Post on 13-Jan-2016
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CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN
Se caracterizan por una ecuacion diferencial de segundo orden, constan de resistores y el equivalente de dos elementos de almacenamiento de energia.
VS
R1
L1
C1
R CL1S
R2
VS
R1
L1 L2
R
C1IS
C2
Determinación de valores iniciales y finales:
Polaridad C v(t) C v¿
L i(t) L i ¿
El intérprete de la figura ha estado cerrado mucho tiempo se abre en t=0.
Halle:
a) i ¿,v¿b) di ¿¿,dv ¿¿c) i (∞ ) , v (∞)
12V
R1 L1
C1
R2
T=0
+88.8
Volts
.t<0
12V
R1 L1
R2
T=0+88.8
Volts
i ¿
v¿
a). . i¿
v¿
.t>0
12V
4 0,25 H
0.1F +88.8
Volts
iC=iL
iC=c .dvdt
=iL
b).
dv ¿¿
12=4 iR+v L+vc
vL=12−4(2)−4
vL=0 [V ]
Ldidt
=vL
dv ¿¿
c)
v (∞)= 12[V]
i (∞ ) ,=0[ A] Ya que la bobina y el condensador regresan al estado estable
El interruptor de la figura estuvo abierto mucho tiempo y se cero en t=0 .
Determine:
a) i ¿b) di ¿¿, dv ¿¿c) i (∞ ) , v (∞)
24 V2
0.4 H
1/20 F+88.8
Volts
10
T=0
.t<0
24R1
10
+88.8
Volts
v¿i ¿
a)i ¿v¿
t>=0
24 V2
0.4 H
1/20 F+88.8
Volts
Cdvdt
=ic
dvdt
=ic
C=i¿¿
Ldidt
=vL
didt
=vL
L=v ¿¿
i (∞ )=242
=12[A ]
v (∞ )=24=24[V ]
En el circuito de la figura calcule:a) v¿b) v (∞ ) , i (∞ ), vR (∞ )c) dv ¿¿
20V
2
4
1/2F0.6H
3U(T)[A]+88.8
Volts
Volts
+88.8
-t<0 3u(t)=0
V1
R1
R2
+88.8
Volts
Volts
+88.8
i ¿v¿vR ¿
20V
2
4
1/2F0.6H
3
20V
6
1/2F0.6H
6 V
Cdvdt
=iL
didt
=iC
C=i¿¿
LCK
1. 3=v R
2+
v ab
412=2 vR+vab
12=3 vR
vR=4 [V ]vR ¿
Ldidt
=vL
didt
=vL
L=v ¿¿
LVKvR−vab−vc¿
vR−vab−(−20)−20=0vR=vab
vab=4 [V ]
vab
4=ic¿
vab
4=44=1 [ A ]=ic ¿
dvC ¿¿
LVK
vR−vab−vc−20=0
d vR
dt=
d v ab
dt+d vc ¿¿
d vR
dt=2+
d v ab
dt
LCK nodo a
3=vR
2+
vab
4
0=d vR
dt∗2+
d vab
dt ( 14 )0=2
d v R
dt+
d v ab
dt
0=2d v R
dt+
d v R
dt−2
23=
d vR
dt
v (∞ )=20 [V ]
iC ( ∞ )=3 [ A ] . 26=1 [ A ]
Circuito RLC enserie sin fuente
v (0 )= 1C∫−∞
0
idt=V 0
i (0 )=I 0
R L
C +88.8
Volts
LVKV R+V L+V C=0
Ri+Ldidt
+ 1C∫−∞
0
idt=0
Derivando:
Rdidt
+Ldi2
d2 t+ 1
Ci=0
RL
.didt
+ di2
d2t+ i
LC=0
Se necesitan las condiciones iniciales:
Ri (0 )+Ldi (0 )dt
+Vo=0
di (0 )dt
=−1L
(Vo+RIo )
i=A est A y s son constantes
A s2 est+ ARL
sest+ ALC
est=0
A est(s2+ RL
s+ 1LC )=0
s2+ RL
s+ 1LC
=0 Ecuación característica
s=−RL
±√ R2
L2−¿ 4
LC¿
s1=¿−R
L+√ R2
L2−¿ 4
LC¿¿
s2=¿−R
L−√ R 2
L2−¿ 4
LC¿ ¿
s1=¿−α+√α 2−ωo2¿
s2=¿−α−√α 2−ωo2¿
α= RL
Factor de amortiguamiento
ωo= 1
√LC Frecuencia de resonancia o no amortiguamiento
i1=A1 es1 t
i2=A2 es2 t
Solucion completa :i1=A1 e
s1 t
i2=A2 es2 t
Soluciones:Si α >ωo, sobreamortiguadoSi α=ωo, críticamente amortiguadoSi α >ωo, subamortiguadoCaso1. Sobre amortiguado
C> 4 L
R2 i (t )=A1es1 t+ A2e
s2 t
Caso2.crìticamenteamortiguado
α=ωo ,C= 4 L
R2
s1=s2=−α=−R2 L
i (t )=A1e−αt +A2 e
−αt+ A3 e−αt
i (t )=( A2+ A1 t)e−αt
Caso3.Subamortiguado
α=ωo ,C< 4 L
R2
s1=−α+√−|ωo2−α2|=−α+ jωo
s2=−α−√−|ωo2−α 2|=−α− jωo
j=√−1 ωd=√ωo2−α 2
i (t )=e−αt[ ( A1+ A2 )cosωdt+ j ( A1−A2 ) senωdt ]Para la figura calcule las raíces características del circuito. La respuesta natural esta sobre, sub o críticamente amortiguada.
40 4 H
1/4 F +88.8
Volts
i (0 )=Io
v (0 )=Vo
α= R2L
= 402 (4 )
=5
ωo= 1
√LC= 1
√1=1 rad
segα >ωo∷ Sobreamortiguado
s1,2=¿−α ±√α 2−ωo2
s1=−5+√24=−5+2√6s2=−5−√24=−5−2√6
Halle i(t) en el circuito de la figura suponga que el circuito ha llegado a estado estable en t=0.
3 0.5H
0.02F+88.8
Volts
6
4T=0
10 V
3
6
4T=0
10 V
+88.8
Volts
i (0 )=106
=1 [ A ]
v (0 )= 610
(10 )=6 [V ]
3 0.5H
0.02F 6
9 0.5H
0.02F
α= R4 L
= 9
1( 12 )=9 Ω
H
ωo= 1
√LC= 1
√0.5 (0.02 )=10 rad
segωo>α : : Subamortiguado
s1,2=−α ±√α2−ωo2
s1,2=−9±√92−102s1,2=−9±√81−100
s1=−9+ j √19s2=−9− j√19
ωd=√19i (t )=e−αt(B1 cosωdt+B2 senωdt )
i (0 )=B1B1=1
di(t)dt
=ωo e−αt (−B1 senωdt+B2 cosωdt )−α e−αt (B1cosωdt+B2 sen ωdt)
di (0 )dt
=√19 B2−9 B1
di (0 )dt
=√19 B2−9
di (0 )dt
=−1L
[Ri (0 )+Vo]
di (0 )dt
=−10.5
[9−6]
di (0 )dt
=−6
−6=√19B2−9B2=0.688
i (t )=e−9 t(cos √19 t+0.688 sen√19 t)
CIRCUITO RLC EN PARALELO SIN FUENTE
R L C i (0 )=Io= 1L∫∞
0
v ( t )dt
v (0 )=Vo
LCK
VR
+iL+iC=0
VR
+ 1L∫∞
0
v ( t ) dt+Cdvd t
=0
dv2
d2t+ 1
RCdvdt
+ 1LC
=0
s2+ 1RC
s+ 1LC
=0 Ecuacion caracteristica
s1,2=12 RC
±√( 12RC
)2
− 1LC
s1,2=−α ±√α2−ω2
α= 12RC
ωo= 1
√LC
Posobles soluciones
Sobreamortiguado α >ωo cuando L>R2C
v (t )=A1 es1 t+ A2 e
s2 t
Crìticamente amortiguado (α=ωo)
Para α=ωo ,L=4R2C
v (t )=¿
Subamortiguado
α <ωo ,L<4R2C
s1,2=−α ± jωd
ωd=√ωo2−α 2
v (t )=e−αt ( A1 cosωdt+ A2 sen ωdt)
Las constantes A1 y A2 pueden determinarse en cada caso con base en las condiciones iniciales. Se necesita v(0 y dv(o)/dt)
VoR
+ Io+Cdv (0)
dt=0
dv (0)dt
=−(Vo+R Io)
RC
REPUESTA ESCALÒN DE UN CIRCUITO RLC EN SERIE
VS
RT=0 L
C+88.8
Volts
APLICANDO LVK
Ldidt
+Ri∗v=Vs
i=Cdvdt
d2 vd t2
+ RL
dvdt
+ vLC
= VsLC
v (t )=v t (t )+vss(t)
vss (t )=v ( ∞)=Vs
SOLUCION COMPLETA:
v (t )=Vs+ A1es1 t+ A2e
s2 t (Sobreamortiguado)
v (t )=Vs+¿ (Crìticamente amortiguado)
v (t )=Vs+e−αt(A1cosωdt+ A2 senωdt ) (Subamortiguado)
vs=v
i=Cdvdt
vR=iR
vL=Ldidt
EJEMPLO:
Para el circuito de la figura determine la respuesta completa para t>0 para v(t) y la corriente iL
24 V
4T=01H
0.25F+88.8
Volts
1
v¿
i ¿
24 V
4 1H
0.25F+88.8
Volts
α= R2L
=42=2
ω= 1
√LC= 1
√0.25=2
α=ω Crìticamente amortiguado
s=−2
v (t )=Vs+¿
v (0 )=A1+24
4.8=A1+24
A1=4.8−24
A1=−19.2
iC=Cdvdt
= 4.80.25
dv (0)dt
=19.2
dv ( t )dt
=−2¿
dv (0 )dt
=−2( A1)+A2
19.2=−2(A1)+ A2
A2=19.2+2(−19.2)
A2=−19.2
v (t )=24−19.2¿
iC=Cdvdt
iC=0.25 [38.4 (1+t ) e−2 t−19.2e−2 t]
iC=e−2 t [9.6 (1+t )−4.8]
iC=e−2 t [9.6+9.6 t−4.8 ]
iC=e−2 t [9.6 t+4.8]
iC=2e−2 t[2 t+1]
RESPUESTA ESCALON DE UN CIRCUITO RLC EN PARALELO
T=0 R L1 C1I1 +88.8
Volts+88.8AC Volts
Aplicando LCK al nodo superior para t>0
vR
+i+Cdvdt
=Is
vL=Ldidt
d2 id t 2
+ 1RC
didt
+ iLC
= ILC
SOLUCION COMPLETA:
i (t )=it ( t )+iss(t)
i (t )=I s+A1 es1 t+A2 e
s2 t (Sobreamortiguado)
i (t )=I s+¿ (Crìticamente amortiguado)
i (t )=I s+e−αt (A1 cosωdt+A2 senωdt ) (Subamortiguado)
EJEMPLO :
En el circuito de la figura halle i(t)e iR (t)
30U(-T)
T=0
2020H 8MF
4 A
20
i (0 )=4v (0 )=302
=15
T=0
2020H 8MF
4 A
Req=20∗2020+20
=10
α= 12RC
α= 12(10)(8mF )
α=6.25ω= 1
√LC
ω= 1
√20 (8mF)
ω=2.5
α >ω Sobreamortiguado
i (t )=Is+ A1 es1 t+ A2e
s2 t
s1,2=−6.25±√(6.25)2−(2.5)2
s1,2=−6.25±5.728
s1=−0.521
s2=−11.978
i (t )=4+ A1e−0.521 t+ A2e
−11.978 t
i (0 )=4+ A1 e−0.521 t+ A2 e
−11.978 t
4=4+ A1+ A2
A1=−A2
vL=Ldi(0)
dt
di(0)dt
=1520
=0.75
didt
=−0.521 A1e−0.521 t−11.978 A2 e
−11.978 t
di(0)dt
=−0.521 A1−11.978 A2
0.75=−0.521 A1−11.978 A2
A2=−0.065
A1=0.065
i (t )=0.065 A1e−0.521 t−0.065 A2 e
−11.978 t
vL=20[−0.033e−0.521 t+0.77 A2e−11.978 t ]
vL=−0.66e−0.521 t+15.4 A2e−11.978 t
iR=vL
R=
−0.66e−0.521t +15.4 A2 e−11.978 t
20
iR=−0.033e−0.521 t+0.77e−11.978 t
Halle v0 ( t ) para t >0
7U(-T)
3 1/2H
1 1/5H+88.8
Volts
.t<0 7u(t)=0
v¿
i1¿
i2¿
.t>0 7u(t)=7
7U(-T)
3 1/2H
1 1/5H+88.8
Volts
vL2=vo=1¿
7−3 i1−V L1=0
V L1=7
d i1¿¿
d i2¿¿
7U(-T)
3
1+88.8
Volts
i1 ( ∞)=73
A
i2 ( ∞)=73
A
Se debe eliminar la fuente para obtener la respuesta natural
3
1+88.8
Volts
4 i1+vL 2−i2=0
4 i1+Ld i1(t)
dt−i2=0
4 i1+Ld i1(t)
dt=i2
i2−i1+v L1=0
i2−i1+ Ld i2(t )
dt=0
3 i1+Ld i1(t)
dt+L
d i2( t)dt
=0
d i2dt
=4d i1dt
+ 12
d2i2d t 2
3 i1+12
d i1(t )dt
+ 45
d i1(t)dt
+ 110
d2i1d t 2
=0
d2i1d t 2
+13d i1 (t )
dt+30 i1=0
i1' '+13 i1
' +30 i1=0
s2+13 s+30=0
s=−13±√132−4 (30)
2
s=−13±72
s1=−10
s2=−3
i1 (t )=73+A1 e
−10t+ A2 e−3 t
d i1 ( t )dt
=−10 A1 e−10 t−3 A2 e
−3 t
d i1 (0 )dt
=−10 A1 e−10(0)−3 A2 e
−3(0)
14=−10 A1−3 A2 Ecuacion 1
i1 (0 )=73+ A1e
−10 (0 )+ A2 e−3 (0)
0=73+ A1+ A2
−7=3 A1+3 A2 Ecuacion 2
1+2
14=−10 A1−3 A2
−7=3 A1+3 A2
7=−7 A1
A1=−1
Reemplazando en la ecuacion 2
−7=−3+3 A2
A2=−43
i1 ( t )=73−(e−10t + 4
3e−3 t)
d i1 (t )dt
=10e−10 t−4e−3 t
7=4 i1+12
d i1dt
−i2
i2=4 i1+12
d i1dt
−7
i2=283
−4 e−10t−163
e−3 t+5 e−10 t+2e−3 t−7
i2=73+e−10t−10
3e−3 tvo=1( i1−i2)
vo=73−e−10 t−4
3e−3 t−7
3−e−10 t+ 10
3e−3 t
vo ( t )=−2e−10t+2e−3 t