Post on 22-Jan-2018
MATEMÁTICAMATEMÁTICA
Clase 1Propiedades de las potencias
APRENDIZAJES ESPERADOS
• Interpretar la potencia de 10 y la notación científica
en situaciones cotidianas.
• Aplicar propiedades y operatoria de potencias (multiplicación,
división, potencia de potencia) en la resolución de problemas.
• Transformar números decimales y enteros múltiplos de 10 a potencias de 10.
• Comprender la definición de potencias
de base racional y exponente entero
Contenidos
1. Definición de potencias• Base entera y exponente entero• Base racional y exponente entero
2. Signos de una potencia• Exponente par• Exponente impar
3. Propiedades• Operaciones• Exponentes de una potencia
4. Potencia de 10• Definición• Notación científica
1. Definición de potencias
Una potencia es una multiplicación reiterada de términos o números iguales. El término o número que se va multiplicando, se llama base; la cantidad de veces que se multiplica dicha base se llama exponente.
an =
a ∙
a ∙
a ∙
a ∙ … a ∙
∙ a
n veces
44 =
4 ∙
4 ∙
4 ∙4 =
(– 5)2 = (– 5)∙ (– 5) = 25
256
Ejemplo:
Nota: – 52 ≠ (– 5)2, ya que: – 52 = (–1)·(5 ∙ 5) = – 25 y
(– 5)2 = (– 5) · (– 5) = 25
.00≠natal que,
1.1 Base entera y exponente entero
1.1 Base racional y exponente entero
1. Definición de potencias
En las potencias de base racional, el exponente entero eleva tanto aldenominador como al numerador.
2) 2
5
4
= 16
625=
2
5
2
52
52
5∙ ∙ ∙– – – – –
Ejemplos:
1) 8
3
2
=64
9=8 8
3 3
∙
3=8
2
2∙
2.1 Exponente par
2. Signos de una potencia
Las potencias con exponente par, son siempre positivas.
(– 13) ∙ (– 13) = 1691) (– 13)2 =
2) 3
7
4
=3
7∙ ∙– –
Ejemplos:
7– 3
7∙–
7– 3 3
2.401 81 =
En las potencias con exponente impar, la potencia conserva el signo de la base.
Ejemplos:
1) (– 9)3 = (– 9) ∙ (– 9) ∙ (– 9) = – 729
2) 2
3
5
= = 32243
2
32
32
32
32
3∙ ∙ ∙ ∙
2.2 Exponente impar
2. Signos de una potencia
3.1 Operatoria
3. Propiedades de potencias
1) De igual baseSe conserva la base y se suman los exponentes.
an+man ∙ am =
62 + 362 ∙ 63 = = 65
2) De igual exponente:
Ejemplos:
Se multiplican las bases, conservando el exponente.
(a ∙ b)nan ∙ bn =
67 ∙
24 ∙
34 =
67 ∙
(2 ∙ 3)4 = 67 ∙
64 = 611
• Multiplicación
1) De igual baseSe conserva la base y se restan los exponentes.
an – m an : am =
2) De igual exponente:
Ejemplos:
Se dividen las bases, conservando el exponente.
(a : b)nan : bn =
532
54= = 528532 – 4
(Con a distinto de cero)
(Con b distinto de cero)
87 : 24
164
= 87 : (16 : 2)4 = 87 : 84 = 83
3.1 Operatoria
3. Propiedades de potencias
• División
Se multiplican los exponentes.
(an )m = an ∙ m
(1112)3 = 1112 ∙ 3 = 11 36
Ejemplo
3. Propiedades de potencias
3.1 Operatoria
• Potencia de una potencia
Propongan un ejemplo para el caso de base racional
= 23
3 23
3ya que:
y = 23
3= 2∙2∙2
3 83
23
3= = 8
27 23
23
23
∙ ∙
Nota: No existe una regla para sumar o restar potencias, sin embargo cuando se tiene suma o resta de potencias exactamente iguales, se pueden reducir como términos semejantes.
2 3
2
32
32
32
3+ + + + =
m m m m m5 ·
2
3
mEjemplo
3. Propiedades de potencias
3.1 Operatoria
• Operaciones entre potencias
FACTORIZAR!
a0 = 1 (Para todo a distinto de cero)
Ejemplo
1
5– 3,8
9 – (16 – 7)
=1
5– 3,8
0
= 1
00 : indefinido
3. Propiedades de potencias
3.2 Exponentes de una potencia
• Exponente 0
Ejemplo
Se invierte la base y se eleva al exponente positivo.
1) Potencia de exponente negativo y base entera:
(Con a distinto de cero)
1 a– n =
a
n
= 1 an
3–3 ∙ 12
4
3
= ∙ (3)3
3
3 1
= 3 1
∙ 3 3= 1
3
= 1
3. Propiedades de potencias
3.2 Exponentes de una potencia
• Exponente negativo
Ejemplo
2) Potencia de exponente negativo y base fraccionaria:
a
b
– n
= b
a
n
(Con a distinto de cero
y b distinto de cero)
23=
3 32
3
– 3
=
33
2=
27
8__
3. Propiedades de potencias
3.2 Exponentes de una potencia
• Exponente negativo
4. Potencia de 10
1) Con exponente positivo:101 = 10
102 = 100
103 = 1.000
32.000.000 = 32 ∙ 1.000.000
= 32 ∙ 106
.
.
.
Ejemplo
4.1 Definición
Si la base de una potencia es 10, el exponente indicará la cantidad de ceros que acompañarán al 1 inicial.
Si el exponente tiene valor 1, entonces solo un cero acompaña a uno, si es 2 entonces dos ceros lo acompañan, y así sucesivamente.
2) Con exponente negativo:
Ejemplo
0,1
100= 1 0,01
10–3 = 11.000
= 0,001
10–1 =
10–2 =
.
.
.
10= 1
51072100.000
720,00072 −⋅==
4. Potencia de 10
4.1 Definición
Exponentes negativos indican el número de
decimales después de la coma.
4. Potencia de 10
4.2 Notación científica
Existen situaciones que suelen ser descritas a través de números muy grandes o muy pequeños. ¿Qué hacer en tal caso?
Expresar el número en notación científica
La notación científica corresponde a la escritura de cualquier número como una potencia de 10 multiplicada por un número entre 1 y 10, sin incluir a este último.
Ejemplo
51040002,3000.10040002,3002.340 ⋅=⋅=
Síntesis de la clase
Signos de una potencia
Potenciasan = a ∙ a ∙ a ∙ …a ∙ ∙ a
n veces
Propiedades Potencias de 10
Exponente par
Exponente impar
(– 2)2 = −2∙ −2 = 4
(– 2)3 = −2∙ −2 ∙ −2 =−8
an+man ∙ am =
(a ∙ b)nan ∙ bn =
Multiplicación
Divisiónan – m an : am =
(a : b)nan : bn =
(an )m = an ∙ m
Potencia de una potencia
101 = 10102 = 100
Exponente positivo
10-1 = 0,110-2 = 0,01
Exponente negativo
Notación científica
0,41=4,1* 10-1
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Equipo Editorial Matemática