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P. J. Martínez2014/2015
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TEORÍA DE ESTRUCTURAS
Capítulo 7
La pieza recta
Departamento de Estructuras y ConstrucciónUniversidad Politécnica de Cartagena
7 L
a pi
eza
rect
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7.1 Introducción7.2 Definiciones y criterios de signos7.3 Relaciones fundamentales
7.3.1 Condiciones de equilibrio7.3.2 Condiciones de compatibilidad7.3.3 Ley de comportamiento
7.4 Teoremas de Möhr7.4.1 Primer Teorema de Möhr7.4.2 Segundo Teorema de Möhr
7.5 Momentos de empotramiento perfecto7.5.1 Pieza perfectamente empotrada en ambos extremos7.5.2 Pieza perfectamente empotrada en un extremo y articulada en el otro
7.6 Factores de transmisión7.7 Rigideces al giro
7.7.1 Rigidez al giro en un extremo con el otro extremo empotrado7.7.2 Rigidez al giro en un extremo con el otro extremo articulado
Índice
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7.1 Introducción
• Con este capítulo se inicia la tercera parte de la asignatura, el análisis de estructuras debarras de nudos rígidos mediante métodos clásicos (método del equilibrio, método deCross), de los que sólo se va a estudiar el método del equilibrio
• El proceso de análisis de las estructuras que aquí se va a tratar, se inicia con el procesode discretización. El paso siguiente, consiste en establecer las ecuaciones que rigen elcomportamiento de cada una de las piezas de la estructura, para establecer acontinuación el comportamiento global de la estructura, imponiendo a las ecuacionesanteriores las condiciones de equilibrio y compatibilidad en los nudos de la estructura
• Se empieza por considerar la pieza aislada, estudiando las relaciones de equilibrio y decompatibilidad y la ley de comportamiento del material. A continuación, se obtienen lasexpresiones de los momentos de empotramiento perfecto, factores de transmisión yrigideces al giro de piezas, que se utilizan en el capítulo siguiente para obtener lasecuaciones generales de la pieza y formular el método del equilibrio.
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7.1 Introducción7.2 Definiciones y criterios de signos7.3 Relaciones fundamentales
7.3.1 Condiciones de equilibrio7.3.2 Condiciones de compatibilidad7.3.3 Ley de comportamiento
7.4 Teoremas de Möhr7.4.1 Primer Teorema de Möhr7.4.2 Segundo Teorema de Möhr
7.5 Momentos de empotramiento perfecto7.5.1 Pieza perfectamente empotrada en ambos extremos7.5.2 Pieza perfectamente empotrada en un extremo y articulada en el otro
7.6 Factores de transmisión7.7 Rigideces al giro
7.7.1 Rigidez al giro en un extremo con el otro extremo empotrado7.7.2 Rigidez al giro en un extremo con el otro extremo articulado
Índice
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7.2 Definiciones y criterios de signos
• Para una pieza recta plana, la fuerza en la dirección del eje longitudinal es el esfuerzoaxial (N), la fuerza perpendicular al eje longitudinal de la pieza es el esfuerzo cortante(V), y el momento de eje perpendicular al plano es el momento flector (Mf)
V
Mf Mf
NN
V
• En la figura se representan esfuerzos positivos. El criterio para los esfuerzos axiales esválido independientemente de la posición de la pieza; sin embargo el criterio de losmomentos flectores exige una definición previa sobre cuál es la fibra inferior y cuál lasuperior. Para evitar esta indeterminación, se adopta el criterio de dibujar los diagramasde momentos flectores del lado de la pieza en que las fibras están traccionadas
FYi
qP1
M1
MjMi
FYj
FXjFXi i
j
FYi
P1
M1
MfMi
V
NFXi i
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7.1 Introducción 7.2 Definiciones y criterios de signos
7.3 Relaciones fundamentales7.3.1 Condiciones de equilibrio7.3.2 Condiciones de compatibilidad7.3.3 Ley de comportamiento
7.4 Teoremas de Möhr7.4.1 Primer Teorema de Möhr7.4.2 Segundo Teorema de Möhr
7.5 Momentos de empotramiento perfecto7.5.1 Pieza perfectamente empotrada en ambos extremos7.5.2 Pieza perfectamente empotrada en un extremo y articulada en el otro
7.6 Factores de transmisión7.7 Rigideces al giro
7.7.1 Rigidez al giro en un extremo con el otro extremo empotrado7.7.2 Rigidez al giro en un extremo con el otro extremo articulado
Índice
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7.3.1 Condiciones de equilibrio
V+dV
Mf Mf+dMf
N+dNN
dx
q(x), n(x)
V
1
dxx
x
y
q(x),n(x)
2
2
dxMd
q f
La ecuación diferencial de equilibrio cuando en la pieza sólo hay momentos yfuerzas perpendiculares al eje longitudinal
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7.3.2 Condiciones de compatibilidad
• Las condiciones de compatibilidad exigen que la pieza se deforme de forma continua
2
21dxyd
d
d
ds
x
y
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7.3.3 Ley de comportamiento
• Si se consideran únicamente las deformaciones por flexión, las secciones transversalesplanas antes de la deformación permanecerán planas después (hipótesis de Navier)
C’ D’
C
y
Eje neutro
d
D
A BB’A’
2
2
dxydxEIxEIxM f
d
dsAB
d
x
y
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7.1 Introducción 7.2 Definiciones y criterios de signos 7.3 Relaciones fundamentales 7.3.1 Condiciones de equilibrio 7.3.2 Condiciones de compatibilidad 7.3.3 Ley de comportamiento
7.4 Teoremas de Möhr7.4.1 Primer Teorema de Möhr7.4.2 Segundo Teorema de Möhr
7.5 Momentos de empotramiento perfecto7.5.1 Pieza perfectamente empotrada en ambos extremos7.5.2 Pieza perfectamente empotrada en un extremo y articulada en el otro
7.6 Factores de transmisión7.7 Rigideces al giro
7.7.1 Rigidez al giro en un extremo con el otro extremo empotrado7.7.2 Rigidez al giro en un extremo con el otro extremo articulado
Índice
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7.5.1 Pieza perfectamente empotrada en ambos ext. (1)
ij i
L
jx
q(x)
ji
• Los momentos de empotramiento perfecto ( y ) de una pieza perfectamenteempotrada en ambos extremos son los momentos que aparecen en dichos extremos paralas cargas aplicadas
ij ji
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7.5.1 Pieza perfectamente empotrada en ambos ext. (2)
• Para una pieza de inercia constante y las cargas más habituales, son (ver el anejo IIIdel libro):
88PLPL
jiij
L/2L/2
P
jiμij μji
44MM
jiij
1212
22 qLqLjiij
q
Lji
μij μji
L/2L/2
M
iμij μji
j
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7.5.2 Pieza perfectamente empotrada en un ext. y …
'ji
L
jx
q(x)
i
• El momento de empotramiento perfecto ( ) de una pieza perfectamente empotrada enun extremo y articulada en el otro puede obtenerse a partir de los momentos de labiempotrada
'ji
ijjiji 21'
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7.1 Introducción 7.2 Definiciones y criterios de signos 7.3 Relaciones fundamentales 7.3.1 Condiciones de equilibrio 7.3.2 Condiciones de compatibilidad 7.3.3 Ley de comportamiento
7.4 Teoremas de Möhr7.4.1 Primer Teorema de Möhr7.4.2 Segundo Teorema de Möhr
7.5 Momentos de empotramiento perfecto 7.5.1 Pieza perfectamente empotrada en ambos extremos 7.5.2 Pieza perfectamente empotrada en un extremo y articulada en el otro
7.6 Factores de transmisión7.7 Rigideces al giro
7.7.1 Rigidez al giro en un extremo con el otro extremo empotrado7.7.2 Rigidez al giro en un extremo con el otro extremo articulado
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7.6 Factores de transmisión
• Para inercia constante
i
jiij m
'
'ji
L
jx
i
mi
21
jiij
j
ijji m
'
• Para una pieza articulada en el extremo i y perfectamente empotrada en el extremo j, ala que se le aplica un momento en el extremo i, el factor de transmisión ( ) delextremo i al extremo j es
im ij
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7.1 Introducción 7.2 Definiciones y criterios de signos 7.3 Relaciones fundamentales 7.3.1 Condiciones de equilibrio 7.3.2 Condiciones de compatibilidad 7.3.3 Ley de comportamiento
7.4 Teoremas de Möhr7.4.1 Primer Teorema de Möhr7.4.2 Segundo Teorema de Möhr
7.5 Momentos de empotramiento perfecto 7.5.1 Pieza perfectamente empotrada en ambos extremos 7.5.2 Pieza perfectamente empotrada en un extremo y articulada en el otro 7.6 Factores de transmisión
7.7 Rigideces al giro7.7.1 Rigidez al giro en un extremo con el otro extremo empotrado7.7.2 Rigidez al giro en un extremo con el otro extremo articulado
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7.7.1 Rigidez al giro en un extremo con el otro empotr.
ij
iijmk
ji
jji
mk
L
jx
i
mi
ij
• Para inercia constante
LEIkk jiij
4
• Para una pieza articulada en el extremo i y perfectamente empotrada en el extremo j, ala que se le aplica un momento en el extremo i, la rigidez al giro ( ) del extremo i esim ijk
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7.7.2 Rigidez al giro en un extremo con el otro artic.
ij
iijmk
'
ji
jji
mk
'
• Para inercia constante
LEIkk jiij
3''
• Para una pieza con los dos extremos articulados
L
j
x
i
mi
ij
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7.1 Introducción 7.2 Definiciones y criterios de signos 7.3 Relaciones fundamentales 7.3.1 Condiciones de equilibrio 7.3.2 Condiciones de compatibilidad 7.3.3 Ley de comportamiento
7.4 Teoremas de Möhr7.4.1 Primer Teorema de Möhr7.4.2 Segundo Teorema de Möhr
7.5 Momentos de empotramiento perfecto 7.5.1 Pieza perfectamente empotrada en ambos extremos 7.5.2 Pieza perfectamente empotrada en un extremo y articulada en el otro 7.6 Factores de transmisión 7.7 Rigideces al giro 7.7.1 Rigidez al giro en un extremo con el otro extremo empotrado 7.7.2 Rigidez al giro en un extremo con el otro extremo articulado
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