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Bárbara Cánovas Conesa
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Cinemática
Posición de un Cuerpo
Coordenadas Cartesianas Coordenadas Polares Vector de Posición
(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑟,q 𝑟
Elementos para la descripción del movimiento
1. Sistema de Referencia.
2. Trayectoria.- camino seguido por un objeto cuando se mueve.
3. Espacio recorrido o desplazamiento.- longitud de la trayectoria (línea
recta).
Vector de Posición y Vector Desplazamiento
Vector de posición
Es un vector que tiene su origen en el origen de coordenadas y su extremo está situado en la posición del móvil en un
instante determinado.
𝑟 = 𝑟𝑥 + 𝑟𝑦 + 𝑟𝑧 = 𝑥 𝑖 + 𝑦 𝑗 + 𝑧 �⃗⃗�
Los vectores 𝑖 , 𝑗 y �⃗⃗� son vectores unitarios de dirección de los ejes X, Y y Z respectivamente.
El módulo del vector de posición indica la distancia al origen:
|𝑟| = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
Ecuación del movimiento: es la ecuación que se obtiene al expresar 𝑟 en función del tiempo.
𝑟(𝑡) = 𝑥 (𝑡) · 𝑖 + 𝑦 (𝑡) · 𝑗 + 𝑧 (𝑡) · �⃗⃗�
Vector desplazamiento
∆ 𝑟 = 𝑟2 − 𝑟1= (𝑥2 − 𝑥1) 𝑖 + (𝑦2 − 𝑦1) 𝑗
Vector de Posición Vector de Desplazamiento
x
y
trayectoria
P (x, y, z)
x
y
z P1
x
y
P2
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Física _ 1º Bachillerato
Velocidad
Velocidad media Velocidad instantánea
𝑣𝑚=∆𝑟
∆𝑡 =
𝑟2 − 𝑟1𝑡2 − 𝑡1
= 𝑚 𝑠𝑒𝑔⁄ 𝑣 = 𝑙𝑖𝑚𝑡→0
∆ 𝑟
∆𝑡 =
𝑑𝑟
𝑑𝑡
Magnitud vectorial cuya dirección y sentido coincide con los del ∆ r⃗
Magnitud vectorial tangente a la trayectoria en cada punto de la misma y que puede expresarse en función de sus coordenadas cartesianas:
𝑣 = 𝑣𝑥 + 𝑣𝑦
𝑣 = 𝑣𝑥 𝑖 + 𝑣𝑦 𝑗
|𝑣| = √𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦2
Aceleración
La aceleración es el cambio que experimenta la velocidad con la que se mueve un cuerpo en la unidad de tiempo.
Aceleración media Aceleración instantánea
�⃗�𝑚=∆𝑣
∆𝑡=𝑣2 − 𝑣1𝑡2 − 𝑡1
= 𝑚 𝑠𝑒𝑔2⁄ �⃗� = 𝑙𝑖𝑚𝑡→0
∆ 𝑣
∆𝑡
Magnitud vectorial cuya dirección
y sentido coincide con los de la
variación de velocidad.
Aceleración del móvil en un instante o en una posición determinada de su
trayectoria.
Magnitud vectorial que puede expresarse en función de sus coordenadas
cartesianas:
�⃗� = �⃗�𝑥 + �⃗�𝑦 �⃗� = 𝑎𝑥 𝑖 + 𝑎𝑦 𝑗
Componentes intrínsecas de la aceleración
El vector aceleración en un punto de la trayectoria puede descomponerse en 2 vectores, uno tangente a la
trayectoria (aceleración tangencial) y el otro normal a la trayectoria y perpendicular al anterior (aceleración
normal)
�⃗� = �⃗�𝑡 + �⃗�𝑛 𝑎 = √𝑎𝑡
2 + 𝑎𝑛2
�⃗�𝑡 = 𝑑𝑣
𝑑𝑡· �⃗⃗�𝑡 → Módulo
𝑎𝑁 = 𝑣2
𝑅 → Dirección
x
y
x
y
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Cinemática
Clasificación de los Movimientos
Movimientos
{
Trayectoria {Rectilíneos
Circulares
Velocidad {Uniformes Uniformemente Variados Variados No Uniformemente
Movimiento rectilíneo uniforme (MRU)
𝒗 =𝒔
𝒕 𝒔 = 𝒔𝟎 + 𝒗 · 𝒕
𝑡𝑔 𝛼 = 𝑣
Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA)
Trayectoria rectilínea Módulo de la velocidad varía uniformemente
�⃗�𝑁 = 0 �⃗�𝑇 = 𝑐𝑡𝑒
𝒗 = 𝒗𝟎 + 𝒂 𝒕 𝒗𝟐 = 𝒗𝟎𝟐 + 𝟐 𝒂 𝒔 𝒔 = 𝒔𝟎 + 𝒗𝟎 𝒕 +
𝟏
𝟐 𝒂 𝒕𝟐
𝑡𝑔 𝛼 = 𝑎
Caída Libre Ascensión Plano Inclinado
𝑣 = 𝑣0 + 𝑔 𝑡 𝑣 = 𝑣0 − 𝑔 𝑡 𝑣 = 𝑣0 + 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑡
𝑠 = 𝑠0 + 𝑣0 𝑡 + 1
2 𝑔 𝑡2 𝑠 = 𝑠0 + 𝑣0 𝑡 −
1
2 𝑔 𝑡2 𝑠 = 𝑠0 + 𝑣0 𝑡 +
1
2 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑡2
t (s)
v (m/s)
t (s)
s (m)
s0 0
s0 0
t (s)
v (m/s)
v0 0
v0 0
t (s)
s (m)
s0 0
s0 0
a g·sen
P
Py = g·cos
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Física _ 1º Bachillerato
Composición de movimientos
Principio de superposición de Galileo.- el movimiento resultante de un cuerpo sometido a varios movimientos se obtiene
sumando vectorialmente los movimientos, tanto si son simultáneos o sucesivos
MRU + MRU
Misma Dirección Direcciones Distintas
�⃗⃗⃗� = �⃗⃗⃗�𝟏 + �⃗⃗⃗�𝟐 �⃗⃗⃗� =�⃗⃗⃗�𝟏 − �⃗⃗⃗�𝟐
MRU + MRA
Tiro horizontal
Eje X: MRU (v0 = cte) Eje Y: MRUA (caída libre)
𝒙 = 𝒗𝟎 𝒕 𝒚 = −𝟏
𝟐 𝒈 𝒕𝟐
𝒗𝟎 = 𝒗𝒙 𝒗𝒚 = −𝒈 𝒕
𝑎𝑥 = 0 𝑎𝑦 = −𝑔
Tiro oblicuo
Eje X: MRU (v0x = cte) Eje Y: MRUA (caída libre)
𝒙 = 𝒗𝟎 𝒕 𝒄𝒐𝒔 𝜶 𝒚 = 𝒉 + 𝒗𝟎 𝒔𝒆𝒏 𝜶 − 𝟏
𝟐 𝒈 𝒕𝟐
𝒗𝟎𝒙 = 𝒗𝟎 𝒄𝒐𝒔𝜶 𝒗𝒚 = 𝒗𝟎 𝒔𝒆𝒏 𝜶 − 𝒈 𝒕
𝑎𝑥 = 0 𝑎𝑦 = −𝑔
v1= cte v2= cte v1= cte - v2= cte
x
y
x
y
ymáx
xmáx
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Cinemática
Movimientos circulares
Magnitudes angulares
Posición Angular Velocidad Angular Aceleración Angular
Ángulo o nº de vueltas Magnitud que relaciona θ con el
tiempo invertido
Magnitud que relaciona ω con un
tiempo determinado
𝜃 = 𝜃 (𝑡) {𝑟𝑎𝑑} 𝜔𝑚 =∆𝜃
∆𝑡=𝜃2 − 𝜃1𝑡2 − 𝑡1
= 𝑟𝑎𝑑 𝑠𝑒𝑔⁄ 𝛼𝑚 =∆𝜔
∆𝑡=𝜔2 − 𝜔1𝑡2 − 𝑡1
= 𝑟𝑎𝑑 𝑠𝑒𝑔2⁄
𝜔𝑖 = 𝑙𝑖𝑚∆𝑡→0
∆𝜃
∆𝑡=𝑑𝜃
𝑑𝑡 𝛼𝑖 = 𝑙𝑖𝑚
∆𝑡→0
∆𝜔
∆𝑡=𝑑𝜔
𝑑𝑡
𝒔 = 𝜽 · 𝑹 𝒗 = 𝝎 · 𝑹 𝒂𝑻 = 𝜶 · 𝑹
Movimiento circular uniforme (MCU)
Trayectoria circular Módulo de velocidad
constante
Velocidad angular
constante Movimiento periódico
𝑎 ⃗⃗⃗ ⃗𝑁= 𝑐𝑡𝑒 𝑎 ⃗⃗⃗ ⃗𝑇= 0 = 0
θ = θ0 + ω t
Periodo Frecuencia Aceleración normal
Tiempo que tarda el móvil en dar una
vuelta
Nº de vueltas que describe el móvil en
la unidad de tiempo 𝒂𝒏 =
𝒗𝟐
𝑹 = 𝑚 𝑠𝑒𝑔2⁄
𝑻 =𝟐
𝝎 = 𝑠𝑒𝑔 𝒇 =
𝟏
𝑻 = 𝑠𝑒𝑔−1 ó 𝐻𝑧
t2 P2
t1 P1q2
q1
r
P0
q0P1
q1
an
v
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Física _ 1º Bachillerato
Movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA)
Trayectoria circular Módulo de velocidad varía
Velocidad angular
constante varía
uniformemente
Aceleración angular
constante
𝑎 ⃗⃗⃗ ⃗𝑁= 𝑐𝑡𝑒 𝑎 ⃗⃗⃗ ⃗𝑇= 𝑐𝑡𝑒 = 𝑐𝑡𝑒
𝝎 = 𝝎𝟎 + 𝜶 𝒕 𝜽 = 𝜽𝟎 + 𝝎𝟎 𝒕 + 𝟏
𝟐 𝒕𝟐 𝝎𝟐 − 𝝎𝟎
𝟐 = 𝟐 𝜽
Movimiento oscilatorio armónico simple
Un cuerpo describe un movimiento periódico cuando las variables de posición, velocidad y aceleración toman los mismos valores después de un intervalo de tiempo constante denominado periodo. Un movimiento oscilatorio o vibratorio es aquel en el que el cuerpo se desplaza sucesivamente a uno y otro lado de su posición de equilibrio repitiendo para cada intervalo de tiempo sus variables cinemáticas. Cualquier cuerpo que sea apartado de su posición de equilibrio estable tenderá a recuperar el equilibrio efectuando movimientos oscilatorios alrededor de esa posición.
Una partícula tiene un MAS cuando oscila bajo la acción de fuerzas restauradoras (obedecen la ley de Hooke) que son proporcionales a la distancia respecto de la posición de equilibrio y cuyo sentido es hacia la posición de equilibrio. Un oscilador armónico es cualquier partícula o sistema con MAS.
Características
Vibración u oscilación: distancia recorrida por la partícula en un movimiento completo de vaivén.
Centro de oscilación: punto medio de la distancia que separa las dos posiciones extremas.
Elongación: distancia (y) que en cada instante separa la partícula móvil del centro de oscilación (O), tomado como
origen de las elongaciones. Coordenada de la posición de la partícula en un momento dado. Se consideran (+) los valores de esta coordenada a la derecha del punto O y (-) a la izquierda.
Amplitud: valor máximo de la elongación (A).
Periodo: tiempo empleado por la partícula en efectuar una oscilación completa (T)
Frecuencia: nº de oscilaciones efectuadas en la unidad de tiempo, es la inversa del periodo (f).
Pulsación o frecuencia angular o velocidad angular: nº de periodos comprendidos entre 2 unidades de
tiempo ().
𝑓 =1
𝑇 (𝐻𝑧)
𝜔 = 2𝜋
𝑇 (𝑟𝑎𝑑 𝑠⁄ )
P0
q0P1
q1 an
v0
v1
aT
A
Ot
y
T
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Cinemática
Ecuación fundamental
La posición, en función del tiempo, nos viene dada por:
𝑥 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑡 ± 𝛿 )
Donde:
A: amplitud : frecuencia angular t: tiempo : la fase inicial
Si el movimiento va en el sentido positivo del eje x se resta y se va en el sentido negativo se suma.
Las características del MAS son:
Como los valores máximo y mínimo de la función seno son +1 y -1, el movimiento se realiza en una región del eje X comprendida entre -A y +A.
La función seno es periódica y se repite cada 2, por tanto, el movimiento se repite cuando el argumento de la función seno se incrementa en 2.
Velocidad en el MAS
Varía de forma armónica (sinusoidal):
En función del tiempo 𝑣 =𝒹𝑥
𝒹𝑡= − 𝜔 𝐴 𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑡 + 𝛿)
En función de la posición 𝑣 = −𝜔 √𝐴2 − 𝑥2
Puntos de máxima elongación Nula 𝑣 = 0 → 𝑥 = 𝐴
Posición de equilibrio Máxima 𝑣𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑎 = ± 𝜔 · 𝐴
Aceleración en el MAS
Es una función armónica que depende sinusoidalmente del tiempo:
En función del tiempo 𝑎 =𝒹𝑣
𝒹𝑡= −𝜔2 · 𝐴 𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 + 𝛿)
En función de la posición 𝑎 = −𝜔2 · 𝑥
Posición de equilibrio Nula 𝑎 = 0 → 𝑥 = 0
Puntos de máxima elongación Máxima 𝑎𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑎 = −𝜔2 · 𝐴
A
- A
t
Po
sic
ión
T
T
4
T
2
3T
4
x
A
- A
t
Ve
loci
da
d
V = 0
V = Máx.
x
2 A
- 2 A
t
Ace
lera
ció
n
a = Máx.
a = 0
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Física _ 1º Bachillerato
El oscilador armónico simple
Dinámica
Oscilador que consiste en un cuerpo unido a un muelle horizontal. Cuando el cuerpo es apartado de la posición de equilibrio, la fuerza restauradora (𝐹 = −𝑘𝑥) tiende a devolverlo a dicha posición. Esta fuerza producirá una aceleración.
𝐹 = − 𝑘 𝑥 → 𝑚 𝑎 = − 𝑘 𝑥 → 𝑎 = −𝑘
𝑚 𝑥
𝜔 = √𝑘
𝑚
La fuerza que produce un MAS es una fuerza central, dirigida hacia el punto de equilibrio y proporcional a la distancia a este.
El periodo de un oscilador armónico depende de la masa del oscilador y de la constante restauradora del sistema, siendo independiente de la amplitud:
𝑇 = 2𝜋 √𝑚
𝑘
x = 0
F = -kx