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COLEGIO PÚBLICO EXPERIMENTAL MEXICO

GUIA DE AUTO ESTUDIO DE MATEMATICAS

ENCUENTRO # 1 6

RADO: 10mo MODALIDAD: Secundaria por Encuentro

FECHA: 20 de junio 2020 Prof. Mauricio Soza Medina UNIDAD # 2: Trabajemos con triángulo y razones

INDICADORES DE LOGROS:

1) Utiliza funciones trigonométricas CONTENIDOS: 1- Funciones trigonométricas

DESARROLLO:

En este tema se construirán las gráficas de las funciones trigonométricas. Para ello, se procede de la siguiente manera: 1. En el plano cartesiano se traza la circunferencia unitaria y algunos ángulos especiales en posición normal. 2. Se traza la línea trigonométrica respectiva para cada ángulo correspondiente a la función que se desea graficar. 3. para cada medida de los ángulos, se ubica un punto en el eje x del plano cartesiano y se le hace corresponder en el eje y la respectiva medida de la línea trigonométrica. 4. Se construye la gráfica de la función. Grafica de la función seno (y = sin x) A partir de las líneas trigonométricas descritas para la función y = sin x se obtiene la gráfica que se muestra a

continuación para los valores de x entre 0 y 2𝜋.

Grados

0º

30º

45º

60º

90º

120º

135º

150º

180º

210º

225º

240º

270º

300º

315º

330º

360º

Radian

0

𝜋

6

𝜋

4

𝜋

3

𝜋

2

2𝜋

3

3𝜋

4

5𝜋

6

𝜋

7𝜋

6

5𝜋

4

4𝜋

3

3𝜋

2

5𝜋

3

7𝜋

4

11𝜋

6

2𝜋

y =sin x

0 1

2

√2

2

√3

2

1 √3

2

√2

2

1

2

0 −

1

2 −

√2

2 −

√3

2

−1 −

√3

2 −

√2

2 −

1

2

0

Cuando se representa la gráfica para un intervalo mayor que la del [0, 2𝜋], se obtiene una gráfica de una función periódica como se muestra a continuación.

Características o propiedades de la función y = sin

1. La función seno está definida para todos los números reales. Luego, el dominio de la función y = sin x es ℝ.

2. El menor valor que toman las imágenes es −1 y el mayor valor es 1. Luego el rango de la función y = sen x es el conjunto { y ∈ ℝ ∕ −1 ≤ 𝑥 ≤ 1}. 3. La función y = sin x es periódica y su periodo es 2𝜋. Esto significa que sin x = sin (𝑥 + 2𝑛𝜋) con n ∈ ℤ 4. La función y = sen x es impar puesto que sen (−𝑥) = − sen x

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5. y = sen x alcanza su valor máximo en 1, esto es, para los valores de x de la forma x = 𝜋

2+ 2𝑛𝜋 𝑐𝑜𝑛 n ∈ ℤ .

6. y = sen x alcanza su valor mínimo en −1, esto es, para los valores de x de la forma x = −𝜋

2+ 2𝑛𝜋 𝑐𝑜𝑛 n ∈ ℤ .

7. Los ceros de la función y = sen x son los valores en los cuales la gráfica corta al eje x. Así, y = sen x =0 si x = 𝑛𝜋,

con n ∈ ℤ. 8. La función y = sen x varia de la siguiente manera.

Grafica de la función coseno (y = cos x) A partir de las líneas trigonométricas descritas para la función y = cos x se obtiene la gráfica que se muestra a

continuación para los valores de x entre 0 y 2𝜋.

Grados 0º

30º

45º

60º

90º

120º

135º

150º

180º

210º

225º

240º

270º

300º

315º

330º

360º

Radians

0

𝜋

6

𝜋

4

𝜋

3

𝜋

2

2𝜋

3

3𝜋

4

5𝜋

6

𝜋

7𝜋

6

5𝜋

4

4𝜋

3

3𝜋

2

5𝜋

3

7𝜋

4

11𝜋

6

2𝜋

y =cos x

1 √3

2

√2

2

1

2

0 −

1

2 −

√2

2 −

√3

2

−1 −

√3

2 −

√2

2 −

1

2

0 1

2 √2

2

√3

2

1

Cuando se representa la gráfica para un intervalo mayor que la del [0, 2𝜋], se obtiene una gráfica de una función periódica como se muestra a continuación.

Características o propiedades de la función y = cos x

1. El dominio de la función y = cos x es el conjunto de los números reales ℝ. 2. El rango de la función y = cos x es el conjunto { y ∈ ℝ ∕ −1 ≤ 𝑥 ≤ 1}. 3. La función y = cos x es periódica y su periodo es 2𝜋. Esto significa que cos x = cos (𝑥 + 2𝑛𝜋) con n ∈ ℤ 4. La función y = cos x es par puesto que cos (−𝑥) = cos x, es decir y = cos x es simétrica con respecto al eje y 5. y = cos x alcanza su valor máximo en 1, esto es, para los valores de x de la forma x = 2𝑛𝜋 𝑐𝑜𝑛 n 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟 . 6. y = cos x alcanza su valor mínimo en −1, esto es, para los valores de x de la forma x = 𝑛𝜋 𝑐𝑜𝑛 n 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 .

7. Los ceros de la función y = cos x son los múltiplos impares de 𝜋

2, es decir, los valores de x de la forma x = 𝑛

𝜋

2

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Con n entero impar 8. La función y = cos x varia de la siguiente manera.

Grafica de la función tangente (y = tan x) A partir de las líneas trigonométricas descritas para la función y = tan x se obtiene la gráfica que se muestra a

continuación para los valores de x entre 0 y 2𝜋.

Grados 0º

30º

45º

60º

90º

120º

135º

150º

180º

210º

225º

240º

270º

300º

315º

330º

360º

Radians

0

𝜋

6

𝜋

4

𝜋

3

𝜋

2

2𝜋

3

3𝜋

4

5𝜋

6

𝜋

7𝜋

6

5𝜋

4

4𝜋

3

3𝜋

2

5𝜋

3

7𝜋

4

11𝜋

6

2𝜋

y =tan x

0 √3

3

1 √3 ind −√3 −1 −

√3

3

0 √3

3

1 √3 ind −√3 −1 −

√3

3

0

No es posible dibujar las líneas trigonométricas de la tangente para los ángulos de

𝜋

2 y

3𝜋

2, lo cual concuerda con el

hecho de que para los ángulos cuadrantales con dichas medidas, la tangente no está definida. La gráfica para un intervalo mayor que la del [0,2π], se muestra a continuación.

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Características o propiedades de la función y = tan x

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Resuelve