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8/19/2019 Capitulo 1 Variaveis Aleatorias Paula Pereira (3)
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Varíaveis Aleat ́orias
Variáveis Aleatórias
Probabilidades e Estat́ıstica2015-2016
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Noções Preliminares
Experiência Aleatória
Designa-se por experîencia como sendo qualquer processo capaz de
produzir resultados observáveis.
Quando uma experiência está sujeita à influência de factores casuais econduz a resultados incertos diz-se uma experiência aleatória.
As experiências aleatórias caracterizam-se por:
poder repetir-se um grande número de vezes nas mesmas condições;
não existir um conhecimento suficiente para prever o resultado;
existência de regularidade quando se repete a experiência um grandenúmero de vezes.
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Noções Preliminares
Espaço de Resultados
É o conjunto formado por todos os resultados posśıveis de uma experiênciaaleatória. O espaço de resultados representa-se por Ω.
Acontecimento
Os subconjuntos de Ω designam-se por acontecimentos.Em geral, os acontecimentos representam-se com letras maiúsculas:A, B, ....
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Noções Preliminares
Definição Clássica de Probabilidades
P (A) = número de casos favoráveis
número de casos posśıveis
Só é aplicável quando o espaço de resultados é finito e os elementos doespaço de resultados possuem igual probabilidade de ocorrerem.
Definição Axiomática de Probabilidades
Seja Ω o espaço de resultados e P (Ω) o conjunto formado por todos ossubconjuntos de Ω, então Probabilidade é uma função P : P (Ω) → [0, 1]que verifica as seguintes propriedades:
P (A) ≥ 0, ∀A ⊆ Ω;P (Ω) = 1;
Se A ∩ B = , então P (A ∪ B ) = P (A) + P (B ).
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Noções Preliminares
Propriedades das Probabilidades de Acontecimentos
0 ≤ P (A) ≤ 1P (Ω) = 1
P (∅) = 0
P A = 1 − P (A)P (A ∪ B ) = P (A) + P (B ) − P (A ∩ B )
P (A ∪ B ∪ C ) = P (A) + P (B ) + P (C ) − P (A ∩ B ) − P (A ∩ C )−−P (B ∩ C ) + P (A ∩ B ∩ C )
P (A − B ) = P (A) − P (A ∩ B )
P (A/B ) = P (A∩B )P (B ) , P (B ) > 0
Se A e B acontecimentos indepedentes, P (A ∩ B ) = P (A)× P (B )
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Varíaveis Aleatórias
Variáveis AleatóriasMuitas vezes o resultado de uma experiência aleatória não é numérico ousendo-o não interessa lidar com os resultados posśıveis de Ω, maspretende-se associar-lhe uma quantidade numérica.
Definição
Chama-se variável aleatória (v.a.) e representa-se por X , a uma função de
domı́nio Ω e conjunto de chegada R, cujo valor é determinado peloresultado de uma experiência aleatória, isto é
X : Ω → Rw → X (w ) = x
Observação
Uma variável aleatória é uma função e não uma variável no sentido emque é habitualmente empregue em Matemática.
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V í i Al ´ i
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Varíaveis Aleatórias
Variáveis Aleatórias
Tipos de Variáveis Aleatórias
Uma variável aleatória diz-se Discreta se pode assumir um número
finito ou infinito numerável de valores → associada a contagens.
Uma variável aleatória diz-se Cont́ınua se pode assumir um númeroinfinito não numerável de valores → associada a medidas.
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V í i Al t´ i V í i Al t´ i Di t
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Variaveis Aleatorias Variaveis Aleatorias Discretas
Variáveis Aleatórias Discretas
Uma variável aleatória diz-se Discreta se pode assumir um número finitoou infinito numerável de valores.
Uma variável aleatória discreta fica perfeitamente identificada através dafunção de probabilidade ou da função de distribuição.
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Varíaveis Aleatórias Varíaveis Aleatórias Discretas
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Variaveis Aleatorias Variaveis Aleatorias Discretas
Função de Probabilidade (f.p.)
Se X é uma varíavel aleatória discreta, que assume valores distintos x 1,
x 2, . . . , x n, então a função de probabilidade (ou função massa deprobabilidade) é representada por f (x ) e é definida por
f (x ) = P (X = x ) =
P (X = x ) , x = x j
0 , x = x j j = 1, . . . , n
ou esquematicamente por
x x 1 x 2 · · · x j · · · x nf (x ) P (X = x 1) P (X = x 2) · · · P (X = x j ) · · · P (X = x n)
e satisfaz as seguintes propriedades
1 f (x ) ≥ 0, ∀x ;
2
x f (x ) = 1.
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Varíaveis Aleatórias Varíaveis Aleatórias Discretas
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Variaveis Aleatorias Variaveis Aleatorias Discretas
Função de Distribuição (f.d.)
Se X é uma varíavel aleatória discreta, que assume valores distintos x 1,
x 2, . . . , x n, então a função de distribuição (ou função de distribuiçãoacumulada) é representada por F (x ) e é definida por
F (x ) = P (X ≤ x ) =x i ≤x
f (x i )
isto é,
F (x ) =
0 , x
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Variaveis Aleatorias Variaveis Aleatorias Discretas
Função de Distribuição (f.d.)
e satisfaz as seguintes propriedades:
1 0 ≤ F (x ) ≤ 1;2 F (x ) é uma função não decrescente;
3 F (x ) é cont́ınua à direita;
4 limx →−∞F (x ) = 0 e limx →+∞F (x ) = 1;
5 P (X = a) = F (a) − P (X
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Variaveis Aleatorias Variaveis Aleatorias Contınuas
Variáveis Aleatórias Cont́ınuas
Uma variável aleatória diz-se Cont́ınua se pode assumir um númeroinfinito não numerável de valores.
Uma variável aleatória cont́ınua fica perfeitamente identificada através dafunção densidade de probabilidade ou da função de distribuição.
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Varíaveis Aleatórias Varíaveis Aleatórias Cont́ınuas
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Função Densidade de Probabilidade (f.d.p.)
Se X é uma varíavel aleatória cont́ınua, então existe uma função f (x ) tal
que
F (x ) =
x −∞
f (t ) dt .
À função f (x ) dá-se o nome de função densidade de probabilidade e pode
ser representada por
f (x ) =
F (x ) , caso exista
0 , outros casos
e satisfaz as seguintes propriedades:1 f (x ) ≥ 0, ∀x ;
2 +∞−∞
f (x ) dx = 1.
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Varíaveis Aleatórias Varíaveis Aleatórias Cont́ınuas
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Função de Distribuição (f.d.)
Se X é uma varíavel aleatória cont́ınua, então a função de distribuição érepresentada por F (x ) e é definida por
F (x ) = P (X ≤ x ) =
x −∞
f (t ) dt
e satisfaz as seguintes propriedades:
1 0 ≤ F (x ) ≤ 1;
2 F (x ) é uma função não decrescente;
3 F (x ) é cont́ınua em R;
4 limx →−∞F (x ) = 0 e limx →+∞F (x ) = 1;
5 P (X = a) = 0;
6 P (a
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Observação
b a f (x ) dx = F (b )− F (a) = P (a
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Parâmetros
Momento de ordem k em relação à origem
O momento de ordem k em relação à origem ou momento ordinário deordem k , com k ∈ N, de uma variável aleatória X é o valor esperado deX k e representa-se por
µk = E
X k .
Se X variável aleatória discreta: E
X k
=
x x k f (x ) .
Se X variável aleatória cont́ınua: E
X k
= +∞−∞
x k f (x ) dx .
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Varíaveis Aleatórias Parâmetros
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Caso particular k = 1
Valor Esperado ou Média ou Esperança Matemática
Chama-se valor esperado de uma variável aleatória X ao momento deordem 1 em relação à origem e representa-se por
µ = µX = E [X ] .
Se X variável aleatória discreta: µ = E [X ] =x
xf (x ) .
Se X variável aleatória cont́ınua: µ = E [X ] = +∞−∞
xf (x ) dx .
Observação
O valor esperado é um parâmetro de localização, que pretende localizaro centro da distribuição de probabilidade, ou seja, pretende identificar o”centro de gravidade” da variável aleatória.
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Varíaveis Aleatórias Parâmetros
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Observação
Seja g (X ) uma função da varíavel aleatória X . Então tem-se
Se X variável aleatória discreta: E [g (X )] =x g (x ) f (x ) .
Se X variável aleatória cont́ınua: E [g (X )] = +∞−∞
g (x ) f (x ) dx .
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Varíaveis Aleatórias Parâmetros
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Propriedades
Sejam X uma variável aleatória e a e b constantes reais.1 Se X = a, então E [X ] = E [a] = a;
2 E [X + b ] = E [X ] + b ;
3 E [aX ] = aE [X ] ;
4 E [aX + b ] = aE [X ] + b ;
5 Sejam g (X ) e h (X ) funções de X
E [g (X ) + h (X )] = E [g (X )] + E [h (X )] .
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Varíaveis Aleatórias Parâmetros
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Momento de ordem k em relação à média
O momento de ordem k em relação à média ou momento central de ordemk , com k ∈ N, de uma variável aleatória X é o valor esperado de (X − µ)k
e representa-se por
E
(X − µ)k
= E
(X − E [X ])k .
Se X variável aleatória discreta:
E
(X − µ)k
=x
(x − µ)k f (x ) .
Se X variável aleatória cont́ınua:
E
(X − µ)k
=
+∞−∞
(x − µ)k f (x ) dx .
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Varíaveis Aleatórias Parâmetros
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Caso particular k = 2
Variância
Chama-se variância de uma variável aleatória X ao momento de ordem 2em relação à média e representa-se por
σ2 = σ2X = Var [X ] = V [X ] = E
(X − µ)2.
X variável aleatória discreta: σ2 = V [X ] =x
(x − µ)2 f (x ) .
X variável aleatória cont́ınua: σ2 = V [X ] = +∞−∞
(x − µ)2 f (x ) dx .
Observação
A variância é um parâmetro de dispersão. Mede a dispersão (aoquadrado) da variável aleatória em torno do seu valor esperado.
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Varíaveis Aleatórias Parâmetros
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Propriedades:
Sejam X uma variável aleatória e a e b constantes reais.
1 V [X ] = E
X 2− E 2 [X ] ;
2 V [X ] ≥ 0;
3 Se X = a, então V [X ] = V [a] = 0;
4 V [X + b ] = V [X ] ;
5 V [aX ] = a2
V [X ] ;
6 V [aX + b ] = a2V [X ] .
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Varíaveis Aleatórias Parâmetros
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Desvio Padrão
É um parâmetro de dispersão, é a raiz quadrada da variância. Mede adispersão da variável aleatória em torno do seu valor esperado na mesmaunidade de medida em que a variável aleatória vem expressa.
O desvio padrão de uma variável aleatória X representa-se por
σ = σX =
V [X ].
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Varíaveis Aleatórias Parâmetros
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Coeficiente de Variação ou de Dispersão
É uma medida que permite expressar a variabilidade retirando a influência
da unidade de medida em que a variável aleatória vem expressa.
O coeficiente de variação ou de dispersão representa-se por
CV =
Desvio Padrão
Valor Esperado × 100% = V [X ]
E [X ] × 100%.
Observação
O coeficiente de variação ou de dispersão deve ser usado quando se tem
variáveis em unidades de medida diferentes e pretende-se comparar avariabilidade dessas variáveis. Quanto menor o valor do coeficiente, menoré a variabilidade dos dados em relação à média (ou seja, mais homogéneossão os dados).
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Varíaveis Aleatórias Parâmetros
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CovariânciaÉ um parâmetro de dispersão. Mede a dispersão conjunta de duasvariáveis aleatórias em torno dos respectivos valores esperados. Permitedescrever o tipo de relação linear (positiva ou negativa) que existe (ounão) entre duas variáveis aleatórias.
A covariância das variáveis aleatórias X e Y representa-se por
σXY = cov (X ,Y ) = E [(X − µX ) (Y − µY )]
= E [(X − E [X ]) (Y − E [Y ])] .
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Varíaveis Aleatórias Parâmetros
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Propriedades:
Sejam X e Y variáveis aleatórias.
1 cov (X , Y ) = E [XY ] − E [X ] E [Y ] ;
2 E [X + Y ] = E [X ] + E [Y ] ;
3 E [X − Y ] = E [X ] − E [Y ] ;
4
V [X + Y ] = V [X ] + V [Y ] + 2cov (X ,Y ) ;5 V [X − Y ] = V [X ] + V [Y ] − 2cov (X ,Y ) ;
6 Se X e Y são varíaveis aleatórias independentes, então:
1 cov (X ,Y ) = 0;2 E [XY ] = E [X ] E [Y ] ;3 V [X + Y ] = V [X ] + V [Y ] ;4 V [X − Y ] = V [X ] + V [Y ]
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