Post on 09-Jul-2015
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I.E. “Federico Villarreal” - Túcume
Lic. Carlos Francisco Llontop Sánchez
Circunferencias
Trigonométricas
franko_xy@hotmail.com Cel. 97-8854040 / RPM. *902836
Circunferencias
Trigonométricas
1. Definición, elementos y propiedades.
2. Líneas trigonométricas.
3. Líneas trigonométricas auxiliares.
4. Problemas resueltos.
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1. Definición, elementos y propiedades
(y)
X
Y’
(-)
X’ 0
+
++
+
+
++++
-
-
-
-
- - - -
x + y = 12 2
Definición:
Es una circunferencia inscrita en un
sistema de coordenadas rectangulares
cuyo centro coincide con el origen de
dicho sistema, esta circunferencia
tiene como característica
fundamental, el valor del radio que es
la UNIDAD (R = 1).
Esta circunferencia trigonométrica
sirve para representar a las líneas
trigonométricas
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Elementos de la circunferencia
Se tiene los siguientes elementos:
I. O (0 ; 0): Origen de la circunferencia.
II. A(1 ; 0): Origen de arcos, a partir del
cual se miden los ángulos
trigonométricos, es decir, ángulos
positivos, negativos y de cualquier
magnitud.
III. B (0 ; 1): Origen de complementos.
IV. A’ (-1 ; 0): Origen de suplementos.
V. B’ (0 ; -1): Sin denominación
específica.
P (x ; y): “P” de coordenadas (x ; y)
(+)
B(0;1)
(+)
A(1;0)
(-)
B’(0;-1)
(-)
A’(-1;0) 0
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Propiedades de la circunferencias
a) Radio de la circunferencia igual a la UNIDAD.
b) Cuatro cuadrantes, cada uno de los cuales mide 90º, 100g
ó π/2 rad.
c) Se adoptan los signos de los ejes coordenadas, o sea, los segmentos OA´ y
OB´ son negativos.
L0
x + y = 12 2
ArcoA
B
Por formula:
θ = L ; R=1R
θ = L ; θ =L1
“Es decir, que el numero de
radianes del ángulo central es
igual a la longitud del arco
pero sólo como arco
numérico”.
tg 45º tg π4
tg=π rad4
tg 0,7854 = 1
Ángulo en grados
sexagesimalesÁngulo en
radianes
Arco
numérico
Número real
( R)
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2. Líneas trigonométricas.
• Línea seno
B
A
B’
A’
1
0
P(x;y)
θ
Q
Representación:Se representa por la perpendicular trazada
desde el extremo del arco, hacia el
diámetro horizontal.
• En el OQP: Sen θ= PQ
OP=
1
y
.. . Sen θ = y
• De la figura: Sen AP = Sen θ = PQ = y
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Análisis de la línea seno
Cuadrante Variación Comportamiento Signo
Q1 0 a 1 Creciente (+)
Q2 1 a 0 Decreciente (+)
Q3 0 a -1 Decreciente (-)
Q4 -1 a 0 Creciente (-)
--------------------------
--------------------------
0
-1
1
+∞
-∞
180º360º0º
270º
90º
-1 ≤ Sen α ≤ 1
0º 90º 180º 270º 360º
Sen 0 1 0 -1 0
• Valores Cuadrantales.
• Variación cuadrantal.
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Línea Coseno
• Representación:B
B’
AA’
1
0
P(x;y)
θ
Q
-----------------------
N
Se representa por la perpendicular trazada
desde el extremo del arco, hacia el
diámetro vertical.
• En el PNO: Cos θ= NP
OP=
1
x
.. . Cos θ = x
• De la figura: Cos AP = Cos θ = NP = x
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Análisis de la línea coseno
Cuadrante Variación Comportamiento Signo
Q1 1 a 0 Decreciente (+)
Q2 0 a -1 Decreciente (-)
Q3 -1 a 0 Creciente (-)
Q4 0 a 1 Creciente (+)
90º
--------------------------
--------------------------
0-1
1 +∞-∞
180º360º
0º
270º
-1 ≤ Cos α ≤ 1
0º 90º 180º 270º 360º
Cos 1 0 -1 0 1
• Valores Cuadrantales.
• Variación cuadrantal.
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Línea Tangente
• Representación:
Es una parte de la tangente geométrica
trazada por el origen de arcos A(1;0), se
empieza a medir de este origen y termina
en la intersección de la tangente
geométrica con el radio prolongado que
pasa por el extremo del arco.
• En el TAO: Tg θ = AT
OA=
1
y1
.. . Tg θ = y1
• De la figura: Tg AP = Tg θ = AT = y1
B
B’
AA’
10
T( 1 ; y1 )
θ
P
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Análisis de la línea tangente
• Variación cuadrantal.
Cuadrante Variación Comportamiento Signo
Q1 0 a +∞ Creciente (+)
Q2 -∞ a 0 Creciente ( - )
Q3 0 a +∞ Creciente (+)
Q4 -∞ a 0 Creciente ( - )
000Tg
360º270º180º90º0º
• Valores Cuadrantales.
180º
--------------------
----------------
--------------
----------
----------------------
-------------------
----------------
------------
90º
360º
270º
0º0
-∞
+∞
- ∞ < Tg α < +∞
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Línea cotangente
• Representación:B
B’
AA’
10
T( x1 ; 1 )
θ
P
θ
Es una parte de la tangente que pasa por el
origen de complementos B(0; 1), se empieza a
medir a partir de ese origen y termina en la
intersección de la tangente mencionada con el
radio prolongado que pasa por el extremo del
arco.
• En el TBO:Cotg θ= BT
BO=
1
x1
.. . Cotg θ = x1
• De la figura: Cotg AP=Cotg θ = BT = x1
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Análisis de la línea cotangente
• Variación cuadrantal.
Cuadrante Variación Comportamiento Signo
Q1 +∞ a 0 Decreciente (+)
Q2 0 a -∞ Decreciente ( - )
Q3 +∞ a 0 Decreciente (+)
Q4 0 a -∞ Decreciente ( - )
• Valores Cuadrantales.
- ∞ < Cotg α < +∞
270º
----
----
----
----
----
----
----
----
----
----
----
----
--
----
----
--
----
----
----
----
----
--
----
----
----
----
---
----
----
----
----
----
----
----
90º
0º
0+∞-∞
180º 360º
0000cotg
360º270º180º90º0º
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B
B’
AA’
1
0T( x2 ; 0 )θ
P θ
Línea Secante
Es una parte del diámetro prolongado
que pasa por el origen del arco, se
empieza a medir del centro de la
circunferencia y termina en la
intersección del diámetro prolongado
con la tangente geométrica trazada por
el extremo del arco:
• Representación:
OPEn el O P T : Sec θ =
OT=
1
x2
.. . Sec θ = x2
De la figura: Sec AP = Sec θ = OT = x2
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Análisis de la línea secante
• Variación cuadrantal.
Cuadrante Variación Comportamiento Signo
Q1 1 a +∞ Creciente (+)
Q2 -∞ a -1 Creciente ( - )
Q3 -1 a -∞ Decreciente ( - )
Q4 +∞ a 1 Decreciente (+)
1-11Sec
360º270º180º90º0º
• Valores Cuadrantales.
-∞
------------------------------
------------------------------
-----------------------------------------------
-----------------------------------
--------------------------------
---------------------------------------------
270º
90º
-1 1+∞
Sec ≤ -1 U Sec ≥ 1
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Línea Cosecante.
• Representación:
B
B’
AA’
1
0
θ
P
θ
T( 0 ; x2 )
Es una del diámetro prolongado que pasa por el
origen de complementos, se empieza a medir en
el centro de la circunferencia y termina en la
intersección del diámetro prolongado con la
tangente geométrica trazada por el extremo del
arco.
De la figura: Cosec AP = Cosec θ = OT = y2
En el OPT : Cosec θ = OT
OP=
1
y2
.. . Cosec θ = y2
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Análisis de la línea cosecante
• Variación cuadrantal.
( - )Decreciente-1 a -∞Q4
( - )Creciente-∞ a -1Q3
(+)Creciente1 a +∞Q2
(+)Decreciente+∞ a 1Q1
SignoComportamientoVariaciónCuadrante
-11Cosec
360º270º180º90º0º
• Valores Cuadrantales.
-∞
------------------------------
------------------------------
-----------------------------------------------
----------------------------------
-------------------------------
---------------------------------------------
360º180º
-1
1
+∞
0º
Cosec ≤ -1 U Cosec ≥ 1
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3. Líneas trigonométricas auxiliares
• Línea seno verso o verso (vers)
Es los que le falta al coseno de un arco para valer la unidad. El verso se empieza a
medir a partir del origen de versos que vienen a ser el origen de arcos A(1;0), y
termina en el pie de la perpendicular trazada desde el extremo del arco al diámetro
horizontal. El verso es positivo.
B
B’
AA’
___________ 1
____________I
0
--------------------θ
P
M
• En el OMT : Cos θ OM
OP
=
= 1
OM
• Por definición: Vers θ = 1 – Cos θ … l
• De la figura: Vers θ = MA
ll.. . Cos θ = OM …
Reemplazamos ll len :
Vers θ = 1 – OM.
. . Vers θ = MA
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Línea coseno verso o coverso (cov)
Es lo que le falta al seno de un arco para valer la unidad. El coverso se empieza a medir en el
origen de coversos que vienen a ser el origen de completo B(0;1); y termina en el pie de la
perpendicular trazada desde el extremo del arco al diámetro vertical de la circunferencia
trigonométrica. El coverso es siempre positivo.
• En el OMP : Sen θ MO
OP
=
= 1
MO
• Por definición: Cov θ = 1 – Sen θ … l
• De la figura: Cov θ = BM
ll.. . Sen θ = MO …
Reemplazamos ll len :
Cov θ = 1 – MO.
. . Cov θ = BM
B
B’
AA’
___________ 1
____________I
0
--------------------θ
PM
___________
_
___________I
1
Q
θ
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Línea ex-secante o external (ex-sec)Es el exceso de la secante respecto a la unidad. La exsecante se mide a partir
del origen de la exsecantes que vienen a ser el origen de arcos y termina en el
punto donde termina la secante de ese arco.
Si la secante se mide hacia la derecha del origen de exsecantes es positiva y
en caso contrario es negativa.
B
B’
AA’
1
0
θ
P
1
Q
• Por definición: Ex-Sec θ = Sec θ - 1 … l
• De la figura: Ex-Sec θ = AQ
ll.. . Sec θ = OQ …
Reemplazamos ll len :
OQ
OP
=
= 1
OQ• En el OPQ : Sec θ
Ex-Sec θ = OQ - 1.
. . Cov θ = BM
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4. Problemas de Aplicación
Problema 1: Del grafico, hallar el área de la región triángular AOP
B
B’
AA’
o
P
1Q
α
---------------
Sen
α
• Trazamos la línea PQ A´A, la cual
representa la línea seno, entonces:
PQ = Sen α
•Además OA representa el radio de la C.T.,
entonces:
OA = 1
• Finalmente: S▲AOP =1
2
(OA)(PQ)
S▲AOP =1
2
(1)(Sen α)
S▲AOP =1
2
Sen αSolución
Problema 2: Indicar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas
I. Sen 10º > Sen 80º II. Cos 10º > Cos 80º III. Tg 10º > Tg 80º
A´
B
B’
AO N
Q
M
P
10º
80º
PM = Sen 10º
QN = Sen 80º
PM < QN
Sen 10º < Sen 80º
Falso
B
A´ AO
M Q
NP
10º
80º
B´
PM = Cos 10º
QN = Cos 80º
PM > QN
Cos 10º > Cos 80º
Verdadero
B
A´ A
B´
O
Q
P80º
10º
AP = Tg 10º
AQ = Tg 80º
AP < AQ
Tg 10º < Tg 80º
Falso
Problema 3:
Si Cos θ =3a - 4
5; θ Є
π
2
3π;
2, hallar entre qué límites varía “a”
----
----
----
----
----
C.T
Oπ
π/2
3π/2
0,2π
-1 Cos θ 0- ∞ + ∞
• Del gráfico: -1 ≤ Cos θ < 0
-1 ≤ 3ª - 4 < 05
-5 ≤ 3a - 4 < 0
-5 ≤ 3a < 4
-5 ≤ a < 43 33
a Є - 13 ;
;43
Solución
Determina la variación de :Problema 4:
E = 5 Sen2 + 2; Єπ
2π;
• Del gráfico: -1 ≤ Sen 2 < 0
-5 ≤ a < 43 33
-3E Є ; 2Solución
• Multiplicando todo ( x 5 ): -5 ≤ Sen 2 < 0
• Sumando (+2) a cada miembro:
-3 ≤ E < 2
-3 ≤ 5 Sen 2 + 2 < 2
--------------------
Oπ
π/2
3π/2
2π 0
- ∞
+ ∞
-1
Sen 2
Problema 5: Analizando la figura:
o
π/6
π/2C.T.
π
3π/2
0.2 π
o
P
B
A´
B´
15º
C
2 - √3
1
1A
30º
m < AA´P =mAP
2=
30º
2= 15º(ángulo inscrito)
A´OC = Tg 15º =OC
1
2 - √3 = OC
S▲CA´B´ = (B´C)(OA´)
2
B´C = 3 - √3
OA´ = 1
S▲CA´B´ =(3 - √3) (1)
2
S▲CA´B´ = 3 - √3
2u2
Problema 6: En la figura, PM = 0.8. Hallar OS
• Resolución:
• La línea PM representa el Seno θ, veamos:
OMP : Sen θ = PMOP
;OP = 1
PM = 0,8
Sen θ = 0,81
Sen θ = 45
10,8
• La línea OS representa el Sec θ, veamos:
OPS
Sen θ = OS1
OS = Sec θ
Sec θ = OSOP
; OP = 1 θ
4
3
5
OS =5
3
P
S
Ao
C.T.
θ
M
Problema 7: Calcular el área de la región sombreada
• Resolución:
o
C.T.
T
B
B´
A´ A
• Analizando las líneas notables en la C.T.:
Tg = AT1
AT = Tg
Tg = ATOA
; OA = 1•Veamos:
S▲A´OT = (A´O)(AT)
2
A´O = 1
AT = Tg
S▲A´OT =(1) (Tg )
2
S▲A´OT = 1
2Tg
Tg
1 1
Problema 8: Si θ Є- π
4;
π4
;
• hallar entre qué limites varía la expresión: A = 4 Tg2 θ - 1
o
1
-1B´
B
A´A
π4
-π4
• Tenemos:π4
< θπ4- <
• Luego: -1 < Tg θ < 1
0 ≤ Tg2 θ <1• Al cuadrado:
0 ≤ 4Tg2 θ< 4• Mult. (x 4):
-1 ≤ 4Tg2 θ < 3• Resta. (-1):
-1 ≤ A < 3
A Є [-1;3
• Analizando la Grafica: •Entonces tenemos:
(a ; b) = (1 ; Tg )b = Tg
a = 1
(1 ; Tg )
B`
B
(0 ; Cosec )
(Cos ; Sen )
O 1
AA´Sen
Cos
Cosec
Tg
C.T.
(c ; d)
(a ; b)
(e ; f)
d = Cosec
c = 0(c ; d) = (0 ; Cosec )
f = Sen
e = Cos (e ; f) = (Cos ; Sen )
• Reemplazando:
(Tg )(0)+(Cosec )(Sen )
(1)(Cos )E =
E = =0 + 1
Cos Cos
1E = Sec
Problema 9: De la figura, hallar E=bc + df
ae
Problema 10: Hallar el área de la región sombreada.
C.T.
C
OA´ A
B
B´
P
• Analizando al grafica:En el OCB: Sen =
OC
OB; OB = 1
En el OHC: Sen =CH
OC;
OC = Sen
En el ▲ A´OC: S▲AÒC=(A´O) (CH)
2
S▲AÒC=(1) (Sen2 )
2
Sen =OC
1OC = Sen
Sen =CH
Sen CH = Sen2
S▲AÒC= Sen2
21
“Gracias por su
atención”
franko_xy@hotmail.com Cel. 97-8854040 / RPM. *902836