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7/23/2019 Caracol de Pascal
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Construccion Definicion Ecuacion Polar Ecuaciones Parametricas Ecuacion rectangular Triseccion del angulo
CARACOL DE PASCALConstrucion, sus ecuaciones y la triseccion
Julieth GaravitoSayda QuirogaSteven Jaimes
Stefany Tibocha
SSSJ
December 4, 2014
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Construccion Definicion Ecuacion Polar Ecuaciones Parametricas Ecuacion rectangular Triseccion del angulo
Indice
1 Construccion
2 Definicion
3 Ecuacion Polar
4 Ecuaciones Parametricas
5 Ecuacion rectangular
6 Triseccion del angulo
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1 Construccion
2 Definicion
3 Ecuacion Polar
4 Ecuaciones Parametricas
5 Ecuacion rectangular
6 Triseccion del angulo
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Caracol de Pascal
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Construccion
Pasos
1OQ|Oes el polo
2
C, a|O
C, a
3 C, a
2
|OC, a4 S| S
C, a
2
5CS|CSRadio de
C, a
2
6 l | lCS Sl .Es decir les tangente a
C, a
2 por
S.7 m |ml Om
8 lm=P
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C i D fi i i E i P l E i P i E i l T i i d l l
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1 Construccion
2 Definicion
3 Ecuacion Polar
4 Ecuaciones Parametricas
5 Ecuacion rectangular
6 Triseccion del angulo
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C t i D fi i i E i P l E i P t i E i t l T i i d l l
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Construccion Definicion Ecuacion Polar Ecuaciones Parametricas Ecuacion rectangular Triseccion del angulo
Definicion como lugar geometrico
Definicion
El caracol de pascal es el lugar geometrico determinado por Pcuando Sse mueve sobre la
C, a
2
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Indice
1 Construccion
2 Definicion
3 Ecuacion Polar
4 Ecuaciones Parametricas
5 Ecuacion rectangular
6 Triseccion del angulo
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Ecuacion Polar
Ecuacion Polar
Ahora para hallar la ecuacion polar vamos a hallar OT, pues
necesitamos dicha longitud para trabajar con el OPT, peropodemos observar que OT =OC+ CT, de donde OC=a,entonces OT =a + CT.
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Para hallar CT, tomamos elCST, aplicando cos tenemos:
cos =a
2
CT
CT =a
2
cos
CT = a2sec
Conociendo CT , podemos decir que OT =a + a2sec
entonces OT =a(1 + 12sec ).
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Ahora, para hallar OP, en el OPTaplicamos cos
cos =OP
OT
Y as tenemos que cos OT =OP, entonces
a cos +a
2
Finalmente,
Ecuacion polar
r=OP=a cos +a
2
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g g
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1 Construccion
2 Definicion
3 Ecuacion Polar
4 Ecuaciones Parametricas
5 Ecuacion rectangular
6 Triseccion del angulo
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g g
Hallando las ecuaciones parametrias
Ecuaciones parametricas
Ahora, como ya tenemos nuestra ecuacion polar vamos ahallar las ecuaciones parametricas, para esto tomamos elOPTaplicamos cos = OP
OT
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Ecuacion Parametrica en x
Trazamos una perpendicular a OT por Py llamamos al puntode interseccion K , de donde OK =x y KP=y
Para la coordenada de xdecimos que
cos =OX
OP
x= cos (a cos +a
2)
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Finalmente, la ecuacion parametrica para x es:
Ecuacion Parametrica en x
x=a cos2 +a
2cos
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Ecuacion parametrica en y
Para las coordenadas de y, usamos sin es decir:
=PK
OP
PK=OPsin
PK= sin (a cos +a
2)
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Como PK =y entonces
Ecuacion Parametrica en y
y=a sin cos +a
2
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1 Construccion
2 Definicion
3 Ecuacion Polar
4 Ecuaciones Parametricas
5 Ecuacion rectangular
6 Triseccion del angulo
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C
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Coordenadas rectangulares
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C d d l
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Coordenadas rectangulares
Coordenadas rectangulares
Para comenzar, nos centraremos en el OPKy en lo quehasta ahora hemos venido haciendo, entonces, en estetriangulo, tenemos que
r=x2 +y2
y ademas, en el mismo triangulo, tenemos que:
cos = OKOP
= xx2 +y2
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C d d l
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Coordenadas rectangulares
Coordenadas rectangulares
Ahora, en la coordenada polar que inicialmente habamosobtenido(r=acos + a
2), reemplazamos estos valores obtenidos
para ry cos , es decir, vamos a obtener:
x2 +y2 =a
x
x
2
+y2
+a
2
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Finalmente, la ecuacion rectangular sera:
Ecuacion rectangular
(x2 +y2 ax)2 = a2
4(x2 +y2)
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I di
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Indice
1 Construccion
2 Definicion
3 Ecuacion Polar
4 Ecuaciones Parametricas
5 Ecuacion rectangular
6 Triseccion del angulo
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C t i d l t i i
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Construccion de la triseccion
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D t i
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Demostracion
Para mostrar el metodo para trisecar un angulo con Elcaracol del Pascal, vamos a trabajar con el OPTy vamos atomar un punto A que pertenezca a la curva, en seguidatrazamos FAvamos a tener que:
OB=OP
Puesto que son radios de la
O, a, pero tambien vamos atener que:
AF =OB=OP
Esto por una propiedad que cumple el caracol de Pascal.
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Ahora bien, vamos a trazar una recta m tal que mFA por elpunto O, es decir, por el polo. Esta recta paralela, es la queempieza a trisecar al AOB.
Tambien tenemos que los FOP y OPA son isosceles, porconstruccion tenamos que el OFP= y como los triangulosson isosceles resulta que:
AOP= OAP
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Ademas, tenemos que: mAOP=mOAP=
2
Y por otro lado, mBOP= 2
De acuerdo a lo anterior tenemos:
mAOB=mBOPmAOP
Luego, al sustituir se obtiene:
mAOB= 2
2
mAOB= 32
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Triseccion
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Triseccion
Y finalmente podemos concluir que
Triseccion del angulo
mOAP=mAOB
3
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