CLASE 7 PARTE 1: LÍMITES DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Cálculo Diferencial e Integral II. Eleonora Catsigeras.IMERL. Fac. de Ingeniería. UdelaR. J. Herrera y Reissig 565. Montevideo. Uruguay. Agosto 2006.

Derechos reservados.

Ejercicios para las clase 7

•Práctico 2 del año 2006, ejercicios 3 a 11

Bibliografía de la Clase7:

•Juan de Burgos: Cálculo Infinitesimal en Varias Variables. Capítulo 1, sección 1.2, parágrafos 11, 12 y 13.

DEFINICIÓN: Se dice que

cuando

Nota: Bola reducida de centro a, radio delta, es la bola abiertasin su centro a:

EJEMPLO. Probar que existe y es igual a cero el siguienteLímite:

COORDENADAS POLARES:

*

CLASE 7 PARTE 2: LÍMITE DE FUNCIONES

COMO LÍMITE DE SUCESIONES

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Ejercicios para las clase 7

•Práctico 2 del año 2006, ejercicios 3 a 11

Bibliografía de la Clase7:

•Juan de Burgos: Cálculo Infinitesimal en Varias Variables. Capítulo 1, sección 1.2, parágrafos 11, 12 y 13.

Recordemos la definición de límite de una función: Se dice que

cuando

TEOREMA: Límite de funciones como límite de sucesiones.

Dem. Directo

Hemos probado que

Dem. Recíproco

Lo anterior se obtiene NEGANDO la definición de límitede f igual a L.

CLASE 7 PARTE 3: LÍMITE INFINITO Y

LÍMITE CUANDO P TIENDE A INFINITO

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Ejercicios para las clase 7

•Práctico 2 del año 2006, ejercicios 3 a 11

Bibliografía de la Clase7:

•Juan de Burgos: Cálculo Infinitesimal en Varias Variables. Capítulo 1, sección 1.2, parágrafos 11, 12 y 13.

Vimos la Definición de Límite L en Rs Cuando p tiende a a en Rq:

DEFINICIÓN: Límite Infinito cuando p tiende a a en Rq

DEFINICIÓN: Límite L en Rs cuando p tiende a infinito.

DEFINICIÓN: Límite infinito cuando p tiende a infinito.

CLASE 7 PARTE 4: PROPIEDADES DE LOSLÍMITES DE FUNCIONES

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Ejercicios para las clase 7

•Práctico 2 del año 2006, ejercicios 3 a 11

Bibliografía de la Clase7:

•Juan de Burgos: Cálculo Infinitesimal en Varias Variables. Capítulo 1, sección 1.2, parágrafos 11, 12 y 13.

1. UNICIDAD DEL LÍMITE:

2. Si el límite L existe en Rs entonces la función es acotada en un entorno de a.3. Límite

de funcionesVectoriales

4. LÍMITE DE LA SUMA DE FUNCIONES

5. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN POR UN ESCALAR

6. DESIGUALDADES DE LÍMITES PARA FUNC. REALES.

EJEMPLO. Calcular si existe, el siguiente límite:

sigue

Vimos en el ejemplo de la primera parte de esta clase:

CLASE 7 PARTE 5: LÍMITES DIRECCIONALES

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Ejercicios para las clase 7

•Práctico 2 del año 2006, ejercicios 3 a 11

Bibliografía de la Clase7:

•Juan de Burgos: Cálculo Infinitesimal en Varias Variables. Capítulo 1, sección 1.2, parágrafos 11, 12 y 13.

Sea una función real de dos variables:

Límite de f cuando p tiende al origen a=(0,0)Dirección por el origen: rectas del plano x,y que pasan por el origen y tienen pendiente Lambda, o recta vertical x=0 (pendiente infinita).

DEFINICIÓN: Límite direccionalde f según la dirección con pendiente Lambda es:

En particular si la pendiente es 0 :

Límite direccional según la dirección x=0

TEOREMA: Límites direccionales

LÍMITE A LO LARGO DE CURVAS CONTINUAS:

TEOREMA: Límite a lo largo de curvas

Dem. Teorema de límites direccionales.

sigue

Hemos probado: