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2010
INSTITUTO POLITÉCNICO
NACIONAL
CECyT “WILFRIDO MASSIEU”
Departamento de Unidades de Aprendizaje
Del Área Básica
PROFR.LUIS ALFONSO RONDERO G.
CÁLCULO INTEGRALSOLUCIÓN DE PROBLEMAS
PROPUESTOS EN GUÍAS Y PROBLEMASESPECIALES
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PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INMEDIATAS .
Verificación por derivación
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ACTIVIDAD I. PROBLEMAS PROPUESTOS EN LA GUÍA II INTEGRALES QUE SE RESUELVEN EMPLEANDO IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
FUNDAMENTALES PARA INTEGRAR POTENCIAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y
PRODUCTOS DE POTENCIAS TRIGONOMÉTRICAS.
La siguiente tabla de identidades trigonométricas es fundamental para realizar todas
las transformaciones necesarias para simplificar las expresiones trigonométricas
contenidas en las integrales.
Identidades trigonométricas
Problema 1
xdxxdxdxdxxx
dxxdxxsenxdxsen
2cos4
12cos
2
1
4
12cos2cos21
4
1
2cos12
1
22
22
24
dudu
dxdu
xu
2
2
2
dxdv
dxdv
xv
2
2
2
1) dxsen4 6) xdx3tan 11) dxxxsen 32 cos 16) xdxxtg 4sec4 43
2) dxsen5 7) xdx3tan4 12) dxxxsen 43 cos 17)
xdxxsen 23 cos
3) xdx3cos4 8) xdxctg 2 13) xdxxsen 2cos2 35
18) xdxx 43 sectan
4) xdx2cos5 9) xdxctg 3 14) xdxx 53 sectan
19) xdxx 35 sectan
5) xdx2tan 10) dxxctg 4
15) xdxx 63 sectan 20) xdxxsen 33 cos
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dvvsenuxvdvudux
dvv
duux
2cos12
1
8
1
4
1
4
1cos
8
1cos
4
1
4
1
2cos
4
1
2cos
2
1
4
1
2
2
vdvdvxsenxdvvxsenx 2cos16
1
16
12
4
1
4
12cos1
16
12
4
1
4
1
dvdw
dvdw
vw
2
2
2
xsenxxsenx
senwxxsenxdw
wvxsenx
432
1
8
12
4
1
4
1
32
12
16
12
4
1
4
1
2cos
16
1
16
12
4
1
4
1
cxsenxsenx 432
12
4
1
8
3
Problema 2
xsenxdxxsenxdxsenxdx
dxxsenxxsenxsenx
senxdxxxsenxdxx
dxxsensenxxdxsenxsenxdxsen
42
42
422
2
2245
coscos2
coscos2
coscos21cos1
53
2cos2cos2cos
534242 vu
xdvvduuxduvduux
cx
xx 5
coscos
3
2cos
53
senxdxdu
senxdxdu
xu
cos
senxdxdv
senxdxdv
xv
cos
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Problema 3
Problema 4
Problema 5
dxxdxdxxxdx 222 sec1sectan
cxx tan
Problema 6
xdxxdxx
xdxxxdxxxdx
tantansec
tan1sectantantan
2
223
xdxdu
xu
2sec
tan
cxLnu
cxLnudu sec2
sec2
cxLnx
sec2
tan2
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Problema 7
duuuuduuxdx 1sectan3
1tantan
3
13tan 22224
duuduuu 222 tan3
1sectan
3
1
v = tg u ; dv = sec2u du
)3(3
13tan
3
13tan
9
1
3
1tan
9
1
3
1
3
1
9
1
3
1sec
3
1
33
11sec
3
1
3
1
33
323
22
xxxcxvu
uutgvduuduv
duudvv
cxxx 3tan3
13tan
9
1 3
Problema 8
dxxdxdxxxdx 222 csc1csccot cxctgx
Problema 9
senxLnduuxdxxdxx
dxxxxdxxxdx
cotcsccot
1csccotcotcotcot
2
223
xdxdu
xdxdu
ctgxu
2
2
csc
csc
senxLnu
senxLnudu 2
2
csenxLnxctg
2
2
Problema 10
xdxxdxx
dxxxxdxxxdx
222
22224
cotcsccot
1csccotcotcotcot
xdxdu
xdxdu
xu
2
2
csc
csc
cot
dxdu
xu
3
1
3
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cxxctgu
dxxdxduudxxduu 3csc1csc
32222
cxxx
cot3
cot 3
Problema 11
Problema 12
Problema 13
=
Problema 14
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dxxx 53 sectan cxx 57 sec5
1sec
7
1
Problema 15
dxxxxxdxxxx
dxxxxdxxxxxdxx
24232223
22
2324363
sec)tantan21(tansectan1tan
secsectansecsectansectan
xdxxxdxxxdxx 272523 sectansectan2sectan
cuuu
uduuduu 86
2
42
864753
cxxx
8
tan
3
tan
4
tan 864
Problema 16
=
Problema 17
dxsenxxdxsenxxdxsenxxx
dxsenxxxsenxdxxsen
4222
2223
coscoscoscos1
coscos
senxdxdu
senxdxdu
xu
cos
cuu
duuduu 53
5342
cxx
5
cos
3
cos 53
xdxdu
xu
2sec
tan
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Problema 18
dxxxdxxxdxxxx
dxxxxdxxx
2523223
22343
sectansectansectan1tan
secsectansectan
cuu
duuduu 64
6453 c
xx
6
tan
4
tan 64
Problema 19
dxxxxxxdxxxxx
dxxxxxdxxxxxdxxx
tansecsec1sec2sectansecsec1sec
tansecsectantansecsectansectan
22422
2
22
22435
dxxxxdxxxdxxxx tansecsectansecsec2tansecsec 246
cuuu
duuduuduu 35
2
72
357246
cxxx 357 sec3
1sec
5
2sec
7
1
Problema 20
dxxxsendxxxsen
dxxxsenxsendxxxxsendxxxsen
coscos
cos1coscoscos
53
232333
cuu
duuduu 64
6453 c
xsenxsen
64
64
xdxdu
senxu
cos
xdxdu
xu
2sec
tan
xxdu
xu
tansec
sec
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ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA I . PROBLEMAS PROPUESTOS EN LA GUÍA II
INTEGRALES QUE SE RESUELVEN EMPLEANDO IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
FUNDAMENTALES PARA INTEGRAR POTENCIAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y
PRODUCTOS DE POTENCIAS TRIGONOMÉTRICAS.
S o l u c i o n e s
1. Solución:
2. Solución:
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3. Solución:
4. Solución:
5. Solución:
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6. Solución:
7. Solución:
8. Solución:
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9. Solución:
10. Solución:
11. Solución:
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En éste mismo espacio se resuelve la integral de la secante cúbica que se requiere para el
siguiente ejercicio.
12. Solución:
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SOLUCIÓN AL PROBLEMA PROPUESTO
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Actividad complementaria II: Soluciones
Problema 1
Problema 2
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Problema 3
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Problema 4
Problema 5
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Problema 6
Problema 7
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Problema 8
Problema 9
Problema 10
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Problema 11
Problema 12
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Problema 13
Problema 14
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Problema 15
Problema 16
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Problema 17
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INTEGRACIÓN POR PARTES.
ACTIVIDAD II.PROBLEMAS PROPUESTOS EN LA GUÍA II PROBLEMAS RESUELTOS.
1. cxxsenxcxxsenxsenxdxsenxxxdxx coscoscos
xdxdv
xu
cos
senxv
dxdu
2.
cxxsenxxx
xxsenxxx
dxxsenxsenxxx
dxxxxx
dxxxxx
vduuvdvudxxsenx
cos22cos
cos2cos
2cos
cos2cos
2coscos
2
2
2
2
2
2
xsenv
dxdu
dxxdv
xu
dxxsendv
xv
dxxdu
xu
cos
cos
2
2
3.
cexe
dxexedxxe
xx
xxx
x
x
ev
dxdu
dxedv
xu
4.
ceexex
dxexeex
dxxeex
dxxeex
vduuvdvudxex
xxx
xxx
xx
xx
x
22
2
2
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
ev
dxdu
dxedv
xu
ev
dxxdu
dxedv
xu
2
2
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5. dwewedwewedwwedw
wedxxexdxex wwwwwwxx
2
1
2
1
2
1
2
1
2
22 23
u=w ; dv=ew dw ; du=dw ; v=ew
cewe ww
2
1
2
1 ceex xx 22
2
1
2
1 2
6. cxxLnxdxxLnxx
dxxxLnxdxxLn
dxdv
xLnu
xv
x
dxdu
7.
dxxdxxLnxxLnxx
dxxxLnxxxLnxdxxxLn
22
cxxx
xxxLnx
dxxLnx
xxxLnxdxxLnxdxLnxx
22
222
222
4
1ln
2
1
2
2
2
xxLnxv
dxdu
dxxLndv
xu
8
cxsenxxxsenx
xsenxxxsenx
dxxxxxsenx
dxxxxxsenx
dxxsenxxsenx
dxxsenxxsenx
vduuvdvudxxx
2cos2
cos2
coscos2
coscos2
2
2
cos
2
2
2
2
2
2
2
xv
dxdu
dxxsendv
xu
xsenv
dxxdu
dxxdv
xu
cos
2
cos
2
xdxdw
xdxdw
xw
2
2
2
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9.
x
x
ev
dxxdu
dxedv
xu
2
2
2
3
2
1
3
u
u
e
due
dxdu
dxdu
xu
2
1
2
1
2
2
2
cexe
exe
dxexe
dxeexdxxexx
xx
xx
xxx
422
1
2
1
22
1
22
1
2
1 222
22
2222
x2uuux2 e2
1e
2
1due
2
1
2
duedxev
Finalmente la integral original se resuelve así:
xxxx
xxxx
xxxx
x
xexeexex
cxexeexex
dxexeexex
dxex
222223
222223
222223
23
8
3
4
3
4
3
2
1
2
1
4
3
4
3
4
3
2
4
3
4
3
4
3
2
dxxeexex
dxxeexex
dxexex
dxxeex
vduuvdvudxex
xxx
xxx
xx
xx
x
22223
22223
2223
2223
23
22
3
2
22
1
22
3
2
2
3
2
32
1
2
x
x
edvv
dxdu
dxedv
xu
2
2
2
1
dxdu
dxdu
xu
2
2
2
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10.
dxxe x
cexe)e(xedxexedxe)e(x xxxxxxxx
INTEGRALES DE POTENCIAS DE FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS.PROBLEMAS ESPECIALES.
PROBLEMA 1.
=
=
PROBLEMA 2.
x
x
evdxdu
dxedvxu
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=
=
= -
=
COMPROBACIÓN
= =
= =
= =
PROBLEMA 3.
=
=
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=
COMPROBACIÓN
PROBLEMA 4.
=
= =
PROBLEMA 5.
=
=
PROBLEMA 6.
d
ctg
tg3
= =
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PROBLEMA7.
u cosy du seny dy seny dy
( ) 2 (
du du du 2 ·
c
y y +
2 (1 y y) c
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PROBLEMA 8
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INTEGRALES QUE SE RESUELVEN EMPLEANDO CAMBIO DE VARIABLE
PROBLEMA 1.
xx
dx3
Hacemos la sustitución :
xu 6
ya que “ 6 “ es el m.c.m de los índices de ambos radicales :2 y 3
duudx
xu
56
61
; Además
23 ux
3ux
u
duu
uu
duu
xx
dx
16
6 3
32
5
3
Hacemos la sustitución t= u+1 y u=t-1 entonces du = dt
t
dtttt
t
dtt 1336
16
233
cuuuu
ctttt
dtt
tt
1ln61181912
ln32
3
36
1336
23
232
Por lo tanto:
cxxxxxx
dx
1ln61181912 66
26
36
3
INTENTA REALIZAR LA COMPROBACIÓN ¡¡¡¡
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PROBLEMA 2. ¡MUY DIFÍCIL!
dx Se factoriza x y se introduce bajo el radical :
dx = dx
u = 2
du = dx
=6 dx
dx
⋅ du ⋅ c
COMPROBACIÓN:
d ⋅ 4
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INTEGRALES QUE SE RESUELVEN EMPLEANDO INTEGRACIÓN POR
PARTES
PROBLEMA 1.
PROBLEMA 2.
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PROBLEMA 3.
PROBLEMA 4.
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PROBLEMA 5.
- Demostrar la siguiente igualdad :
xdxsen
n
n
n
xxsenxdxsen n
nn 2
1 1cos
Solución:
xsenxdxsenxdxsen nn
1
Proponiendo: u= xsenn 1
Dv= senxdx
xdxxsennxxsenxdxsen nnn 221 cos1cos
xdxsennxdxsennxxsen nnn 11cos 21
Agrupando se tiene:
xdxsen
n
n
n
xxsenxdxsen n
nn 2
1 1cos …… Así queda demostrado
PROBLEMA 6.
dxx
Cosex
Cosedxx
Sene xxx
39
33
3
333
xeu 3 dxx
Sendv3
; xeu 3 dxx
Cosdv3
dxedu x33 dxedux
Cosv x33;3
3 3
3x
Senv
Cx
Cosx
Sene
dxx
Senex
Senex
Cose
x
xxx
339
82
3
381
327
33
3
333
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PROBLEMA 7.
xdxxn ln
dxxn
xn
x
x
dxx
nx
n
x
x
dx
n
xx
n
x
nn
nn
nn
111
11
11
1
1ln
1
1
1ln
1
1ln
1
cn
xn
x
cn
xx
n
x
cn
x
n
lx
n
x
dxxn
lx
n
x
n
nn
nn
nn
1
1ln
1
1ln
1
11ln
1
1ln
1
1
2
11
11
1
PROBLEMA 8.
Sea u= x ; du= dx
dv= ;
w= ;
V= -
V= -
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PROBLEMA 9
u= arctanx ;
dv = xdx ; v=
Haciendo la división:
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PROBLEMA 10.
Sea u=
Integrando por partes
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PROBLEMA 11.
Sea
Integrando esta ultima por partes:
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x
u
x²-9
3
x
z
x²+16
4
ACTIVIDAD III.PROBLEMAS PROPUESTOS INTEGRALES QUE SE RESUELVEN EMPLEANDO INTEGRACIÓN POR
SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA
PROBLEMA 1.
5
Secu
x 3 secu
dx 3 secu tgu du
5 45
15 15 udu 15tgu = 15 +C
5
PROBLEMA 2
tg z
x 4 tgz
dx 4
4
4 4 4 4tg z 4z
x 4arctg
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x
u
9-x²
3
PROBLEMA 3
5 25 25 5
Sen u
x 5 senu
dx 5 cos u du
5 25 5 5 5 u al llegar a ésta
parte debemos pensar en quién es u ? y al observar el triángulo comprendemos que u es
el
ángulo cuyo seno vale : , lo cual se escribe: arc sen
el resultado final es: 5 arcsen +c
PROBLEMA 4
Sen u
x 3senu
dx 3cosu du
9 9 9 cos2u) du
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v 2u
dv 2du
du
u · arc sen senv
arc sen sen 2v c arc sen · · c
arc sen x
PROBLEMA 5
Después de todos los problemas que hemos resuelto juntos estás obligado
a resolverlo tú. Inténtalo y consíguelo !
PROBLEMA 6
Sec w x
dx secw tgw dw
=
= = + c
PROBLEMA 7
Después de todos los problemas que hemos resuelto juntos estás obligado
a resolverlo tú. Inténtalo y consíguelo !
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PROBLEMA 8
=
= =
= =
= + + c = + + C
PROBLEMA 9
Después de todos los problemas que hemos resuelto juntos estás obligado
a resolverlo tú. Inténtalo y consíguelo !
PROBLEMA 10
1x
1-x²
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PROBLEMA 11
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Actividad Complementaria III. Resuelve las siguientes integrales
indicando planteamientos ,operaciones y resultado.
Sustituyendo estos valores en (1), se obtiene:
Sustituyendo estos valores en (1), se obtiene:
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Solución:
(Fig.1)
Sustituyendo estos valores en (1), se obtiene:
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Solución:
Solución:
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Solución:
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Solución:
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ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA IV. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES, POR FRACCIONES PARCIALES, CUANDO
EL DENOMINADOR SÓLO TIENE FACTORES LINEALES
En los siguientes ejercicios, obtenga la integral indefinida:
S o l u c i o n e s
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Integración de funciones racionales, por fracciones parciales,
cuando el denominador contiene factores cuadráticos
Ejercicios resueltos
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S o l u c i o n e s
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MÁS PROBLEMAS SOBRE FRACCIONES PARCIALES.
Caso 1-
De esta ecuación obtenemos el siguiente sistema: A+B=1
A-4B=0
Resolviendo este sistema obtenemos: A=
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Efectuando la división
Caso 2
De ésta identidad obtenemos
A=6
-2A-B=-8
A+B+C=3
Resolviendo el sistema tenemos
A=6 ; B=-4 ; C=1
=
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Sea u=1-x ;
=-
=- +4
=-
Caso
-x+3=A (
-x+3=A
-x+3=(A+B)
De esta identidad obtenemos que
A+B= 0 -2ª+C= -1 3A= 3
Resolviendo el sistema
A= 1 , B = -1 , C = 1
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Sea u=
=
=
=
Caso IV.- =
+Cx+D
+(A+C) x+B+D
De esta identidad tenemos
A=2
B=0
A+C=0
B+D=0
Resolviendo el sistema
A=2 ;B=0 ; c=-2 ; D =0
∴
Sea u=
=
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Realizando división:
dx
Caso 1
5x+4 = A
5x+4 = Ax+2A+Bx - 4B
5x+4=(A+B) x + 2A-4B
De ésta identidad obtenemos el siguiente sistema
A+B = 5
2A-4B =
Resolviendo el sistema obtenemos
A=4 ;B=1
= x + 4
= x +
6)
Multiplicando ambos miembros por eliminamos los
denominadores y obtenemos :
X=A(x-2)+B = Ax-2A+B
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De esta identidad tenemos que: A=1 & -2A+B=0
Resolviendo el sistema: A=1 ;B=2
Sea
=
=
=
7)
Caso 1
Ax+A+Bx+2B
De esta identidad tenemos:
A+B=5
A+2B=8
Resolviendo el sistema tenemos que A=2 ,B=3
=2
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8) Caso 3
(A+B)
De esta identidad tenemos : A+B= 4 C= 0 3A=6
Resolviendo el sistema a=2 ,b=2 c=0
=2 =
9)
A A+B +Ct-2C-2Bt
A+B ) + (C-2B) t +4 A-2C
DE ESTA IDENTIDAD OBTENEMOS EL SIGUIENTE SISTEMA: A+B=2 C-2B=-4 4A-2C=-4 RESOLVIENDO EL SISTEMA : A = -1 , B= 1 – A = 2 , C=0
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PROBLEMA DE CONCURSO
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¡ MÁS PROBLEMAS DE INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN
TRIGONOMÉTRICA!
P1)
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P2)
P3)
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La integral de la secante cúbica ya fue resuelta en el tema de integración por partes
=
P4)
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=
P5)
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P6)
P7)
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P8)
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P9)
Integrando ésta última por partes :
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P10)
P11)
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P12) -
P13)
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BIBLIOGRAFÍA
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PÁGINAS ELECTRÓNICAS
http://www.vitutor.com
http://www.vadenumeros.es
http://www.vadenumeros.es/index.htm
http://www.acienciasgalilei.com
HTTP://WWW.MATEMATICASBACHILLER.COM
HTTP://WWW.MATEMATICASBACHILLER.COM/TEMARIO/CALCULIN/TEMA_01/INDICE
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