Post on 03-Apr-2020
UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID
VIGAS
Carlos Navarro
Departamento de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras
VIGAS LAMINADAS
VIGAS LAMINADAS
Hipótesis:
1.- Se supone aplicable la hipótesis de Euler-Bernoulli: Las seccionesplanas transversales y ortogonales a la directriz (plano medio dellaminado) permanecen planas y ortogonales a la directriz una vezque la viga haya flectado.
2.- La viga es simétrica, tanto en geometría como en propiedades, respecto de su plano medio
3.- Cada lámina presenta un comportamiento lineal, no existiendoacoplamiento entre tensiones normales y deformaciones angulares(las posibles orientaciones de las láminas son 0º o 90º)
VIGAS LAMINADAS
Hipótesis (Cont.):
4.- La láminas trabajan solidariamente unas con otras
5.- Las únicas componentes tensionales no nulas son: σx y τxz
VIGAS LAMINADAS
1
izi
zi-1
z0=0
N/2
h
b
zy
x
VIGAS LAMINADAS
FLEXIÓN PURA:
MM
Plano mediox
yz
z
Laminado antes de flectar
VIGAS LAMINADAS
M viene expresado por unidad de ancho de la viga (Mtotal=M.b)
z
y
x
ρθM
M
Laminado después de flectar
Plano medio
z
( ) ( )
curvatura xy)plano elpor (definido medio plano el desde distancia
anterior figura laen definido ángulo flexión la durante medio plano del curvatura de radio
:donde
====
⋅==−+
=
κ
θρ
κρρθ
ρθθρε
z
zzzzx
DEFORMACIONES POR FLEXIÓN (Primera hipótesis)
VIGAS LAMINADAS
( ) ( ) ( )
( )
( )x dirección laen
j lámina la de allongitudinn Deformació x dirección
laen j lámina la de Young de Módulo :donde
: j lámina laen Tensión
ésima
ésima
ésima
=
=
=
jx
jx
jxjxjx
E
E
ε
εσ
TENSIONES POR FLEXIÓN (Tercera hipótesis)
VIGAS LAMINADAS
( ) ( ) ( ) κρ
σ ⋅⋅== zEzE jxjxjx
VIGAS LAMINADAS
( ) ( )
curvatura xy)plano elpor (definido medio plano el desde distancia
anterior figura laen definido ángulo flexión la durante medio plano del curvatura de radio
:donde
====
⋅==−+
=
κ
θρ
κρρθ
ρθθρε
z
zzzzx ( ) ( ) ( )
( )
( )x dirección laen
j lámina la de allongitudinn Deformació x dirección
laen j lámina la de Young de Módulo :donde
: j lámina laen Tensión
ésima
ésima
ésima
=
=
=
jx
jx
jxjxjx
E
E
ε
εσ
EQUIVALENCIA ENTRE EL MOMENTO EXTERIORY LAS TENSIONES EN LA VIGA LAMINADA (Segunda hipótesis)
( ) ( )∑
∫∫∫
∫
=−−=
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+++=
==
−
2
1
31
3
0
0
32
2
2
1
2
1
1
2
/N
jjjjx
z
zx
z
zx
z
x
x
zzE
dzzdzzdzz
dzzM
n
n
h
ρ
σσσ
σ
L
VIGAS LAMINADAS
(1)
VIGAS LAMINADAS
( ) ( )∑=
+−=2
1
23
3
13332 /N
jjx zjE
NhM
ρ
Si el número de láminas (N) fuera impar, dividiríamos la lámina del plano medio en dos idénticas que tuvieran la mitad de espesor de esta lámina (de esta manera convertiríamos el número total de láminas en un número par), resultando:
( )13332 2
2
13
3
+−=
=
∑=
jjENhM
Njhz
N
jjx
j
)(ρ
(2)
VIGAS LAMINADAS
Si el material de la viga presentara un comportamiento lineal,
homogéneo e isótropo:
ρρ 12
3EhEIM y ==
12
3hanchodeunidadporinerciademomentoI
donde
y ==
:
(3)
VIGAS LAMINADAS
( )
( )1338
8
22
13
31
32
13
+−=
−=
∑
∑
=
−=
jjEN
E
ó
zzEh
E
N
jjxf
jj
N
jjxf
)(
)(
Comparando las ecuaciones (1), (2) y (3), cabe definir, para
la viga laminada, un módulo de elasticidad equivalente a flexión
de la siguiente manera:
VIGAS LAMINADAS
Mdx
wdIE yf =− 2
2
Para, por ejemplo, calcular flecha o la elástica:
VIGAS LAMINADAS
( ) ( )
( ) ( ) ( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡==
==
=
f
jx
yjx
yfjx
fyf
jxjx
EE
IMzzE
IEM
hEIEM
zE
σ
σ
ρρ
ρ
12
3
Alternativamente a expresiones anteriores, las tensiones
en cada lámina pueden calcularse como:
x
M
VIGAS LAMINADAS
L
M
z
EJEMPLO DE VIGA SOMETIDA A FLEXIÓN PURA
1
23
( ) ( ) ( )123 xxx EEE >>
( ) ( ) ( )231 xxx EEE <=Materialisótropo
VIGAS LAMINADAS
Lámina jésima a 0º en compresiónCriterio de máxima tensión
( )
( ) jj
cyf
j
zEXIE
M1
=
=
max
cxmax
ésima
X:cuando rompe j lámina La
σ
CRITERIO DE ROTURA:
VIGAS LAMINADAS
Lámina jésima a 90º en tracciónCriterio de máxima tensión
( )
( ) jj
tyf
j
zEYIE
M2
=
=
max
txmax
ésima
Y:cuando rompe j lámina La
σ
CRITERIO DE ROTURA (Cont):
VIGAS LAMINADAS
Fabricación y diseño de vigas
Fabricación:– pultrusión– filament winding– moldeo a mano– preimpegnados– moldeo por inyección de resina
Diseño:– Minimizar el área de la sección transversal
(peso)– Incrementar el momento de inercia
• aumento de las dimensiones de la sección– Típicamente, se trabaja con elementos
prismáticos
VIGAS
Consideraciones:– Longitud >> ancho y canto– Vigas sometidas, principalmente, a
flexión– Columnas sometidas, principalmente
a compresión axial– Árboles de transmisión sometidos,
principalmente, a torsión
VIGAS A TRACCIÓN
PP
Plano mediox
yz
z
h
La carga P viene dada por unidad de ancho del laminado
VIGAS
{ } [ ] { }
{ } [ ] { } N/m
0
02
2
enAN
A
dzQNh
h
ε
ε
⋅=
⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−∫
43421
/
/
PRIMERA MANERA DE TRATAR EL PROBLEMA:
VIGAS
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
′′′′′′′′′
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
00
00
662616
262212
161211
0
0
0
0
0
0
662616
262212
161211
P
AAAAAAAAA
AAAAAAAAAP
xy
y
x
xy
y
x
γεε
γεε
ESTADO DE CARGAS:VIGAS
h Nx=P
hPhP
PhP
x1111
0x
x
110x
x
A1
AεσE
Aε
σ
′=
′
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
==
′=
=
0
Nx=P
DEFORMACIONES EN EL LAMINADO
VIGAS
TENSIONES EN EL LAMINADO
{ } { }0
0
0
0
εγεε
γεε
ε =⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
xy
y
x
k
xy
y
xk
Lámina k-ésima:
{ } [ ] { } [ ] { }0εεσ kk
kk QQ ==
VIGAS
SEGUNDA MANERA DE TRATAR EL PROBLEMA:
{ } { } [ ] { }kk
k S σεε == 0
k
kx
Ex
0x
σε =
∑∑ ⋅⋅=⋅=
⋅⋅=⋅
=
kk
k
kk
kx
kk
kkx
kkx
hEhP
hEh
E
0xx
0xx
0xx
ε)(σ
εσ
εσ
VIGAS
h
hEE k
kk∑ ⋅
=x
x0
Definiendo:
hP
E
EhP
hEhEhP
x
kk
k
kk
kx
0
00
0
1
x
0x
0xx
0xx
0xx
ε
εσ
εε)(σ
=
⋅==
⋅⋅=⋅⋅=⋅= ∑∑
VIGAS
VIGAS A FLEXIÓN
MM
Plano mediox
yz
z
M viene expresado por unidad de ancho de la viga (Mtotal=M.b)
VIGAS
{ }⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=00M
MMM
M
xy
y
x
ESTADO DE CARGAS:
VIGAS
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
′′′′′′′′′
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
00
00
662616
262212
161211
662616
262212
161211
M
DDDDDDDDD
DDDDDDDDDM
xy
y
x
xy
y
x
κκκ
κκκ
Laminado simétrico sometido a flexión, solamente
VIGAS
Mx=M
Mx=M
113fx
3y
xyfx
x11x11x
Dh12E
hb121I
ρ1
IEM
ρ1MDMDκ
′=∴
=
=
=′=′=
DEFORMACIONES EN EL LAMINADO
VIGAS
TENSIONES EN EL LAMINADOEn laminados simétricos a flexión suele utilizarse una tensión máxima
equivalente, cuya expresión es:
0062 === f
xfy
fx h
M τσσ
Podríamos escribir:
{ } { }Mh
hM
f2
26
00
6
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=σ
VIGAS
DEFORMACIONES A FLEXIÓN
Llamamos deformación máxima equivalente a:
{ } { }κε2hf =
{ } { } [ ] { }MDhhf 1
22−== κε
MDh
MDh
MDh
fxy
fy
fx
16
12
11
2
2
2
′=
′=
′=
γ
ε
ε
VIGAS
z
x x
z
M
Como suponemos que las deformaciones varían linealmente a lo largo
del espesor del laminado, podemos calcular las deformaciones en cualquier
lámina y, por tanto, las tensiones a las que se encuentra sometida
VIGAS
Las vigas de materiales compuestos presentan efectos combinados de flexión y cortante– δ= δb + δs– δb controlado por EI– δs controlado por GA
Nota:– La contribución a los movimientos del cortante es
despreciable frente a los de flexión en vigas metálicas porque el módulo de corte es bastante alto --> G~E/2,5
– Sin embargo, en materiales compuestos noEjemplo: AS4/3501-6: E1=142 GPa; E2=10,3 GPa;G12=7,2 GPa
VIGAS
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA ELASTICA
( )2
32
22
1
1
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
−==
dxdw
dxwd
EIxM
ρ1<<dxdw
( )2
2
dxwd
EIxM
−=
+ 1
xw
z
VIGAS
Análisis de vigas de material isótropo– Definiciones
• κ = curvatura• ρ = radio de curvatura• M = momento flector• E =módulo de elasticidad• I = momento de inercia de la sección
respecto del eje neutro• w = flecha• Q = esfuerzo cortante• q = carga por unidad de longitud
– Solución• requiere integración • condiciones de contorno
4
4
3
3
2
2
2
2
1
xw
EIxq
xw
EIxQ
xw
EIxM
xwEIM
∂∂
=
∂∂
−=
∂∂
−=
∂∂
−=
==
)(
)(
)(
κ
ρκ
VIGAS
Propiedades geométricas y del materialPropiedades geométricas:– área, momento de inercia, etc.
Propiedades elásticas del material:– E, G, etc.
En materiales homogéneos podemos separar ambos conjuntos de propiedadesNo lo podemos hacer en materiales compuestos– Las propiedades del material varían lámina a
lámina
VIGAS
Procedimiento de análisis de vigas– Usamos la teoría clásica de vigas para
analizar la estructura– Usamos la teoría clásica de laminados para
calcular las rigideces efectivas a flexión (EI) ó a cortante (GA) para el laminado de la viga
– Calculamos la distribución de deformaciones en la viga
– Calculamos las tensiones y deformaciones para cada una de las láminas
– Aplicamos el criterio de fallo
VIGAS
GAqL
EIqL
max
24
81
3845 +=δ
GAqL
EIqL
max
24
81
3841 +=δ
q
q
Análisis de vigas de material isótropoFlechas máximas para diseño:
VIGAS
Análisis de vigas de material isótropo
GAPL
41
EIPL
481 3
max +=δ
P
GAPL
41
EIPL
1921 3
max +=δ
P
VIGAS
Análisis de vigas de material isótropo
EIML
max 82
=δ
GAPL
EI3PL3
max +=δ
M
P
M
VIGAS
Análisis de vigas de material isótropo
GAqL
EIqL
max
24
21
81 +=δ
q
VIGAS
Diseño frente a movimientosDebemos tratar de maximizar Ex en las alas y Gxy en el almaEx se incrementa con el número de láminas a 0 grados– Esto compromete los valores de Gxy y Sxy
Gxy se incrementa con el número de láminas a 45 grados
VIGAS
tensiónmáxima sección la de inercia de momento
vigala deinferior osuperior cara la a neutro eje del distancia
flector momento
==
==
=
σ
σ
I
cM
IMc
Diseño resistente
NOTA: debe chequearse tanto tracción como compresión
FLEXIÓN:
VIGAS
Diseño resistente
( )( ) ó ct XX
MSeguridadCoefW
cIW
⋅=
=
.
MÓDULO RESISTENTE DE LA SECCIÓN:
compresión a aresistenci traccióna aresistenci
=
=
c
t
XX
VIGAS
alma delEspesor inercia de Momento
estático Momentocortante Esfuerzo
==
==
=
hI
QIh
Q
est
est
M
Mτ
CORTANTE:
Diseño resistente
VIGAS
( )cortante a aResistenci =
≤=
xy
xyest
SSeguridadCoefS
IhQ
.maxMτ
Diseño resistente
VIGAS
VIGAS
L
h D Hipótesis:
h<<DM
TORSIÓN
VIGAS
Deformaciones:
66
060
62
0 12S
EhEDM
==π
γ
Tensiones:
hDM
20 2
πτ =
Giros:
4
3
06
hDIIE
MLO
O
πθ ==
VIGAS
PANDEOHay que comprobar la seguridad frente a pandeo para vigas sometidas
a compresión, dado que los materiales compuestos son muy flexibles y,
por tanto, presentan mayor riesgo de pandeo que si, por ejemplo, la viga
estuviese fabricada de acero.
Experimentalmente, se ha comprobado que, la formulación de Euler para
pandeo de vigas de material isótropo es aplicable al caso de los materiales
compuestos.
VIGAS
L
P
124
3
2
2 bhIL
IEPf
crit ==π
2
2
LIEP
f
critπ
=L PP
L PP2
24L
IEPf
critπ
=
VIGAS
COMPROBACIÓN DE SEGURIDAD FRENTE A PANDEO:
.. SegCoefPP crit<