Post on 22-Aug-2015
De aquí en adelante se realizará un estudio del origen de algunasecuaciones expresadas en coordenadas polares, tenga en cuenta que
al principio solo mostrará copia del texto y luego la demostraciónde las ecuaciones que son propias de los estudiantes de la maestría,
solicitamos paciencia a aquellas personas que no requieren tantoformalismo al escribir paso a paso de donde viene cada ecuación
Gracias.
Donde σT es St
El espesor “t” es dr
Para los propósitos de esta presentación, como los dos problemas que se expondrán tienen como base común el uso de coordenadas polares para problemas de dos dimensiones, recordemos que la relación entre cambios de coordenadas polares a rectangulares se da por estas ecuaciones: cosrx senry
;
De donde por relaciones trigonométricas queda que: ;222 ryx
x
yarctan
;
Ahora bien si se deriva todas las ecuaciones anteriores respecto a las variables “x” e “y” queda:
seny
r
r
rsen
r
y
y
r
y
rry
y
rr
y
yyr
yy
yx
yr
yyx
yy
rx
r
r
r
r
x
x
r
x
rrx
x
rr
x
xxr
xy
xx
xr
xyx
xx
r
ryx22
coscos
22
222222
222222
222
rxr
r
r
x
yxx
x
y
x
yxx
y
x
y
yyx
y
x
y
x
y
y
yx
y
yyy
r
sen
xr
rsen
yx
y
x
x
yxx
y
x
x
y
xxy
x
x
y
x
y
x
xx
y
xxx
x
y
coscos1
1
1
1
arctan
1
1
1
arctan
arctan
2222
2
2
2222
222
2
22
2
22
Por lo cual: ryr
sen
xsen
y
r
x
r cos,,;cos
Ecuaciones 1.
,rf
yxgr , yxh ,
Por otro lado, con la regla de la cadena se tiene que en una función de dos variables
, donde
y
f
y
r
r
f
y
f
x
f
x
r
r
f
x
f
Si se sustituyen las funciones de las derivadas respecto a “x” e “y” queda:
f
rr
fsen
y
f
f
r
sen
r
f
x
f
cos
cos
Aplicando la segunda derivada a las relaciones anteriores queda:
rxf
senf
rsen
rf
rsen
rxf
senr
frf
rsen
rxf
senx
fxr
rf
rsen
rsen
xff
xrsenf
rsen
xB
Arsen
rf
rf
rsen
rf
rf
xrf
xrf
xr
rf
xrf
rf
xrf
xA
fr
senxr
fx
fr
senxr
fx
fr
senrf
xxf
BA
1coscos
1coscos
1
coscos
0coscoscoscoscoscoscos
coscoscos
2
2
2
2
2
22
2
22
22
2
2
2
2
22
2
2
x
f
x
f
x
r
xr
f
x
f
x
f
x
r
r
f
xxx
ff
xxx
f
xB
x
r
r
f
x
r
xr
f
x
r
r
f
x
r
r
f
xr
f
x
r
r
f
x
r
x
r
xr
f
r
f
xx
r
x
r
r
f
xA
x
f
xx
r
r
f
xx
f
x
f
x
r
r
f
xx
f
xBA
2
22
2
22
2
2
2
22
2
222
2
2
2
22
2
2
2
2
x
f
x
r
r
f
x
r
xr
f
x
f
x
r
r
f
x
f
x
f
x
r
xr
f
x
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r
f
x
r
xr
f
x
r
r
f
x
f
xx
r
r
f
xx
f
BA
2
2
2
222
2
22
2
2
2
22
2
22
2
222
2
2
2
2
2
DCr
sen
r
sen
xx
r
x
f
x
r
r
f
x
r
xr
f
x
f
x
r
r
f
x
f2
2
2
2
cos
22
2
22
cos
2
2
2
2
2
Sustituyendo las dos últimas expresiones resulta:
Sustituyendo los valores de las parciales de las ecuaciones a en la expresión anterior resulta:
frsen
rsensenf
r
senr
senrf
rxr
sensenx
rfr
senx
fx
fD
rf
rsen
xsen
rf
xrf
xr
rf
C
r
sen
2
22
22
2
2
2
2
cos2
coscoscoscos
cos
r
sen
r
f
r
senf
r
sen
r
f
r
senf
r
f
x
f 2
2
22
22
22
2
2
2
2 cos2
cos2cos
Pero las expresiones C y D son:
Luego:
rr
f
r
senf
r
sen
r
f
r
fsen
r
f
y
f 2
2
22
22
22
2
2
2
2 coscos2
cos2
cos
rr
rr
sen
r
f
rr
senfsen
r
f
y
f
x
f
1
22
1
2
2
2
22
2
1
22
2
2
2
2
2
2 coscoscos
2
2
2
22
2
2
2
2
2 11
f
rr
f
rr
f
y
f
x
f
0211
2
2
2
222
4
4
22
4
4
4
,2,,2224
y
f
x
fDD
y
f
yx
f
x
ff
rf
rfff yxyyxxx
0111111
2
2
22
2
2
2
22
2
,2,,2224
f
rr
f
rr
f
rrrrf
rf
rfff rrr
Con un procedimiento similar se obtiene que:
Sumando miembro a miembro ambas ecuaciones queda:
Pero si a la ecuación anterior se le aplica la identidad (invariante ó ecuación biarmónica)
Queda:
Ec. 2. Ecuación base para los problemas de elasticidad en coordenadas polares
r
01
,01
2
2
22
2
2
f
rr
Caso particular: Distribución de Tensiones simétricas respecto a un eje en coordenadas polaresCaso particular: Distribución de Tensiones simétricas respecto a un eje en coordenadas polares..Supongamos que hay una distribución de tensión que tiene simetría al eje perpendicular al polo y el definido por “ ” y “ “en este caso las componentes de la tensión no dependen del ángulo sino del radio.
En ese caso se tiene que en la ecuación anterior:
Por lo cual la ecuación base se reduce a:
Pero para cualquier objeto “”, el operador es:
Luego Como: y
El operador biarmónico queda reescrito así:
Con esta última ecuación se calculará f, para ello hay al menos dos formas de resolver esta ecuación diferencial:
o se supone una solución o se puede proceder de la siguiente manera (integrando sucesivamente respecto a r):
Si … …Al integrar respecto a r resulta:
Si … …Al integrar respecto a r resulta:
0111
2
2
2
2
,,2224
r
f
rr
f
rrrf
rfff rrr
rrr r
rr
rrrr
rrrrr
rrrrrr
,,,2
2
2
22 11111
,,
rrr
r ,,224 1
rrr
r ,,
1 f
011
,,,,
224
rrrrfr
rr
rff
ter
001
,, rrr 1c
r
cfr
r
cfrr
r
cfrr
rc
rrr
rrr
rrr
1
,,,
1,
,,
1,
,,1
1
1
1
3
22
21,
3
2
2
22
1, 222
crcLnrrcfr
cr
cr
Lnrr
cfr
r
r
Si … Al integrar respecto a r resulta:
Al redefinir constantes queda: Ec. 3.
Ecuación base para el cálculo de las tensiones simétricas respecto a un eje en coordenadas polares
Con esta ecuación se hallan las componentes de la tensión tanto en las coordenadas por “ r ” y “ ”.
Para esto basta sustituir la función anterior en las ecuaciones 1 y resulta:
Ec. 4. Componentes de las tensiones simétricas respecto a un eje en coordenadas polares
r
crcrLnrcf
crcLnrrcfr
crcLnrrcfr
r
r
r
321,
32
22
1,
32
22
1,
43
2
2
22
1 222cLnrc
rc
rLnr
rcf
432
22
1 cLnrcrcLnrrcf r
0
223
2211
23
212
2
23
21
r
rr
r
ccLnrc
r
f
r
ccLnrc
r
f
r
Distribución de Deformaciones en coordenadas polaresDistribución de Deformaciones en coordenadas polares..
Debido a que el sistema de coordenadas polares es ortogonal, las ecuaciones de la Ley de Hooke pueden ser escritas
haciendo un simple cambio de coordenadas “x” e “y” por “” respectivamente[1], en las ecuaciones cartesianas. Es decir:
Ec. 5. Relaciones de deformación y desplazamiento en coordenadas polares
Caso particular: Distribución de Deformaciones simétricas respecto a un eje en Caso particular: Distribución de Deformaciones simétricas respecto a un eje en coordenadas polarescoordenadas polares.. Al sustituir las ecuaciones 4 en la primera de 5 queda:
Integrando la ecuación anterior respecto a “r” queda:
[1] En problemas en el plano que sean de medios isotrópicos
rrrr
r
rrr
rrrrr
rr
gr
uu
r
u
r
u
r
uu
r
vE
urr
uu
rr
u
vE
ur
u
11
111
1
,,
,
,
23
21123
2123
21,
1121231
1223221
11
r
cvcvLnrcvcv
Er
ccLnrcv
r
ccLnrc
Ev
Eu rrrr
f
r
cvrcvrcvrLnrcv
Edr
r
cvcvLnrcvcv
Eur
32112
3211
112112
11121231
1
fr
cvrcvrcvrLnrcv
Eu r
3211
112112
1
Igual procedimiento se hace con las otras ecuaciones:
Pero , por lo cual la queda:
Integrando la ecuación anterior respecto a “ ” queda:
Lo que queda es determinar las funciones y , para esto se sustituyen las ecuaciones anteriores en la
Expresión
r
r
rrr
ur
cvcvLnrcvcv
E
r
r
u
r
cvcvLnrcvcv
Eru
r
cvcvLnrcvcv
Er
ccLnrcv
r
ccLnrc
Ev
Eu
rr
u
23
21123
211,
23
21123
2123
21,
112123
112123
1
112123
1221223
111
fr
cvrcvrcvrLnrcv
Eu r
3211
112112
1 ,u
fE
rcu
fE
rcv
E
rcv
E
rLnrcv
E
rLnrcv
E
rcv
E
rcv
Er
cv
Er
cv
fEr
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E
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E
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E
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Er
cv
E
rcv
E
rLnrcv
E
rcv
fEr
cv
E
rcv
E
rcv
E
rLnrcv
Er
cv
E
rcv
E
rLnrcv
E
rcv
fr
cvrcvrcvrLnrcv
Er
cvcvLnrcvcv
E
ru
E
rc
1,
4
11
0
11
0
22
0
33
32113211
32113211
32112
3211,
4
131212121211
112112112123
112112112123
112112
1112123
1
rfdf
E
rcdf
E
rcuf
E
rcu 1
111,
444
rfdfE
rcu 1
14
f rf1
r
uuu
r rrr
,,
1
r
rfdf
rrf
rf
r
r
rfdf
rrf
rE
c
E
cf
rr
rfdf
rE
crf
rE
cf
r
r
rfdfE
rc
rfdfE
rc
rf
r
cvrcvrcvrLnrcv
Err
uuu
r
r
r
r
rfdf
rE
crf
rE
cf
r
rrr
11
11
0
11111
1
14
11
4
11
1
3211,,
11
14411441
441
12112111
11
11
r Pero es cero, la ecuación anterior queda:
Por lo que finalmente las expresiones para los desplazamientos son:
Ec. 6. Ecuaciones del desplazamiento simétricas respecto a un eje en coordenadas polares
0
11 11
r
rfdf
rrf
rf
rr
rcrfCLnrLnrfLn
r
dr
rf
rdfrfrf
dr
dr
r
rfrf
r 61611
111
11 0
CoscSencfimm
yyfd
fddfd
d
dfddf
d
dfdf
rf
r
542
2
2
101
0´´011
rcrfcsencf 6154 ;cos
rccsencE
rcu
csencr
cvrcvrcvrLnrcv
Eur
6451
543
211
cos4
cos1
121121
Aplicaciones:Tubo Cilíndrico:Tubo cilíndrico con diferencia de presiones en las caras interior y exterior.El caso del tubo cilíndrico es uno donde se aplica la simetría respecto a un eje y tiene numerosas aplicaciones. Supongamos la siguiente situación: hay un tubo cilíndrico en donde la superficie externa e interna del tubo están sometidas a una presión y respectivamente. Por otro lado, la superficie externa tiene un radio y la interna .
Matemáticamente se establecen las siguientes condiciones de borde:
Determinemos las componentes de las tensiones: Sustituyendo las condiciones de borde o frontera en las ecuaciones 4 resulta:
En donde hay dos ecuaciones con tres incógnitas. No obstante con la ecuación: evaluándola para distintos valores del ángulo
queda:
Resulta que . Luego:
Al resolver el sistema anterior queda:
Por lo cual al sustituir las constantes anteriores en las ecuaciones de las tensiones resulta: Ecuaciones las tensiones de un cilindro sometido a presión interna y externa (simétrica respecto a un eje en coordenadas polares)
0p ip 0r ir
iirr
rr
pr
pr
00
23
21
20
320100
221
221
i
iiirr
rr
r
ccLnrcpr
r
ccLnrcpr
u
rccrccsencE
rcu 64645
1)0( 0cos0
04
0ic
23
2
20
320
2
2
i
ir
ccp
r
ccp
220
20
2
322
200
2
22
,2 io
ii
io
ii
rr
pprrc
rr
rprpc
222
02
02
22
200
2
222
02
02
22
200
2
io
ii
io
ii
io
ii
io
iirr
rrr
pprr
rr
rprp
rrr
pprr
rr
rprp
Determinemos las deformaciones:Sustituyendo las ecuaciones anteriores en las ecuaciones 5 queda:
222
02
02
22
200
2
222
02
02
22
200
2
222
02
02
22
200
2
222
02
02
22
200
2
222
02
02
22
200
2
222
02
02
22
200
2
11111
11111
io
ii
io
ii
io
ii
io
ii
io
ii
io
iirr
io
ii
io
ii
io
ii
io
ii
io
ii
io
iirrrr
rrr
vpprr
rr
vrprp
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rr
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rrr
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rr
rprp
Ev
E
rrr
vpprr
rr
vrprp
Errr
pprr
rr
rprpv
rrr
pprr
rr
rprp
Ev
E
222
02
02
22
200
2
222
02
02
22
200
2
111
111
io
ii
io
ii
io
ii
io
iirr
rrr
vpprr
rr
vrprp
E
rrr
vpprr
rr
vrprp
E
Vista frontal completa de un cilindro de pared gruesa, presurizado interna y externamente.
(a) con los esfuerzos que actúan sobre el cilindro; (b) con los esfuerzos que actúan sobre un elemento
rr
rrr
dr
dr
ddSend
drdzd
Sendzrddzddrrd
2)
2(_/
0)2
(2))((
(Ecuación 1)
PlanteandoEquilibrio
Figure 10.4 Elemento cilíndrico polar, antes y despues de la deformación.
Figura
Ley de Hooke
(Ecuación 3)
(Ecuación 2)
,,: rrIncognitas
Presurizados Internamente
Presurizados ExternamenteAplicando condiciones de frontera:σr =-Pi en r=ri
σr=-Pi en r=ro
(Ecuación 4)
Sustituyendo Ec1 en Ec2 y Ec3
Donde Ec4 se puede expresar como:
Integrando y simplificando:
Sustituyendo Ec5 y Ec6 en Ecuación3:
(Ec6)
(Ec5)
De la Ecuación 2:
Integrando de nuevo:
• Mecánica de los Materiales
Timoshenco y Gere. Cuarta Edición.
International Thomson Editores .
• Mecánica de los Sólidos
Edgor P. Popov. Segunda Edición.
Pearson Educación.
BibliografíaBibliografía