Post on 13-Apr-2018
7/25/2019 Capitulo 1. Introduccin Al Diseo (Parte 3. Esfuerzos))
1/52
Equilibrio y diagramas de cuerpo libre
La palabra sistema se usar para denotar cualquier parte aislada de una mquina oestructura-incluyendo su totalidad si as se quiere-que se desee estudiar. Un
sistema, de acuerdo con esta definicin, puede consistir en una partcula, varias
partculas, una parte de un cuerpo rgido o cuerpo rgido completo.
Si se supone que el sistema que se va ha estudiar no tiene movimiento o, cuandomucho, tiene velocidad constante, entonces el sistema tiene aceleracin cero. Bajo
esta condicin se dice que el sistema est en equilibrio. La frase equilibrio esttico
tambin se usa para implicar que el sistema est en reposos. En caso de equilibrio,
las fuerzas y los momentos que actan sobre el sistema son cero
7/25/2019 Capitulo 1. Introduccin Al Diseo (Parte 3. Esfuerzos))
2/52
7/25/2019 Capitulo 1. Introduccin Al Diseo (Parte 3. Esfuerzos))
3/52
7/25/2019 Capitulo 1. Introduccin Al Diseo (Parte 3. Esfuerzos))
4/52
7/25/2019 Capitulo 1. Introduccin Al Diseo (Parte 3. Esfuerzos))
5/52
7/25/2019 Capitulo 1. Introduccin Al Diseo (Parte 3. Esfuerzos))
6/52
Esfuerzos combinados
Frecuentemente sobre los materiales actan simultneamente varios tipos de
solicitaciones, tales como flexin y torsin, y hay que determinar el estado de
tensiones en estas condiciones.
Tensin bidimensional. En general, si se separa de un cuerpo un elemento
plano estar sometido a las tensiones normales y , as como a la tensin
cortante
x
x
x
7/25/2019 Capitulo 1. Introduccin Al Diseo (Parte 3. Esfuerzos))
7/52
Esfuerzo.
La distribucin de fuerza que acta en un punto sobre la superficie es nica ytendr componentes en la direccin normal y tangencial llamados esfuerzo
normal y esfuerzo tangencial, respectivamente.
221
7/25/2019 Capitulo 1. Introduccin Al Diseo (Parte 3. Esfuerzos))
8/52
Criterio de signos. Para tensiones normales, se considera que las tensiones de
traccin son positivas y las de compresin negativas. Para tensiones cortantes,
el sentido positivo es el que se represento en la figura anterior.
Tensiones en un plano inclinado. Se supone que las tensiones , y
son conocidas. En un plano inclinado un ngulo respecto al eje x, las
tensiones normal y cortante en ese plano se representan por y
x
x
x 2cos2
2
1
yxyx sen
x
x
x 221
7/25/2019 Capitulo 1. Introduccin Al Diseo (Parte 3. Esfuerzos))
9/52
Tensiones principales. Hay ciertos valores del ngulo que hacen sea mximo
o mnimo para un conjunto dado de tensiones , y . Estos valores
mximo y mnimo que pueden adoptar se llaman tensiones principales y
estn dadas por
Direcciones de las tensiones principales. Los ngulos, designados por , entre
el eje x y los planos en que tienen lugar las tensiones principales, estn dados por
xxx 2cos22
yxyx sen
x
x
x 2cos21 sen
7/25/2019 Capitulo 1. Introduccin Al Diseo (Parte 3. Esfuerzos))
10/52
Tensiones cortantes en los planos principales. Las tensiones cortantes en los
planos principales son siempre nulas, para cualquier valor de , y
Tensin cortante mxima. Hay ciertos valores del ngulo que hacen que seamximo para un conjunto dado de tensiones , y . El valor mximo
de la tensin cortante est dado por
Direcciones de la tensin cortante mxima. Los ngulos , entre el eje x y los
planos en los que se producen las tensiones cortantes mximas estn dados por
xxx 2cos22
yxyx sen
7/25/2019 Capitulo 1. Introduccin Al Diseo (Parte 3. Esfuerzos))
11/52
Circulo de Mohr
El Crculo de Mohres una tcnica usada en ingenierapara representar
grficamenteun tensor simtrico (de 2x2 o de 3x3) y calcular con ellamomentos de inercia, deformacionesy tensiones, adaptando los mismos a las
caractersticas de una circunferencia(radio, centro, etc.). Tambin es posible el
clculo del esfuerzo cortantemximo absoluto y la deformacin mxima
absoluta.
Caso bidimensionalCircunferencia de Mohr para esfuerzos.
En dos dimensiones, la Circunferencia de Mohr permite determinar la tensin
mxima y mnima, a partir de dos mediciones de la tensin normal y tangencial
sobre dos ngulos que forman 90.
http://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Representaci%C3%B3n_gr%C3%A1ficahttp://es.wikipedia.org/wiki/Representaci%C3%B3n_gr%C3%A1ficahttp://es.wikipedia.org/wiki/Momento_de_inerciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Deformaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensi%C3%B3n_mec%C3%A1nicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_cortantehttp://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_cortantehttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensi%C3%B3n_mec%C3%A1nicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Deformaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Momento_de_inerciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Representaci%C3%B3n_gr%C3%A1ficahttp://es.wikipedia.org/wiki/Representaci%C3%B3n_gr%C3%A1ficahttp://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADa7/25/2019 Capitulo 1. Introduccin Al Diseo (Parte 3. Esfuerzos))
12/52
Los valores de la circunferencia quedan representados de la siguiente manera:
Centro del crculo de Mohr:
Radio de la circunferencia de Mohr:
Las tensiones mxima y mnima vienen dados en trminos de esas magnitudes
simplemente por:
Estos valores se pueden obtener tambin calculando los valores propiosdel
tensor tensinque en este caso viene dado por:
http://es.wikipedia.org/wiki/Valor_propiohttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensi%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensi%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Valor_propio7/25/2019 Capitulo 1. Introduccin Al Diseo (Parte 3. Esfuerzos))
13/52
7/25/2019 Capitulo 1. Introduccin Al Diseo (Parte 3. Esfuerzos))
14/52
7/25/2019 Capitulo 1. Introduccin Al Diseo (Parte 3. Esfuerzos))
15/52
7/25/2019 Capitulo 1. Introduccin Al Diseo (Parte 3. Esfuerzos))
16/52
7/25/2019 Capitulo 1. Introduccin Al Diseo (Parte 3. Esfuerzos))
17/52
El tensor de tensiones es una representacin matemtica en forma de matriz
de las tensionesen un punto asociadas a un sistema de referencia ortogonal
definido en dicho punto.
El tensor de tensiones es simtrico y cada fila o columna del mismo indica las
tres tensiones (1 normal y dos cortantes) asociadas al plano perpendicular a
cada uno de los ejes del sistema de coordenadas. A partir de la diagonalizacin
del tensor de tensiones se puede determinar las tensiones principalesy
direcciones principalesasociados al punto analizado.
http://www.mecapedia.uji.es/tension.htmhttp://www.mecapedia.uji.es/tensiones_principales.htmhttp://www.mecapedia.uji.es/direcciones_principales.htmhttp://www.mecapedia.uji.es/direcciones_principales.htmhttp://www.mecapedia.uji.es/tensiones_principales.htmhttp://www.mecapedia.uji.es/tension.htm7/25/2019 Capitulo 1. Introduccin Al Diseo (Parte 3. Esfuerzos))
18/52
Tensiones principales
Se llama tensiones principales (s1, s2, s3) en un punto de un cuerpo cargado a
las tensiones normales en las direcciones principalesen dicho punto. La
mxima de dichas tensiones principales (s1
) es la mxima tensin normal de
todas las que se dan al cambiar la orientacin del plano en dicho punto. Del
mismo modo la mnima (s3) es la mnima tensin normal de todas las que
pueden darse al cambiar la orientacin del plano en dicho punto.
http://www.mecapedia.uji.es/direcciones_principales.htmhttp://www.mecapedia.uji.es/direcciones_principales.htm7/25/2019 Capitulo 1. Introduccin Al Diseo (Parte 3. Esfuerzos))
19/52
Direcciones principales
Se denominan direcciones principales en un punto de una pieza cargada a las
direcciones en las que hay que orientar las caras de un paraleleppedo
diferencial alrededor de dicho punto, de modo que las tensiones cortantes sean
nulas en todos las caras de dicho paraleleppedo. A las tensiones normales en
las direcciones principales se les llama tensiones principales.
http://www.mecapedia.uji.es/tensiones_principales.htmhttp://www.mecapedia.uji.es/tensiones_principales.htm7/25/2019 Capitulo 1. Introduccin Al Diseo (Parte 3. Esfuerzos))
20/52
Procedimiento general para analizar esfuerzos combinados:
1. Indicar en que punto se desea calcular los esfuerzos
2. Especificar con claridad el sistema de coordenadas, el diagrama de cuerpolibre, la magnitud y direccin de las fuerzas para el objeto
3. Calcular los esfuerzos que actan sobre el punto seleccionado debido a lasfuerzas aplicadas, e indicar los esfuerzos que actan sobre un elemento deesfuerzos en el punto de inters
4. Calcular los esfuerzos principales sobre el punto y las direcciones en lasque actan.
5. Trazar el elemento de esfuerzos sobre el cual actan los esfuerzosprincipales e indique su orientacin relativa al eje x original. Se recomiendatrazar el elemento con esfuerzos principales junto al elemento de esfuerzosoriginal, para ilustrar la relacin entre ellos.
7/25/2019 Capitulo 1. Introduccin Al Diseo (Parte 3. Esfuerzos))
21/52
6. Calcular el esfuerzo cortante mximo sobre el elemento y la orientacin del
plano sobre el cual acta
7. Trazar el elemento de esfuerzos sobre el cual acta el esfuerzo cortante
mximo e indique su orientacin respecto al eje x original8. El conjunto de tres elementos de esfuerzos que resulta., ser como el de la
figura
7/25/2019 Capitulo 1. Introduccin Al Diseo (Parte 3. Esfuerzos))
22/52
Caso tridimensional
El caso del estado tensional de un punto P de un slido tridimensional es ms
complicado ya que matemticamente se representa por una matriz de 3x3 para
la que existen 3 valores propios, no necesariamente diferentes.
En el caso general, las tensiones normal () y tangencial (), medidas sobre
cualquier plano que pase por el punto P, representadas en el diagrama (,) caen
siempre dentro de una regin delimitada por 3 circulos. Esto es ms complejo
que el caso bidimensional, donde el estado tensional caa siempre sobre unanica circunferencia. Cada uno de las 3 circunferencias que delimitan la regin
de posibles pares (,) se conoce con el nombre de circunferencia de Mohr.
7/25/2019 Capitulo 1. Introduccin Al Diseo (Parte 3. Esfuerzos))
23/52
7/25/2019 Capitulo 1. Introduccin Al Diseo (Parte 3. Esfuerzos))
24/52
l i l d h d l
7/25/2019 Capitulo 1. Introduccin Al Diseo (Parte 3. Esfuerzos))
25/52
El circulo de Mohr, se puede emplear para:
1. Determinar los esfuerzos principales mximo y mnimo, y lasdirecciones en que actan
2. Calcular los esfuerzos cortantes mximos y la orientacin de losplanos donde actan.
3. Calcular el valor de los esfuerzos normales que actan sobre losplanos donde actan los esfuerzos cortantes mximos
4. Calcular los valores de los esfuerzos normales y cortantes que actan
en un elemento con cualquier orientacin
Si se conocen los esfuerzos normal y cortante que actan sobre dosplanos de un elemento mutuamente perpendiculares, se puedeconstruir el crculo.
7/25/2019 Capitulo 1. Introduccin Al Diseo (Parte 3. Esfuerzos))
26/52
El circulo de Mohr se puede emplear para:
7/25/2019 Capitulo 1. Introduccin Al Diseo (Parte 3. Esfuerzos))
27/52
El circulo de Mohr, se puede emplear para:
1. Determinar los esfuerzos principales mximo y mnimo, y lasdirecciones en que actan
2. Calcular los esfuerzos cortantes mximos y la orientacin de losplanos donde actan.
3. Calcular el valor de los esfuerzos normales que actan sobre losplanos donde actan los esfuerzos cortantes mximos
4. Calcular los valores de los esfuerzos normales y cortantes que actan
en un elemento con cualquier orientacin
Si se conocen los esfuerzos normal y cortante que actan sobre dosplanos de un elemento mutuamente perpendiculares, se puedeconstruir el crculo.
Esfuerzos normales para vigas en flexin
7/25/2019 Capitulo 1. Introduccin Al Diseo (Parte 3. Esfuerzos))
28/52
Las ecuaciones para representar los esfuerzos normales en flexin en vigas rectasse basan en los siguientes supuestos:
La viga se somete a flexin pura (fuerza cortante nula y no hay torsin)
El material es isotrpico y homogneo
El material cumple con la ley de Hooke
Inicialmente la viga es recta, con una seccin transversal constante
La viga tiene un eje de simetra en el plano de flexin
Las proporciones de la viga son tales que fallara ante la flexin
Las secciones transversales de la viga permanecen planas durante la flexin
El eje x coincide con el eje neutrode la seccin. Los elementos de
la viga que coinciden con esteplano tienen un esfuerzo cero.
7/25/2019 Capitulo 1. Introduccin Al Diseo (Parte 3. Esfuerzos))
29/52
Esfuerzos cortantes en vigas con seccin estndar
Torsin
7/25/2019 Capitulo 1. Introduccin Al Diseo (Parte 3. Esfuerzos))
30/52
La mayora de las vigas presentan fuerzas cortantes y momentos flexionantes
A travs de la seccin transversal se desarrollan esfuerzos cortantes. Para una
7/25/2019 Capitulo 1. Introduccin Al Diseo (Parte 3. Esfuerzos))
31/52
A travs de la seccin transversal se desarrollan esfuerzos cortantes. Para una
barra slida circular en torsin, estos esfuerzos son proporcionales al radio y
estan dados por
Si se designa a r como el radio de la superficie exterior, se tiene
Los supuestos que se aplican en el anlisis son:
Sobre la barra acta un par de torsin puro y las secciones bajo consideracin se
encuentran alejadas del punto de aplicacin de la carga y de un cambio dedimetro.
Las secciones transversales originalmente planas y paralelas permanecen planas
y paralelas despus de la torsin y cualquier linea radial permanece recta.
El material obedece la ley de Hooke
Para una seccin circular slida
7/25/2019 Capitulo 1. Introduccin Al Diseo (Parte 3. Esfuerzos))
32/52
Para una seccin circular slida
donde d es el dimetro de la barra. Para una seccin circular hueca.Con frecuencia es necesario obtener el par de torsin T mediante la
consideracin de la potencia y velocidad del eje rotatorio.
Cuando se utilizan unidades del sistema SI, la ecuacin es
Para una seccin circular slida
7/25/2019 Capitulo 1. Introduccin Al Diseo (Parte 3. Esfuerzos))
33/52
El par de torsin T correspondiente a la potencia en Watts, se obtiene por
Saint Venant demostr que el esfuerzo cortante mximo en una barra de seccin
transversal rectangular b*c ocurre en la parte media del lado mayor b y tiene la
magnitud
El ngulo de giro tiene la forma
Esfuerzos en cilindros presurizados
7/25/2019 Capitulo 1. Introduccin Al Diseo (Parte 3. Esfuerzos))
34/52
p
En los recipientes cilndricos, cilindros hidrulicos, caones de pistolas y
tubos de conduccin de fluidos a altas presiones se desarrollan esfuerzos
radiales y tangenciales con magnitudes que dependen del radio del elementobajo consideracin
Recipientes de pared delgada
7/25/2019 Capitulo 1. Introduccin Al Diseo (Parte 3. Esfuerzos))
35/52
Cuando el espesor de pared de un recipiente cilndrico a presin se acerca a unvigsimo de su radio o menos, el esfuerzo radial que resulta de la
presurizacin del recipiente es muy pequea comparado con el esfuerzo
tangencial. Bajo estas condiciones, el esfuerzo tangencial se obtiene comosigue: sea p una presin interna ejercida sobre la pared de un cilindro deespesor t y con un dimetro di. La fuerza que tiene a separar dos mitades deuna longitud unitaria del cilindro es pdi.
di + t = dimetro promedio
En un cilindro cerrado, el esfuerzo longitudinal es
Esfuerzos en anillos rotatorios
7/25/2019 Capitulo 1. Introduccin Al Diseo (Parte 3. Esfuerzos))
36/52
Muchos elementos rotatorios, como los volantes de inercia y los rotores de
ventiladores, pueden simplificarse si se les analiza como anillos rotatorios
para determinar los esfuerzos. Cuando se aplica este enfoque hay quedeterminar que existen los mismos esfuerzos tangencial y radial como en la
teora para cilindros de pared gruesa, excepto que los esfuerzos se deben a las
fuerzas inerciales que actan sobre todas las partculas del anillo.
Los esfuerzos tangencial y radial estan sujetos a las siguientes restricciones: El radio exterior del anillo, o disco, es grande en comparacin con su espesor
ro 10t.
El espesor del anillo o disco es constante
Los esfuerzos son constantes sobre el espesor
Los esfuerzos son
7/25/2019 Capitulo 1. Introduccin Al Diseo (Parte 3. Esfuerzos))
37/52
donde r es el radio del elemento de esfuerzo en consideracin, es la densidad
de masa y es la velocidad angular del anillo en radianes por segundo. En el
caso de un disco rotatorio, en estas ecuaciones se usa ri = 0
Ajustes a presin y por contraccin
7/25/2019 Capitulo 1. Introduccin Al Diseo (Parte 3. Esfuerzos))
38/52
Cuando se ensamblan dos partes cilndricas por contraccin o a presin una
sobre la otra, se crea una presin de contacto entre las dos partes. Los esfuerzos
resultantes de esta presin se determinan con facilidad mediante las ecuaciones
de las secciones anteriores.
Antes de ensamble, el radio externo del elemento interior era ms grande que leradio interno del elemento exterior en una cantidad denominada interferencia
radial . Despus del ensamble se desarrolla una presin de contacto por
interferencia p entre los elementos en el radio nominal R, lo que causa
esfuerzos radiales r= - p en la superficie en contacto de cada mienbro.
Esta presin esta dada por
7/25/2019 Capitulo 1. Introduccin Al Diseo (Parte 3. Esfuerzos))
39/52
Donde los subndices o e i en las propiedades del material corresponden a los
elementos exterior e interior, respectivamente. Si los dos elementos estn
hechos con el mismo material, Eo = Ei = E, o =i, la relacin se simplifica a
En estas ecuaciones pueden usarse los dimetros en lugar de R, ri y ro que es
la interferencia diametral (dos veces la interferencia radial)
Con p, las ecuaciones de cilindros presurizados pueden usarse para determinar
l f di l t i l d l t P l l t i t i
7/25/2019 Capitulo 1. Introduccin Al Diseo (Parte 3. Esfuerzos))
40/52
los esfuerzos radial y tangencial en cada elemento. Para el elemento interior, po
= p y pi = 0. Para el elemento exterior, po = 0 y pi = p. por ejemplo, las
magnitudes de los esfuerzos tangenciales en el radio de transicin R son
mximas para ambos elementos.
Para el elemento interior
y, para el elemento exterior
Efectos de la temperatura
7/25/2019 Capitulo 1. Introduccin Al Diseo (Parte 3. Esfuerzos))
41/52
Cuando la temperatura de un cuerpo sin restricciones se incremente de manera
uniforme, este se dilata y su deformacin unitaria normal es
donde es el coeficiente de dilatacin trmica y T es el cambio de
temperatura, en grados. En esta accin, el cuerpo experimenta un incremento
simple de volumen y las componentes de la deformacin por cortante son
iguales a cero. Si una barra recta se restringe en sus extremos para prevenir ladilatacin longitudinal, y luego su temperatura se somete a un incremento
uniforme, se desarrolla un esfuerzo de compresin debido a la restriccin axial.
De manera similar, si se restringen los bordes de una pla plana unforme, y su
temperatura tambin se somete a un incremento uniforme, el esfuerzo de
compresin que se desarrolla est dado por
Vigas curvas en flexin
7/25/2019 Capitulo 1. Introduccin Al Diseo (Parte 3. Esfuerzos))
42/52
La distribucin del esfuerzo en un elemento curvo en flexin se determina
usando los siguientes supuestos:
La seccin transversal tiene un eje de simetra en un plano a lo largo de lalongitud de la viga
Las secciones transversales planas permanecen planas despus de la flexin
El modulo de elasticidad es igual en tensin que en compresin.
h = altura de la seccin
co= distancia desde el eje neutrohasta la fibra exterior
ci= distancia desde el eje neutro
hasta la fibra interior
rn= radio del eje neutro
rc= radio del eje centroidal
e = distancia desde el eje centroidal
hasta el eje neutro
M = momento flexionante
o
oo
i
ii
reAcM
reAcM
7/25/2019 Capitulo 1. Introduccin Al Diseo (Parte 3. Esfuerzos))
43/52
La ubicacin del eje neutro, con respecto al centro de curvatura o, esta dado
por
La distribucin del esfuerzo se determina equilibrando el momento externo
aplicado contra el momento resistente interno. As, se determina que
donde M es positivo en la direccin que se indica en la figura. Los esfuerzos
crticos ocurren en las superficies interna y externa donde y = ci y y = - co.
7/25/2019 Capitulo 1. Introduccin Al Diseo (Parte 3. Esfuerzos))
44/52
Esfuerzos de contacto
C d d fi i i t l t t
7/25/2019 Capitulo 1. Introduccin Al Diseo (Parte 3. Esfuerzos))
45/52
Cuando dos cuerpos con superficies curvas se presionan entre s, el contacto
puntual o lineal cambia a un rea de contacto, y los esfuerzos que se
desarrollan en los dos cuerpos son tridimensionales. Ejemplo: En el contacto deuna rueda y un riel, en el rbol de levas y los balancines, en los dientes de
engranajes acoplados y en la accin de cojinetes de bolas.
El caso ms general del esfuerzo de contacto ocurre cuando cada cuerpo en
contacto tiene un radio de curvatura doble; es decir, cuando el radio del planode rodamiento es diferente del radio de un plano perpendicular y ambos planos
pasan por el eje de la fuerza de contacto (Estudio realizado por Hertz).
Contacto esfrico
C ando dos c erpos slidas con dimetros d d se presionan entre si con na
7/25/2019 Capitulo 1. Introduccin Al Diseo (Parte 3. Esfuerzos))
46/52
Cuando dos cuerpos slidas con dimetros d1y d2se presionan entre si con una
fuerza F, se obtiene un rea circular con un radio a . Si se designa E1, 1y E2, 2
como las constantes elsticas respectivas de las dos esferas, el radio a esta dado
La presin dentro de cada esfera tiene una distribucin hemiesfrica, como se
muestra en la figura. La presin mxima, que ocurre en el centro del rea decontacto, es
Los esfuerzos mximos ocurren en el eje z y son esfuerzos principales. Sus
valores son
7/25/2019 Capitulo 1. Introduccin Al Diseo (Parte 3. Esfuerzos))
47/52
valores son
Contacto cilndrico
Los cuerpos en contacto son dos cilindros de longitud l y dimetros d1 y d2 el
bz
bzp
x 2
2
mx 12
7/25/2019 Capitulo 1. Introduccin Al Diseo (Parte 3. Esfuerzos))
48/52
Los cuerpos en contacto son dos cilindros de longitud l y dimetros d1y d2. el
rea de contacto es un rectngulo angosto de ancho 2b y longitud l, y la
distribucin de la presin es elptica. El semiancho b esta dado por
7/25/2019 Capitulo 1. Introduccin Al Diseo (Parte 3. Esfuerzos))
49/52
7/25/2019 Capitulo 1. Introduccin Al Diseo (Parte 3. Esfuerzos))
50/52
7/25/2019 Capitulo 1. Introduccin Al Diseo (Parte 3. Esfuerzos))
51/52
7/25/2019 Capitulo 1. Introduccin Al Diseo (Parte 3. Esfuerzos))
52/52