Cap. 8: FLUIDOS VISCOSOS

Fluido perfeito: dois letes de uido podem deslizar um do lado do outrocom velocidades diferentes sem interagir.Fluido real: agitação molecular de origem térmica −→ colisões entre asmoleculas dos dois letes e troca progressiva de momento −→ resistênciaao deslizamento relativo de camadas adjacentes, depende da viscosidade.

8.1 Equação de Navier-Stokes para uidos incompressíveisObjetivo

Obter ~fvisc , força de superfície:

∂~v

∂t+ (~v · ∇)~v = −

~∇pρ

+ ~g +~fviscρ

Fluido incompressível: ~∇ · ~v = 0−→ 4 eq. e 4 incognitas.

Força devida à viscosidade num caso simplesPlaca xa parada:Fluido perfeito: ~v⊥ = 0Fluido real: ~v⊥ = 0 e ~v|| = 0, condição de não-escorregamento ou noslip

Experiência:Duas placas com água entre elas, uma em movimentoForça para manter a placa em movimento: F

A= η v0

d, com η coeciente

de viscosidade de cisalhamento.

d FLUIDOd

área A

Força para manter uma camada em movimento em relação a outra:∆F

∆A= η

∆vx

∆y= η

∂vx∂y

Força devida à viscosidade num caso simplesPlaca xa parada:Fluido perfeito: ~v⊥ = 0Fluido real: ~v⊥ = 0 e ~v|| = 0, condição de não-escorregamento ou noslip

Experiência:Duas placas com água entre elas, uma em movimentoForça para manter a placa em movimento: F

A= η v0

d, com η coeciente

de viscosidade de cisalhamento.

d FLUIDOd

área A

Força para manter uma camada em movimento em relação a outra:∆F

∆A= η

∆vx

∆y= η

∂vx∂y

Força devida à viscosidade num caso simplesPlaca xa parada:Fluido perfeito: ~v⊥ = 0Fluido real: ~v⊥ = 0 e ~v|| = 0, condição de não-escorregamento ou noslip

Experiência:Duas placas com água entre elas, uma em movimentoForça para manter a placa em movimento: F

A= η v0

d, com η coeciente

de viscosidade de cisalhamento.

d FLUIDOd

área A

Força para manter uma camada em movimento em relação a outra:∆F

∆A= η

∆vx

∆y= η

∂vx∂y

Equação de Navier-Stokes para uido incompressívelProcuramos ~f = −~∇p + ~fvisc .

Força sobre δV :

~f δV =

[(~T1 +

∂~T1

∂x1δx1

)− ~T1

]δx2δx3 +[(

~T2 +∂~T2

∂x2δx2

)− ~T2

]δx1δx3 +

[(~T3 +

∂~T3

∂x3δx3

)− ~T3

]δx1δx2

=

[∂~T1

∂x1+∂~T2

∂x2+∂~T3

∂x3

]δV

ou:fi = ∂σi1

∂x1+ ∂σi2

∂x2+ ∂σi3

∂x3=∑j

∂σij

∂xjcom (Tj)i ≡ σij

Decompomos: σij = −pδij + σ′ij . Procuramos σ′ij =∑k,l

αijkl∂vk∂xl

(Um pouco técnico)fi =

∑j

∂σij

∂xjcom σij = −pδij + σ′ij e σ

′ij =?

σ′ij =∑k,l

αijkl∂vk∂xl

e ∂vk∂xl

= 1

2

(∂vk∂xl

+ ∂vl∂xk

)+ 1

2

(∂vk∂xl− ∂vl

∂xk

)−→ σ′ij =

σ′ji =∑k,l

αijkl1

2

(∂vk∂xl

+ ∂vl∂xk

)(conservamos só a parte simétrica que

corresponde a deformação).Fluido é isotrópico: αijkl = λδijδkl + η(δikδjl + δilδjk) + γ(δikδjl − δilδjk) =λδijδkl + η(δikδjl + δilδjk). No último termo usamos o fato que devemoster σ′ij = σ′ji .

Assim σ′ij = λδij∑k

(∂vk∂xk

)+ η

(∂vi∂xj

+∂vj∂xi

).

Usando ~∇ · ~v =∑k

(∂vk∂xk) = 0

σ′ij = η

(∂vi∂xj

+∂vj∂xi

).

Em coordenadas cartesianas

σ′ij =

2η ∂vx∂x η(∂vx∂y +∂vy∂x ) η(∂vx∂z + ∂vz

∂x )

η(∂vy∂x + ∂vx

∂y ) 2η ∂vy∂y η(∂vy∂z + ∂vz

∂y )

η(∂vz∂x + ∂vx∂z ) η(∂vz∂y +

∂vy∂z ) 2η ∂vz∂z

Em coordenadas cilíndricas

σ′ij =

2η ∂vr∂r η(r ∂∂r(vθr

)+ 1

r∂vr∂θ ) η(∂vr∂z + ∂vz

∂r )

η(r ∂∂r(vθr

)+ 1

r∂vr∂θ ) 2η( 1

r∂vθ∂θ + vr

r) η(∂vθ∂z + 1

r∂vz∂θ )

η(∂vr∂z + ∂vz∂r ) η(∂vθ∂z + 1

r∂vz∂θ ) 2η ∂vz∂z

Voltando à equação de movimento:

fi =∑j

∂σij∂xj

=∑j

[− ∂p∂xj

δij + η(∂2vi∂2xj

+∂2vj∂xi∂xj

)]

= − ∂p∂xi

+ η∑j

∂2vi∂2xj

.

−→ ~fvisc = η∇2~v .

Equação de Navier-Stokes:∂~v

∂t+ (~v · ~∇)~v = −

~∇pρ

+ ~g +η

ρ∇2~v .

Cuidado: Laplaciano de vetor ∇2~v = (~∇ · ~∇)~v 6= ~∇(~∇ · ~v) em geral.

Emcoordenadas cartesianas ∇2 = ∂2

∂x2 + ∂2

∂y2 + ∂2

∂z2

∇2~v = ∇2vx x +∇2vy y +∇2vz z =

[∂2vx∂x2

+∂2vx∂y2

+∂2vx∂z2

]x

+ [∂2vy∂x2

+∂2vy∂y2

+∂2vy∂z2

]y

+ [∂2vz∂x2

+∂2vz∂y2

+∂2vz∂z2

]z .

Em coordenadas cilindricas ∇2 = 1

r∂∂r

(r ∂∂r)

+ 1

r2∂2

∂θ2 + ∂2

∂z2

∇2~v =

[1r

∂

∂r(r∂vr∂r

)− vr

r2+

1r2∂2vr∂θ2

− 2r2∂vθ∂θ

+∂2vr∂z2

]r

+[1r

∂

∂r(r∂vθ∂r

)− vθ

r2+

1r2∂2vθ∂θ2

+2r2∂vr∂θ

+∂2vθ∂z2

]θ

+1r

∂

∂r(r∂vz∂r

) +1r2∂2vz∂θ2

+∂2vz∂z2

]z .

Cuidado: Laplaciano de vetor ∇2~v = (~∇ · ~∇)~v 6= ~∇(~∇ · ~v) em geral. Emcoordenadas cartesianas ∇2 = ∂2

∂x2 + ∂2

∂y2 + ∂2

∂z2

∇2~v = ∇2vx x +∇2vy y +∇2vz z =

[∂2vx∂x2

+∂2vx∂y2

+∂2vx∂z2

]x

+ [∂2vy∂x2

+∂2vy∂y2

+∂2vy∂z2

]y

+ [∂2vz∂x2

+∂2vz∂y2

+∂2vz∂z2

]z .

Em coordenadas cilindricas ∇2 = 1

r∂∂r

(r ∂∂r)

+ 1

r2∂2

∂θ2 + ∂2

∂z2

∇2~v =

[1r

∂

∂r(r∂vr∂r

)− vr

r2+

1r2∂2vr∂θ2

− 2r2∂vθ∂θ

+∂2vr∂z2

]r

+[1r

∂

∂r(r∂vθ∂r

)− vθ

r2+

1r2∂2vθ∂θ2

+2r2∂vr∂θ

+∂2vθ∂z2

]θ

+1r

∂

∂r(r∂vz∂r

) +1r2∂2vz∂θ2

+∂2vz∂z2

]z .

Cuidado: Laplaciano de vetor ∇2~v = (~∇ · ~∇)~v 6= ~∇(~∇ · ~v) em geral. Emcoordenadas cartesianas ∇2 = ∂2

∂x2 + ∂2

∂y2 + ∂2

∂z2

∇2~v = ∇2vx x +∇2vy y +∇2vz z =

[∂2vx∂x2

+∂2vx∂y2

+∂2vx∂z2

]x

+ [∂2vy∂x2

+∂2vy∂y2

+∂2vy∂z2

]y

+ [∂2vz∂x2

+∂2vz∂y2

+∂2vz∂z2

]z .

Em coordenadas cilindricas ∇2 = 1

r∂∂r

(r ∂∂r)

+ 1

r2∂2

∂θ2 + ∂2

∂z2

∇2~v =

[1r

∂

∂r(r∂vr∂r

)− vr

r2+

1r2∂2vr∂θ2

− 2r2∂vθ∂θ

+∂2vr∂z2

]r

+[1r

∂

∂r(r∂vθ∂r

)− vθ

r2+

1r2∂2vθ∂θ2

+2r2∂vr∂θ

+∂2vθ∂z2

]θ

+1r

∂

∂r(r∂vz∂r

) +1r2∂2vz∂θ2

+∂2vz∂z2

]z .

Observações:

I Eq. de Euler e de NS: Termos não lineares em (~v · ~∇)~v ⇒ não usaro teorema de superposição para obter soluções (nem o deunicidade).

I Eq. de Euler: ordem das derivadas espaciais é 1 (cf. (~v · ~∇)~v , ~∇p,etc).Eq. NS: ordem é 2 devido ao termo ∇2~v .−→ mais difícil de resolver e precisa de mais condições de contorno.

I Eq. NS: o que importa é η/ρ ≡ ν (viscosidade cinemática)

η(g/s·cm) ν(cm2/s)água 0.010 0.010ar 1.8×10−4 0.150mercúrio 0.0156 0.0012

É muito mais fácil observar turbulências no ar do que na água ou nomercúrio.

I Eq. de movimento da vorticidade ~Ω = ~∇× ~v (cf. 5.1.4)∂~Ω∂t + ~∇× (~Ω× ~v) = η

ρ∇2~Ω.

I Condições de contorno: ver exemplos.

ApplicaçõesEscoamento estacionário entre placas com velocidade relativa (Couette plano)

Duas placas com velocidade relativa v0x com p = cteDesprezar a gravitação. Supor estacionário.

p

xy

I ~v = vx(x , y , z)x = vx(x , y)x e ~∇ ·~v = ∂vx/∂x = 0 −→ ~v = vx(y)x .

I ∂~v/∂t = 0, (~v · ~∇)~v = (vx∂x)(vx(y)x) = 0, ~∇p = 0,

∇2~v = ∇2vx x = (d2vx/dy2)x ⇒ d2vx

dy2= 0 (eq. NS)

I Integrando: ⇒ vx(y) = ay + b

⇒ vx(y) =v0

dy (pois vx(0) = 0 e vx(d) = v0)

ApplicaçõesEscoamento estacionário entre placas com velocidade relativa (Couette plano)

Duas placas com velocidade relativa v0x com p = cteDesprezar a gravitação. Supor estacionário.

p

xy

I ~v = vx(x , y , z)x = vx(x , y)x e ~∇ ·~v = ∂vx/∂x = 0 −→ ~v = vx(y)x .

I ∂~v/∂t = 0, (~v · ~∇)~v = (vx∂x)(vx(y)x) = 0, ~∇p = 0,

∇2~v = ∇2vx x = (d2vx/dy2)x ⇒ d2vx

dy2= 0 (eq. NS)

I Integrando: ⇒ vx(y) = ay + b

⇒ vx(y) =v0

dy (pois vx(0) = 0 e vx(d) = v0)

ApplicaçõesEscoamento estacionário entre placas com velocidade relativa (Couette plano)

Duas placas com velocidade relativa v0x com p = cteDesprezar a gravitação. Supor estacionário.

p

xy

I ~v = vx(x , y , z)x = vx(x , y)x e ~∇ ·~v = ∂vx/∂x = 0 −→ ~v = vx(y)x .

I ∂~v/∂t = 0, (~v · ~∇)~v = (vx∂x)(vx(y)x) = 0, ~∇p = 0,

∇2~v = ∇2vx x = (d2vx/dy2)x ⇒ d2vx

dy2= 0 (eq. NS)

I Integrando: ⇒ vx(y) = ay + b

⇒ vx(y) =v0

dy (pois vx(0) = 0 e vx(d) = v0)

ApplicaçõesEscoamento estacionário entre placas com velocidade relativa (Couette plano)

Duas placas com velocidade relativa v0x com p = cteDesprezar a gravitação. Supor estacionário.

p

xy

I ~v = vx(x , y , z)x = vx(x , y)x e ~∇ ·~v = ∂vx/∂x = 0 −→ ~v = vx(y)x .

I ∂~v/∂t = 0, (~v · ~∇)~v = (vx∂x)(vx(y)x) = 0, ~∇p = 0,

∇2~v = ∇2vx x = (d2vx/dy2)x ⇒ d2vx

dy2= 0 (eq. NS)

I Integrando: ⇒ vx(y) = ay + b

⇒ vx(y) =v0

dy (pois vx(0) = 0 e vx(d) = v0)

Forças sobre o uido em y = 0 e y = d :

dFi = (fint)idV =∑j

∂σij

∂xjdV

Gauss=

∑j

σij dSj = − p dSi +∑j

σ′ij dSj

Aquí ~dSx = ~dSz = 0 e ~dSy (h) = dxdzy e ~dSy (0) = −dxdzy e todos osσ′ são nulos exceto σ′xy = σ′yx = η∂vx/∂y = v0η/d .

Na direção y : Fy (y = d) = −∫p dSy +

∫σ′yx dSx = −pA

e Fy (y = 0) = pA (pois ~dS aponta em sentido oposto).Na direção x : Fx(y = d) =

∫σ′xy dSy = v0Aη/d e

Fx(y = 0) = −v0Aη/d (pois ~dS aponta em sentido oposto).Na direção z : Fz(y = d) = 0 = Fz(y = 0)

Na interface y = d : uido submetido à força −pAy + (v0Aη/d)x eresponde com força oposta.Na interface y = 0: uido submetido à força pAy − (v0Aη/d)x eresponde com força oposta.

Além disto: soma das forças nula como esperado pois uido nãoacelerado.

Forças sobre o uido em y = 0 e y = d :

dFi = (fint)idV =∑j

∂σij

∂xjdV

Gauss=

∑j

σij dSj = − p dSi +∑j

σ′ij dSj

Aquí ~dSx = ~dSz = 0 e ~dSy (h) = dxdzy e ~dSy (0) = −dxdzy e todos osσ′ são nulos exceto σ′xy = σ′yx = η∂vx/∂y = v0η/d .Na direção y : Fy (y = d) = −

∫p dSy +

∫σ′yx dSx = −pA

e Fy (y = 0) = pA (pois ~dS aponta em sentido oposto).

Na direção x : Fx(y = d) =∫σ′xy dSy = v0Aη/d e

Fx(y = 0) = −v0Aη/d (pois ~dS aponta em sentido oposto).Na direção z : Fz(y = d) = 0 = Fz(y = 0)

Na interface y = d : uido submetido à força −pAy + (v0Aη/d)x eresponde com força oposta.Na interface y = 0: uido submetido à força pAy − (v0Aη/d)x eresponde com força oposta.

Além disto: soma das forças nula como esperado pois uido nãoacelerado.

Forças sobre o uido em y = 0 e y = d :

dFi = (fint)idV =∑j

∂σij

∂xjdV

Gauss=

∑j

σij dSj = − p dSi +∑j

σ′ij dSj

Aquí ~dSx = ~dSz = 0 e ~dSy (h) = dxdzy e ~dSy (0) = −dxdzy e todos osσ′ são nulos exceto σ′xy = σ′yx = η∂vx/∂y = v0η/d .Na direção y : Fy (y = d) = −

∫p dSy +

∫σ′yx dSx = −pA

e Fy (y = 0) = pA (pois ~dS aponta em sentido oposto).Na direção x : Fx(y = d) =

∫σ′xy dSy = v0Aη/d e

Fx(y = 0) = −v0Aη/d (pois ~dS aponta em sentido oposto).Na direção z : Fz(y = d) = 0 = Fz(y = 0)

Na interface y = d : uido submetido à força −pAy + (v0Aη/d)x eresponde com força oposta.Na interface y = 0: uido submetido à força pAy − (v0Aη/d)x eresponde com força oposta.

Além disto: soma das forças nula como esperado pois uido nãoacelerado.

Forças sobre o uido em y = 0 e y = d :

dFi = (fint)idV =∑j

∂σij

∂xjdV

Gauss=

∑j

σij dSj = − p dSi +∑j

σ′ij dSj

Aquí ~dSx = ~dSz = 0 e ~dSy (h) = dxdzy e ~dSy (0) = −dxdzy e todos osσ′ são nulos exceto σ′xy = σ′yx = η∂vx/∂y = v0η/d .Na direção y : Fy (y = d) = −

∫p dSy +

∫σ′yx dSx = −pA

e Fy (y = 0) = pA (pois ~dS aponta em sentido oposto).Na direção x : Fx(y = d) =

∫σ′xy dSy = v0Aη/d e

Fx(y = 0) = −v0Aη/d (pois ~dS aponta em sentido oposto).Na direção z : Fz(y = d) = 0 = Fz(y = 0)

Na interface y = d : uido submetido à força −pAy + (v0Aη/d)x eresponde com força oposta.

Na interface y = 0: uido submetido à força pAy − (v0Aη/d)x eresponde com força oposta.

Além disto: soma das forças nula como esperado pois uido nãoacelerado.

Forças sobre o uido em y = 0 e y = d :

dFi = (fint)idV =∑j

∂σij

∂xjdV

Gauss=

∑j

σij dSj = − p dSi +∑j

σ′ij dSj

Aquí ~dSx = ~dSz = 0 e ~dSy (h) = dxdzy e ~dSy (0) = −dxdzy e todos osσ′ são nulos exceto σ′xy = σ′yx = η∂vx/∂y = v0η/d .Na direção y : Fy (y = d) = −

∫p dSy +

∫σ′yx dSx = −pA

e Fy (y = 0) = pA (pois ~dS aponta em sentido oposto).Na direção x : Fx(y = d) =

∫σ′xy dSy = v0Aη/d e

Fx(y = 0) = −v0Aη/d (pois ~dS aponta em sentido oposto).Na direção z : Fz(y = d) = 0 = Fz(y = 0)

Na interface y = d : uido submetido à força −pAy + (v0Aη/d)x eresponde com força oposta.Na interface y = 0: uido submetido à força pAy − (v0Aη/d)x eresponde com força oposta.

Além disto: soma das forças nula como esperado pois uido nãoacelerado.

Forças sobre o uido em y = 0 e y = d :

dFi = (fint)idV =∑j

∂σij

∂xjdV

Gauss=

∑j

σij dSj = − p dSi +∑j

σ′ij dSj

Aquí ~dSx = ~dSz = 0 e ~dSy (h) = dxdzy e ~dSy (0) = −dxdzy e todos osσ′ são nulos exceto σ′xy = σ′yx = η∂vx/∂y = v0η/d .Na direção y : Fy (y = d) = −

∫p dSy +

∫σ′yx dSx = −pA

e Fy (y = 0) = pA (pois ~dS aponta em sentido oposto).Na direção x : Fx(y = d) =

∫σ′xy dSy = v0Aη/d e

Fx(y = 0) = −v0Aη/d (pois ~dS aponta em sentido oposto).Na direção z : Fz(y = d) = 0 = Fz(y = 0)

Na interface y = d : uido submetido à força −pAy + (v0Aη/d)x eresponde com força oposta.Na interface y = 0: uido submetido à força pAy − (v0Aη/d)x eresponde com força oposta.

Além disto: soma das forças nula como esperado pois uido nãoacelerado.

Escoamento estacionário entre placas com gradiente de pressão (Poiseuille plano)

Duas placas paradas com p(−l/2) = p1 > p(+l/2) = p2. Desprezar agravitação. Supor estacionário.

xy

I ~v = vx(x , y , z)x = vx(x , y)x e ~∇ ·~v = ∂vx/∂x = 0 −→ ~v = vx(y)x .

I ∂~v/∂t = 0, (~v · ~∇)~v = (vx∂x)(vx(y)x) = 0,∇2~v = ∇2vx x =(d2vx/dy

2)x

de modo que:∂p

∂x+ η

d2vx

dy2= 0

∂p

∂y=∂p

∂z= 0

p depende de x e d2vxdy2

de y ⇒ ∂p∂x = C e d2vx

dy2= C .

I Integrando com as condições de contorno p(−l/2) = p1,p(+l/2) = p2, vx(0) = vx(h) = 0, obtemos:

p(x) =p2 − p1

lx +

p2 + p1

2e vx(y) =

p2 − p1

l2ηy(y − h)

Escoamento estacionário entre placas com gradiente de pressão (Poiseuille plano)

Duas placas paradas com p(−l/2) = p1 > p(+l/2) = p2. Desprezar agravitação. Supor estacionário.

xy

I ~v = vx(x , y , z)x = vx(x , y)x e ~∇ ·~v = ∂vx/∂x = 0 −→ ~v = vx(y)x .

I ∂~v/∂t = 0, (~v · ~∇)~v = (vx∂x)(vx(y)x) = 0,∇2~v = ∇2vx x =(d2vx/dy

2)x

de modo que:∂p

∂x+ η

d2vx

dy2= 0

∂p

∂y=∂p

∂z= 0

p depende de x e d2vxdy2

de y ⇒ ∂p∂x = C e d2vx

dy2= C .

I Integrando com as condições de contorno p(−l/2) = p1,p(+l/2) = p2, vx(0) = vx(h) = 0, obtemos:

p(x) =p2 − p1

lx +

p2 + p1

2e vx(y) =

p2 − p1

l2ηy(y − h)

Escoamento estacionário entre placas com gradiente de pressão (Poiseuille plano)

Duas placas paradas com p(−l/2) = p1 > p(+l/2) = p2. Desprezar agravitação. Supor estacionário.

xy

I ~v = vx(x , y , z)x = vx(x , y)x e ~∇ ·~v = ∂vx/∂x = 0 −→ ~v = vx(y)x .

I ∂~v/∂t = 0, (~v · ~∇)~v = (vx∂x)(vx(y)x) = 0,∇2~v = ∇2vx x =(d2vx/dy

2)x

de modo que:∂p

∂x+ η

d2vx

dy2= 0

∂p

∂y=∂p

∂z= 0

p depende de x e d2vxdy2

de y ⇒ ∂p∂x = C e d2vx

dy2= C .

I Integrando com as condições de contorno p(−l/2) = p1,p(+l/2) = p2, vx(0) = vx(h) = 0, obtemos:

p(x) =p2 − p1

lx +

p2 + p1

2e vx(y) =

p2 − p1

l2ηy(y − h)

Escoamento estacionário entre placas com gradiente de pressão (Poiseuille plano)

Duas placas paradas com p(−l/2) = p1 > p(+l/2) = p2. Desprezar agravitação. Supor estacionário.

xy

I ~v = vx(x , y , z)x = vx(x , y)x e ~∇ ·~v = ∂vx/∂x = 0 −→ ~v = vx(y)x .

I ∂~v/∂t = 0, (~v · ~∇)~v = (vx∂x)(vx(y)x) = 0,∇2~v = ∇2vx x =(d2vx/dy

2)x

de modo que:∂p

∂x+ η

d2vx

dy2= 0

∂p

∂y=∂p

∂z= 0

p depende de x e d2vxdy2

de y ⇒ ∂p∂x = C e d2vx

dy2= C .

I Integrando com as condições de contorno p(−l/2) = p1,p(+l/2) = p2, vx(0) = vx(h) = 0, obtemos:

p(x) =p2 − p1

lx +

p2 + p1

2e vx(y) =

p2 − p1

l2ηy(y − h)

Forças sobre o uido:Paredes: ~dSx = ~dSz = 0 e ~dSy (h) = dxdzy e ~dSy (0) = −dxdzy . Todosσ′ nulos exceto σ′xy = σ′yx = η∂vx/∂y = [(p2 − p1)/l ](y − h/2).Supomos que z varia de −L/2 a L/2.

Na direção x : Fx(y = h) =∫σ′xy dSy = (p2 − p1)Lh/2 e

Fx(y = 0) = (p2 − p1)Lh/2.Força total na direção x : (p2 − p1)Lhx , equilibra a força devida àdiferença de pressão −~∇pV = [(p1 − p2)/l ]hlLx = −(p2 − p1)Lhx .Na direção y : Fy (h) = −

∫p dSy = −(p1 + p2)lL/2 (intregrando com

p(x) calculado) e Fy (y = 0) = (p1 + p2)lL/2.Na direção z : Fz(y = h) = 0 = Fz(y = 0)

Além disto: soma das forças nula como esperado pois uido nãoacelerado.

Forças sobre o uido:Paredes: ~dSx = ~dSz = 0 e ~dSy (h) = dxdzy e ~dSy (0) = −dxdzy . Todosσ′ nulos exceto σ′xy = σ′yx = η∂vx/∂y = [(p2 − p1)/l ](y − h/2).Supomos que z varia de −L/2 a L/2.Na direção x : Fx(y = h) =

∫σ′xy dSy = (p2 − p1)Lh/2 e

Fx(y = 0) = (p2 − p1)Lh/2.Força total na direção x : (p2 − p1)Lhx , equilibra a força devida àdiferença de pressão −~∇pV = [(p1 − p2)/l ]hlLx = −(p2 − p1)Lhx .

Na direção y : Fy (h) = −∫p dSy = −(p1 + p2)lL/2 (intregrando com

p(x) calculado) e Fy (y = 0) = (p1 + p2)lL/2.Na direção z : Fz(y = h) = 0 = Fz(y = 0)

Além disto: soma das forças nula como esperado pois uido nãoacelerado.

Forças sobre o uido:Paredes: ~dSx = ~dSz = 0 e ~dSy (h) = dxdzy e ~dSy (0) = −dxdzy . Todosσ′ nulos exceto σ′xy = σ′yx = η∂vx/∂y = [(p2 − p1)/l ](y − h/2).Supomos que z varia de −L/2 a L/2.Na direção x : Fx(y = h) =

∫σ′xy dSy = (p2 − p1)Lh/2 e

Fx(y = 0) = (p2 − p1)Lh/2.Força total na direção x : (p2 − p1)Lhx , equilibra a força devida àdiferença de pressão −~∇pV = [(p1 − p2)/l ]hlLx = −(p2 − p1)Lhx .Na direção y : Fy (h) = −

∫p dSy = −(p1 + p2)lL/2 (intregrando com

p(x) calculado) e Fy (y = 0) = (p1 + p2)lL/2.

Na direção z : Fz(y = h) = 0 = Fz(y = 0)

Além disto: soma das forças nula como esperado pois uido nãoacelerado.

Forças sobre o uido:Paredes: ~dSx = ~dSz = 0 e ~dSy (h) = dxdzy e ~dSy (0) = −dxdzy . Todosσ′ nulos exceto σ′xy = σ′yx = η∂vx/∂y = [(p2 − p1)/l ](y − h/2).Supomos que z varia de −L/2 a L/2.Na direção x : Fx(y = h) =

∫σ′xy dSy = (p2 − p1)Lh/2 e

Fx(y = 0) = (p2 − p1)Lh/2.Força total na direção x : (p2 − p1)Lhx , equilibra a força devida àdiferença de pressão −~∇pV = [(p1 − p2)/l ]hlLx = −(p2 − p1)Lhx .Na direção y : Fy (h) = −

∫p dSy = −(p1 + p2)lL/2 (intregrando com

p(x) calculado) e Fy (y = 0) = (p1 + p2)lL/2.Na direção z : Fz(y = h) = 0 = Fz(y = 0)

Além disto: soma das forças nula como esperado pois uido nãoacelerado.

Forças sobre o uido:Paredes: ~dSx = ~dSz = 0 e ~dSy (h) = dxdzy e ~dSy (0) = −dxdzy . Todosσ′ nulos exceto σ′xy = σ′yx = η∂vx/∂y = [(p2 − p1)/l ](y − h/2).Supomos que z varia de −L/2 a L/2.Na direção x : Fx(y = h) =

∫σ′xy dSy = (p2 − p1)Lh/2 e

Fx(y = 0) = (p2 − p1)Lh/2.Força total na direção x : (p2 − p1)Lhx , equilibra a força devida àdiferença de pressão −~∇pV = [(p1 − p2)/l ]hlLx = −(p2 − p1)Lhx .Na direção y : Fy (h) = −

∫p dSy = −(p1 + p2)lL/2 (intregrando com

p(x) calculado) e Fy (y = 0) = (p1 + p2)lL/2.Na direção z : Fz(y = h) = 0 = Fz(y = 0)

Além disto: soma das forças nula como esperado pois uido nãoacelerado.