Post on 06-Jun-2015
República Bolivariana de Venezuela
Ministerio de la Defensa
Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada
Núcleo Caracas
Curso de Inducción Universitaria CIU
Cátedra: Razonamiento Matemático
EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES GUÍA CIU NRO: 8
COMISIÓN DE APOYO A RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
Integrado por: INTEGRANTES: Ing. Beliana Gómez Ing. Elvia Moreno Ing. Mixef Rojas Lic. Teresa Gómez Prof. Neida González
Expresiones Algebraicas Racionales 1
COMISIÓN DE APOYO RAZONAMIENTO MATEMÁTICO (C.I.U.)
EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES
En la Guía # 5, habíamos clasificado las Expresiones Algebraicas según su tipo: Enteras,
Racionales, Radicales y Combinadas. En este módulo vamos a trabajar con las Expresiones
Algebraicas Racionales y cuya definición es como sigue:
Es el cociente de dos expresiones algebraicas enteras, donde el denominador es
diferente de cero.
Ejemplos: xyyx
yxyy
xxx
++
+++
54,
75,
2953 2
2
3
2
35
1.-Simplificación de Expresiones Racionales:
Simplificar una expresión algebraica racional es transformarla en otra equivalente cuyo
numerador y denominador sólo admiten como factor común a 1. Para simplificar una expresión
algebraica fraccionaria se siguen los siguientes pasos:
Paso 1: Se factorizan el numerador y el denominador de la expresión.
Paso 2: Se suprimen o cancelan los factores comunes del numerador y del denominador.
Los siguientes ejercicios sirven para ver como simplificamos expresiones racionales.
Ej.14. Simplifique la expresión ba
bababa2
233422
48124 −+ , en donde a ≠ 0 y b ≠ 0.
Solución:
Factorizamos por factor común la expresión en el numerador, de tal manera que uno de los
factores en el numerador sea igual al denominador.
ba
bababa2
233422
48124 −+ = ( )
baabbabba
2
222
4234 −+
( )ba
abbabba2
222
4234 −+
= = b + 3a2b2-2ab
Respuesta: ba
bababa2
233422
48124 −+ = b + 3a2b2-2ab
Ej.15. Simplifique la expresión 4010
1052 −−
xx , en donde x ≠ 2
Solución:
Paso 1: Factorizamos el numerador )2(5105 −=− xx
Expresiones Algebraicas Racionales 2
COMISIÓN DE APOYO RAZONAMIENTO MATEMÁTICO (C.I.U.)
Factorizamos el denominador )2)(2(10)4(104010 22 +−=−=− xxxx
Paso 2: Colocamos los factores obtenidos en el numerador y denominador respectivamente:
)2)(2(25)2(5
4010105
2 +−⋅−
=−−
xxx
xx y cancelamos los factores comunes
)2(21
)2)(2(25)2(5
+=
+−⋅−
xxxx
Entonces
Respuesta: 4010
1052 −−
xx ( )22
1+
=x
Ej.16. Simplificar la expresión 32
621242
23
−++++
xxxxx , donde x ≠ -3 y x ≠ 1.
Solución:
Paso 1: Factorizamos el numerador y el denominador
= ( ) ( )( )( )13
3234 2
−++++
xxxxx
= ( )( )( )( )13
243 2
−+++
xxxx
Paso 2: Simplificamos factores iguales
= ( )( )( )( )13
243 2
−+++
xxxx =
124 2
−+
xx
Respuesta: 32
621242
23
−+
+++
xxxxx =
124 2
−+
xx
Ej.17. Simplificar la expresión yxyxyxyx
+++−−+
3322 , donde x ≠ -1 y y ≠-3.
Solución:
Paso 1: Factorizamos el numerador y el denominador
=)1()1(3)1()1(2
3322
++++−+
=+++−−+
xyxxyx
yxyxyxyx
= )3)(1()2)(1(
yxyx
++−+
Expresiones Algebraicas Racionales 3
COMISIÓN DE APOYO RAZONAMIENTO MATEMÁTICO (C.I.U.)
Paso 2: Simplificamos factores iguales
)3()2(
)3)(1()2)(1(
yy
yxyx
+−
=++−+
Respuesta: yxyxyxyx
+++−−+
3322 =
yy
+−
32
Ej.18. Simplificar la expresión 122072
128234
23
−+−−+−−
xxxxxxx
Solución:
Paso 1: Factorizamos el numerador y el denominador
)1)(3()2(
)3()2(122072
1282
2
234
23
−+−+−
=−+−−
+−−xxx
xxxxxx
xxx Método de Ruffini
Paso 2: Simplificamos factores iguales
)1)(3()2(
)3()2(2
2
−+−+−
=xxx
xx =1
1−x
Respuesta: 122072
128234
23
−+−−+−−
xxxxxxx =
11−x
2.-Mínimo Común Múltiplo de Expresiones Algebraicas
El Mínimo común Múltiplo de dos o más expresiones algebraicas es una expresión algebraica
de menor coeficiente numérico y de menor grado que es divisible exactamente por cada una de las
expresiones dadas.
2.1.-Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.) de Monomios:
La secuencia de pasos para hallar el m.c.m. de monomios es la siguiente:
Paso 1: Se halla el m.c.m. de los coeficientes constantes de la expresión.
Paso 2: Se escriben las variables (letras ) distintas , sean o no comunes, asignándole a cada variable el
mayor exponente que tenga entre las expresiones dadas.
Paso 3: El m.c.m. de los monomios es la multiplicación de los elementos hallados en el Paso 1 y
Paso 2.
Veamos a continuación varios ejemplos del cálculo de m.c.m. de monomios:
Ej.19. Hallar el m.c.m. de los siguientes monomios: , y 33ax xa 35 226 xa
Solución:
Expresiones Algebraicas Racionales 4
COMI ENTO MATEMÁTICO (C.I.U.)
Paso 1: Hallamos el m.c.m. de 3, 5 y 6: m.c.m.(3,5,6) = 253 ⋅⋅ =30
Paso 2: Escribimos las variables y/o letras : y a x , con su mayor exponente: , . 3a 3x
Paso 3: El resultado del m.c.m. de los monomios es la multiplicación de los elementos hallados : 3330 xa
Respuesta: El m.c.m.( , , )= 30 . 33ax xa 35 226 xa 33 xa
Ej.20. Hallar el m.c.m. de los siguientes monomios: , 4322 25,20,10,15 mnnmmn
Solución:
Paso 1: Hallamos el m.c.m. de 15,10,20,25 : m.c.m.(15,10,20,25) = =300 22 253 ⋅⋅
Paso 2: Escribimos las variables y/o letras: y , con su mayor exponente: y . m n 2m 4n
Paso 3: El resultado del m.c.m. de los monomios es la multiplicación de los elementos hallados : 42300 nm
Respuesta: El m.c.m.( )= . 4322 25,20,10,15 mnnmmn 42300 nm
Ej.21. Hallar el m.c.m. de los siguientes monomios: : 423332 6,4,3 xzyxzyx
Solución:
Paso 1: Hallamos el m.c.m. de 3,4 y 6 : m.c.m.(3,4,6) = =12 223 ⋅
Paso 2: Escribimos las variables y/o letras : yx , y , con su mayor exponente: , y . z 4x 3y 2z
Paso 3: El resultado del m.c.m. de los monomios es la multiplicación de los elementos hallados: 23412 zyx
Respuesta: El m.c.m.( )= 12 . 423332 6,4,3 xzyxzyx 234 zyx
2.2.-Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.) de Polinomios:
La secuencia de pasos para hallar el m.c.m. de polinomios es la siguiente:
Paso 1: Se factorizan los polinomios, esto se llama descomponer los polinomios en factores primos.
Paso 2: El m.c.m. de los polinomios es el producto de los factores primos, comunes y no comunes con
su mayor exponente.
Veamos a continuación varios ejemplos del calculo de m.c.m. de los polinomios:
Ej.22. Hallar el m.c.m. de los siguientes polinomios: , 22 484 ayaxyax +− ybxb 22 66 −
Solución:
Paso 1: Primero factorizamos 22 484 ayaxyax +−
SIÓN DE APOYO RAZONAMIFactor común 4a
Expresiones Algebraicas Racionales 5
COMISIÓN DE APOYO RAZONAMIENTO MATEMÁTICO (C.I.U.)
)2(4484 2222 yxyxaayaxyax +−=+−
222 )(4)2(4 yxayxyxa −=+−= 222 )(2 yxyxyx −=+−
2222 )(2)2(4 yxayxyxa −=+−=
Luego factorizamos el segundo polinomio: 6 ybxb 22 6−
)(666 222 yxbybxb −=−
)(3266 222 yxbybxb −⋅⋅=−
Paso 2: El m.c.m. de los polinomios es el producto de los factores primos comunes: 2 y )( yx − y lo
no comunes : 3, , con su mayor exponente, es decir: bya
el m.c.m. de ( , ) = . 22 484 ayaxyax +− ybxb 22 66 − 222 )(32 yxba −⋅⋅⋅⋅
Respuesta: El m.c.m. , = 12 . ( 22 )( yxab −22 484 ayaxyax +− )ybxb 22 66 −
Ej.23. Hallar el m.c.m. de los siguientes polinomios: , , y
)( 22 baba +− 22 ba − 22 2 baba ++
)( 22 ba +
Solución:
Paso 1: Primero factorizamos )( 22 baba +−
222 )()( bababa −=+−
Luego factorizamos el segundo polinomio : 22 ba −
))((22 bababa −+=−
Factorizamos el tercer polinomio 22 2 baba ++
222 )(2 bababa +=++
Y por último el polinomio ( no es factorizable ( Leer Observación en la Pág. 7, Guía de
Factorización) .
)22 ba +
Paso 2: El m.c.m. de los polinomios entonces será: el producto de los factores comunes y no comunes
con su mayor exponente: ( )()() 2222 bababa ++−
Respuesta: El m.c.m.( , , , ( ) =. ( )( 22 baba +− ) )()() 2222 bababa ++−
Producto Notable
22 ba − 22 2 baba ++ 22 ba +
4 = 22 Factores primos
Factor común 26b
6= 32 ⋅ Factores primos
Producto Notable
Producto Notable: Suma por diferencia
Producto Notable
Expresiones Algebraicas Racionales 6
COMISIÓN DE APOYO RAZONAMIENTO MATEMÁTICO (C.I.U.)
Ej.24. Hallar el m.c.m. de los siguientes polinomios: , y
.
xxx 52015 23 ++ 133 23 −+− xxx234 31827 xxx ++
Solución:
Paso 1: Primero factorizamos 15 xxx 520 23 ++
Factor Común 5x )143(552015 223 ++=++ xxxxxx
)1)(13(5)143(5 2 ++=++ xxxxxx Producto de Binomios
Luego factorizamos el segundo polinomio 3 : 13 23 −+− xxx
)1()1(3133 2223 −+−=−+− xxxxxx Agrupación de Términos
)13)(1()1()1(3 222 +−=−+− xxxxx Factor Común 12 −x
Diferencia de Cuadrados
)1)(1()1( 2 −+=− xxx )13)(1)(1()13)(1( 2 ++−=+− xxxxx
Entonces, )13)(1)(1(133 23 ++−=−+− xxxxxx
Factorizamos el tercer polinomio 234 31827 xxx ++
) Factor Común 3 2x
Trinomio Cuadrado Perfecto
169(331827 22234 ++=++ xxxxxx2222 )13(3)169(3 +=++ xxxxx
Entonces, 22234 )13(331827 +=++ xxxxx
Paso 2: El m.c.m. de los polinomios entonces será: el producto de los factores comunes y no comunes
con su mayor exponente: 3 )1)(1()13(5 22 +−+⋅ xxxx
Respuesta: El m.c.m.( 15 , , ) xxx 520 23 ++ 133 23 −+− xxx 234 31827 xxx ++
=.15 )1)(1()13( 22 +−+ xxxx
3-Operaciones básicas sobre expresiones algebraicas Racionales:
3.1.-Suma y Resta de expresiones algebraicas Racionales:
Dadas las expresiones algebraicas racionales, para realizar la suma o resta de dichas
expresiones vamos a considerar 2 casos
Caso 1: Si tienen el mismo denominador, en el resultado se coloca el denominador común y se suman
( o restan ) los numeradores.
Expresiones Algebraicas Racionales 7
COMISIÓN DE APOYO RAZONAMIENTO MATEMÁTICO (C.I.U.)
Ej.25. Resolver 23
11523
562 22
+−+
++
+−x
xxx
xx
Solución:
23115
23562 22
+−+
++
+−x
xxx
xx =23
115562 22
+−+++−
xxxxx
Agrupamos términos semejantes y obtenemos:
Respuesta: 23
11523
562 22
+−+
++
+−x
xxx
xx =23
63 2
+−−
xxx
Ej.26. Resolver 9153
9122
2
2
2 +−
−+
−xx
xx
Solución:
9153
9122
2
2
2 +−
−+
−xx
xx =
9)153(122
2
2
+−−−
xxx
9153122
2
2
++−−
xxx
Agrupamos términos semejantes y obtenemos:
Respuesta: 9153
9122
2
2
2 +−
−+
−xx
xx =
931217
2
2
+−−
xxx
Caso 2: Si tienen denominadores diferentes, seguiremos los siguientes pasos:
Paso 1: Se simplifican cada una de las fracciones dadas si es posible.
Paso 2: Se factorizan los denominadores de cada uno de los términos racionales
Paso 3: Se halla el m.c.m. de los denominadores, este resultado se coloca como el denominador de la
suma algebraica.
Paso 4: Se divide el m.c.m. de los denominadores entre cada denominador y ese resultado se
multiplica por su respectivo numerador.
Paso 5: Se resuelve el numerador resultante y se efectúa la suma algebraica ( suma o resta) agrupando
términos semejantes.
Ej.27. Resolver 22
22
54
33
baabba
abba −+
+
Solución:
Paso 1: Simplificamos el segundo término de la expresión dada:
Expresiones Algebraicas Racionales 8
COMISIÓN DE APOYO RAZONAMIENTO MATEMÁTICO (C.I.U.)
2222
22
5)4(
54
babaab
baabba −
=− Factor Común ab
abba
babaab
54
5)4(
22
−=
− Simplificamos ab
Y nos queda la siguiente suma: ab
baab
ba5
43
3 −+
+
Paso 2 y 3: Hallamos el m.c.m. de los denominadores: m.c.m.(3ab, 5ab) =15ab y colocamos este valor
como el denominador de la suma
abba
abba
54
33 −
++ =
ab15
Paso 4: Luego dividimos cada uno de los denominadores entre m.c.m. y lo multiplicamos por su
numerador respectivo.
abba
abba
54
33 −
++ = ( )
abbaba
15)4(335 −++
Paso 5: Resolvemos el numerador y efectuamos la suma algebraica de los términos.
( )ab
baab
babaab
baba15
3815
12315515
)4(335 +=
−++=
−++
Entonces: Respuesta: 22
22
54
33
baabba
abba −+
+ =ab
ba15
38 +
Ej.28. Resolver 1
122
133
12 −
+−
++ xxx
Solución:
Paso 1: Cada uno de los términos está en su mínima expresión.
Paso 2: Factorizamos cada uno de los denominadores de cada uno de los términos:
)1(333 +=+ xx ; )1(222 −=− xx ; y nos queda: )1)(1(12 −+=− xxx
)1)(1(1
)1(21
)1(31
−++
−+
+ xxxx
Paso 3: Hallamos el m.c.m. de los denominadores: factores comunes y no comunes con su mayor
exponente: m.c.m.= y colocamos este valor como el denominador de la suma )1)(1(6 −+ xx
)1)(1(1
)1(21
)1(31
−++
−+
+ xxxx=
)1)(1(6 −+ xx
Expresiones Algebraicas Racionales 9
COMISIÓN DE APOYO RAZONAMIENTO MATEMÁTICO (C.I.U.)
Paso 4: Luego dividimos cada uno de los denominadores entre m.c.m. y lo multiplicamos por su
numerador respectivo.
)1)(1(1
)1(21
)1(31
−++
−+
+ xxxx=
)1)(1(6161)1(31)1(2
−+⋅+⋅++⋅−
xxxx
Paso 5: Resolvemos el numerador y efectuamos la suma algebraica de los términos.
=−+
+++−)1)(1(6
6)1(3)1(2xxxx
=−++++−)1)(1(6
63322xx
xx)1)(1(6
75−+
+xx
x
Entonces: Respuesta: 1
122
133
12 −
+−
++ xxx
=)1)(1(6
75−+
+xx
x
Ej.29. Resolver 65
66
24
1222 +−
++
−−−
+−−
aaa
aaa
aa
Solución:
Paso 1: Cada uno de los términos está en su mínima expresión.
Paso 2: Factorizamos cada uno de los denominadores de cada uno de los términos:
)2)(2(42 +−=− aaa ; ; y nos queda: )2)(3(62 +−=−− aaaa )2)(3(652 −−=+− aaaa
)2)(3(6
)2)(3(2
)2)(2(1
656
62
41
222 −−+
++−
−+
+−−
=+−
++
−−−
+−−
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aa
Paso 3: Hallamos el m.c.m. de los denominadores: factores comunes y no comunes con su mayor
exponente: m.c.m.= )3)(2)(2( −+− aaa y colocamos este valor como el denominador de la suma
=−−
++
+−−
++−
−)2)(3(
6)2)(3(
2)2)(2(
1aa
aaa
aaa
a)3)(2)(2( −+− aaa
Paso 4: Luego dividimos cada uno de los denominadores entre m.c.m. y lo multiplicamos por su
numerador respectivo.
=−−
++
+−−
++−
−)2)(3(
6)2)(3(
2)2)(2(
1aa
aaa
aaa
a)3)(2)(2(
)2)(6()2)(2()1)(3(−+−
+++−−+−−aaa
aaaaaa
Paso 5: Resolvemos el numerador y efectuamos la suma algebraica de los términos.
)3)(2)(2()2)(6()2)(2()1)(3(
−+−+++−−+−−
aaaaaaaaa
)3)(2)(2(1284434 222
−+−++++−++−
=aaa
aaaaaa
)3)(2)(2(193 2
−+−+
=aaa
a
Entonces: Respuesta: 65
66
24
1222 +−
++
−−−
+−−
aaa
aaa
aa
)3)(2)(2(193 2
−+−+
=aaa
a
Expresiones Algebraicas Racionales 10
COMISIÓN DE APOYO RAZONAMIENTO MATEMÁTICO (C.I.U.)
Ej.30. Resolver 322
3112xxx
xxxx −−
−−
−+
Solución:
Paso 1: Cada uno de los términos está en su mínima expresión.
Paso 2: Factorizamos cada uno de los denominadores de cada uno de los términos:
)1(2 xxxx +=+ ; ; y nos queda: )1(2 xxxx −=− )1)(1()1( 23 xxxxxxx +−=−=−
)1)(1(31
)1(1
)1(23112
322 xxxx
xxxxxxx
xxxx +−−
−−
−+
=−−
−−
−+
Paso 3: Hallamos el m.c.m. de los denominadores: factores comunes y no comunes con su mayor
exponente: m.c.m.= y colocamos este valor como el denominador de la suma )1)(1( xxx −+
)1)(1(31
)1(1
)1(2
xxxx
xxxx +−−
−−
−+
= )1)(1( xxx −+
Paso 4: Luego dividimos cada uno de los denominadores entre m.c.m. y lo multiplicamos por su
numerador respectivo.
)1)(1(31
)1(1
)1(2
xxxx
xxxx +−−
−−
−+
=)1)(1(
)31(11)1(2)1(xxx
xxx−+
−⋅−⋅+−⋅−
Paso 5: Resolvemos el numerador y efectuamos la suma algebraica de los términos.
)1)(1()31(11)1(2)1(
xxxxxx
−+−⋅−⋅+−⋅−
)1)(1(31122
xxxxxx
−++−−−−
=
0)1)(1(
0=
−+=
xxx
Entonces: Respuesta: 322
3112xxx
xxxx −−
−−
−+
= 0
Ej.31. Resolver 234
2
22 431612
4332
xxxxx
xxx
xxx
−+++
+−+
+−
−−
Solución:
Paso 1: Cada uno de los términos está en su mínima expresión.
Paso 2: Factorizamos cada uno de los denominadores de cada uno de los términos:
)1(2 −=− xxxx ; ;
y nos queda:
)1)(4(432 −+=−+ xxxx )1)(4()43(43 222234 −+=−+=−+ xxxxxxxxx
Expresiones Algebraicas Racionales 11
COMISIÓN DE APOYO RAZONAMIENTO MATEMÁTICO (C.I.U.)
234
2
22 431612
4332
xxxxx
xxx
xxx
−+++
+−+
+−
−− =
)1)(4(612
)1)(4(3
)1(2
2
2
−+++
+−+
+−
−−
xxxxx
xxx
xxx
Paso 3: Hallamos el m.c.m. de los denominadores: factores comunes y no comunes con su mayor
exponente: m.c.m.= y colocamos este valor como el denominador de la suma )1)(4(2 −+ xxx
)1)(4(612
)1)(4(3
)1(2
2
2
−+++
+−+
+−
−−
xxxxx
xxx
xxx =
)1)(4(2 −+ xxx
Paso 4: Luego dividimos cada uno de los denominadores entre m.c.m. y lo multiplicamos por su
numerador respectivo.
)1)(4(612
)1)(4(3
)1(2
2
2
−+++
+−+
+−
−−
xxxxx
xxx
xxx =
)1)(4()612(1)3()2)(4(
2
22
−+++⋅++−−+
xxxxxxxxxx
Paso 5: Resolvemos el numerador y efectuamos la suma algebraica de los términos.
)1)(4()612(1)3()2)(4(
2
22
−+++⋅++−−+
xxxxxxxxxx =
)1)(4(612382
2
22323
−++++−−−+
xxxxxxxxxx
=)1)(4(
642 −+
+xxx
x
Entonces: Respuesta: 234
2
22 431612
4332
xxxxx
xxx
xxx
−+++
+−+
+−
−− =
)1)(4(64
2 −++
xxxx
3.2.-Producto de expresiones algebraicas Racionales:
Para multiplicar varias expresiones algebraicas racionales se aplica el siguiente proceso:
Paso 1: Se descomponen en factores tanto los numeradores como los denominadores de cada
expresión racional a multiplicar.
Paso 2: Multiplican los numeradores de las expresiones y los denominadores de las
expresiones.
Paso 3: Se simplifican, suprimiendo los factores comunes en los numeradores y
denominadores.
Ej.32. Resolver 2
22
2 243
22
ax
xb
ba
××
Solución:
Paso 1: Cada uno de los factores está en su mínima expresión y están factorizados:
Paso 2: Multiplicamos los numeradores y denominadores respectivamente:
Expresiones Algebraicas Racionales 12
COMISIÓN DE APOYO RAZONAMIENTO MATEMÁTICO (C.I.U.)
2
22
2 243
22
ax
xb
ba
×× = 22
22
24232
axbxba
⋅⋅⋅⋅
= 22
22
166
xabxab
Paso 3: Se simplifican, suprimiendo los factores comunes en los numeradores y denominadores.
22
22
166
xabxab =
ax
83
Entonces: Respuesta: 2
22
2 243
22
ax
xb
ba
×× =ax
83
Ej.33. Resolver 34
43473
621
22
2
2
2
+−+
×++−−
×+−
aaa
aaaa
aaa
Solución:
Paso 1: Factorizar los numeradores y denominadores de cada una de las expresiones racionales a
multiplicar:
)2()1)(1(
21
2
2
aaaaa
aaa
++−
=+− ;
)1)(43()1)(6(
4736
2
2
+++−
=++−−
aaaa
aaaa y
)1)(3()43(
3443
2 −−+
=+−
+aa
aaa
a , entonces :
3443
4736
21
22
2
2
2
+−+
×++−−
×+−
aaa
aaaa
aaa =
)1)(3()43(
)1)(43()2)(3(
)2()1)(1(
−−+
×+++−
×++−
aaa
aaaa
aaaa
Paso 2: Multiplicamos los numeradores y denominadores respectivamente:
)1)(3()43(
)1)(43()2)(3(
)2()1)(1(
−−+
×+++−
×++−
aaa
aaaa
aaaa =
)1)(3)(1)(43)(2()43)(2)(3)(1)(1(
−−+++++−+−aaaaaa
aaaaa
Paso 3: Se simplifican, suprimiendo los factores comunes en los numeradores y denominadores.
)1)(3)(1)(43)(2()43)(2)(3)(1)(1(
−−+++++−+−aaaaaa
aaaaa
8
3
=a1
Entonces: Respuesta: 34
43473
621
22
2
2
2
+−+
×++−−
×+−
aaa
aaaa
aaa =
a1
Muchas veces se piden realizar multiplicación de facciones mixtas, las cuales contienen sumas
o restas que luego se multiplican. Veamos a continuación algunos ejemplos:
Expresiones Algebraicas Racionales 13
COMISIÓN DE APOYO RAZONAMIENTO MATEMÁTICO (C.I.U.)
Ej.34. Resolver ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++−×⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−−+
452
153
aa
aa
Solución:
Paso 0: Reducimos las expresiones mixtas a fracciones:
Empezamos con : 1
5)1)(3(1
53−
−−−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−−+
aaa
aa
Y resolvemos el numerador de la expresión:
182
132
15)1)(3( 22
−−+
=−
−+=
−−−+
aaa
aaa
aaa
Seguimos con 4
5)4)(2(4
52+
++−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
++−
aaa
aa
Y resolvemos el numerador de la expresión:
432
4582
45)4)(2( 22
+−+
=+
+−+=
+++−
aaa
aaa
aaa
Entonces tenemos: ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++−×⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−−+
452
153
aa
aa = ×
−−+
1822
aaa
4322
+−+
aaa
Paso 1: Factorizar los numeradores y denominadores de cada una de las expresiones racionales a
multiplicar:
)1()2)(4(
1822
−−+
=−
−+a
aaa
aa y )4(
)1)(3(4
32+
−+=
+−+
aaa
aaa , entonces :
×−
−+1
822
aaa
4322
+−+
aaa = ×
−−+)1(
)2)(4(a
aa)4(
)1)(3(+
−+a
aa
Paso 2: Multiplicamos los numeradores y denominadores respectivamente:
×−
−+)1(
)2)(4(a
aa)4(
)1)(3(+
−+a
aa = )4)(1(
)1)(3)(2)(4(+−
−+−+aa
aaaa
Paso 3: Se simplifican, suprimiendo los factores comunes en los numeradores y denominadores.
6)3)(2()4)(1(
)1)(3)(2)(4( 2 −+=+−=+−
−+−+ aaaaaa
aaaa
Entonces: Respuesta: ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++−×⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−−+
452
153
aa
aa = 62 −+ aa
Expresiones Algebraicas Racionales 14
COMISIÓN DE APOYO RAZONAMIENTO MATEMÁTICO (C.I.U.)
3.3.-Recíproco de una fracción.
Para toda fracción ba , donde a y b son diferentes de cero, las fracciones
aby
ba cumplen la
siguiente relación: 1)()( =××
=××
=×baba
abba
ab
ba
decimos entonces que ab es el recíproco o inverso multiplicativo de
ba y viceversa.
Así por ejemplo, el recíproco de ax
43 es
xa
34 ; el recíproco de
435
354
2
2
−+
+−
xxes
xx ; el recíproco
de esx 321+
2x+3 y el recíproco de 3263
6332 2
2 +−+−
+−+−
abes
ba .
3.4-División de expresiones algebraicas Racionales:
Para dividir dos expresiones algebraicas racionales:
Paso 1: Se transforma la división en multiplicación del dividendo, por el recíproco del divisor,
es decir : cd
ba
dc
ba
×=÷
Paso 2: Se aplican los mismos pasos que se sugieren en el producto de fracciones ( 3.2.):
Paso 2.1. : Se descomponen en factores tanto los numeradores como los denominadores de
cada expresión racional a multiplicar.
Paso 2.2. : Multiplican los numeradores de las expresiones y los denominadores de las
expresiones.
Paso 2.3. : Se simplifican, suprimiendo los factores comunes en los numeradores y
denominadores.
Veamos a continuación varios ejemplos:
Ej.35. Resolver 32
2
92
34
bax
ba
÷
Solución:
Paso 1: Se transforma la división en multiplicación del dividendo por el recíproco del divisor, es decir:
32
2
92
34
bax
ba
÷ =axb
ba
29
34 3
2
2
×
Paso 2.2 : Multiplicamos los numeradores y denominadores respectivamente:
Expresiones Algebraicas Racionales 15
COMISIÓN DE APOYO RAZONAMIENTO MATEMÁTICO (C.I.U.)
axb
ba
29
34 3
2
2
× = =⋅⋅
axbba
2394
2
32
axbba
2
32
636
Paso 2.3: Se simplifican, suprimiendo los factores comunes en los numeradores y denominadores.
xabba
2
32
636 =
xab6
Entonces: Respuesta: 32
2
92
34
bax
ba
÷ =xab6
Ej.36. Resolver 4
168
4 22 −÷
+ aaa
Solución:
Paso 1: Se transforma la división en multiplicación del dividendo por el recíproco del divisor, es decir:
416
84 22 −
÷+ aaa =
164
84
2
2
−×
+a
aa
Paso 2.2 : Multiplicamos los numeradores y denominadores respectivamente:
164
84
2
2
−×
+a
aa = )16(8)4(4
2
2
−+
aaa
Paso 2.3: Se factorizan tanto el numerador como el denominador y se simplifican, suprimiendo los
factores comunes en los numeradores y denominadores.
)16(8)4(4
2
2
−+
aaa
)4)(4(8)4(4+−
+⋅=
aaaa =
)4(2 −aa
2
Entonces: Respuesta: 4
168
4 22 −÷
+ aaa =)4(2 −a
a
Ej.37. Resolver 6512
6244
2
223
++−−
÷+
+−−xxxx
xxxx
Solución:
Paso 1: Se transforma la división en multiplicación del dividendo por el recíproco del divisor, es decir:
6512
6244
2
223
++−−
÷+
+−−xxxx
xxxx =
1265
6244
2
223
−−++
×+
+−−xxxx
xxxx
Paso 2.2 : Multiplicamos los numeradores y denominadores respectivamente:
Expresiones Algebraicas Racionales 16
COMISIÓN DE APOYO RAZONAMIENTO MATEMÁTICO (C.I.U.)
1265
6244
2
223
−−++
×+
+−−xxxx
xxxx =
)12()62()65()44(
2
223
−−⋅+++⋅+−−
xxxxxxxx
Paso 2.3: Se factorizan tanto el numerador como el denominador y se simplifican, suprimiendo los
factores comunes en los numeradores y denominadores.
)12()62()65()44(
2
223
−−⋅+++⋅+−−
xxxxxxxx =
)1)(12()3(2)2)(3)(1)(4)(1(
−+⋅++++−−
xxxxxxxx =
)12(2)2)(1)(4(
+++−
xxxx
Entonces: Respuesta: 6512
6244
2
223
++−−
÷+
+−−xxxx
xxxx =
)12(2)2)(1)(4(
+++−
xxxx
Ej.38. Resolver ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+÷⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
− 22
22
1mn
mmn
nn
Solución:
Primero resolvemos lo que está entre paréntesis:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−mn
nnmnmn
nmnnmn
nn2222 )( =
mnnm−
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+ 22
2
1mn
m = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+⋅−22
222 1)(mn
mmn = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−
22
222
mnmmn = ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− 22
2
mnn y nos queda:
÷⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
mnnm
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− 22
2
mnn
Paso 1: Se transforma la división en multiplicación del dividendo por el recíproco del divisor, es decir:
÷⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
mnnm
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− 22
2
mnn = ×⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
mnnm
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −2
22
nmn
Paso 2.2 : Multiplicamos los signos y luego los numeradores y denominadores respectivamente:
×⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
mnnm
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −2
22
nmn = ( )
)(2
22
mnnmnnm
−−⋅
−
Paso 2.3: Se factorizan tanto el numerador como el denominador y se simplifican, suprimiendo los
factores comunes en los numeradores y denominadores.
( ))(2
22
mnnmnnm
−−⋅
− =)(
))((2 mnn
mnmnmn−
+−⋅⋅−
Expresiones Algebraicas Racionales 17
COMISIÓN DE APOYO RAZONAMIENTO MATEMÁTICO (C.I.U.)
Entonces: Respuesta: ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+÷⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
− 22
22
1mn
mmn
nn =n
mnm )( +−
4.-Ejercicios Propuestos:
I.- Hallar el m.c.m. de los siguientes polinomios:
1.) , , , R: 3an n2 2222 ynxn + 22 2 nynxynx ++ )
)
)((2 223 yxyxan ++
2.) , , , R: 28x xxx 623 −+ xxx 882 23 +− xxx 36244 23 ++ 222 )2()3(8 −+ xxx
3.) , , , R: 33x 13 +x 222 2 +− xx 23 66 xx + 1)(1(6 23 +−+ xxxx
4.) , , , 24xy 23 33 xx − 22 2 baba ++ bbxaax −+− R: )1()(12 222 −+ xbayx
5.) , , , , R: a2 b4 ba 26 22 122412 baba +− 43 55 bab − 232 )(60 baba −
6.) , , , , x28 122 ++ xx 12 +x 77 2 +x 1414 +x R: )1()1(28 22 ++ xxx
II.- Resolver las siguientes fracciones algebraicas:
a) 11
811
3+
++ xx
R: 11
11+x
b) 52
252
3−
++ xx
R: )52)(52(
510−+
−xx
x
c) 1
31
3−
++ xx
R: )1)(1(
6−+ xx
x
d) 96
962
62 +−
+− xx
xx
R: 2
2
)3(3−xx
e) 2
11xx
+ R: 2
1x
x +
f) 3
29
22 −
+− xxx R:
)3)(3(64−+
+xx
x
g) 65
36
22 −−
+− xx
xx
x R: )1)(6(
52 2
+−+xx
xx
h) 33
33
+−
++−
xx
xx R: 0
Expresiones Algebraicas Racionales 18
COMISIÓN DE APOYO RAZONAMIENTO MATEMÁTICO (C.I.U.)
i) 254
352
552
52 −
−−
++ xxx
R: )52)(52(
320+−
−xx
x
j) 16
84
32 −
−+ x
xx
x R: )4)(4(6203 2
−++−
xxxx
k) 25
75
22
2
−−
+ pp
pp R:
)5)(5(7306 23
−+−−
ppppp
l) 3
15x
xx
−− R: 3
2 15x
xx +−
m) 1
3 32
−⋅
xyx
yx R:
)1(3 23
−xyx
n) 324
222 +
⋅++
xx
xxx R:
)3(1+x
o) 1610
14
2
2
−−−
⋅+−
xxx
xx
R:
)4(6
+−
xx
p) 324
109100
80232
2
−−−−
⋅−
−+xxxx
xxx R:
41
++
xx
q) b
bababa
bbababa 22
33
2
2
2 2 +−⋅
−⋅
−+ R: 22
2
babaaba++
+
r) 3393
91
2
2
+−
⋅−−
xx
xx R:
)3(1
+−
xx
s) 42
2530
6153
65 2
2
2
−−
⋅−−
⋅−
+−x
xxxx
xxx R:
21+x
t) 24
11233
++
÷++
xx
xx R: 6
u) a
aa
a 12
12 +÷
− R:2
1−a
v) 1
11
122
2
−−
÷+
+−xx
xxx
R: 2)1( −x
w) 31522
−÷−+ m
mmm R:
mm 5+
Expresiones Algebraicas Racionales 19
COMISIÓN DE APOYO RAZONAMIENTO MATEMÁTICO (C.I.U.)
x) 1
11 22
+÷−
yy R: )1)(1)(1( 2 +−+ yyy
y) xyxyx
22
33 −÷
− R: 22 yxyxx++
z) 34
11916
121 2
2
3
+−
÷−
−x
xxx
xx R:34
11−+x
x
aa) xx
xxxx
xx+++
÷−−+
2
2
3
2 442 R:2
1+x
bb) 22
3
22
2
35
966
abbaa
babaa
+÷
++ R:
)3(53
bab+
cc) yx
xyx
yyx−
÷⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
++ 22
2
R:1
dd)
baab
baba
baba
−
−+
−+−
R:
ba +−
4
ee)
22
2
2
1mn
mmn
nn
−+
−−
R:
nm
−
ff)
23
43
21
2
−
−−
+
x
xx R:
)2(35+−
xx
gg)
x
xx
11
11
−
−−
R:1
12
−+−
−x
xx