Evaluando en 1t
1 1, 2 , 4
' 1 4 , 2 , 4
'' 1 4 , 0 , 4
F
F
F
Vector tangente unitario:
' 14 , 2 , 4
' 6
2 1 2, ,
3 3 3
FT
F
Escue
238
5
elaProfesional
luego T
Vector b
B
B
Vector n
N
luego N
0
0
1
P B
P x
.
Curvatur
K
Torsión:
5. : 2C x
Longitud
L
deIngenieríaE
2 1,
3 3T
binormal uni
'
'
1, 0
2
xx
F FB
F F
B
normal unita
xN B T
1
3 2N
0 0
1 1, 0 ,
2 2
3 0
P P
z
ra:
3
'
'
xF FK
F
' ''
'
xx
F F
F F
22 ,t y t
d:
4 2
11L
ElectrónicayT
2,
3
itario:
'' 1
'' 8 2
1,
2
F
F
ario:
10
22 1
3 3
i j
4 1, ,
3 2 3
0
1, 2x y .
3
1,''F
2
1,'''
''
F
F
.
, 1, 4t
24t dt
Telecomunicaci
8 , 0 , 8
1
2 32
3
k
1
2
2, 4 0z
2,4 4
1,2, 4
x
, 2 , 4 4
'
xxF F
iones
1 4,
3 2 3 2
0
3
, 0 , 4 8
2
23
,0, 4 0,0
''F
.
1,3 2
2
21
, 00
CálculoVectorialAvanzado●Solucionario
239
4 2
1
42 2
1
1 4
1 11 4 ln 2 1 4
2 2
1 5 12 65 ln 8 65 ln 2 5
4 2 4
t dt
t t t t
Escue
240
1
elaProfesional
. Hallando
f
También
Luego:
El gradie
El Lapla
deIngenieríaE
o la primera
( , )f x y e
2
y
xfe
x x
x y e
2
2
4y
x
fx
x x
y xx
e x
n:
2
2
2
1 y
x
y
fe
y x
f
y y
x e
ente es:
2f x y e
ciano es:
2y
xf e
Sol
ElectrónicayT
a y segunda
y
x
y
x
y
x
2
2
4 2 32
y
x
y
x
x ye
x e
y x y
1
y
x
y
x
y
x
ex
y y
x xe
i
4 2 32x y x
lucionario
U
Telecomunicaci
a derivada p
3 2y x
delaauto
UnidadIII
iones
parcial de f
oevaluació
( , )f x y con
ón
respecto a X
CálculoVectorialAvanzado●Solucionario
241
2. La divergencia de F
2 2
2 2
2
, , ln , ,
ln
2 ln
z
z
z
F x z x y e x y zx y z
x z x y e x y zx y z
x z x e x y
. .
luego
22 ln zF x z xe x y .
La rotacional de G:
2 2
2 2 22
xxyz
xyz xyz
i j k
Gx y z
x y z e xyz
x z x y e x y z y z y z e x y
i j k
Luego:
2 2 22x xyz xyzG x z x y e x y z y z y z e x y i j k
3. Las ecuaciones parametricas de C son:
2: 2 , , 1,3C x t y t t
luego:
3 22 2 2 2
12 4 2
Cx y dx x y dy t t tdt t t dt
3 5
1
36
1
36
1
12
126
2
1456
t dt
t
t
luego:
2 2 1456Cx y dx x y dy
OBS: este ejercicio también puede ser resuelto usando el Teorema 3.
Escue
242
4
5
elaProfesional
4. Como la
C
entonces
luego: C
5. Sea (M
como M
por el T.
como la
d
como tam
d
entonces
integrand
f
deIngenieríaE
a curva C es
2: 2C y x
s
Cx ydx xy
Cx ydx xy
2( , ) 2x y xy
4M N
y x
3, la integra
diferencial
22df xy
mbién
fdf dx
x
s:
2fdx xyx
do con resp
2
( , )f x y
x y
ElectrónicayT
s:
, 1, 2x
2 2
1y dy x
2
1
2
1
2
10
105
2 32
62
x
x
x
62dy
2 2y y
4xy
al curvilínea
es exacta,
2 2y dx
fdyy
2 2y y dx
pecto a x
2
2
2 2
2
xy y d
y xy c
Telecomunicaci
2
22x dx
24 4
1
4
25
1
8
5
x dx x
x dx
x
( , ) 2N x y
a es indepe
existe una f
22 2x y x d
fy dy
y
dx
c y
iones
2 2
12x x
4dx
22 2x y x
ndiente de
función (f x
dy
22 2x y
4xdx
la curva de
, )x y tal que
2x dy
e integración
e:
n.
CálculoVectorialAvanzado●Solucionario
243
derivando con respecto a y e igualando a ( , )N x y
2 2( , )2 2 '( ) 2 2
f x yx y x c y x y x N
y
comparando:
' ( ) 0c y
y ( )c y c
luego:
2 2( , ) 2f x y x y xy c
Hallando la integral curvilínea:
2 2
4,3 2 2
2,1
2 2 2 2
2 2 2 2
(4,3) ( 2, 1)
160
Cxy y dx x y x dy
xy y dx x y x dy
f f
finalmente: 2 22 2 2 2 160Cxy y dx x y x dy
Escue
244
1
2
elaProfesional
. El Teore
como D
entonces
luego C
2. Hallando
sea la cu
C
donde
C
C
integran
deIngenieríaE
ema de Gree
CPdx Qdy
,D x y
s
2 2Cx xy
2 2Cx xy
o la integral
urva
1C C C
1
22
: ,
: ,
C x t y
C x t y
do a lo larg
1
2Cx y
ElectrónicayT
en establec
D
dyx
2 / 0R x
2dx x
2dx x y
curvilínea
2C
2 , 0,1
, 0,1
t t
t t
o de 1C
2x y dy
Solucion
Telecomunicaci
ce
PdA
y
21 , x y
D
y dy 1
0
1
0
1
0
4
4
1
3
1
3y dy
nariodela
Unida
iones
x
2 2x x
2
2
1
0
1 2 3
0
4x
x
x
x
x dy dx
x y dx
x x dx
aautoevalu
adIV
x
uación
CálculoVectorialAvanzado●Solucionario
245
1 12 2
0 0
1 1 12 3
0 0 0
2 2 2
6 2
3
t t dt t t tdt
t dt t dt t
integrando a lo largo de 2C
2
2 22 2 2Ct t t dt t t dt
1 1 13 2
0 0 02 6
3
t dt t dt tdt
luego 2 2 3 3 0Cx y x y dy
Hallando la integral doble
D
PdA
x y
como 2P
x y
entonces
2 2 0D
dA
Luego ser verifica el T. de Green
3. La superficie S es:
: ( , ) 4 2S z f x y x y
luego:
22
4 2 1S D
z zx y z ds x y x dA
x y
4 6D
x dA
donde: 2( , ) / 0 2 , 0 4 2D x y R x y x
Escue
246
4
elaProfesional
La integr
4. La super
S
el vector
n
hallando
S
donde D
deIngenieríaE
ral de super
rficie S es:
: 6S z x
r normal uni
1 2,
6 6n
o el flujo de
S
F n ds .
,D x y
ElectrónicayT
2
0
2
0
2
0
6
6
6
40 6
3
rficie es: S
2y
itario a Z es
1,
6 6
F.
2 , ,S
x y z
2 2
1 6
S
D
x y
x
2 / 0R x
16 3
2
0 0
6
0
(
6
xx
x y
Telecomunicaci
2 4 2
0 0
2 4
00
2
0
4
4
16 12
6
xx
x y
x
S
x y z
s:
1 2, ,
6 6
.
2
1
z ds
z
z
6 , 0x y
1
32
0
6)
x
dydx
y dx
iones
4 2
0
22
z
x dydx
dx
x dx
40 6
3ds
1
6ds
2zdA
y
13
2x