Post on 03-Oct-2015
description
Mecnica del Medio Continuo I semestre 2014
Prof. Oscar Begambre (I.C.,M.Sc.,PhD) Clase 2
Verrazano Narrows, NY, 1964 Akashi Kaikyo, JP, 1990
La formula de Cauchy vista anteriormente est restringida debido a que da solamente las componentes de esfuerzo en las direcciones X, Y , Z originales. Para encontrar las nuevas componentes de esfuerzo en direccin de X,Y,Z arbitrarios se debe realizar una transformacin. Esta transformacin ser realizada en primera instancia empleando el algebra vectorial bsica y seguidamente se emplearan los formalismos del algebra de tensores. Si el nuevo sistema de Coordenadas es X, Y y Z, en este caso, el eje X coincide con el vector normal al plano ABC (ver figura 1 abajo) y los ejes Y y Z estn contenidos en ABC, la transformacin buscada puede ser determinada como se muestra a continuacin:
Transformacin del Tensor de Esfuerzo: Cambio de las componentes de esfuerzo en una transformacin de
coordenadas
Transformacin de coordenadas
X
Y
Z
Z
X, n Y
A
B
C
Fz
Fx
Fy
Cos(X, Z) = n
Cos(X, Y) = m
Cos(X, X) = l XX
ZX
YX
),(),(),( ZXCosFYXCosFXXCosF zYXXX
De la forma de Cauchy
1
7 repetida
Figura 1
Cambio de las componentes de esfuerzo en una transformacin de coordenadas
Empleando las ecuaciones 7 y 11 (ver clase 1 MMC) y sustituyndolas en las ecuaciones 1 y 2 (arriba) tenemos:
),(),(),(),(
),(),(),(),(
),(),(),(),(
ZXCosZXCosYXCosXXCos
YXCosZXCosYXCosXXCos
XXCosZXCosYXCosXXCos
ZZYZXZ
ZYYYXY
XZXYXXXX
2a
),(),(
),(),(
),(),(
),(),(),(
ZXCosXXCos
ZXCosYXCos
YXCosXXCos
ZXCosYXCosXXCos
ZX
YZ
XY
ZZYYXXXX
2
2
2
222
Ordenando, finalmente tenemos:
Sustituyendo 7 y 11 en la ec. 1:
2
Transformacin de coordenadas
X
Y
Z
Z
X, n Y
A
B
C
Fz
Fx
Fy
Cos(Y, Z) Cos(Y, Y)
Cos(Y, X) XX
ZX
YX
),(),(),( ZYCosFYYCosFXYCosF zYXYX
De la forma de Cauchy
3
7 repetida
Figura 1 r
Para determinar las otras componentes de esfuerzo se puede recurrir a la figura 1:
4
Cambio de las componentes de esfuerzo en una transformacin de coordenadas
Sustituyendo 7 y 11 en la ec. 2:
),(),(),(),(
),(),(),(),(
),(),(),(),(
ZYCosZXCosYXCosXXCos
YYCosZXCosYXCosXXCos
XYCosZXCosYXCosXXCos
ZZYZXZ
ZYYYXY
XZXYXXYX
Ordenando, finalmente tenemos:
),(),(),(),(
),(),(),(),(
),(),(),(),(
),(),(
),(),(),(),(
ZYCosXXCosXYCosZXCos
YYCosZXCosZYCosYXCos
XYCosYXCosYYCosXXCos
ZYCosZXCos
YYCosYXCosXYCosXXCos
ZX
YZ
XY
ZZ
YYXXYX
4a
La ecuacin 4a , por ejemplo, se puede usar para hallar el esfuerzo cortante que acta en la direccin Y en un plano cuya normal esta en la direccin X si se conocen las seis componentes Cartesianas del TENSOR de esfuerzo en el punto considerado y si la orientacin del sistema X, Yy Z es conocida.
Cambio de las componentes de esfuerzo en una transformacin de coordenadas
Tarea: (a)Determinar las cuatro ecuaciones de transformacin restantes siguiendo el procedimiento descrito anteriormente.(b)Si el estado de esfuerzo en un punto esta dado por:
calcule las componentes de esfuerzo en el mismo punto con relacin al sistema X, Y, Z si el sistema X, Y, Z se obtiene mediante una rotacin, en sentido contrario a las manecillas del reloj (+), de 45 grados del sistema X, Y, Z alrededor del eje Z. Respuesta:
Cambio de las componentes de esfuerzo en una transformacin de coordenadas empleando elementos de Algebra Tensorial Ver anexo 1 (abajo)
),cos( '' immiim eeQee 6 (del anexo 1)
Note que se puede definir El coseno director como:
Para un vector a, las componentes cartesianas son:
aea ii
aea ii ''
7
Sustituyendo ec. 5 en ec.7:
mmii aQa '
e1 =X
e2 =Y
e3 =Z
' Xe 1
' Ye 2
' Ze 3
a
Componentes del vector en cada sistema
Trasformacin ortogonal (Tensor)
Componentes cartesianas
8 (del anexo 1)
Tensores
Cambio de las componentes de esfuerzo en una transformacin de coordenadas Empleando elementos de Algebra Tensorial Ver anexo 1 (abajo)
Considerar cualquier tensor T. Sus componentes con relacin a los sistemas de la figura , son:
jiij TeeT
jiij TeeT'''
9 (del anexo 1)
mnnjmiij
nmnjmiij
nnjmmiij
jiij
TQQT
TeeQQT
eTQeQT
TeeT
'
'
'
'''
Usando ec.8 en ec.9b:
9b e1
e2
e3 '1e
'
2e'
3e
Usando ec.8 en :
10 (del anexo 1)
Trasformacin del tensor de esfuerzos
mnnjmiij TQQT ' Ultima ec.10 (del anexo 1)
mnnjmiij QQ '
Haciendo analoga con la ec.10, se puede escribir para la trasformacin de esfuerzos:
A
),cos( '' immiim eeQee
Teniendo en cuenta la definicin de cosenos directores dada en la ec. 6 (del anexo 1) se pueden recuperar, a partir de la ec. A, por ejemplo, la ecuaciones 2a y 4a . Para esto, es necesario recordar que el nmero de ndices libres ayuda a determinar el nmero de ecuaciones de una expresin (en este caso, ese nmero es igual a 2, luego la ec. A representa, de forma estricta 9 ecuaciones, que se reducen a 6 debido a la simetra del tensor de esfuerzo. Cada ecuacin dada en A tiene nueve trminos ya que existen dos ndices mudos en la expresin.
ndices libres ndices libres
Cambio de las componentes de esfuerzo en una transformacin de coordenadas Empleando elementos de Algebra Tensorial Ver anexo 1 (abajo)
6 (del anexo 1)
Cambio de las componentes de esfuerzo en una transformacin de coordenadas Empleando elementos de Algebra Tensorial Ver anexo 1 (abajo)
Expandiendo la ecuacin A (teniendo en cuenta la ec. 6 anexo 1) para recuperar la ecuacin 2a se obtiene:
mnnjmiij QQ '
ZYXnmji ,,
Haciendo i=X
njmXmnXj QQ '
Haciendo j=X
nXmXmnXX QQ '
Expandiendo en m=X,Y,Z
nXZXZnnXYXYnnXXXXnXX QQQQQQ '
A
B
C
D
Cambio de las componentes de esfuerzo en una transformacin de coordenadas Empleando elementos de Algebra Tensorial Ver anexo 1 (abajo)
ZXXXZX
ZXYXYZ
YXXXXY
ZXZZYXYYXXXXXX
QQQ
2
2
2
222
Expandiendo en n=X,Y,Z
ZXZXZZYXZXZYXXZXZX
ZXYXYZYXYXYYXXYXYX
ZXXXXZYXXXXYXXXXXXXX
QQQQQQ
QQQQQQ
QQQQQQ
'
Ordenando y usando la definicin de la ec 6 (del anexo 1), llegamos a:
E
F
),(),(
),(),(
),(),(
),(),(),(
eXeZCoseXeXCos
eXeZCoseXeYCos
eXeYCoseXeXCos
eXeZCoseXeYCosXeeXCos
ZX
YZ
XY
ZZYYXXXX
2
2
2
222
Cambio de las componentes de esfuerzo en una transformacin de coordenadas Empleando elementos de Algebra Tensorial Ver anexo 1 (abajo)
Finalmente, se obtiene:
2 (repetida)
),(),(
),(),(
),(),(
),(),(),(
ZXCosXXCos
ZXCosYXCos
YXCosXXCos
ZXCosYXCosXXCos
ZX
YZ
XY
ZZYYXXXX
2
2
2
222
Comparando la ec. G con la ec. 2a, se concluye que llegamos al mismo resultado:
G
T
T
y
'
'
Cambio de las componentes de esfuerzo en una transformacin de coordenadas Empleando elementos de Algebra Tensorial Ver anexo 1 (abajo)
12 (del anexo 1)
13(del anexo 1)
Para finalizar , la ecuacin A, se puede escribir en forma matricial (ver anexo 1) de la siguiente forma:
Matriz de transformacin (cosenos directores)
Esfuerzos Principales Si la seis componentes de esfuerzo en el punto son conocidas, vamos a considerar la pregunta existen planos sobre los cuales el esfuerzo cortante es nulo? O de otra forma existen planos donde el esfuerzo total actuante es nicamente el esfuerzo normal?:
X
Y
Z
Z
X, ni Y
A
B
C
Piz
Pix
Piy
Cos(ni, Z)
Cos(ni, Y)
Cos(ni, X)
i
Si solo existe i en uno de esos planos, entonces se puede escribir que las componentes del vector de esfuerzo en tal plano son :
),(
),(
),(
ZnCosP
YnCosP
XnCosP
iiiZ
iiiY
iiiX
5
Piy = Componente del vector de esfuerzo en la direccin Y, sobre el plano ABC en el cual se espera encontrar que los esfuerzos cortantes son nulos
Esfuerzos Principales
Para encontrar los cosenos directores de los planos buscados, sustituimos la ec. 5 en la 7 repetida (semana I), y obtenemos:
),(),(),(),(),(),(
),(),(),(
ZnCosYnCosXnCos
ZnCosYnCosXnCos
ZnCosYnCosXnCos
iiZZiYZiXZ
iZYiiYYiXY
iZXiYXiiXX
0
0
0
6
0
iZZYZXZ
ZYiYYXY
ZXYXiXX
Una solucin no trivial de la ec. 6 para los tres cosenos directores puede existir solo si el determinante de sus coeficientes es cero:
6a
Expandiendo la ec. 6, obtenemos:
Esfuerzos Principales, Planos Principales y Direcciones Principales
ZXYZXYXYZZZXYYYZXXZZYYXX
iZXYZXYXXZZZZYYYYXX
iZZYYXXi
2
0
222
222
23
6b
Las tres races de la ec. 6a son reales, y puede concluirse que con cada estado de esfuerzo en un punto hay asociados tres y solo tres esfuerzos normales distintos que ocurren en planos libres de esfuerzo cortante. A esos esfuerzos se les conoce como esfuerzos principales, a los planos donde estos actan se les llama planos principales y a las direcciones de las normales
saliendo de estos planos se le denomina direcciones principales.
Tarea: Establezca la contraparte bidimensional de la ecuacin 6b suponiendo que todas las componentes de esfuerzo en Z son nulas.
Expandiendo el determinante anterior:
Invariantes de Esfuerzo
det
3
222
3
222
2
1
2
I
I
I
I
ZXYZXYXYZZZXYYYZXXZZYYXX
ZXYZXYXXZZZZYYYYXX
ZZYYXX
Los esfuerzos principales dados por la ecuacin 6b dependen solo del estado de esfuerzo en el punto y no de la orientacin del sistema de coordenadas. Por lo tanto, los coeficientes
dados en la ecuacin 6c no cambian con una variacin de la orientacin del sistema de coordenadas. Las tres cantidades mostradas en la ecuacin 6c se conocen como los tres
Invariantes de Esfuerzo.
6c
Tres casos comunes en la determinacin de Esfuerzos Principales, Planos Principales y Direcciones
Principales
1 CASO. Si las tres races de la ecuacin 6b son diferentes, los tres esfuerzos principales ocurren sobre un conjunto de planos principales mutuamente perpendiculares.
2 CASO. Si dos de las tres races son iguales, todos los planos perpendiculares al plano principal donde
1 acta son planos principales.
3 CASO. Si las tres races son iguales, cada plano es un plano principal(estado de esfuerzo hidrosttico).
321
321
321
Determinacin de Esfuerzos Principales, Planos Principales y Direcciones Principales
Si las componentes cartesianas del estado de esfuerzo en un punto se conocen y se desean calcular los esfuerzos y direcciones principales, se puede proceder de la siguiente forma:
1. Determinar los tres invariantes de esfuerzo, ec. 6c
2. Determinar la tres races de la ec. 6b 3. Con una de las races de 6b, p.ej 1. (si es pertinente ver los casos 1, 2 y 3 atrs) ir a la ec 6
y calcular los tres cosenos directores que definen la orientacin de la normal al plano principal respectivo. Repetir el paso 3 para las otras races (consultar sobre otros mtodos
de resolucin 4. Fin
Tarea: determinar los esfuerzo principales y sus direcciones para el estado de esfuerzo:
602180
21701
80150
...
..
..
Anexo 1. Elementos de Algebra Tensorial Tensor Ortogonal
Es una trasformacin lineal, la cual hace que los vectores trasformados preserven su longitud y sus ngulos:
),cos(),cos( QbQaba
aQa
1
Tenemos:
IQQT
Definicin de traspuesta de un tensor
2
3
baQbQa )()(
IQQT
(demostrar)
ijmjmijmim QQQQ 4
Elementos de Algebra Tensorial
Leyes de trasformacin para componentes cartesianas de vectores y de tensores
mmiii eQQee '
e1
e2
e3
'
1e
'
2e
'
3e
5 Relacin
Vectores
Figura 1
Elementos de Algebra Tensorial
),cos( '' immiim eeQee 6 Note que:
Para un vector a, las componentes cartesianas son:
aea ii
aea ii ''
7
Sustituyendo ec. 5 en ec.7:
mmii aQa '
e1
e2
e3 '1e
'
2e'
3e
a
Componentes del vector en cada sistema
Trasformacin ortogonal (Tensor)
Componentes cartesianas
8
Tensores
Elementos de Algebra Tensorial
Considerar cualquier tensor T. Sus componentes con relacin a los sistemas de la figura , son:
jiij TeeT
jiij TeeT'''
9a
mnnjmiij
nmnjmiij
nnjmmiij
jiij
TQQT
TeeQQT
eTQeQT
TeeT
'
'
'
'''
Usando ec.8 en ec.9b:
9b e1
e2
e3 '1e
'
2e'
3e
Usando ec.8 en :
10
Tensores
Elementos de Algebra Tensorial
De forma equivalente muestre que:
mnjnimij TQQT' 11
Escribiendo las ecs. 10 y 11 en forma matricial
T
T
QTQT
y
QTQT
'
'
Diferentes Matrices
del mismo tensor
1210
1311
Forma alternativa de definir un tensor: Usar las leyes de trasformacin que relaciona sus componentes en
diferentes bases
Elementos de Algebra Tensorial
En coordenadas rectangulares, usando vectores unitarios en las direcciones positivas de las coordenadas:
e1
e2
e3 '1e
'
2e'
3e
mnrrknjmiijk
mnnjmiij
mmii
TQQQT
TQQT
bQb
'
'
'
' Escalar (tensor orden cero)
Vector (tensor primer orden)
Tensor (tensor segundo orden)
Tensor (tensor tercer orden)
14
Complemento de la definicin analtica de escalares, vectores y tensores cartesianos
Elementos de Algebra Tensorial
e1
e2
e3 '
1e
'
2e'
3e
e1
x1
x2
x3
'
3x
'
2x
'
1x
jiji xx 15
),cos( 1221 xxDonde:
jjii xx 16
Escalar (tensor orden cero) nica componente
Campo Vectorial (tensor primer orden) tres componentes en las variables xi
Campo Tensorial (tensor segundo orden) nueve componentes en las variables xi
Un sistema de cantidades se llama escalar, vector o tensor dependiendo de cmo se definen las componentes del sistema en las variables x1,
x2,x3 y de cmo se trasforman cuando se cambia del sistema x1, x2,x3 al x1
, x2 ,x3
Elementos de Algebra Tensorial
),,(),,( 321321 xxxxxx
kiki
ikki
xxxxxx
xxxxxx
),,(),,(
),,(),,(
321321
321321
njmimnij
jnimmnij
xxxxxx
xxxxxx
),,(),,(
),,(),,(
321321
321321
17a
Generalizar para ordenes mayores o menores. n=1,2 o n=1,2,p
17b
17c
Ejemplo 1. Muestre que, si todas las componentes de un tensor cartesiano se
anulan en un sistema de coordenadas entonces ellas se anulan en todos los otros sistemas de coordenadas.
Elementos de Algebra Tensorial
Solucin
17c de Podemos concluir que si cada componente
njmimnij
jnimmnij
xxxxxx
xxxxxx
),,(),,(
),,(),,(
321321
321321
mn se anula, entonces
el termino de la derecha se anula tambin y por lo tanto 0ij para todo ij
Ejemplo 2. Pruebe el siguiente teorema: la suma o resta de dos tensores
cartesianos del mismo orden es nuevamente un tensor del mismo orden
Elementos de Algebra Tensorial
prueba
17c usando tenemos:
jnimmnij
jnimmnij
xxxBxxxB
xxxAxxxA
),,(),,(
),,(),,(
321321
321321
ijij BA ,Sean dos tensores
Sumando:
)),,(),,((),,(),,( 321321321321 xxxBxxxAxxxBxxxA mnmnjnimijij
Cumple con la definicin de tensor
De los ejemplos anteriores podemos concluir que, si una ecuacin tensorial es establecida en un sistema de coordenadas, entonces ella debe
ser valida para todos los sistemas de coordenadas obtenidos mediante
trasformaciones admisibles (tarea consultar sobra definicin de trasformacin admisible)
Elementos de Algebra Tensorial
Funciones de valor nico, continuas, con primera derivada parcial continua. Determinante del Jacobiano no nulo en cualquier punto.