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7/24/2019 calfeb05_06 EXAMEN CALCULO
1/5
T1 T2 T3 T4 T5 T6 EC TOTAL
CALCULO INFINITESIMALFEBRERO 3-2-2006
NUM.de MATRICULA
APELLIDOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
NOMBRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
GRUPO / PROFESOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
INDICACIONES PREVIASEl examen se compone de dos partes. En la primera se realizara la TEORIA en un tiempo maximo
de 1h.30min. Se ha de indicar al grupo al que se pertenece.No se puede salir del aula y volver a entrar, debiendo permanecer en ella al menos durante la
primera hora. No se admiten calculadoras.
PRIMERA PARTE TEORIA
Razonar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:
T1. Si z es un numero complejo de modulo |z| = 3 y argumento Arg(z) =23
y w es un
numero complejo de modulo |w| = 2 y argumento Arg(w) = 4
entonces
(a) z
w=
3 +
3
2 i
3 +
3
2
. (2 puntos)
(b) z6 w2 = 54i. (2 puntos)
T2. La serien=0
(1)n(2n+ 1)!(ln 3)n
es convergente. (3 puntos)
T3. La funcion f(x) = x
1 + |x| no es derivable en x= 0. (4 puntos)
T4. Sea P(x) = 1 x+ 2x2 el polinomio de Taylor de orden 2 de g(x) centrado en a= 0 y sea funa funcion derivable en 0. Entonces para h(x) = f(x+ g(x) g(0)) se tiene que h(0) = 0.(3 puntos)
T5. Sea f(x) =
|x| 1 x 1
1 1 < x 2 . Entonces F(x) = x1
f(t) dt es una primitiva de f en el
intervalo (1, 2) siendo F(x) =x x (1, 2). (4 puntos)
T6. Si p >1 entonces +1
1
xpdx =
1
p 1 . (3 puntos)
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P1 P2 P3
CALCULO INFINITESIMALFINAL FEBRERO 3-2-06
NUM.de MATRICULA
APELLIDOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
NOMBRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
GRUPO / PROFESOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
INDICACIONES PREVIASEn esta segunda parte se realizaran los PROBLEMAS en un tiempo maximo de 2h.,estos se
entregaran en hojas separadas. No se puede salir del aula y volver a entrar, debiendo permanecer enella al menos durante la primera hora. No se admiten calculadoras.
PROBLEMAS
P1. Sea f(x) = x|x|1 |x|
(a) Calcular las asntotas de f.
(b) Estudiar crecimiento, decrecimiento y extremos.
(7 puntos)
P2. Hallar el punto a del intervalo [0, 1] tal que el triangulo formado por la recta tangente ay= x2 en el punto de abscisa a, el eje OXy la recta x= 1 tenga area maxima. Hallar dicha area.
(7 puntos)
P3.
(a) Calcular +5
xex/5 dx.
(b) Probar que el area del recinto plano acotado por y = 2
a2x 1
a3x2 y el eje de abcisas es
independiente del valor de a.
(7 puntos)
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PRIMERA PARTE TEORIA
T1. FAlSO (a), VERDADERO (b)Si z=
3 2
3
, w=
2 4
entonces
(a) z w =
3 23
24
=
6
cos
2
3 +
4
+ i sen
2
3 +
4
=3 +
3
2 +i
3 32
=
3 + 32
i 3 + 32
(b) z6 w2 =
3 23
6 24
2= 274 2
2= 544+
2= 54i
T2. VERDADERO
C.N. lmn+
(1)n(2n+ 1)!(ln 3)n
= 0 puede converger, estudiamos la serie en valor absoluto
n=0
(1)n
(2n+ 1)!(ln 3)n
=n=0
1
(2n + 1)!(ln 3)n aplicamos el criterio del cociente
lmn+
1
(2(n+1)+1)!(ln3)n+1
1(2n+1)!(ln3)n
= lmn+
(2n + 1)!(ln 3)n
(2n+ 3)!(ln 3)n+1 = lmn+ 1(2n + 3)(2n+ 2) ln 3= 0< 1
la serie en valor absoluto es convergente, luego la serie es absolutamente convergente.
T3. FALSO
f(0) = lmh0
f(0 + h) f(0)h
= lmh0
h1+|h|
0h
= lmh0
h
h(1 + |h|)= lmh01
1 + |h| = 1
T4. VERDADEROSi P(x) = 1 x + 2x2 es el polinomio de Taylor de grado 2 de g(x) centrado en a= 0 =g(0) =P(0) = 1, g
(0) =P
(0) = 1, como h(x) =f(x + g(x) g(0)) entoncesh(x) =f(x + g(x) g(0))(1 + g(x)) sustituyendo enx= 0h(0) =f(0 + g(0) g(0))(1 + g(0)) =f(0)(1 + (1)) = 0
T5. VERDADEROPor ser fcontinua en [1, 2],Fes primitiva de fy ademas
F(x) = x
1
f(t) dt=
x1
(t) dt= 1 x2
2 1 x 1 = +1
1
xpdx= lm
M+
M1
1
xpdx = lm
M+
xp+1
p + 1
M1
=
= lmM+
Mp+1
p + 1
1
p+ 1
=
1
p
1
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PROBLEMAS
P1. f(x) = x|x|1 |x| =
x2
1 x x [0, 1)
(1, +)
x21 + x
x (, 1)(1, 0)es una funcion impar, por tanto simetrica respecto del origen.
(a) Asntotas verticales: cuando 1 |x| = 0 = x= 1, x= 1 son asntotas ya que
lmx1
x|x|1 |x| = lmx1
x|x|1 |x| =
Asntotas no verticales: y= mx + n siendo
m= lmx
x|x|1|x|
x = lm
x
|x|1 |x| = 1, n= lmx
x|x|1 |x| (x)
= lm
x
x
1 |x| =
=
lmx+x
1 x = 1 asntota no vertical hacia + y= x 1
lmx
x
1 (x) = 1 asntota no vertical hacia y= x + 1
(b) f(x) = x|x|1 |x| = f
(x) =
x(2 x)(1 x)2 x (0, 1)
(1, +) Posibles extremos
x= 2, x= 0, x= 2x(2 + x)
(1 + x)2 x (, 1)(1, 0)
Six
(0, 1)(1, +), f >0
2
x >0
x 0 2 + x > 0 x >2 = f crece en(2, 1)(1, 0), f decrece en (, 2), por tanto x= 2 es mnimo local de f.Por tanto, x= 0 no es extremo de f.
P2. La recta tangente a y= x2 en el punto de abscisa aesy a2 = 2a(x a)La interseccion con el eje OX y= 0 es x= a
2= B = 1 a
2La interseccion con la recta x= 1 es y= 2a a2 = H= 2a a2
El area del triangulo formado por la recta tangente a y= x2 en
el punto de abscisa a, el eje OXy la recta x= 1 es A=BH
2
A(a) =
1 a
2
(2a a2)2
=(2 a)(2a a2)
4 =
a3 4a2 + 4a4
= A(a) =3a2 8a + 4
4
A = 0 = a= 2, a= 23
como a [0, 1] = a= 23
, A(a) = 6a 8
4
a=2/3
= 1< 0 = el valor
calculado hace maximo el valor del area y Area=A 2
3=
8
27
u2
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5/5
P3.
(a) +5
xex/5 dx= lmM+
M5
xex/5 dx=
u= x du= dx
dv= ex/5 dx v = 5ex/5
=
= lmM+
5xex/5
M
5 M
55ex/5 dx
= lm
M+
5M eM/5 + 25e1
25ex/5
M
5
=
= lmM+
5M eM/5 + 25e1
25eM/5 25e1
= 50e1
ya que se verifica
lmM+
5MeM/5
= 0, lmM+
25eM/5 = 0
(b) La interseccion de y= 2
a2x 1
a3x2 y el eje de abcisas es
x= 0, = 2a.
Si a >0 el area es
Area= 2a
0
2a2
x 1a3
x2
dx=
x2
a2 x3
3a3
2a0
=(2a)2
a2 (2a)3
3a3 =4
3u2
Si a < 0 la figura es simetrica respecto del origen de la anterior, por tanto el valor del areacoincide.