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E1 E2 E3 E4 Calificacion
/40
CALCULO INFINITESIMALExamen Final 11-Enero-2013
NUM.de MATRICULA
APELLIDOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
NOMBRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
GRUPO / PROFESOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
INDICACIONES PREVIAS
La duracion del examen sera de dos horas y media sin interrupcion.
No se puede salir del aula y volver a entrar, debiendo permanecer en ella al menos durante la primerahora.
No se admiten calculadoras. Los telefonos moviles deberan estar apagados.
E1. (a) Acota superior e inferiormente la integral
2−2
xex dx ( 4p.)
(b) Razona si la funcion G(x) =
x3
0
1
8 + cos2 t dt
3/2
es derivable en (0, +∞), y calcula si es
posible G(x). ( 4p.)
E2. Dada la funcion f (x) = x2
1 + x2
. Se considera el recinto plano acotado D , limitado por la grafica de
la funcion, su asıntota horizontal y las rectas x = 1, x = −1.
(a) Calcula el area del recinto D . ( 4p.)
(b) Calcula el volumen del solido de revolucion obtenido al girar D alrededor del eje OY . ( 4p.)
(c) Calcula el area del recinto limitado por la grafica de la funcion y su asıntota. ( 4p.)
E3. (a) Razona si es verdadero o falso:
Sea an ≥ 0 ∀n con lımn→∞
an12n
= 5. Entonces la serie∞n=1
an diverge. ( 3 p.)
(b) Calcula el intervalo de convergencia de la serie de potencias
∞n=1
−1
5
n 1
3√
n7(x − 2)n ( 5 p.)
E4. Sea f (x, y) =
x2y2 + 3y4
x4 + y4 (x, y) = (0, 0)
3 (x, y) = (0, 0)
. Estudia:
(a) la continuidad de f en IR2. ( 3 p.)
(b) la existencia de derivadas parciales primeras de f en (0, 0) y en (−1, 1). ( 4p.)
(c) la diferenciabilidad de f en en (0, 0) y en (−
1, 1). ( 3 p.)
(d) determina el plano tangente a la superficie z = f (x, y) en el punto (−1, 1, 2). ( 2 p.)
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Solucion del EXAMEN
E1. (a) Acota superior e inferiormente la integral
2−2
xex dx Por el Tma. de acotacion de la integral
m(2 − (−2)) ≤ 2−2
xex dx ≤ M (2 − (−2))
siendo M , el maximo y m, el mınimo de f (x) = xex x ∈ [−2, 2]. f (x) = (x + 1)ex, f (x) =
0 ⇐⇒ x = −1 =⇒ posibles extremos de f en el intervalo [−2, 2] son x = −2, x = −1, x = 2,f crece cuando f > 0 ⇐⇒ x + 1 > 0 ⇐⇒ x ∈ (−1, +∞) =⇒ x = −1 es mınimo, y losmaximos se alcanzan en x = −2, x = 2. Por tanto, m = f (−1) = −e−1, M = f (2) = 2e2 >f (−2) = −2e−2
−4e−1 ≤ 2−2
xex dx ≤ 8e2
(b) Razona si la funcion G(x) =
x3
0
1
8 + cos2 t dt
3/2
es derivable en (0, +∞), y calcula si es
posible G(x).
(p.)
La funcion f (x) = 1
8 + cos2 x es continua en IR, por tanto la funcion integral lımite superior F (x) = x
01
8+cos2 t dt es derivable y F (x) = f (x). u(x) = x3 es continua y derivable en IR, luego la
composicion
x30
1
8 + cos2 t dt es derivable en IR, como esta composicion es positiva cuando x > 0,
entonces G es derivable en (0, +∞) y aplicando la regla de la cadena, su derivada ser a
G(x) = 3
2
x30
1
8 + cos2 t dt
1/2
· 1
8 + cos2(x3) · 3x2
E2. Dada la funcion f (x) = x
2
1 + x2 . Se considera el recinto plano acotado D , limitado por la grafica de
la funcion, su asıntota horizontal y las rectas x = 1, x = −1.
(a) Calcula el area del recinto D .
(b) Calcula el volumen del solido de revolucion obtenido al girar D alrededor del eje OY .
(c) Calcula el area del recinto limitado por la grafica de la funcion y su asıntota.
(a) Area(D) = 2
10
1 − x2
1 + x2
dx = 2
10
1
1 + x2 dx = 2(arctg x]10 = 2 · π
4 unidades2
(b) V olOY =
10
2πx ·
1 − x2
1 + x2
dx = 2π
10
x
1 + x2 dx =
= π
10
2x
1 + x2 dx = π
ln(1 + x2)
10
= π ln 2 unidades3
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(c) Area= 2
+∞0
1 − x2
1 + x2
dx = 2
∞0
1
1 + x2 dx =
= 2 lımT →+∞
T 0
1
1 + x2 dx = 2 lım
T →+∞(arc tg x]T 0 = 2 lım
T →+∞arctg T = 2 · π
2 = π unidades2
E3. (a) Razona si es verdadero o falso:
Sea an ≥ 0 ∀n con lımn→∞
an12n
= 5. Entonces la serie∞
n=1
an diverge.
FALSO.
Utilizamos el criterio de comparacion por paso al lımite:
la serie geometrica∞n=1
1
2n converge ya que su razon es
1
2, en valor absoluto menor que uno,
por tanto, la serie∞n=1
an converge.
(b) Calcula el intervalo de convergencia de la serie de potencias
∞
n=1
−1
5n 1
3√
n7
(x − 2)n
Estudiamos la convergencia absoluta de la serie utilizando el criterio del cociente:
lımn→+∞
−1
5
n+11
3√
(n+1)7(x − 2)n+1
−1
5
n1
3√ n7
(x − 2)n
= lım
n→+∞|x − 2|
3√
n7
5 3
(n + 1)7 = |x − 2|1
5 < 1 ⇐⇒ |x− 2| < 5
La serie de potencias converge en el intervalo (2 − 5, 2 + 5) = (−3, 7)
Para x = −3 =⇒∞n=1
−1
5
n 13√
n7(−3 − 2)n =
∞n=1
13√
n7convergente (serie armonica con
p = 7/3 > 1).
Para x = 7 =⇒∞n=1
−1
5
n 1
3√
n7(7 − 2)n =
∞n=1
(−1)n3√
n7absolutamente convergente (serie
armonica con p = 7/3 > 1).
Por tanto, la serie de potencias converge en el intervalo [−3, 7]
E4. Sea f (x, y) =
x2y2 + 3y4
x4 + y4 (x, y) = (0, 0)
3 (x, y) = (0, 0)
. Estudia:
(a) la continuidad de f en IR2. ( p.)
(b) la existencia de derivadas parciales primeras de f en (0, 0) y en (−1, 1). ( p.)(c) la diferenciabilidad de f en en (0, 0) y en (−1, 1). ( p.)
(d) determina el plano tangente a la superficie z = f (x, y) en el punto (−1, 1, 2).
Continuidad Dom(f ) = IR2, la funcion es continua en IR2 −{(0, 0)} por ser cociente de funciones con-tinuas con denominador no nulo, estudiamos la continuidad en (0, 0) : f (0, 0) = 3
lım(x,y)→(0,0)
f (x, y) = lım(x,y)→(0,0)
x2y2 + 3y4
x4 + y4 =
= lımr→0,α∈IRr4 cos2 α sen2 α + 3r4 sen4 α
r4(cos4 α + sen4 α) = lımr→0,α∈IRcos2 α sen2 α + 3 sen4 α
cos4 α + sen4 α ∃f continua en IR2 −{(0, 0)}.
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Derivadas parciales primeras de f : ∀(x, y) ∈ IR2 −{(0, 0)}
∂f
∂x(x, y) =
2xy2(x4 + y4) − (x2y2 + 3y4)4x3
(x4 + y4)2 → ∂f
∂x(−1, 1) = 3
∂f
∂y(x, y) =
(2x2y + 12y3)(x4 + y4) − (x2y2 + 3y4)4y3
(x4 + y4)2 → ∂f
∂y(−1, 1) = 3
∂f
∂x(0, 0) = lım
h→0
f (h, 0) − f (0, 0)
h = lım
h→0
0 − 3
h ∃,
∂f
∂y(0, 0) = lım
h→0
f (0, h) − f (0, 0)
h = lım
h→0
3 − 3
h = 0
Diferenciabilidad f posee derivadas parciales primeras, continuas en IR2 −{(0, 0)} =⇒ f es diferencia-ble en IR2 −{(0, 0)}, en particular en (−1, 1). f NO es diferenciable en (0, 0)ya que no es continua en
dicho punto, ni existe la derivada parciales respecto de x en dicho punto .
Plano tangente en (−1, 1, 2) : z − 2 = 3(x − (−1)) + 3(y − 1) ≡ z = 2 + 3x + 3y