Post on 27-Apr-2015
MMéétodos Numtodos Numééricos en ricos en IngenierIngenierííaa
CAPCAPÍÍTULO II: AproximaciTULO II: Aproximacióón Numn Numééricarica
Elkin Rodolfo SantafElkin Rodolfo Santaféé RangelRangelIngeniero de PetrIngeniero de Petróóleosleos
BucaramangaBucaramanga –– Colombia Colombia ©© 20082008
©© Elkin SantafElkin Santaféé ●● 2008 2008 ●● MMéétodostodos NumNumééricosricos en en IngenierIngenierííaa CAP. II: CAP. II: AproximaciAproximacióónn NumNumééricarica
Cifras SignificativasCifras Significativas
Se les llama cifras significativas (también dígitos significativos) al número de todos los dígitos conocidos reportados en una medida, más el último dígito que es incierto (estimado).
Este grupo de cifras tiene un significado y sentido representativo para el problema que se estáresolviendo.
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Cifras SignificativasCifras Significativas
Reglas para determinar el número de cifras significativas en una medida:
Los números diferentes de 0 siempre son significativos. Ejemplo: 32.2356g tiene 6 cifras
Los ceros entre números siempre son significativos. Ejemplo: 208.3g tiene 4 cifras
Todos los ceros finales a la derecha del punto decimal son significativos.Ejemplo: 7.30 g tiene 3 cifras
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Cifras SignificativasCifras Significativas
Reglas para determinar el número de cifras significativas en una medida:
Los ceros que sirven para ubicar el punto decimal no se cuentan. Ejemplo: 0.0345g tiene 3 cifras y 5630g también tiene 3
cifras (en notación científica)
Números que resultan de contar o constantes definidas, tienen infinitas cifras significativas.
Ejemplo: en el salón se contaron 24 estudiantes, esa medida tiene infinitas cifras porque es un número exacto.
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Cifras SignificativasCifras Significativas
En el momento de operar con las cifras:
Al multiplicar o dividir, la respuesta tendrá el mismo número de cifras significativas que el factor que tenga menos cifras.
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Cifras SignificativasCifras Significativas
En el momento de operar con las cifras:
En las sumas y restas, alinea por punto decimal los números y el resultado tendrá tantos lugares decimales como el dato menos exacto (con menos lugares después del punto).
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Cifras SignificativasCifras Significativas
Reglas de redondeo:
● Si el dígito a eliminar es 5 seguido de un número que no sea 0 el que se queda se aumenta8.2353→8.24
● Si el dígito a eliminar es menor que 5, no hagas cambios en el que se queda8.231 → 8.23
● Si el dígito a eliminar es mayor que 5 aumenta en 1 al que se queda8.236 → 8.24
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Cifras SignificativasCifras Significativas
Reglas de redondeo:
● Si el dígito que vas a eliminar es 5 seguido de 0 mira al próximo que sigue, si es impar aumentas y si es par lo dejas igual
8.23503→8.248.23502→8.23
Aporte de las seriesAporte de las series
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Una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos an como
donde N es el índice final de la serie.
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Aporte de las seriesAporte de las series
Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir, .
Las series convergen o divergen. Una serie diverge si
Una serie converge si,
Serie de TaylorSerie de Taylor
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( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n
nin
iiiii Rh
nxfhxfhxfhxfxfxf ++++++=+ !
...!3!2
3'''
2''
'1
( )( )( )
11
! 1+
+
+= n
n
n hn
fR ξ
Tipos de Diferencia Finita
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( ) ( ) ( )iii xfh
xfxf '1 ≈− −( ) ( ) ( )iii xf
hxfxf '1 ≈
−+
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n
nin
iiiii Rh
nxfhxfhxfhxfxfxf ++++++=+ !
...!3!2
3'''
2''
'1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n
nin
iiiii Rh
nxfhxfhxfhxfxfxf +++−+−=− !
...!3!2
3'''
2''
'1
SERIE DE TAYLOR HACIA ADELANTE
SERIE DE TAYLOR HACIA ATRÁS
D.F. Progresiva D.F. Regresiva
Serie de TaylorSerie de Taylor
Tipos de Diferencia Finita
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SERIE DE TAYLOR HACIA ADELANTE
SERIE DE TAYLOR HACIA ATRÁS
D.F. Central
+
( ) ( ) ( ) ( ) ...!3
22 3'''
'11 +++= −+ hxfhxfxfxf i
iii
( ) ( ) ( ) ( ) ...!3 2
2'''
11' −−−
= −+ hxfh
xfxfxf iiii
Serie de TaylorSerie de Taylor
Orden de Truncamiento
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( ) ( ) ( ) ( )iii xfhOh
xfxf '1 =+−+
( ) ( ) ( ) ( )iii xfhOh
xfxf '1 =+− −
( ) ( ) ( ) ( )211'
2hO
hxfxfxf ii
i +−
= −+
Serie de TaylorSerie de Taylor
Orden de Truncamiento
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( ) ( ) ( ) ( )iii xfhOh
xfxf '1 =+−+
( ) ( ) ( ) ( )iii xfhOh
xfxf '1 =+− −
( ) ( ) ( ) ( )211'
2hO
hxfxfxf ii
i +−
= −+
Serie de TaylorSerie de Taylor
Exactitud y precisiExactitud y precisióónn
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La PRECISIÓN es la reproducibilidad de los datos que se obtienen al aplicar un método (Aplicación específica de una técnica). Es afectada por los errores aleatorios es decir de los errores, los cuales no se conoce su fuente de error.
La EXACTITUD es que tanto nos acercamos a l valor real aceptado. No puede haber exactitud si no hay precisión, pero si puede haber precisión sin haber exactitud.
Definiciones de ErrorDefiniciones de Error
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Valor verdadero = Valor Aproximado + error
Esta definición no toma en cuenta el orden de magnitud del valor que se estima. Por ejemplo, un error de 1 cm es mucho más significativo si se está midiendo un remache en lugar de un puente.
Et = Valor verdadero - Valor Aproximado
Definiciones de ErrorDefiniciones de Error
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Para solucionar este problema se puede normalizar el error respecto al valor verdadero.
*100 trel
error verdaderoEvalor verdadero
=
Se denota como error relativo porcentual verdadero.Sin embargo, en las situaciones reales no se tienen dichos valores verdaderos.
Definiciones de ErrorDefiniciones de Error
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Para solucionar este problema se hace uso de la mejor estimación posible.
*100 a
error apróximadoEvalor apróximado
=
Se denota como error relativo aproximado.También cuando existen involucrados procesos iterativos existe una expresión asociada.
Definiciones de ErrorDefiniciones de Error
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Para relacionar las iteraciones:
*100 a
aproximación actual aproximación anteriorEaproximación actual
−=
El signo no influye pero si la magnitud y las cifras significativas asociadas:
a sE E< ( )20.5*10 %nsE −=
Definiciones de ErrorDefiniciones de Error
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Otros tipos de errores son:
• Errores de redondeo: overflow – underflow• Errores aleatorios• Error de truncamiento
Caso AplicadoCaso Aplicado
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Aplicación al flujo de un fluido incompresible 1D monofásico.
Se desea calcular las tasas (de inyección y de producción) y la distribución de presiones para el siguiente sistema:
60 ft
420 ft2
2
2
2001200
600 /
100 /
x
iny
pro
k mDcp
A ftP lb ft
P lb ft
μ=
=
=
=
=
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Aplicación al flujo de un fluido incompresible 1D monofásico.
Suposiciones:
- Sistema lineal- Medio homogéneo- Fluido incompresible
( )K qtρφα ρ α α
μ⎛ ⎞ ∂
−∇ ⋅ ∇Φ = ±⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠► Ecuación fundamental de flujo de fluidos.
Caso AplicadoCaso Aplicado
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Aplicación al flujo de un fluido incompresible 1D monofásico.
Dadas las características del sistema se usan las presiones de inyección y de producción para calcular el flujo a través de todas las celdas.
360XΔ =
iny proP P PΔ = −
KA Pqx
ψμ
Δ=
Δ1,127ψ = 2
3
//
k DP lb ftq STBD ft
→
→
→
Caso AplicadoCaso Aplicado
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Aplicación al flujo de un fluido incompresible 1D monofásico.
(0, 2)(1,127)(200)(600 100)(1,0)(360)
KA Pqx
ψμ
Δ −= =
Δ
62q Blsd=
iny prodq q= −
Dadas las condiciones entonces:
Caso AplicadoCaso Aplicado
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Aplicación al flujo de un fluido incompresible 1D monofásico.
Caso AplicadoCaso Aplicado
21 1
2 2
2i i iP P PPx x
+ −− +∂≈
∂ Δ
( )K qtρφα ρ α α
μ⎛ ⎞ ∂
−∇ ⋅ ∇Φ = ±⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠
2
2 0Px
∂=
∂
Ecuación resultante una vez hechas las simplificaciones respectivas.
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Aplicación al flujo de un fluido incompresible 1D monofásico.
Caso AplicadoCaso Aplicado
21 1
2 2
2i i iP P PPx x
+ −− +∂≈
∂ Δ i i+1i-1
2 3
2 3 4
3 4 5
4 5 6
5 6
2 6002 0
2 02 0
2 100
P PP P P
P P PP P P
P P
− = −− =
− =− =
− = −
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Aplicación al flujo de un fluido incompresible 1D monofásico.
Caso AplicadoCaso Aplicado
2
3
4
5
6
516,67433,33
350266,67183,33
P psiP psiP psiP psiP psi
=====
El perfil de presión resultante será:
Atribución No Comercial 2.5 Colombia
Usted es libre de:
• Copiar, distribuir, exhibir y ejecutar la obra.• Hacer obras derivadas.
Bajo las siguientes condiciones:
Atribución. Usted debe atribuir la obra en la forma especificada por el autor o licenciante.
No comercial. Usted no puede usar esta obra con fines comerciales.
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