Post on 14-Oct-2015
TTTEEEOOORRRIIIAAA DDDEEE EEERRRRRROOORRREEESSS
Toda magnitud observada o medida contiene errores de cuanta
desconocida entonces la misin mas importante del topgrafo es
mantener las mediciones dentro de ciertos lmites de precisin,
dependiendo de la finalidad del levantamiento.
Para ello es necesario que conozca bien las causas que ocasionaba
dichos errores cuando hablamos de mediciones, debemos saber
distinguir y usar adecuadamente entre exactitud y precisin.
EXACTITUD:
Es el grado de aproximacin a la verdad o grado de perfeccin a la que hay que procurar llegar.
PRECISION:
Es el grado de perfeccin de los instrumentos y/o con que se realiza una
operacin o se toma la lectura de una observacin o tambin el nmero
de cifras con que se efecta un clculo.
ERROR Es la diferencia entre el valor verdadero y el valor determinado mediante las mediciones. No obstante, es preciso anotar que el valor verdadero no se conoce ni se conocer jams.
Una medicin puede ser precisa sin ser exacta y viceversa.
EJEMPLO
Una distancia puede medirse muy cuidadosamente con una cinta y
aproximarla hasta el milmetro, y tener como resultados una medida con
un error de varios centmetros, esto por ser incorrecta la longitud de la
cinta, luego la medida es precisa pero no exacta.
En conclusin se puede decir:
Ninguna medida es exacta
Todas las mediciones contienen errores.
El verdadero valor nunca se conoce.
FUENTES DE ERROR
A. INSTRUMENTALES:
Aquellos que provienen de la imperfeccin en la construccin o ajuste
de los instrumentos de media, por ejemplo la mala graduacin de una
wincha, un teodolito mal calibrado
B. PERSONALES:
Provienen del elemento humano como son: limitaciones de vista,
distracciones, equivocaciones etc. Ejemplo leer un N por otro.
C. NATURALES:
Son aquellos que tiene como origen la variacin de ciertos
fenmenos naturales, como el viento, la humedad, la temperatura, la
refraccin, etc. Ejemplo la dilatacin o contratacin de la wincha de
acero por cambios de temperatura.
CLASES DE ERRORES
1. ERRORES MATERIALES O EQUIVOCACIONES
Son errores que se comenten sin intencin, debido a una confusin del
operador o a la falta de atencin de este.
Son fciles de detectar, poniendo atencin a lo que se hace, teniendo
ms orden, se descubren y elimina comprobando parte o todo el
trabajo.
2. ERRORES SISTEMATICOS
Son aquellos errores que en iguales condiciones se repite siempre en
la misma magnitud y con el mismo signo es decir son acumulativos
se puede calcular y eliminar por medio de la correccin Ejemplo una
wincha de acero de 30.00 m. que tiene un exceso en su longitud de
0.06 m. entonces introduce un error de + 0.06 cada vez que se usa.
3. E. ACCIDENTALES
Son aquello errores que se cometen en forma casual y escapan del
control del operador y la capacidad del instrumento y obedece a la ley
de la probabilidad no se le puede aplicar ninguna correccin debido a
que no hay mtodo que nos permita calcularlos, tambin se los
denomina errores compensable, porque la magnitud y el signo son
variables por lo que tienden anularse parcialmente entre si en una
serie de medidas estos errores son los que hacen que nos puedan
encontrar el valor verdadero de una medidas.
DDDIIISSSCCCRRREEEPPPAAANNNCCCIIIAAA
Es la diferencia entre dos mediciones hechas de una misma magnitud.
Siempre se debe comprobar una operaciones topogrficas realizando
como mnimo una segunda medicin.
Si la discrepancia entre las dos mediciones es pequea indica que
no hay equivocaciones y los errores accidentales son pequeos,
por tanto se puede corregir.
Si la discrepancia es grande indica que se ha cometido una
equivocacin o error que hay que detectarlo y eliminarlo,
comprobando parte o todo el trabajo.
Uno de los mejores mtodos para localizar equivocaciones y errores es
de comparar varias medidas de la misma magnitud.
OBSERVACIONES DE IGUAL PRECISION
VALOR PROBABLE
Es valor probable de una cantidad es una expresin matemtica que
designa un valor calculado que de acuerdo a la teora de las
probabilidades es el que mas se aproxima al verdadero valor.
VALOR PROBABLE PARA LA MISMA CANTIDAD
El V.P. de una magnitud medida varias veces en las mismas condiciones
es la media aritmtica de todas las mediciones hechas.
Nota: Es la media aritmtica de todas las mediciones admitidas como
probables.
V.P. = X = N
X n
N = Nmero de observaciones
Ejemplo: Las mediciones de una longitud han dado como resultado:
854.21, 854.27, 854.22, 856.25, 854.26 m.
856.25 es una medida que se aleja mucho de la media
por lo tanto anulamos
V.P = 4
26.85422.85427.85425.854
V.P. = 854.24 m.
VALOR PROBABLE PARA VARIAS CANTIDADES
HOMOGENEAS
Para una serie de magnitudes de igual clase, medidas en igualdad de
condiciones y cuya suma exacta se conoce entonces los valores
probables son los observados con una correccin igual al error total
dividido entre el nmero de observaciones.
Nota: Generalmente la correccin se hace proporcional al nmero de
Observaciones y no a la magnitud de cada medicin
Entonces:
iii = N1
( G - iii )
iii = iii iii
G = Condicin geomtrica
iii = Valores angulares
iii = Correccin
N = nmero de medidas
Ejemplo: se han medido lo tres ngulos de un triangulo en las mismas
condiciones y los resultaos son:
A = 58 30 15
B = 79 46 50
C = 41 42 40
G = 180
iii = 179 59 45
iii = 31
( 180 - 179 59 45) = + 5
Como es por DEFECTO la correccin ser de + 5
A = 58 30 15 + 5 = 58 30 15
B = 79 46 50 + 5 = 79 46 55
C = 41 42 40 + 5 = 41 42 45
179 59 45 + 5 = 180 00 00
Para mediciones anlogas, hechas en igualdad de condiciones y cuya
suma sea igual a una sola medicin hechas en las mismas condiciones y
circunstancias los valores probables se obtiene repartiendo el error total
en partes iguales entre todas las mediciones incluso la suma.
Si la correccin se suma a cada medicin entonces se restara a la suma
total y viceversa.
Ejemplo:
Se han medido tres ngulos y el ngulo total, alrededor un mismo
vrtice 0
< AOB = 12 31 50 < BOC = 37 29 20
< COD = 27 37 00 < AOD = 97 37 00
Si dichas mediciones han sido realizadas en igualdad de condiciones.
Calcular los valores probables de los mismos.
Solucin:
iii = < AOB + < BOC + < COD = 97 38 10
Condicin Geomtrica =
G = < AOD
G = 97 37 00
iii = 41
( 97 37 00 97 38 10 ) = - 4
"10'1 = -
4
"70
CCCooommmooo eeesss pppooorrr eeexxxccceeesssooo iii = - 17.5
< AOB = 12 31 50 17.5 = 12 31 32.5
< BOC = 37 29 20 17.5 = 37 29 02.5
< COD = 47 37 00 17.5 = 47 36 42.5
< AOB = 12 31 50 17.5 = 12 31 32.5
en los casos anteriores cuando se hablo de circunstancias iguales o en
iguales condiciones, indica que las mediciones se hayan hecho
empleando el mismo instrumento, por el mismo operador, en igualdad de
condiciones atmosfricas.
EEERRRRRROOORRR PPPRRROOOBBBAAABBBLLLEEE
Error probable es una cantidad positiva o negativa que establece los
lmites dentro de los cuales puede caer o no el verdadero error accidental,
es decir una medida tendr la misma oportunidad de quedar dentro de
estos lmites que quedar fuera de ellos.
ERROR PROBABLE DE UNA SOLA CANTIDAD
Indica el grado de precisin que cabe esperar en una sola observacin,
hecha en las mismas condiciones que las dems.
E = 0.6745 1
)(2
n
n
i
ixx
0.6745 : Constante de proporcionalidad.
n
i 1
( x - xi )2 = V2 = Errores Residuales
N = # de observaciones
ERROR PROBABLE DE LA MEDIA ARIMETICA
De un cierto nmero de observaciones de la misma cantidad:
Eo = 0.6745 )1(
)(2
nn
n
i
ixx =
n
E
ERROR RELATIVO
Es la forma unitaria de expresar el error, dando as mejor significado de la
precisin de las mediciones.
Se expresa en forma de un quebrado siendo el numerador la unidad
Er = x
E =
E/X
1
El error probable de la media aritmtica sirve para expresar la fluctuacin
que puede tener el valor promedio entonces tenemos.
VVVAAALLLOOORRR MMMAAASSS PPPRRROOOBBBAAABBBLLLEEE::: VVV...MMM...PPP
V.M.P. = X EO
PROBLEMA
Para calcular la altura de un punto se hicieron 12 mediciones usando un
nivel de ingeniero dichas mediciones se hicieron en igualdad de
condiciones obtenindose: 2.187, 2.179, 2.181, 2.184, 2.176, 2.186,
2.183, 2.178, 2.181, 2.188, 2.179.
Calcular
a) Error probable de una sola medicin.
b) Error relativo
c) Valor Ms Probable.
SOLUCION:
Xi x ( x - Xi ) ( x - Xi )2
2.187
2.182
2.179
2.181
2.184
2.176
2.186
1.183
2.178
2.181
2.188
2.179
2.182
2.182
2.182
2.182
2.182
2.182
2.182
2.182
2.182
2.182
2.182
2.182
- 0.005
0.000
0.003
0.001
- 0.002
+ 0.006
- 0.004
- 0.001
0.004
0.001
- 0.006
0.003
0.025
0.000
0.009
0.001
0.004
0.036
0.016
0.001
0.016
0.001
0.036
0.009
= 0.154
a) ERROR PROBABLE DE UNA SOLA OBSERVACIN
E = 0.6745 1
)(2
n
n
i
ixx = 0.6745
11
154.0
E = 0.0798 m.
b) ERROR PROBABLE DE TODAS LAS OBSERVACIN
Eo = 0.6745 )1(
)(2
nn
n
i
ixx =
n
E =
12
0798.0
Eo = 0.023 m
c) ERROR RELATIVO
Er = E/X
1 =
0798.0/182.2
1 =
34.27
1
d) VALOR MAS PROBABLE
V.M.P = 2.182 0.023 m.
OBSERVACIN DE DIFERENTE PRECISIN
En anteriores consideraciones se ha supuesto que todas las mediciones
han sido tomadas en identificas condiciones y por lo tanto son de igual
precisin.
Pero en un trabajo topogrfico es difcil encontrar estas igualdades de
condiciones, entonces ser necesario tener en cuenta estas diferentes
precisiones para encontrar los resultados de las mediciones, estas
diferentes precisiones se llaman.
PPPEEESSSOOOSSS
As por ejemplo: se ha medido un ngulo en varias ocasiones y por
distintos operadores, todos han tenido el mismo esmero al observar
obteniendo el siguiente resultado.
47 37 40 (1er Operador) ha realizado 1 observacin
47 37 22 (2do Operador ha realizado 4 observaciones
47 37 22 (3er Operador ha realizado 9 observaciones
Es lgico admitir que el segundo valor tiene cuatro veces la precisin del
primero y el tercer valor tiene nueve veces la precisin del primero por lo
que podemos deducir que los pesos son proporcionales al nmero de
observaciones as:
El primero tendr: Peso 1 o 2
El segundo tendr: Peso 4 o 8
El tercero tendr: Peso 9 o 18
Los pesos relativos
NOTA:
1. El peso se puede asignar de acuerdo al nmero de
observaciones.
2. El peso se puede asignar al criterio del observador.
3. El peso se puede asignar de acuerdo al error probable, en
este caso son inversamente proporcional a los cuadrados de
los respectivos errores probables.
OSEA:
21
22
2
1
E
E
P
P
donde:
P1, P2 = son los pesos que se asignan
E1, E2 = son los respectivos errores probables.
La formula general es :
P1 21
E = P2 22
E = P3 23
E =
VVVAAALLLOOORRR MMMAAASSS PPPRRROOOBBBAAABBBLLLEEE DDDEEE OOOBBBSSSEEERRRVVVAAACCCIIIOOONNNEEESSS CCCOOONNN PPPEEESSSOOOSSS
DE UNA SOLA CANTIDAD
El V.P. de una cantidad medida varias veces con diferente precisiones:
a) MEDIA PONDERADA
X P =
P
Piix )(
b) ERROR PROBABLE DE LA MEDIA PONDERADA
Eop = 0.6745 x )1(
)(2
nP
Pin
i
P ixx
c) ERROR PROBABLE DE UNA MEDIDA
Eo = 0.6745 x )1(
)(2
n
Pin
i
P ixx
d) VALOR MAS PROBABLE
VMP = X P Eop
Del ejemplo anterior que se ha medido un ngulo en varias ocasiones
47 37 40 ( 1 observacin)
47 37 22 ( 4 observaciones)
47 37 30 ( 9 observaciones)
ANGULO PESO Xi x Pi ( x P - xi ) ( x P - xi )
2 ( x P - xi )2 Pi
473740 1 473740 - 12 144 144
473722 4 88 +6 36 144
473730 9 270 - 2 4 36
a) MEDIA PONDERADA
X P =
P
Piix )( =
14
"398 = 28 X P = 473728
b) ERROR PROBABLE DE LA MEDIA PONDERADA
Eop = 0.6745 x )1(
)(2
nP
Pin
i
P ixx = = 06745 X
)13(14
"324
Eop = 2.3
c) ERROR PROBABLE DE UNA MEDIDA
Eo = 0.6745 x )1(
)(2
n
Pin
i
P ixx = 0.6745 X
13
"324
Eo = 8.58
d) VALOR MAS PROBABLE
VMP = X P Eop = 47 37 28 2.3
Ejemplo:
Se siguen 4 itinerarios para determinar la cota de un punto. La cota con
sus correspondientes errores probables son:
ITINERARIO ALTURA OBSERVADA
A 221.05 0.006 m
B 221.37 0.012 m
C 220.62 0.018 m
D 221.67 0.024 m
a) Hallar el valor probable de la cota
b) El Error Probable de la Media Ponderada.
c) El Valor Mas Probables.
SOLUCIN
a) Calculo de los Pesos
P1 21
E = P2 22
E = P3 23
E = (1)
E1 = 0.006 simplificando E1 = 1
E2 = 0.012 simplificando E2 = 2
E3 = 0.018 simplificando E3 = 3
E4 = 0.024 simplificando E4 = 4
Reemplazando en (1)
P1 21
E = P2 22
E = P3 23
E = P4 24
E
P1 x 1 = P2 x 4 = P3 x 9 = P4 x 16
P1 = 1 P2 = P3 = 1/9 P4 = 1/16
Xi Pi Xi Pi
221.05 1 221.05
221.37 55.34
220.62 1/9 22.51
221.67 1/16 13.85
205/144 314.75
b) Media Ponderada
X P =
P
Piix )( =
144/205
75.314 = X P = 221.10 m
Xi ( x P - xi ) ( x P - xi )2 P ( x P - xi )
2 Pi
221.05
221.37
220.62
221.67
0.05
0.27
0.48
0.57
0.0025
0.0729
0.2304
0.2249
1
1/9
1/16
0.0025
0.182
0.0256
0.0203
144
205
0.0666
b) Error Probable de la Media Ponderada
EOP = 0.6745
)3(144
205
00666.0 EOP = 0.026 m.
c) Error Probable de una Medida
Ep = 0.6745 3
00666.0 Ep = 0.00317 m.
d) Valor Ms Probable
VMP = X P Eop = 221.10 0.026 m.
VARIAS CANTIDADES HOMOGENEAS
Cuando se tiene varios valores observados con diferentes pesos y la
suma de estos valores es igual a un valor conocido o medido.
Entonces los V.M.P. son los observados mas una correccin, esta
correccin es una parte del error total .
Estas correcciones que se aplican son inversamente proporcional a los
pesos
C1 P1 = C2 P2 = C3 P3
Donde:
C = Correccin que debe aplicarse al valor observada de una
cantidad para obtener el VMP.
EJERCICIO
Se midieron los tres ngulos y el ngulo total de estos, todos desde el
mismo vrtice O en igualdad de condiciones obtenindose los
siguientes resultados:
< AOB = 46 14 45 ( 6 observaciones)
< BOC = 74 32 29 ( 1 observaciones)
< COD = 85 54 38 ( 3 observaciones)
< AOD = 208 41 28 ( 5 observaciones)
Hallar los valores probables.
Solucin:
a) CALCULO DE LOS CORRECCIONES PARCIALES RELATIVAS.
C1 P1 = C2 P2 = C3 P3 = C4 P4
6 X C1 = 1 X C2 = 3 X C3 = 5 X C4
C2 = 1 C1 = 1/6 C3 = 1/3 C4 = 1/5
b) DISCREPANCIA
Ejercicios:
1. No pudiendo medirse la distancia horizontal entre los puntos M, N, se
determinara en forma indirecta, midindose su pendiente y la diferencia
de nivel entre estos en tres operaciones de campo, registrando los
siguientes datos:
Pendiente AH
1ra medicin 02 43 15.23 m.
2da Medicin 02 44 15.22 m.
3ra Medicin 02 42 15.24 m.
a) Hallar el V.M.P de la pendiente, de la diferencia de nivel y la
distancia horizontal
b) Adems hallar sus respectivos Errores Relativos.
2. Se tiene un terreno de cuatro lados del cual hemos obtenido los
siguientes datos:
Medicin del permetro:
5187.30 m. 518690 m. 5185.40 m. 5188.10 m.
5365.80 m. 5186.70 m.
De igual manera se han medido sus ngulos internos:
< A = 68 34 15 (3 veces)
TTTEEEOOORRRIIIAAA DDDEEE EEERRRRRROOORRREEESSS EEENNN LLLAAASSS MMMEEEDDDIIICCCIIIOOONNNEEESSS
TTTOOOPPPOOOGGGRRRAAAFFFIIICCCAAASSS
Una operacin Topogrfica como:
La suma de tramos para dar una longitud total.
Hallar el lado o ngulo de una figura geomtrica.
El rea de triangulo, cuadrado o cualquier cuadriltero.
El volumen de una figura geomtrica etc.
Esta dado por la siguiente funcin:
= f ( x, y, z )
Entonces el Error Probable de dicha operacin esta dado por
e = 222
...
zyx eee
dz
du
dy
du
dx
du
1). EP DE LA SUMA DE TRAMOS PARA DAR UNA LONGITUD
TOTAL
x + ex y + ey z + ez
La Funcin ser:
S = x + y + z + .......
El Error Probable
es = 222
...
zyx eee
dz
ds
dy
ds
dx
ds
es = 222 zyx eee
V.M.P. = S es
Nota:
Cuando todos los tramos tienen la misma medida y por tanto el mismo
error probable, entonces el Error Probable de toda la suma de tramos, es
igual al error probable de una sola observacin o medida multiplicada por
la raz cuadrado del Nmero de medidas.
S = x + x + x + x .......
es = 222 xxx eee
es = 2. xen es = ex n
V.M.P. = S ex n
Ejemplo:
Se mide una alineacin en tres tramos con los siguientes errores
probables:
0.014 m. 0.0022 m. 0.016 m.
Respectivamente cual es el Error Probable de la longitud total.
Solucin:
ex = 0.014 m. ey = 0.022 m. ez = 0.016 m.
es = 222 zyx eee = 222 016.0022.0014.0
es = 0.03059 m.
2). EP DEL AREA DE UNA FIGURA GEOMETRICA
Ejemplo del rea de un rectngulo
l + el
a + ea
La Funcin ser: A = l x a
El Error Probable
eA = 22
..
al ee
da
dA
dl
dA
eA = 22 .. al elea
V.M.P. = A eA
Ejercicio:
Los lados de un terreno rectangular miden 750 m. y 375 m. y se
miden con una cinta de 25.0m. que tiene en su longitud un error de
0.015mts. Hallar el Valor Ms Probable del rea de dicho terreno.
SOLUCION:
Calculo del Ep de cada lado
Como para cada cintada se produce un error de 0.015m. entonces este
error es acumulativo tanto para el largo como para el ancho
Para 750 m.
Se habrn dado: 25
750 = 30 medidas
eL = e. N = 0.015 30 eL = 0.082 m.
Para 375 m.
Se habrn dado: 25
375 = 15 medidas
ea = 0.015 15 ea = 0.058 m.
l = 750 0.082 m a = 375 0.058 m
A = 750 x 375 = 281250 m2
eA = 22 .. al elea = 22 058.0750082.0375 xx
eA = 53.27
V.M.P. = 281250 53.27 m2
3). EP DEL LADO O ANGULO DE UNA FIGURA
GEOMETRICA
EP DE LA DISTANCIA HORIZONTAL ENTRE DOS PUNTOS
L eL
e D eD
La funcin ser: D= L x cos
El error probable:
eD = 22
..
ee
d
dD
dL
dDL
eD = 22 ... aL eSenLeCos
V.M.P. = D eD
Nota: e radianes
Ejercicio:
Se ha medido la distancia inclinada y la pendiente entre los puntos A y B
con el siguiente resultado. 321.328 0.035 y 243 234
respectivamente hallar el Valor Mas Probable de la distancia horizontal
entre estos.
Solucin:
321.328 0.035
243 234
D
D = L x Cos = 321.328 x Cos ( 2 43 ) = 320.967 m.
El error probable:
eD = 22 00702.0328.321035.0`432 xxCos = 0.1125
V.M.P. = 320.967 0.1125 m