Clase

Sistemas de ecuaciones de primer grado

Ecuación de primer grado

ecuación

numérica

ecuación

fraccionaria

2x – 3 = x 3x52

x

ecuación

literal

px + q = qx + p

Aprendizajes esperados

• Resolver sistemas de ecuaciones de primer grado con dos

incógnitas.

• Determinar el número de soluciones de un sistema de ecuaciones

de primer grado con dos incógnitas.

• Modelar situaciones mediante sistemas de ecuaciones de primer

grado con dos incógnitas.

26. Dado el sistema el valor de y es

A) 0

B) 3b

C) 6b

D) 7a

E) 14a

Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2010.

Pregunta oficial PSU

bayx

bayx

37

37

Sistemas de ecuaciones

de primer grado

Sistemas de ecuaciones

Para determinar el valor numérico de cada una de ellas, debe

existir la misma cantidad de ecuaciones que de incógnitas.

Definición

Es un conjunto de ecuaciones donde hay más de una incógnita.

Ejemplo:2x + 3y = 7

x – 4y = 2

x + 2y + 3z = 51

2x + 3y + z = 72

3x + y + 2z = 57

Es decir, si hay 3 incógnitas, debe haber 3 ecuaciones distintas.

Sistemas de ecuaciones

Gráficamente, la solución de un sistema de ecuaciones lineales

(o de primer grado) corresponde a la intersección de las rectas

representadas por dichas ecuaciones.

Definición

Ejemplo:

2) x + y = 5

1) 2x – y = – 2

1) 2x – y = – 2

– y = – 2x – 2

(Restando 2x)

(Multiplicando por – 1)

2) x + y = 5

y = – x + 5

(Restando x)

y = 2x + 2

– 1– 2– 3

2

3

4

5

1

1 2 3 4

Solución del sistema

x = 1 ; y = 4

Sistemas de ecuaciones

Ejemplo:

Por lo tanto, al resolver este tipo de sistema puede ocurrir que

tenga:

• una solución:

• infinitas soluciones:

• ninguna solución:

las rectas se intersectan en un solo punto (x, y).

las rectas son coincidentes.

Las rectas son paralelas.

6x – 2y = – 4

3x – y = – 2 y = 3x + 2

y = 3x + 2

– 1– 2– 3

1

5

2

3

4

1 2 3 4

– 1– 2– 3 1

2

3

4

2 3 4

1

5

9x = 3y

3x – y = – 2 y = 3x + 2

y = 3x

Ejemplo:

Métodos de resolución de un sistema con dos incógnitas

• Igualación:

Consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones

del sistema. Luego, se igualan los resultados.

El resultado obtenido se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones

despejadas del sistema.

Ejemplo:

Despejando x en ambas ecuaciones:

1) 2x + 3y = 7

2x = 7 – 3y

2) x – 4y = – 2

x = – 2 + 4y

7 – 3y

2x =

Sistemas de ecuaciones

1) 2x + 3y = 7

2) x – 4y = – 2

Métodos de resolución de un sistema con dos incógnitas

Igualando ambas ecuaciones se obtiene

7 – 3y = – 4 + 8y

7 – 3y + 3y = – 4 + 8y + 3y

7 = – 4 + 11y

7 + 4 = – 4 + 11y + 4

11 = 11y

1 = y

(Sumando 3y)

(Sumando 4)

(Dividiendo por 11)

= – 2 + 4y7 – 3y

2

Sistemas de ecuaciones

Reemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema se

determina el valor de x.

(Multiplicando por 2)

Métodos de resolución de un sistema con dos incógnitas

2) x = – 2 + 4y

Reemplazando y = 1 en la segunda ecuación despejada queda

x = – 2 + 4·1

x = – 2 + 4

x = 2

Por lo tanto, la solución del sistema es (2, 1).

Sistemas de ecuaciones

Recuerda que el valor de x nos indica la abscisa y el valor

de y nos indica la ordenada del punto de intersección.

Métodos de resolución de un sistema con dos incógnitas

• Sustitución:

Consiste en despejar una incógnita de una de las ecuaciones del

sistema. Una vez despejada, se reemplaza en la otra ecuación,

determinando el valor de la otra incógnita.

El resultado que se obtiene se sustituye en la ecuación despejada.

Ejemplo: 1) 2x + 3y = 7

2) x – 4y = – 2

Despejando x en la segunda

ecuación:

x = – 2 + 4y

2) x – 4y = – 2

Sistemas de ecuaciones

Métodos de resolución de un sistema con dos incógnitas

Reemplazando x = – 2 + 4y en la primera ecuación resulta

1) 2x + 3y = 7

2·(– 2 + 4y) + 3y = 7

– 4 + 8y + 3y = 7

11y = 7 + 4

11y = 11

y = 1

(Distribuyendo)

(Sumando 4)

(Dividiendo por 11)

Como x = – 2 + 4y x = – 2 + 4·1

x = 2

Por lo tanto, la solución del sistema es (2, 1)

Sistemas de ecuaciones

Para eliminar x, multiplicaremos la segunda ecuación por – 2

Métodos de resolución de un sistema con dos incógnitas

• Reducción:

Consiste en multiplicar una o ambas ecuaciones por un número

tal que una de las incógnitas quede con coeficientes opuestos en

cada ecuación. Luego, se suman ambas ecuaciones, de modo

que se elimine la incógnita con coeficientes opuestos.

Ejemplo:

/ · (– 2)

1) 2x + 3y = 7

2) – 2x + 8y = 4(+)

11y = 11

y = 1

Sistemas de ecuaciones

1) 2x + 3y = 7

2) x – 4y = – 2

Dividiendo por 11

Sumando ambas

ecuaciones

Métodos de resolución de un sistema con dos incógnitas

2) x – 4y = – 2

x – 4·1 = – 2

x = 2

x = – 2 + 4

Reemplazando y = 1 en la segunda ecuación se obtiene

Por lo tanto, la solución del sistema es (2, 1)

Sistemas de ecuaciones

1. En un parque hay avestruces y koalas. Si entre todos hay 55

cabezas y 170 patas, ¿cuántos avestruces y koalas hay?

Si a: cantidad de avestruces y k: cantidad de koalas, entonces:

Solución:

Como las avestruces tienen 2 patas y los koalas 4, la cantidad

total de patas de avestruz será 2a y el total de patas de koala 4k

1) a + k = 55

2) 2a + 4k = 170

Aplicaciones

Sistemas de ecuaciones

Como hay la misma cantidad de cabezas que animales

1) a + k = 55

2) 2a + 4k = 170

/·(– 2) 1) – 2a – 2k = – 110

2) 2a + 4k = 170

2k = 60

k = 301) a + k = 55

a + 30 = 55

a = 55 – 30

a = 25

Por lo tanto, hay 25 avestruces y 30 koalas.

Con las dos ecuaciones se forma el siguiente sistema:

Sistemas de ecuaciones

(+)

Sumando ambas

ecuaciones

Reemplazando

k = 30 en

primera ecuación

Amplificando

por – 2

2. 3x + 2y = 4

9x + 6y = 12

Solución:3x + 2y = 4

9x + 6y = 12

/ ·( – 3)

– 9x + – 6y = – 12

9x + 6y = 12

0 = 0

Determinar x e y.

Sistemas de ecuaciones

(+)

Sumando ambas

ecuaciones

Se eliminaron las incógnitas y llegamos a una identidad, por lo tanto, el

sistema tiene INFINITAS SOLUCIONES.

3. 3x + 2y = 3

9x + 6y = 12

Solución:3x + 2y = 3

9x + 6y = 12

/ ·( – 3)

– 9x + – 6y = – 9

9x + 6y = 12

0 = 3

Determinar x e y.

Ejercicios

Se eliminaron las incógnitas y llegamos a una contradicción, por lo tanto,

el sistema NO TIENE SOLUCIÓN.

Sistemas de ecuaciones

(+)

Sumando ambas

ecuaciones

4. Dado el sistema , determinar (a + b + c).a + 2b + 3c = 51

2a + 3b + c = 72

3a + b + 2c = 57

6a + 6b + 6c = 180

(a + b + c) = 30

(a + b + c) =1806

Solución:

a + 2b + 3c = 51

2a + 3b + c = 72

3a + b + 2c = 57

Sistemas de ecuaciones

(+)

Sumando las tres

ecuaciones

Dividiendo por 6

26. Dado el sistema el valor de y es

A) 0

B) 3b

C) 6b

D) 7a

E) 14a

Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2010.

Pregunta oficial PSU

bayx

bayx

37

37

ALTERNATIVA CORRECTA

B

Síntesis de la clase

Sistema de

ecuaciones

Igualación

Sustitución

Reducción

Métodos de resolución