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7/24/2019 calculoEnero_13_14
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CALCULO INFINITESIMAL
Examen Final 16-Enero-2014
Calificacion
/100
NUM.de MATRICULA
APELLIDOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
NOMBRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
GRUPO / PROFESOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
INDICACIONES PREVIAS
La duracion del examen sera de dos horas y media sin interrupcion.
No se puede salir del aula y volver a entrar, debiendo permanecer en ella al menos durante la primerahora.
No se admiten calculadoras. Los telefonos moviles deberan estar apagados.
E1. (10p.) Dada la funcion f(x) =
3 x22
0x1
1
x 1< x2
(a) Dibuja la grafica de la funcion f.
(b) Prueba que fsatisface las hipotesis del teorema del valor medio de Lagrange en [0, 2].
(c) Determina todos los numeros c, que satisfacen la conclusion del teorema.
E2. (25p.) Razona si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
(a) La funcion F(x) =
x20
1 t+t21 +t+t2
dt es derivable y F(1) =1
3.
(b) La integral impropia
+1
dx
x2(x+ 1)es convergente.
(c) El area del recinto plano acotado por y= 2
a2x 1
a3x2 y el eje de las abscisas, siendo a >0, no
depende del valor de a.
E3. (10p.) Sea (an)nIN una sucesion de terminos no nulos tal que lmnn|an|= 5 . Razona si son
verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:
(a) La serie numerican=1
3n
anes absolutamente convergente.
(b) La serie de potenciasn=1
(x 5)nan
es absolutamente convergente unicamente en el intervalo24
5 ,
26
5
.
E4. (15p.) Determina el conjunto de puntos donde converge la serie de potencias
n=1
(x 1)2nn 9n
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E5. (10p.) Sea f(x, y) = ayx2 x b+ y0
ln(2 +t2) dt . Determina los valores dea y b para que
z 5 =(x 1) + 2y sea la ecuacion del plano tangente a la superficie z = f(x, y) en el punto(1, 0, f(1, 0)).
E6. (30p.) Dadas las funciones:
f(x, y) =
exy, y2 +
xy,x2 + ln y
g(u,v,w) =
uvw, u v, u2 +w2(a) Calcula y dibuja el dominio de definicion de f.
(b) Comprueba que fes diferenciable en (1, 1).
(c) Comprueba que g es diferenciable en IR3.
(d) Prueba que g fes diferenciable en (1, 1) y calcula la matriz jacobiana de g f en (1, 1).
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Solucion del EXAMEN
E1. Dada la funcion f(x) =
3 x22
0x1
1
x 1< x2
(a) Dibuja la grafica de la funcion f.Grafica de f
(b) Prueba que fsatisface las hipotesis del teorema del valor medio de Lagrange en [0, 2].Hipotesis del teorema del valor medio de Lagrange:
fcontinua en [0, 2]
fcontinua en [0, 2]{1} al ser cociente de funciones polinomicas con denominador no nulo
f(1) = lmx1
f(x) = lmx1+
f(x) 1 = lmx1
3 x22
= lmx1+
1
xfcontinua en x= 1
fderivable en (0, 2)
f(x) =
x 0< x
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E2. Razona si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
(a) La funcion F(x) =
x20
1 t+t21 +t+t2
dt es derivable y F(1) =1
3.
FALSO.F(x) = G(u(x)) es derivable ya que es composicion de dos funciones derivables: u(x) = x2 y
G(x) =
x0
1 t+t21 +t+t2
dt que es derivable por el Teorema Fundamental del Calculo, ya que es una
funcion integral del lmite superior de la funcion g(t) =1 t+t21 +t+t2
continua en IR al ser cociente
de polinomios con denominador no nulo. Calculamos la derivada en x = 1
F(x) =G(u(x)) u(x) =g(x2) 2x= 1 x2 + (x2)2
1 +x2 + (x2)2 2xF(1) =2
3=1
3
(b) La integral impropia
+1
dx
x2(x+ 1)es convergente.
VERDADERO. +1
dx
x2(x+ 1)= lm
T+
T1
dx
x2(x+ 1)= lm
T+
T1
1
x+
1
x2+
1
x+ 1
dx =
= lmT+
ln x 1
x+ ln(x+ 1)
T
1= lm
T+
ln
x+ 1x
1
x
T
1=
= lmT+
ln
T+ 1
T
1
T
(ln2 1) = 1 ln 2
(c) El area del recinto plano acotado por y = 2a2
x 1a3
x2 y el eje de las abscisas, siendo a >0, nodepende del valor de a.
f(x) = 2
a2
x
1
a3
x2 =x2
a2
x
a3 =
x(2a x)
a3
Los puntos de corte con el eje de las abscisas son x= 0 y x= 2a. As pues el area pedida es:
A=
2a0
2
a2x 1
a3x2
dx= 2
a2
2a0
x dx 1a3
2a0
x2 dx= 2
a2
x2
2
2a0
1a3
x3
3
2a0
= 4 83
=4
3
Por tanto es independiente del valor de a.
E3. Sea (an)nIN una sucesion de terminos no nulos tal que lmnn
|an|= 5 . Razona si son verdaderas
o falsas las siguientes afirmaciones:
(a) La serie numerica
n=1
3n
an es absolutamente convergente.
VERDADERO. La serie numerican=1
3n
anes absolutamente convergente ya que si utilizamos
el criterio de la raz
lmn
n
3n
|an| =3
5
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FALSO. La serie de potenciasn=1
(x 5)nan
es absolutamente convergente enx = 8 por el apartado
anterior. O bien, calculando la convergencia absoluta mediante el criterio de la raz obtenemos
lmn
n
(x 5)nan = lmn |x 5|n|an| =
|x 5|5
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E6. Dadas las funciones:
f(x, y) =
exy, y2 +
xy,x2 + ln y
g(u,v,w) =
uvw, u v, u2 +w2(a) Calcula y dibuja el dominio de definicion de f.
f : IR2 IR3Estudiamos el dominio de definicion de las tres funciones componentes
f1(x, y) =exy, f2(x, y) =y2 +
xy, f 3(x, y) =x
2 + ln y.
Dom(f1) = IR2 Dom(f2) ={(x, y)IR2 / xy0} Dom(f3) ={(x, y)IR2 / y >0}
Dom(f) =Dom(f1) Dom(f2) Dom(f3) ={(x, y)IR2 / x0, y >(b) Comprueba que fes diferenciable en (1, 1).
fes diferenciable en (1, 1)
Dom(f)
f1(x, y)x
=yexy f1(x, y)
y =xexy
SeaD un abierto tal que (1, 1)DLas derivadas parciales existen y son continuas(x, y) D Dom(f) Cond.Suf. f1 es dife-renciable en (1, 1).
f2(x, y)
x =
y
2
xy
f2(x, y)
y = 2y+
x
2
xy
Las derivadas parciales existen y son continuas(x, y) D Dom(f) Cond.Suf. f2 es dife-renciable en (1, 1).
f3(x, y)
x
= 2x f3(x, y)
y
= 1
yLas derivadas parciales existen y son continuas(x, y) D Dom(f) Cond.Suf. f3 es dife-renciable en (1, 1)
Entonces f es diferenciable en (1, 1) y la matriz jacobiana f(1, 1)
f(1, 1) =
f1(1, 1)
x
f1(1, 1)
y
f2(1, 1)
x
f2(1, 1)
y
f3(1, 1)
x
f3(1, 1)
y
=
e e
1
2
5
2
2 1
(c) Comprueba que g es diferenciable en IR3.g: IR3 IR3 con
g1(u,v,w) =uvw g2(u,v,w) =u v g3(u,v,w) =u2 +w2
Dom(g) =Dom(g1)Dom(g2)Dom(g3) = IR3 conjunto ABIERTO. Veamos que es diferenciableen IR3
g1(u,v,w)
u =vw
g1(u,v,w)
v =uw
g1(u,v,w)
w =uv
Las derivadas parciales existen y son continuas
(u,v,w)
IR3
Cond.Suf.
g1 es diferenciable
en IR3.
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g2(u,v,w)
u = 1
g2(u,v,w)
v =1 g2(u,v,w)
w = 0
Las derivadas parciales existen y son continuas(u,v,w)IR3 Cond.Suf. g2 es diferenciableen IR3.g3(u,v,w)
u = 2u
g2(u,v,w)
v = 0
g2(u,v,w)
w = 2w
Las derivadas parciales existen y son continuas en (u,v,w)IR3 Cond.Suf. g3es diferenciableen IR3.
Entonces g es diferenciable en IR3, y la matriz jacobiana sera
g(u,v,w) =
vw uw uv1 1 0
2u 0 2w
(d) Prueba que g fes diferenciable en (1, 1) y calcula la matriz jacobiana de g f en (1, 1).fes diferenciable en (1, 1) y g es diferenciable en f(1, 1) = (e, 2, 1) =g fes diferenciable en (1, 1)La matriz jacobiana de g fen (1, 1)
(g f)(1, 1) = g(f(1, 1)) f(1, 1) = g(e, 2, 1) f(1, 1) = 2 e 2e
1 1 02e 0 2
e e
12
52
2 1