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3.4 ECUACIONES DE TENSIONES PLANAS
Problemas en Teora de Elasticidad son considerablemente simplificados si todos los esfuerzos son
paralelos a un plano. Hay muchos problemas en los cuales la distribucin de esfuerzos es
esencialmente plana. El ejemplo clsico para tensiones planas es una placa delgada sujeta a fuerzas
paralelas al plano de sta y uniformemente distribuidas sobre su espesor.
La condicin de tensiones planas es obtenida cuando sz, txz y tyz y todas las variaciones deesfuerzos con respecto a z son cero. Luego, las relaciones de esfuerzo deformacin para el estado de
tensiones planas estar dado por las siguientes ecuaciones:
yxz
xyy
yxx
E
)27.3(E
1
E
1
ssu
uss
uss
G
xy
xy
t
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Las condiciones de equilibrio, relaciones de deformacin desplazamiento y las ecuaciones de
compatibilidad son en este caso:
)28.3(0Yyx
0Xyx
yxyyxx
s
t
t
s
y
v
x
uyx
)29.3(
x
v
y
uxy
)30.3(yxxy
xy2
2
y2
2
x2
Sustituyendo las ecuaciones (3.27) en (3.30) se tiene:
)31.3(yx
12xy
xy2
xy2
2
yx2
2
tusus
sus
Diferenciando la primera ecuacin de equilibrio con respecto a x, la segunda respecto a y, y sumando
estos resultados se tiene:
y
Y
x
X
yxyx2
2
y2
2
x2
xy2
s
s
t
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Reemplazando:
)32.3(y
Y
x
X1
yxyx2
2
2
2
uss
Si las fuerzas msicas son constantes o cero:
)33.3(0yx
yx2
2
2
2
ss
Hay tres componentes de esfuerzos desconocidas. Las ecuaciones necesarias para obtener una
solucin son las ecuaciones de equilibrio (3.28) y las ecuaciones de compatibilidad (3.32 3.33), junto
a las condiciones de borde.
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3.5 ECUACIONES DE DEFORMACIONES PLANAS
Simplificaciones de problemas en Teora de Elasticidad tambin ocurren cuando un estado de
deformaciones planas existe. Si los desplazamientos de todos los puntos de un cuerpo deformado
estn en planos normales al eje longitudinal del cuerpo, un estado de deformacin plana existe. El
problema no se complica si una extensin uniforme en la direccin de este eje longitudinal es sobre
impuesta a la deformacin plana. Un buen ejemplo de deformacin plana es un tnel horizontal de gran
longitud a cierta profundidad en el macizo rocoso.
Para que exista deformacin plana, xz y yz deben ser cero a travs del cuerpo y todas las
variaciones de z con respecto a z deben ser cero. Luego z es cero o una constante. Si z es igual acero en la ltima ecuacin de esfuerzo deformacin (3.4) el resultado es:
)35.3(11E
1
11E
1
xy2
y
yx2
x
suusu
suusu
xy
xy
xyE
12
Gt
ut
)34.3(yxz ssus
Luego, las relaciones de esfuerzo deformacin con z igual a cero son:
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Las condiciones de equilibrio, relaciones de deformacin desplazamiento y las ecuaciones de
compatibilidad son las mismas que en el caso de las tensiones planas:
Sustituyendo las ecuaciones (3.35) en (3.30) se tiene:
yx
2xyxy
1xy
2
2
x2
2
y2
2
y2
2
x2
t
s
su
s
su
Diferenciando de manera similar las ecuaciones de equilibrio a lo antes indicado y sumando estos
resultados se tiene:
)36.3(y
Y
x
X
1
1
yxyx2
2
2
2
uss
Si las fuerzas msicas son constantes o cero:
)37.3(0yx
yx2
2
2
2
ss
Cabe destacar que ninguna ecuacin de compatibilidad o equilibrio contiene las constantes elsticas
del cuerpo. Por lo que la distribucin de esfuerzos es la misma para todos los materiales isotrpicos
que proporcionen un estado de tensiones o deformaciones bidimensional.
Nuevamente, las ecuaciones necesarias para obtener una solucin son las ecuaciones de equilibrio
(3.28) y las ecuaciones de compatibilidad (3.36 3.37), junto a las condiciones de borde.
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3.6 FUNCIN DE ESFUERZOS DE AIRY
Ha sido demostrado que problemas en dos dimensiones en Teora de Elasticidad se reducen a resolver
las dos ecuaciones diferenciales de equilibrio y las ecuaciones diferenciales de compatibilidad. Las
constantes de integracin son evaluadas mediante las condiciones de borde. La tcnica habitual para
resolver esas ecuaciones cuando las fuerzas msicas son cero o constantes es introducir una nueva
funcin conocida como la FUNCIN DE ESFUERZOS DE AIRY.
Considerando las fuerzas msicas igual a cero; entonces la funcin de esfuerzos de Airy es definidacomo:
2
2
xy
s
2
2
yx
s )38.3(
yx
2
xy
t
)39.3(0yx
0yx
yxyyxx
s
t
t
s
Las ecuaciones de equilibrio en 2D para fuerzas msicas igual a cero son:
Sustituyendo la ecuacin (3.38) en (3.39) se demuestra que la funcin de esfuerzos de Airy satisface
las ecuaciones de equilibrio. La ecuacin de compatibilidad 2D es:
)40.3(0yx
yx2
2
2
2
ss
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Sustituyendo la ecuacin (3.38) en (3.40) se obtiene:
)41.3(0yyx
2xyxyx 4
4
22
4
4
4
2
2
2
2
2
2
2
2
Cualquier funcin que satisfaga la ecuacin (3.41) tambin satisface las condiciones de
compatibilidad y las condiciones de equilibrio. Luego, problemas bidimensionales que involucren
fuerzas msicas igual a cero se reducen a resolver la ecuacin diferencial de cuarto grado, bi-armnica
dada en (3.41)
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3.7 PRINCIPIO DE SAINT-VENANT
El resolver grupos de ecuaciones diferenciales parciales simultneas es una difcil tarea. Mtodos
directos para obtener las soluciones no estn siempre disponibles; por lo tanto, recurriremos a otros
mtodos. Una tcnica adecuada es suponer una solucin final posible. La solucin supuesta es
verificada contra las ecuaciones bsicas y condiciones de borde. Si todas las condiciones no son
satisfechas, se revisa la solucin asumida y el proceso de chequeo se repite hasta encontrar una
solucin que satisfaga todas las condiciones del problema.
En la prctica, las condiciones de borde no siempre pueden ser especificadas matemticamente.
Soluciones para estos problemas a veces pueden ser encontradas por otras condiciones de borde. En
tales casos, un principio propuesto por Saint Venant es utilizado. Brevemente este principio establece:
Si un sistema de fuerzas actuando sobre una porcin del borde es reemplazado por un sistema
de fuerzas estticamente equivalente actuando en la misma porcin del borde, entonces los
esfuerzos, deformaciones y desplazamientos del cuerpo no rgido en partes del cuerpo
suficientemente alejadas de esta porcin del borde son aproximadamente las mismas. Este
principio ha sido verificado terica y experimentalmente, tanto que hoy es aceptado como una ley
fundamental de la teora de elasticidad.
En otras palabras, el principio establece que el valor de las fuerzas interiores en los puntos de un
slido, situados suficientemente lejos de los lugares de aplicacin de las cargas, depende muy poco
del modo concreto de aplicacin de las mismas. Por lo tanto, a suficiente distancia del punto de
aplicacin de cargas, los efectos de las mismas dependen slo de su resultante y no de su
distribucin, es decir, que sistemas estticamente equivalentes producen los mismos efectos.
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3.7 SOLUCIONES CLSICAS EN TEORA DE ELASTICIDAD
FUNCIN DE ESFUERZOS DE AIRY EN COORDENADAS POLARES
2
2
2r r
1
rr
1
s
)42.3(r 2
2
s
t
rr
1
r
1 2
2r
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r
v
r
vu
r
1
)43.3(v
r
1
r
u
r
u
r
r
tu
sus
sus
rr
r
rr
E
12
)44.3(E
1
E
1
Relaciones de deformacin desplazamiento en coordenadas polares
Relaciones de esfuerzo - deformacin en coordenadas polares
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3.7.1 CILINDRO DE PARED GRUESA
ir ps
0r ps
aren0y r t
bren0y r t
rlogCAr 2
2
2
2r r
1
rr
1
s
2
2
r
s
t
rr
1
r
1 2
2r
Condiciones de borde:
Funcin de esfuerzos:
Esfuerzos en coordenadas polares:
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)ab(r
PPba
ab
PaPb222
0i22
22
i2
02
r
s
)45.3(
)ab(r
PPba
ab
PaPb222
0i22
22
i2
02
s
0r t
Resolviendo se tiene:
Caso especial si Pi = 0 :
2
2
22
02
rr
a1
ab
Pbs )46.3(0r t
2
2
22
02
r
a1
ab
Pbs
Cuando r = a, sr = 0 :
22
02
ab
Pb2
s
Cuando r = b, sr = P0 :
22
220
ab
abP
s
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Distribucin de esfuerzos para un cilindro de
razn a/b = 0.8
Distribucin del esfuerzo tangencial mximo con la
razn a/b
220
2
abE
pba2u
Desplazamiento radial generado en el cilindro de pared gruesa:
DEMOSTRAR!!
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Condiciones de borde (Ecuaciones de Esfuerzos en 2D,
2.11 y 2.12):
s 2cosPPPP 2121
2121
rr
t 2senPP 2121
rr
0arrarr
ts
Funcin de esfuerzos:
2cosFErDrCrBrrlogA 2422
3.7.2 PLACA INFINITA CON UNA PERFORACIN CIRCULAR
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Reemplazando se tiene:
s 2cosr
a4
r
a31PP
r
a1PP
2
2
4
4
2121
2
2
2121
r
)47.3(2cosr
a31PP
r
a1PP
4
4
2121
2
2
2121 s
t 2senr
a2
r
a31PP
2
2
4
4
2121
r
Si P1 = P2 = P :
2
2
rr
a1Ps )48.3(0r t
2
2
r
a1Ps
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A partir de las ecuaciones desplazamiento Esfuerzo es posible determinar los desplazamientos:
u
2cosr
ar
2
PP
r
ar
2
PP
E
2cosr
a4
r
ar
2
PP
r
ar
2
PP
E
1u
3
421
221
2
3
421
221
)49.3(2senr
a
r
a2r
2
PP
E
2senr
a
r
a2r
2
PP
E
1v
3
4221
3
4221
u
DEMOSTRAR!!
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3.7.3 OTRAS SOLUCIONES ELSTICAS
CARGA CONCENTRADA EN EL BORDE DE UNA PLACA SEMI INFINITA
rt
senoF2r
s
0r t
0s
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CARGA CONCENTRADA DIAMETRALMENTE SOBRE UN DISCO CIRCULAR
Dt
F2r
s
0r t
0s
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CILINDRO DE PARED DELGADA EN UN CAMPO DE ESFUERZOS TRIAXIAL
)ab(r
PPba
ab
PaPb222
0i22
22
i2
02
r
s
)ab(r
PPba
ab
PaPb222
0i22
22
i2
02
s
0r t
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3.8 INFLUENCIA DE LA FORMA DE LA EXCAVACIN