Post on 15-Mar-2020
Universidad Técnica Federico Santa María
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Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Informática
ILI-280
Capítulo 4 Capítulo 4 ProbabilidadesProbabilidades
Estadística ComputacionalEstadística ComputacionalII Semestre 2006II Semestre 2006
Profesores:
Héctor Allende (hallende@inf.utfsm.cl)
Carlos Valle (cvalle@inf.utfsm.cl)
2Profesor: C.Valle
Conceptos BásicosConceptos Básicos
Experimento aleatorio : ξ
Espacio Muestral : Ω
Evento o Suceso : A; B;….
Sucesos elementales, seguros e imposibles
Probabilidad : grado de certidumbre
Probabilidad y Juegos de Azar
Probabilidad y Frecuencia relativa
Probabilidad Subjetiva (Personal)
Experimento aleatorio : ξ
Espacio Muestral : Ω
Evento o Suceso : A; B;….
Sucesos elementales, seguros e imposibles
Probabilidad : grado de certidumbre
Probabilidad y Juegos de Azar
Probabilidad y Frecuencia relativa
Probabilidad Subjetiva (Personal)
Universidad Técnica Federico Santa María
2
3Profesor: C.Valle
Conceptos BásicosConceptos Básicos
Experimento Aleatorio:
- Experimento que tiene 2 o más resultados posibles
Evento ( Suceso) Elemental:
-Resultado de un experimento indivisible
-Mutualmente Excluyentes: si ocurre uno no existe posibilidad de observar otro
-Equiprobable : Cada evento simple tiene identicaprobabilidad
Espacio Muestral
-El conjunto que contiene todos los resultados posibles
Evento “A”
-El conjunto de todos los eventos elementales posibles que resultan en la ocurrencia del evento “A”
Experimento Aleatorio:
- Experimento que tiene 2 o más resultados posibles
Evento ( Suceso) Elemental:
-Resultado de un experimento indivisible
-Mutualmente Excluyentes: si ocurre uno no existe posibilidad de observar otro
-Equiprobable : Cada evento simple tiene identicaprobabilidad
Espacio Muestral
-El conjunto que contiene todos los resultados posibles
Evento “A”
-El conjunto de todos los eventos elementales posibles que resultan en la ocurrencia del evento “A”
4Profesor: C.Valle
Ω
Ω : Espacio Muestral: Todos los posibles
resultados elementales
w ∈∈∈∈ Ω, resultado elemental
ℑ :Familia de todos los eventos posibles de Ω
∅ ∈∈∈∈ ℑ , luego ∅ es un Evento imposible
Ω ∈∈∈∈ ℑ , luego Ω es el Evento Seguro
A y B ∈∈∈∈ ℑ, luego son eventos
A∪∪∪∪B ∈∈∈∈ ℑ; A∩∩∩∩B ∈∈∈∈ ℑ; Ac ∈∈∈∈ ℑ, son eventos
A
B
ConjuntosConjuntos y y EventosEventos
w ∈∈∈∈ Ω
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5Profesor: C.Valle
Concepto de Concepto de σσσσσσσσ--áálgebra de sucesoslgebra de sucesos
Sea ℑ ℑ ℑ ℑ una clase no vacía formada por ciertos subconjuntos del espacio muestralΩ.
σ-algebra de sucesos : ℑ ℑ ℑ ℑ es una σ-algebra
Φ, Ω є ℑℑℑℑ , los sucesos complementarios de aquellos que están en ℑℑℑℑ y también están en ℑℑℑℑ, así como sus uniones numerables (sean finitas o infinitas). Esto se puede enunciar como:
Sea ℑ ℑ ℑ ℑ una clase no vacía formada por ciertos subconjuntos del espacio muestralΩ.
σ-algebra de sucesos : ℑ ℑ ℑ ℑ es una σ-algebra
Φ, Ω є ℑℑℑℑ , los sucesos complementarios de aquellos que están en ℑℑℑℑ y también están en ℑℑℑℑ, así como sus uniones numerables (sean finitas o infinitas). Esto se puede enunciar como:
ℑ∈⇒ℑ∈∀
∈⇒ℑ∈∀⇔−ℑ
=i
n
in
c
AAA
AAA
11,...,
álgebra una es Υ
σ
6Profesor: C.Valle
Teoría Conjuntos Teoría Probabilidades
ΩΩΩΩ Universo Espacio Muestral
ℑℑℑℑ Conjunto Potencia Familia Clases de Eventos
A ∈∈∈∈ ℑℑℑℑ A subconjunto de Ω A es un Evento
w ∈∈∈∈ A w es elemento de A Ocurre el evento A
∅∅∅∅ Conjunto vacío Evento Imposible
Ω Universo Evento Seguro
A∪∪∪∪B A unión B Evento A o Evento B
A∩∩∩∩B A intersección B Evento A y Evento B
Ac Complemento de A Evento no-A
A ⊂⊂⊂⊂ B A es subconjunto de B A implica B
A∩∩∩∩B= ∅∅∅∅ A y B son disjuntos A y B mutuamente excluyentes
ConjuntosConjuntos vs. vs. EventosEventos
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7Profesor: C.Valle
Ejemplo DadoEjemplo Dado
Se realiza un experimento aleatorio de lanzar un dado al aire:
-Sucesos elementales 1, 2, 3, 4, 5, 6
-Espacio Muestral S=1,2,3,4,5,6
-Conjunto Potencia ℑℑℑℑ =P(S)=Ø,S,1,2,...,1,2,...
Ø suceso imposible
S suceso seguro
1, 3, 5
-Sucesos aleatorios 4, 5, 6
2, 4, 6=1, 3, 5C
....
Se realiza un experimento aleatorio de lanzar un dado al aire:
-Sucesos elementales 1, 2, 3, 4, 5, 6
-Espacio Muestral S=1,2,3,4,5,6
-Conjunto Potencia ℑℑℑℑ =P(S)=Ø,S,1,2,...,1,2,...
Ø suceso imposible
S suceso seguro
1, 3, 5
-Sucesos aleatorios 4, 5, 6
2, 4, 6=1, 3, 5C
....
σ-álgebra
8Profesor: C.Valle
EjemploEjemplo
Si se realiza un experimento aleatorio de esperar el tiempo que hace falta para que un átomo de carbono catorce, C14, se desintegre de modo natural, se tiene que
sin embargo, el σ-álgebra de sucesos que se considera no es P(ℜ), que es una clase demasiado compleja para definir sobre sus elementos una medida de probabilidad. En su lugar se considera el σ-álgebra formada por todos los intervalos, abiertos o cerrados, y sus uniones finitas
ℑℑℑℑ =Ø, ℜ+, (1,2),...,(2,3],...
lo que por supuesto incluye a los puntos de ℜ+.
Si se realiza un experimento aleatorio de esperar el tiempo que hace falta para que un átomo de carbono catorce, C14, se desintegre de modo natural, se tiene que
sin embargo, el σ-álgebra de sucesos que se considera no es P(ℜ), que es una clase demasiado compleja para definir sobre sus elementos una medida de probabilidad. En su lugar se considera el σ-álgebra formada por todos los intervalos, abiertos o cerrados, y sus uniones finitas
ℑℑℑℑ =Ø, ℜ+, (1,2),...,(2,3],...
lo que por supuesto incluye a los puntos de ℜ+.
+ℜ=Ω
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9Profesor: C.Valle
Se toma al azar una esfera de la urna I
Se transfiere a la urna II, se mezclan bien.
Se elige, aleatoriamente, una esfera de la urna II.
¿cuál es la probabilidad – a priori – que sea verde?
I II
1
1
2 2
3
3
ExperimentoExperimento AleatorioAleatorio
10Profesor: C.Valle
EspacioEspacio MuestralMuestral
Traspasar Roja # 1
Traspasar Verde # 1
Traspasar Verde # 2
Distintas
formas como
puede resultar
el
experimento.
Ya que las
esferas han
sido sacadas
al azar, cada
uno de ellas
tiene la misma
posibilidad de
ocurrir
1
1
2
1
2
3
2
3
2
3
1
2
3
2
3
I
II
II
II
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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11Profesor: C.Valle
Nociones de ProbabilidadNociones de Probabilidad
Probabilidad es una medida de la incertidumbre (Estimaciónde la probabilidad)
Teórica - “A Priori”
-Pr (Ai) = n / N
• n = número de posible formas en que“Ai” puede ser observado
• N = número total de resultados posibles
Histórica (empírica-frecuencia) - “A Posteriori”
-Pr (Ai) = n/N
• n = número de veces que ocurrio “Ai”
• N = número total de observaciones
Subjetiva
-La “Opinión de un Experto”
Probabilidad es una medida de la incertidumbre (Estimaciónde la probabilidad)
Teórica - “A Priori”
-Pr (Ai) = n / N
• n = número de posible formas en que“Ai” puede ser observado
• N = número total de resultados posibles
Histórica (empírica-frecuencia) - “A Posteriori”
-Pr (Ai) = n/N
• n = número de veces que ocurrio “Ai”
• N = número total de observaciones
Subjetiva
-La “Opinión de un Experto”
12Profesor: C.Valle
EjemploEjemplo
En la figura se presenta la evolución de la frecuencia relativa del número de caras obtenido en el lanzamiento de una moneda en 100 ocasiones (simulado en un computador).
En la figura se presenta la evolución de la frecuencia relativa del número de caras obtenido en el lanzamiento de una moneda en 100 ocasiones (simulado en un computador).
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13Profesor: C.Valle
Sea una Distribución de Probabilidad P, función que asigna a cada sub-conjunto razonable de Ω un valor entre 0 y 1.
Sea colección de eventos razonables de Ω (σ-álgebra)
Sea una Distribución de Probabilidad P, función que asigna a cada sub-conjunto razonable de Ω un valor entre 0 y 1.
Sea colección de eventos razonables de Ω (σ-álgebra)
Ω⊂ℑ 2
),,( adProbabilid de Modelo PℑΩ=
Modelo Modelo ProbabilísticoProbabilístico
]1;0[: →ℑP
14Profesor: C.Valle
Cálculo de Probabilidades Cálculo de Probabilidades (Eventos (Eventos EquiprobablesEquiprobables))
Noción intuitiva (regla de Laplace):
Noción frecuentista:
Sea
Noción intuitiva (regla de Laplace):
Noción frecuentista:
Sea
N
NAP
N
N
AN
A
∞→=
°
°
lim)(
A ocurre que vecesde totalN:
oexperimentun realiza se que vecesde totalN:
posibles Resultados
A evento al favorables Resultados)( =AP
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15Profesor: C.Valle
Ejemplo DadoEjemplo Dado
¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado se tenga par?-El espacio muestral es Ω=1, 2, 3, 4, 5. Vamos a llamar A, al suceso consistente en que el resultado es impar, A=1,3,5. Como no suponemos que ninguna de las caras ofrece una probabilidad de ocurrencia diferente a las demás, podemos aplicar la regla de Laplace para obtener que
¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado se tenga par?-El espacio muestral es Ω=1, 2, 3, 4, 5. Vamos a llamar A, al suceso consistente en que el resultado es impar, A=1,3,5. Como no suponemos que ninguna de las caras ofrece una probabilidad de ocurrencia diferente a las demás, podemos aplicar la regla de Laplace para obtener que
2
1
6
3
posibles casos de número
A a favorables casos de número][
==
=AP
16Profesor: C.Valle
Observación
-En muchas ocasiones nos preocupamos de elegir de manera
aleatoria uno o más objetos desde una colección de objetos
Sea N el número de objetos.
-Elegir 1 objeto al azar, significa que cada objeto tiene la
misma probabilidad de ser elegido. P(elegir ai ) = 1/ N
-Elegir 2 objetos al azar significa que cada par de objetos tiene
la misma probabilidad de ser selecionado. Supongamos que
existen K de tales pares, entonces la probabilidad de elegir
un par cualesquieres es 1/ K.
-Elegir r objetos aleatoriamente, r < N, signifiva que cada
r-tupla de objetos tiene la misma probabilidad de ser
seleccionada que cualquier otra r-tupla.
Observación
-En muchas ocasiones nos preocupamos de elegir de manera
aleatoria uno o más objetos desde una colección de objetos
Sea N el número de objetos.
-Elegir 1 objeto al azar, significa que cada objeto tiene la
misma probabilidad de ser elegido. P(elegir ai ) = 1/ N
-Elegir 2 objetos al azar significa que cada par de objetos tiene
la misma probabilidad de ser selecionado. Supongamos que
existen K de tales pares, entonces la probabilidad de elegir
un par cualesquieres es 1/ K.
-Elegir r objetos aleatoriamente, r < N, signifiva que cada
r-tupla de objetos tiene la misma probabilidad de ser
seleccionada que cualquier otra r-tupla.
Cálculo de Probabilidades Cálculo de Probabilidades (Eventos (Eventos EquiprobablesEquiprobables))
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17Profesor: C.Valle
Probabilidad AxiomáticaProbabilidad Axiomática
Axioma 1:
Axioma 2:
Axioma 3:-
Axioma 1:
Axioma 2:
Axioma 3:-
1)( =ΩP
0)( ≥AP
∑=∪
∈
i
iAPAPse
Suponiendo
)()(, que verifica
excluyente mutuamente sea Ii , A que i
18Profesor: C.Valle
PropiedadesPropiedades
1. P(φ) = 0
2. P(A) ≤ 1
3. P(AC) = 1 - P(A)
4. Si A ⊂ B ⇒ P(A) ≤ P(B)
5. P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
P(∪Ai) ≤ Σ P(Ai)
Si A ⊆ B ⇒ P(B-A) = P(B) - P(A∩B)
1. P(φ) = 0
2. P(A) ≤ 1
3. P(AC) = 1 - P(A)
4. Si A ⊂ B ⇒ P(A) ≤ P(B)
5. P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
P(∪Ai) ≤ Σ P(Ai)
Si A ⊆ B ⇒ P(B-A) = P(B) - P(A∩B)
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19Profesor: C.Valle
Sea
Aplicando los axiomas se tiene
Sea
Aplicando los axiomas se tiene
pares a de sexcluyente Mutuamente
Elemental Evento ,..,1
Finito Muestral Espacio ,...,, 21
Ω=∴
==
=Ω
i
N
i
ii
N
E
NiwE
www
Υ
Espacio Espacio MuestralMuestral FinitoFinito
)()()( 0 Como
1 1)(
321 0)(
jijiji
ii
N
i
ii
EPEPEEPjiEE
fEP
,...,N,,ifEP
+=→≠∀=
=→=
=>=
∑ΙΙ
Υ
20Profesor: C.Valle
Probabilidad CondicionalProbabilidad Condicional
Sean A, B dos sucesos tal que P(B) > 0.
La probabilidad de A condicionada a la ocurrencia de B, denotada como P(A|B) :
Propiedades:i) P(A|B) ≥ 0
ii) P(Ω |B) = 1
iii) P(∪Ai|B) = Σ P(Ai|B)
con Ai∩Aj = ∅ ,∀ i, j : i ≠j
Sean A, B dos sucesos tal que P(B) > 0.
La probabilidad de A condicionada a la ocurrencia de B, denotada como P(A|B) :
Propiedades:i) P(A|B) ≥ 0
ii) P(Ω |B) = 1
iii) P(∪Ai|B) = Σ P(Ai|B)
con Ai∩Aj = ∅ ,∀ i, j : i ≠j
)(
)()|(
BP
BAPBAP
Ι=
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21Profesor: C.Valle
A
B
Ω
Centra el foco de atención en el
hecho que se sabe que han ocurrido
el evento B
Estamos indicando que el espacio
muestral de interés se ha “reducido”
sólo a aquellos resultados que
definen la ocurrencia del evento B
Entonces, P(A | B) “mide” la
probabilidad relativa de A con
respecto al espacio reducido B
Probabilidad CondicionalProbabilidad Condicional
22Profesor: C.Valle
Se sabe que el 10% de las piezas manufacturadas tienen fallas visibles en la superficie.
Se ha encontrado que el 25% de las piezas con fallas superficiales son funcionalmente defectuosas
100% piezas
Manufacturadas
Por lo tanto el 90% no tienen fallas visibles en la superficie.
También se ha encontrado que el 5% de la piezas que no tienen fallas superficiales son funcionalmente defectuosas
Evento A = pieza funcionalmente defectuosa
B = pieza tiene una falla visible en la superficie
P( A dado B) = P(A | B) ?
Probabilidad CondicionalProbabilidad Condicional
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23Profesor: C.Valle
AB
Si A ∩ B = A P(A | B) = = ≥ P(A)P(A ∩ B )
P(B)
P(A)
P(B)
AB Si A ∩ B = B P(A | B) = = = 1
P(A ∩ B )
P(B)
P(B)
P(B)
A
B
Si A ∩ B = ∅ P(A | B) = = = 0P(A ∩ B )
P(B)
P(∅)
P(B)
A
BSi A ∩ B ≠ ∅ P(A | B) = =
P(A ∩ B )
P(B)
Casos Probabilidad CondicionalCasos Probabilidad Condicional
24Profesor: C.Valle
Sean B1, B2,....,Bn eventos mutuamente excluyentes :
Entonces
Consecuencia (Regla de Bayes):
Sean B1, B2,....,Bn eventos mutuamente excluyentes :
Entonces
Consecuencia (Regla de Bayes):
1)(1
==
Υn
i
iBP
∑=
=n
i
ii BPBAPAP1
)()|()(
)(
)()|()|(
AP
BPBAPABP ii
i =
Probabilidad TotalProbabilidad Total
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25Profesor: C.Valle
B1 B2
B3B4
A∩∩∩∩B4
A∩∩∩∩B3
A∩∩∩∩B1
A∩∩∩∩B2
B5
Sean B1, B2,....,Bn eventos mutuamente excluyentes
Entonces
A Equipo Fallado
Equipo Manufacturado
en Planta B2
Probabilidad TotalProbabilidad Total
∑=
=n
i
ii BPBAPAP1
)()|()(
1)(1
==
n
iiBP Υ
26Profesor: C.Valle
Supongamos de que se elige aleatoriamente un Equipo y se encuentra que está fallado. ¿cuál es la probabilidad que sea manufacturado en Planta B3 ?Se pide P(B3|A); pero sólo se conoce
P(A ∩ Bi), i = 1, 2, 3, .. , k
Sabemos que
P(A ∩ Bi) = P( A | Bi ) P(Bi) = P(Bi | A) P(A)
Supongamos de que se elige aleatoriamente un Equipo y se encuentra que está fallado. ¿cuál es la probabilidad que sea manufacturado en Planta B3 ?Se pide P(B3|A); pero sólo se conoce
P(A ∩ Bi), i = 1, 2, 3, .. , k
Sabemos que
P(A ∩ Bi) = P( A | Bi ) P(Bi) = P(Bi | A) P(A)
)()|(
)()|()|(
j
j
j
iii
BPBAP
BPBAPABP
∑=
Regla de Regla de BayesBayes
SB
jiBB
jj
ji
=
≠=
Υ
Ι ;φ
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27Profesor: C.Valle
Ley Multiplicativa:
siempre que:
Ley Multiplicativa:
siempre que:
Ιn
i
iAP1
0)(=
>
)|().....|()()(1
112
1i
n
ini
n
ii AAPAAPAPAP
−
==
= ΙΙ
Probabilidad MultiplicativaProbabilidad Multiplicativa
28Profesor: C.Valle
n2
n2
n2
n1
Regla de la MultiplicaciónRegla de la Multiplicación
El Número de maneras diferentes de elegir o sacar un elemento de del conjunto 1 que tiene n1 elementos, luego un elemento de un conjunto 2 que tiene n2 elementos, ... , y finalmete un elemto del k-ésimoconjunto que tiene nk elemetos, en donde el orden como se selecciona es importante
n1* n2* ......* nk
El Número de maneras diferentes de elegir o sacar un elemento de del conjunto 1 que tiene n1 elementos, luego un elemento de un conjunto 2 que tiene n2 elementos, ... , y finalmete un elemto del k-ésimoconjunto que tiene nk elemetos, en donde el orden como se selecciona es importante
n1* n2* ......* nk
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29Profesor: C.Valle
Ejemplo 1Ejemplo 1
1) Sean A,B sucesos de un mismo modelo de probabilidad (Ω, ℜ, P) tales que:
P(B)=0,4 P(A∪B)=0,7 P(A|B)=0,75
Determinar:
P(AC) ; P(A-B) ; P(AC∪BC) ; P(A|BC)
1) Sean A,B sucesos de un mismo modelo de probabilidad (Ω, ℜ, P) tales que:
P(B)=0,4 P(A∪B)=0,7 P(A|B)=0,75
Determinar:
P(AC) ; P(A-B) ; P(AC∪BC) ; P(A|BC)
30Profesor: C.Valle
P(AC) = 1 - P(A)
P(A∪∪∪∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩∩∩∩B)P(A∩∩∩∩B) = P(A/B) P(B) = 0,75 * 0,4 = 0,3P(A) = 0,7 - 0,4 + 0,3 = 0,6
P(AC) = 0,4
P(A-B) = P(A∩∩∩∩BC) = P(A) - P(A∩∩∩∩B) = 0,6 - 0,3 = 0,3
P(AC∪∪∪∪BC) = P(AC) + P(BC) - P(AC∩∩∩∩BC)P(AC∩∩∩∩BC) = P(BC) - P(A∩∩∩∩BC) = 0,6 - 0,3 = 0,3Luego P(AC∪∪∪∪BC) = 0,4 + 0,6 - 0,3 = 0,7
P(A/BC) = P(A∩∩∩∩BC) = 0,3 = 0,5P(BC) 0,4
SoluciónSolución
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31Profesor: C.Valle
Ejemplo 2Ejemplo 2
Un procesador para computadores puede provenir de cualquiera de tres fabricantes con probabilidades: p1 = 0,25; p2 = 0,50; p3 = 0,25.
Las probabilidades de que un procesador funcione correctamente durante 10.000 horas es 0,1; 0,2 y 0,4 respectivamente para los 3 fabricantes:
i) Calcular la probabilidad de que un procesador elegido al azar funcione durante 10.000 horas.
ii) Si el procesador funcionó correctamente durante el período de 10.000 horas ¿cuál es la probabilidad de que haya provenido del 3er fabricante?
Un procesador para computadores puede provenir de cualquiera de tres fabricantes con probabilidades: p1 = 0,25; p2 = 0,50; p3 = 0,25.
Las probabilidades de que un procesador funcione correctamente durante 10.000 horas es 0,1; 0,2 y 0,4 respectivamente para los 3 fabricantes:
i) Calcular la probabilidad de que un procesador elegido al azar funcione durante 10.000 horas.
ii) Si el procesador funcionó correctamente durante el período de 10.000 horas ¿cuál es la probabilidad de que haya provenido del 3er fabricante?
32Profesor: C.Valle
225.0
25.0*4.05.0*2.025.0*1.0
)()|()(3
1
=
++=
=∑=i
ii FPFCPCP
SoluciónSolución
444.0225.0
25.0*4.0
)(
)()|()|( 33
3
==
=CP
FPFCPCFP
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33Profesor: C.Valle
Independencia ProbabilísticaIndependencia Probabilística
Sean A, B dos eventos del modelo probabilístico(Ω, ℑ, P). A, B se dicen probabilísticamente independientes ssi:
Sean Ai: i ∈ I = 1,2,3,......,k una colección de eventos de (Ω, ℑ, P). Se dice que los elementos son conjuntamente independientes ssi:
Sean A, B dos eventos del modelo probabilístico(Ω, ℑ, P). A, B se dicen probabilísticamente independientes ssi:
Sean Ai: i ∈ I = 1,2,3,......,k una colección de eventos de (Ω, ℑ, P). Se dice que los elementos son conjuntamente independientes ssi:
)()|(
)()|( )()()(
BPABP
APBAPBPAPBAP
=
=⇒=Ι
,...,3,2,1 )()( kIJAPAPJj
ijJj
=⊆⊂= ∏∈∈
φΙ
34Profesor: C.Valle
Independencia probabilística Conjunta ⇒ Independencia de a pares
2. Independencia probabilística de a pares ⇒ Independencia probabilística Conjunta
3. Si A, B son eventos independientes probabilísticamente.
Entonces se tiene A, BC son independientes.
AC, BC son independientes
AC, B son independientes
4. Sea (Ω, 2Ω, P) modelo de probabilidad.
Estudiar independencia conjunta y de a pares.
Independencia probabilística Conjunta ⇒ Independencia de a pares
2. Independencia probabilística de a pares ⇒ Independencia probabilística Conjunta
3. Si A, B son eventos independientes probabilísticamente.
Entonces se tiene A, BC son independientes.
AC, BC son independientes
AC, B son independientes
4. Sea (Ω, 2Ω, P) modelo de probabilidad.
Estudiar independencia conjunta y de a pares.
ObservacionesObservaciones
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35Profesor: C.Valle
Independencia ProbabilísticaIndependencia Probabilística
Ejemplo 3:
Sea (Ω, 2Ω, P) modelo de probabilidad.
Ω = (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) (1,1,1)
P(wi) = 1/4 ∀ i = 1, 4
Sean A1, A2, A3 eventos de (Ω, 2Ω, P) :
A1: 1era coord. es 1
A2: 2da coord. es 1
A3: 3era coord. es 1
Estudiar independencia conjunta y de a pares.
Ejemplo 3:
Sea (Ω, 2Ω, P) modelo de probabilidad.
Ω = (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) (1,1,1)
P(wi) = 1/4 ∀ i = 1, 4
Sean A1, A2, A3 eventos de (Ω, 2Ω, P) :
A1: 1era coord. es 1
A2: 2da coord. es 1
A3: 3era coord. es 1
Estudiar independencia conjunta y de a pares.
36Profesor: C.Valle
A B
1 2
3 4
A B
12
3 4
5
Probabilidad de cerrar los relés 1,2,3 y 4 es “p”. Si todos los relés funcionan
independientemente , ¿cuál es la probabilidad que pase corriente de A a B42
43214321 2][][][)()];()[()( ppRPRRPRRPEPRRRRPEP i −=−+== ΙΙΙΙΥΙ
Ejemplo 3.4 : Independencia Ejemplo 3.4 : Independencia ProbabilísticaProbabilística
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37Profesor: C.Valle
Construcción Modelos de ProbabilidadConstrucción Modelos de Probabilidad
Sea µ una medida en el Espacio Muestral tal que µ (Ω) < ∞ : Longitud ; Superficie Volumen. etc.
Entonces existe un función definida en IR
es una medida de Probabilidad
Sea µ una medida en el Espacio Muestral tal que µ (Ω) < ∞ : Longitud ; Superficie Volumen. etc.
Entonces existe un función definida en IR
es una medida de Probabilidad)(
)()(
:
Ω=
ℜ→ℜ
µ
µ AAP
P
38Profesor: C.Valle
Ejemplo 3.5: Ejemplo 3.5:
Problema del encuentro:Dos estudiantes acuerdan [9; 10] encontrarse en la biblioteca de la UTFSM entre las 9 A.M. y las 10 A.M. un día lunes. El primero que llega a la biblioteca , espera al otro10 minutos (dentro del intervalo de tiempo pactado). Si se supone que cada uno llega al azar en el intervalo de tiempo convenido y que los tiempos de llegada son independientes.
¿ Cuál es la probabilidad que estos estudiantes se encuentren ?
Solución: X(t) : Llegada del estudiante 1
Y(t) : Llegada del estudiante 2
[X(t);Y(t)] ∈ [9; 10]x [9; 10]= [0; 60]X [0; 60]=Ω
A=[X(t);Y(t)] : |X(t);Y(t)|< 10
P(A)= µ(Α)/µ(Ω)= 11/ 36
Problema del encuentro:Dos estudiantes acuerdan [9; 10] encontrarse en la biblioteca de la UTFSM entre las 9 A.M. y las 10 A.M. un día lunes. El primero que llega a la biblioteca , espera al otro10 minutos (dentro del intervalo de tiempo pactado). Si se supone que cada uno llega al azar en el intervalo de tiempo convenido y que los tiempos de llegada son independientes.
¿ Cuál es la probabilidad que estos estudiantes se encuentren ?
Solución: X(t) : Llegada del estudiante 1
Y(t) : Llegada del estudiante 2
[X(t);Y(t)] ∈ [9; 10]x [9; 10]= [0; 60]X [0; 60]=Ω
A=[X(t);Y(t)] : |X(t);Y(t)|< 10
P(A)= µ(Α)/µ(Ω)= 11/ 36
Universidad Técnica Federico Santa María
20
39Profesor: C.Valle
Ejemplo 3.5:Ejemplo 3.5:
Problema del encuentro:
Dos estudiantes acuerd [9; 10] an encontrarse en la biblioteca de la UTFSM entre las 9 A.M. y las 10 A.M. un día lunes. El primero que llega a la biblioteca , espera al otro10 minutos (dentro del intervalo de tiempo pactado). Si se supone que cada uno llega al azar en el intervalo de tiempo convenido y que los tiempos de llegada son independientes.¿ Cuál es la probabilidad que estos estudiantes se encuentren ?
Solución: X(t) : Llegada del estudiante 1Y(t) : Llegada del estudiante 2[X(t);Y(t)] ∈ [9; 10]x [9; 10]= [0; 60]X [0; 60]=ΩA=[X(t);Y(t)] : |X(t);Y(t)|< 10P(A)= µ(Α)/µ(Ω)= 11/ 36
Problema del encuentro:
Dos estudiantes acuerd [9; 10] an encontrarse en la biblioteca de la UTFSM entre las 9 A.M. y las 10 A.M. un día lunes. El primero que llega a la biblioteca , espera al otro10 minutos (dentro del intervalo de tiempo pactado). Si se supone que cada uno llega al azar en el intervalo de tiempo convenido y que los tiempos de llegada son independientes.¿ Cuál es la probabilidad que estos estudiantes se encuentren ?
Solución: X(t) : Llegada del estudiante 1Y(t) : Llegada del estudiante 2[X(t);Y(t)] ∈ [9; 10]x [9; 10]= [0; 60]X [0; 60]=ΩA=[X(t);Y(t)] : |X(t);Y(t)|< 10P(A)= µ(Α)/µ(Ω)= 11/ 36
40Profesor: C.Valle
Def: Sea A un conjunto : , se llama variaciónsimple o sin repetición a todo subconjunto de n elementos distinguiéndose estos entre si, en los elementos que lo componen y en el orden en que estos elementos van colocados
Obs: Si las variaciones son con repetición
Def: Sea A un conjunto : , se llama variaciónsimple o sin repetición a todo subconjunto de n elementos distinguiéndose estos entre si, en los elementos que lo componen y en el orden en que estos elementos van colocados
Obs: Si las variaciones son con repetición
nACard =)(
VariacionesVariaciones
)1).....(2)(1(),(
.....
)2)(1()3,(
)1()2,(
,...,, 21
+−−−=
−−=
−=
=
knnnnknV
nnnnV
nnnV
xxxA n
knknV =),(1
Universidad Técnica Federico Santa María
21
41Profesor: C.Valle
Número de maneras distintas de sacar r elementos de lote de n CUANDO EL ORDEN IMPORTA :
Nota: Estudiar permutaciones con repetición
n objetos
- - - - -
1 2 3 4 r
PermutaPermutaccionioneess
)!(
!
rn
nPnr
−=
42Profesor: C.Valle
CombinaCombinaccionioneess
Combinaciones (sin repetición):Número de maneras distintas de sacar r elementos de lote de n CUANDO EL ORDEN NO IMPORTA
Nota : Estudiar combinaciones con repetición
C1(n,r)= (n+r-1)!/ r!(n-1)!
Combinaciones (sin repetición):Número de maneras distintas de sacar r elementos de lote de n CUANDO EL ORDEN NO IMPORTA
Nota : Estudiar combinaciones con repetición
C1(n,r)= (n+r-1)!/ r!(n-1)!
)!(!
!),(
rnr
nrnC
−=