COLEGIO DE EDUCACION PROFESIONAL TECNICA

CONALEP ESTADO DE MEXICO

ANALISIS DERIVATIVO DE FUNCIONES

UNIDAD 1.2

CONTENIDO

CALCULO DE LIMITES DE FUNCIONES

DETERMINACION DE LIMITE DE UNA FUNCION

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

Antes de presentar el concepto de limite, consideremos la siguiente representación decimal de un número real

muy conocido con el numero ”π”, al que se le van asignando un valor sucesivamente cada vez más

próximo a él, esto es

el primer valor asignado 3.14el segundo 3.141el tercero 3.1415el cuarto 3.14159: :el octavo 3.141592653el noveno 3.1415926535

Continuando con los procedimientos se tiene que ; Para el decimo segundo termino

Para el décimo segundo 3.1415926535897

El décimo tercero 3.14159265358979

Al continuar asignando más cifras decimales a “x” se obtiene la mejor aproximación al número π pero más cifras decimales que se consideren, jamás se podrá llegar al valor de π, lo cual se

denota como X π

Que se lee como x tiende a ser π y significa que a x se le asignan valores

sucesivamente cada vez más cercanos a π pero nunca iguales que π (x ≠ π )

En general si “a” es un valor fijo, es decir que x a significa que a variable

independiente x, se le asignan valores sucesivamente cada vez más cercanos a

“a” pero nunca iguales que “a”.

Consideremos ahora las siguientes tablas, las cuales se consideran que x tiende a 2,

esto es

x y1.5 2.51.8 2.21.9 2.11.99 2.011.999 2.0011.9999

2.0001

Note que en la tabla de lado izquierdo la variable de x primero se le asignaron valores sucesivamente cada vez más cercanos a 2 pero no

menores que dos

Y en la tabla lado derecho se asignaron valores cada vez más cercanos a 2 pero no mayores que dos

Con esta ligera introducción te damos una idea de concepto de límite sin embargo una definición más acertada es :

El límite de una función real de variable real con regla de correspondencia de y = f(x) cuando la variable independiente x

tiende a un valor fijo “a” es el valor “L”, se denota; lim f(x)x→ a

Que se lee: el limite f(x) cuando x tiende a “a” es igual a L

Significa que cuando “x” está muy cercana a “a” la función y= f(x) está muy cerca de L

Para interpretar geométricamente el valor de limite, se traza la gráfica de la función como se muestra en la siguiente figura, entonces cuando “x” está muy cerca de

“a” , está muy cerca de L, por lo cual L es el valor límite .

EJEMPLO No 1.Considérese la siguiente grafica de una cierta función y = f(x),

obtener el valor de su límite cuando tiende a x → -5, 0, y 7.5

a b ccuando x tiende a -5 f(x) está muy cerca de -7entonces lim f(x) = -7x→-5

cuando x tiende a ser 0 f(x) está muy cerca de 1 entonces lim f(x) = 1x→ 0

cuando x tiende a 7.5 f(x) no se acerca a ningún valor, entonces lim f(x) = x→7.5

Actividad Considere la gráfica de la función y = g(x)

obtenga el valor de su límite cuando x tiende a -2, 0, 6.5 y 11

Ejemplo: Obtener el valor del límite lim (x2+1)

x→1

En este caso “x” tiende a 1, se le asignan a “x” valores sucesivamente cada vez más cercanos a 1, tanto menores

(tabla izquierda) como mayores (tabla derecha) y se evalúa a la función en cada valor asignado a “x”. El valor hacia cual

tienda la función cuando x este muy cerca del 1 corresponderá al valor del limite

x f(x) =x2 + 1 x f(x) =x2 + 10.5 1.25 1.5 3.250.8 1.64 1.2 2.440.9 1.81 1.1 2.210.99 1.98 1.01 2.02010.999 1.998 1.001 2.0020010.9999 1.9998 1.0001 2.000200010.99999 1.99998 1.00001 2.0000200001

En ambas tablas cuando los valores tienden de “x” se acerca cada vez más a 1,la función se acerca cada vez más a 2, esto es, cuando x→1, entonces f(x) → 2 por lo tanto el límite de la función es igual

a 2 esto es;

Lim (x2 + 1)x→1

Actividad No 2Obtenga el valor del siguiente límite

Lim (x3 – 1)

x→1

LIMITES LATERALES

Al asignar los valores sucesivamente cada vez más cercanos al valor hacia cual tiende “x” tanto con valores menores como mayores, se denomina; cálculo de limite mediante literales

El límite por el cual se asignan valores sucesivamente cada vez más cercanos al valor hacia el cual tiende “x”, pero menores se

denomina límite lateral izquierdo

El limite lateral por la izquierda de una función f(x) cuando x tiende a un valor fijo se representa por

Lim f(x)x→a-

El limite lateral por la derecha de una función f(x) cuando x tiende a un valor fijo z se representa por

Lim (x)x→a+

El límite de una función existe, si y solo si, sus límites laterales existen

y sus iguales, esto es;

Lim f(x)x→a-

↔

Lim f(x)x→a+

Del teorema anterior se deduce que para calcular el límite de una función, primero se deben obtener sus límites laterales y a partir de

ellos, se determina el valor del límite

Es muy importante identificar aquellas funciones en las cuales se requiera para calcular su límite se necesita el uso de limites laterales.

Lim (x)x→-3-

Lim (x)x→-3+

Lim (x)x→2-

Lim (x)x→2+

De esta grafica se deduce el valor de los límites laterales, los cuales resultan

Lim (x) =-∞

x→-3-

Lim (x)=+∞x→-3+

Lim (x)= 0x→2-

Lim (x)= 0x→2+

Actividad No 3 determina el valor de cada uno delos limites laterales con respecto a la gráfica presentada de cierta

función f(x)

Lim (x) x→2-

Lim (x)x→-2+

Lim (x)= 0x→3-

Lim (x)= 0x→3+

Calcular el límite por la derecha de la función f(x) = 2-4 cuando x

tiende a 2

Existen funciones como esta en la cual no es posible calcular los dos limites laterales en algunos

de los puntos

Aquí no es posible calcular el limite por la izquierda cuando x

tiende a 2, por que la función no esta definida para valores

cercanos a 2 pero menores

Construyendo la tabla en la cual se le van asignando a la

variable x valores sucesivamente cada vez más cercanos a 2 por la derecha,

esto es, valores mayores que 2

x f(x) =2-4 2.1 0.640312.01 0.200252.001 0.063252.001 0.020002.0001 0.00632

Cuando los valores de x se acercan a 2 por la derecha, la función se acerca cada vez más a 0, esto es cuando

x→2+, entonces f(x) →0 y por lo tanto él;

Lim 2-4X→2+

Actividad Calcule el límite por la izquierda de la función f(x) =

2-4 cuando x tiende a -2

Mediante límites laterales calcular el límite Lim |x+1|/x+1

x→ -1

En este caso se obtiene el límite de la función tanto por la izquierda como por la derecha, para lo cual se elaboran las

siguientes tablas

limite por la izquierda x→ -1

Lim |x+1|/x+1

limite por la derecha x→ -1+

Lim |x+1|/x+1

-1.1 -1 -0.9 1-1.01 -1 -0.99 1-1.001 -1 -0.999 1-1.0001 -1 -0.9999 1-1.00001 -1 -0.99999 1

Con los valores obtenidos en las tablas anteriores se deduce que;

Lim |x+1|/x+1x→ -1-

Lim |x+1|/x+1x→ -1+

Como los dos límites laterales no son iguales, el límite no existe. Esto es;

Lim |x+1|/x+1 = x→ -1

ActividadMediante límites laterales calcule el valor del límite

Lim x/xx→0

TEOREMAS PARA CALCULAR LIMITES

Si k es una constante y a un número cualquiera, entonces;

donde k es un número real

Para cualquier número dado a,

Si m y b son dos constantes cualesquiera, entonces

teorema 4

teorema 5

Si f es un polinomio y a es un número real, entonces

Si q es una función racional y a pertenece al dominio de q, entonces

teorema 8

Solución 1

Solución 2

Solución 3

Solución 4

Solución 5

Solución 6

No es posible aplicar directamente el TL7, pues se obtendría la forma indeterminada 0/0; no obstante, luego de factor izar y simplificar la expresión, se obtiene fácilmente el límite aplicando el TL1:

7. Solución:

No es posible aplicar directamente el TL7, pues se obtendría la forma indeterminada 0/0; no obstante, luego de factorizar y simplificar la

expresión se obtiene fácilmente el límite aplicando el TL7 o el TL4(III):

8. Solución:

Si pretendiéramos aplicar el límite directamente a partir del TL7, nos daría la forma indeterminada 0/0; por lo que, se debe factorizar y luego simplificar la expresión antes de poder hacer uso del TL6:

9. Solución:

No se puede aplicar el límite directamente, daría la forma indeterminada 0/0; no obstante, luego de multiplicar tanto el numerador como el

denominador por la conjugada de la expresión en el numerador y luego reduciendo y simplificando, se puede aplicar el TL para hallar el límite:

10. Solución:

Luego de la transformación de la expresión se aplican los TL7 y TL8

11. Solución:

El límite no se puede aplicar directamente, resultaría la forma indeterminada 0/0; no obstante, una vez factorizando y

simplificando, la expresión queda expedita para hallar el límite mediante los TL7 y TL6:

12. Solución:

LIMITES TRIGONOMÉTRICOS

El límite de una función trigonométrica se obtiene utilizando los siguientes teoremas en los cuales se

consideran que u = f(x)

1 Lim sen u = sen Ѳu →Ѳ

2 lim cos u = cos Ѳu →Ѳ

3 lim sen u = 0 u → 0

4 lim cos u = 1u→0

5 lim sen u /u =1u →0

Con estos teoremas es posible obtener el límite de

las funciones trigonométricas.

Cuando la función dada es diferente de la función seno y coseno, primero se aplican identidades trigonométricas

y después teoremas correspondientes

Entre las identidades más usuales para el cálculo de límites se tiene, las siguientes

tan u = sen u /cos u cot u = cos u/sen u

sec u = 1/ cos u csc u = 1/sen u

La aplicación de los primeros dos teoremas se

muestra enseguida i.- obtener el valor del límite

lim sen x x→2

Como x tiende a ser 2

entonces el valor del límite es

lim sen x x→2

= sen 2 = 0.9092

Calcular el límite trigonométrico

Lim cos 5x x →0

El argumento de la función es 5x, entonces haciendo que u

= 5x Cuando x → 0 también 5x → 0 esto es, el límite se puede

escribir como Lim cos 5x

x → 0

Aplicando el teorema lim cos u = 1, se tiene el valor del límite, esto es

lim cos 5x =1

x → 0

el argumento de la función es 5x entonces haciendo u = 5x Cuando x→0 también 5x→0 esto es, el límite se puede escribir

lim cos 5x

x→0Aplicando el teorema cos u = 1 se tiene que el valor del

límite, esto es

lim cos 5x =1 x→0

Actividad

Calcule el limite trigonométrico delim cos 3x

x→0

Ejemplo obtener el valor límite delim sen 7x

x→0

Haciendo u = 7x se tiene un límite de la forma

lim sen u = 0x→0

lim sen 7x = 0

x→0

Actividad Obtenga el valor límite de

lim sen 2x

x→0

Ejemplo: Determine el valor límite de

Lim 3 sen 4x /x x

Al calcular el limite directamente resulta una indeterminación de la forma 0/0 por lo cual se debe

aplicar el teorema

Lim sen u /u = 1 Considerando u = 4x , entonces x = u/4, sustituyendo 4x

y x se tiene

Lim 3 sen 4x /x = x→0

Lim sen 3 sen u / u /4x→0

Multiplicando extremos por extremos y medios por medios

lim (3)(4) sen u /ux→0 lim (12) sen u /ux→0 =(12)(1)=12

ActividadDetermine el valor límite de

LIMITES INFINITOS

Definición 1 Se dice que x tiende a mas infinito (x→+∞) si a

partir de un número real cualquiera, este y todos los que siguen son mayores que cualquier número real

dado

Definición 2 Se dice que x tiende a menos infinito (x→+∞) si a a partir de un número real cualquiera, este y todos los

que le siguen son menores que cualquier número real dado

Definición 3Se dice que x tiende a infinito cuando (x→∞) si

(x→+∞)(x→-∞)

Definición 4 Se dice que una función tiende a mas infinito

cuando x→ a, si cada vez a “x” se le asigna valores cercanos a “a”, los valores de la función

son cada vez más grandes que cualquier número real dado, esto es;

Definición 5Se dice que una función tiende a menos infinito

cuando x→ a , si cuando a “x” se le asignan valores cada vez más cercanos a “a” , los valores de la

función son cada vez más que cualquier número real dado esto es;

Lim f(x) = -∞

x→ a

Definición 6 Se dice que “L” es el límite de la función f(x) cuando la variable

“x” tiende a mas infinito, si cuando a “x” se le asignan valores cada vez mayores, los valores de la función son cada vez más cercanos a

un número real “L”, esto es ;

Lim f(x) = Lx→+∞

Definición 7 Se dice que L es el límite de una función f(X) cuando la variable x tiende a menos infinito, si cuando a “x” se le asignan valores cada

vez menores, los valores de la función son cada vez más cercanos al número real L, esto es

Lim f(x) = Lx→ -∞

Ejemplo Obtener el valor del límite

lim 1/x-3

x→ 3+ Construyendo la tabla de en la cual se asignan valores a x

valores cercanos a 3 por la derecha

x 1/x-33.1 103.01 1003.001 10003.0001 10000: :

De la tabla se concluye, que a medida que los valores de “x” se acercan por la derecha cada vez más a 3, los valores de la función

crecen indefinidamente por lo tanto

lim 1/x-3 = +∞

x→ 3+

Actividad

Obtenga el valor del límite

Ejemplo calcular el valor del límite

x 1/x2-41.9 -2.56411.99 -25.06261.999 -250.06251.9999 -2500.0625: :

De la tabla se concluye, que a medida que los

valores de “x” se acercan por la izquierda cada vez más a 2, los valores de la

función decrecen indefinidamente, por lo

tanto;

Lim 1/x2-4 = -∞x→ 2-

Actividad

Calcule el valor del límite

TEOREMA

Lim k/xn = 0 X → ∞

para k R y n N

Cuando el limite se tiene que x → ∞, significa que x→-∞ o que x→ +∞.

Se omite la demostración del teorema, la cual se interpreta de la siguiente manera; cuando a “x” se le

asigna valores cada vez más grandes de forma

Se omite la demostración del teorema, el cual se interpreta de la siguiente manera cuando a “x” se le asignan

valores cada vez más grandes (positivos, negativos), al elevarse a un exponente natural, los valores se hacen más

grandes, de tal manera que cuando x→∞

xn también tiende a infinito, entonces si xn → ∞ el cociente 1/xn tiende a cero y por lo tanto el límite es igual a cero

para calcular el límite de una función en la cual x → ∞, se divide cada término de la función de la variable con mayor

exponente del denominador

EjemploCalcular el límite

La variable con mayor exponente del denominador es x; entonces dividiendo

cada termino entre x,

lim𝑥→ 0

3 𝑥−59 𝑥+7

=lim𝑥→0

3 𝑥𝑥 −

5 𝑥𝑥

9 𝑥𝑥 + 7𝑥

Simplificando lim𝑥→∞

3− 5 𝑥𝑥

9+ 7𝑥

Aplicando los teoremas correspondientes y simplificando se tiene el valor límite. =

Actividad

Calcule el límite infinito