Anlisis Comparativo de BER para Modulaciones BPSK y QPSK en Distintos Tipos de Canales Elvis Rudas elvis.rudas@utp.ac.pa Resumen En este artculo se har un anlisis breve de la prediccin de probabilidad de errorBER para el esquema de modulacin BPSK en canales AWGN, Rayleigh e ISI, as como una breve comparacin entre ellos y con el esquema QPSK en uncanalAWGN.SedemostrarqueenuncanalAWGNlos desempeos de BPSK y QPSK son iguales. Adems,dado que parauncanaldedesvanecimientodeRayleighseconsideran factoresadicionalesqueafectanlatransmisin,elesquema BPSK muestra su peor rendimiento en presencia de estos tipos de canales. TrminosclaveBSPK,QPSK,ProbabilidaddeError, AWGN, Rayleigh, ISI, MSSE. I.INTRODUCCIN AunquelosesquemasdemodulacinPSKnosonnada nuevos,enlaactualidad,ansiguensiendoutilizadosenel mbitocomercialytecnolgico.Porejemplo,elesquemade modulacinBPSKseutilizaenlosestndaresdeRFID(ISO 14443) y en transmisores que no requieren altas tasas de datos, loscualeshastatienenlaventajadesermenoscostososen comparacin con otros. Por otro lado, la modulacin QPSK se utiliza en la transmisin de datos por satlite, en los estndares IEEE802.11b(WiFidehasta11Mbps)yIEEE802.15.4 (estndar base para Zigbee) y en la tecnologa UMTS. Las transmisiones inalmbricas en diferentes entornos estn afectadas pordiferentes fenmenos comolaadicin deruido, desvanecimientopormltiplestrayectorias,difraccin, reflexin,interferenciaentresmbolos,entreotros.Es adecuado,pues,analizarlosefectosdeestosfenmenosen unatransmisinqueutiliceesquemastancomuneshoyda como los son los esquemas BPSK y QPSK. II.OBJETIVOS Conesteestudiocomparativosepretendecomprenderde formaconcisaqusonlosesquemasdemodulacinen desplazamientodefase,especficamentelosbinariosyen cuadratura, adems de estudiar mediante la comparacin de la probabilidaddeerrordebit,elrendimientodeellosen distintos tipos de canales, en particular, los modelos de canales AWGN, Rayleigh e ISI. III.MODULACIN BPSK Y QSPK Enlosesquemasdemodulacinsiempreseutilizaun nmerofinitodedistintassealesconelpropsitode representarlasealdigitalatransmitir.Paraelcasodela modulacinpordesplazamientodefasePSK(PhaseShift Keying)unasealdigitalmoduladoramodificaaunaseal portadorahacindolavariarsufaseentreunnmerodiscreto devalores.Laformams simpledelamodulacin PSK esla binaria(BPSK,BinaryPSK),enlacualsloseutilizandos valores de fase, es decir, se emplea slo dos smbolos, con un bit de informacin cada uno. El diagrama de constelacin para BPSK semuestra en laFigura1.Ladistanciadecadauno de lospuntoshastaelorigendelosejes(elvector)representala amplituddelaseallacual,paralamodulacinPSK,no cambia;ladistanciaangulardelvectorrespectoalsemieje positivo I representa la fase de la seal. Como es notable en el diagrama de constelacin de la figura, la seal yace en un solo eje(ejeenfaseI)yladiferenciaentreambossmbolosesde 180. Enordenascendente,elsiguienteesquemademodulacin PSKeselDesplazamientodeFaseenCuadraturaQPSK (QuadraturePSK)quesepuedesimbolizarcomo4-PSK.La Figura2muestraeldiagrama deconstelacin paraQPSK.En esteesquemademodulacinseutilizan4smbolos, correspondientes a 4 variaciones en fase, separados 90, como muestralaFigura2.Cadaunodeestossmbolosest compuesto por dos bits de informacin. Para minimizar la tasa deerroressesueleutilizarCdigoGrayparaasignarlos valoresdecadasmbolo,dondeladiferenciaentresmbolos adyacentes corresponde a la variacin de un solo bit. Este es el casodeladistribucindebitseneldiagramadelaFigura2. Comoesevidentedeladescripcindeambosesquemas, QPSK, en un mismo ancho de banda, puede alcanzar el doble de la velocidad de datos alcanzados por BPSK. Figura 1. Diagrama de constelacin BPSK. Figura 2. Diagrama de constelacin QPSK utilizando Cdigo Gray. A.Probabilidad de error BPSK en un canal AWGN AsumiendouncanalAWGN(AdditiveWhiteGaussian Noise)yunsistemaBPSKcoherentelossmbolos0y1son representadosporelpardesealess1(t)ys2(t), respectivamente[1].Lasdefinicionesparaambassealesson las que se muestran en (1) y (2). En las mismas, Eb representa laenergadelbittransmitido,Tbeltiempodelbityfcla frecuencia de la seal portadora.

()

(

)(1)

()

(

)

(

)(2) De las expresiones (1) y (2) se puede observar que se tratan desealesantpodas,esdecir,sealessinusoidalesqueslo difierenenuncambiodefaserelativode180.Adems,una nica funcin de energa unitaria (t) se puede derivar de (1) y (2), siendo as, en el lmite 0 t < Tb

()

(

)(3) Al expandir las seales transmitidas s1(t) y s2(t) en trminos de (t)se obtiene las expresiones (4) y (5). Como se muestra enlaFigura3,lamodulacinBPSKsecaracterizaportener unespaciodesealenunadimensinydospuntosde mensajes(M=2).Elmensajecorrespondienteas1(t)est localizadoen+

yelmensajecorrespondienteas2(t)se localiza en -

.

()

()

(4)

()

()

(5) Figura 3. Diagrama de espacio de la seal BPSK en trminos de la energa del bit y la zona de decisin. LaFigura3muestraladivisindelespaciodelasealen dos regiones: el conjunto de puntos cerca alpunto de mensaje

yelconjuntodepuntoscercadelpuntodemensaje

.Sisedeterminaelpuntomediodelalneaqueunea estos dos puntos demensaje,sepuedemarcarlas regionesde decisinapropiadamente.EnlaFigura3lasregionesson marcadascomoZ1yZ2.Lasreglasdedecisinahorason simples. Si cae dentro de la regin Z1 se trata de la seal s1(t) o delsmbolobinario1.Porlocontrario,sicaedentrodela regin Z2, se trata de la seals2(t) o del smbolo binario 0. Dadosestoscasos,puedenocurrirdostiposdedecisiones errneas:setransmites2(t),peroelruidoestalquelaseal recibida cae dentro de la reginZ1y el receptor se decide por laseals1(t),obien,setransmites1(t),peroelruidoprovoca que caiga dentro de la regin Z2 percibindose la seal s2(t) en el receptor.Asumiendoquesonigualdeprobables,esdecir,(

) (

) ,laprobabilidaddeerrorsis1setransmitees comomuestra(6)ysimilarmente,laprobabilidaddeerror transmitiendo s2 la da (7). (|

)

(

)1(6) (|

)

(

)(7) LaprobabilidaddeerrortotalparauncanalAWGNdeun sistema con modulacin BPSK sera tal como muestra (8),

(

)(|

)(

)(|

)

(

) (8) B.Probabilidad de error BPSK en un canal Rayleigh Enunentornocondesvanecimientolapotenciadelaseal recibidavaraaleatoriamentesobreladistanciaoeltiempo debidoalaatenuacinporsombraopormltiples 1 Funcin de error de Gauss complementaria

. trayectorias.AsumiendouncanaldemltiplestrayectoriasdeRayleigh [2],setienequecadatrayectoriapuedesermodeladacomo unavariablealeatoriaGaussianacomplejacircularmente simtrica (de la forma

), donde las partes real e imaginarias son variables aleatorias Gaussianas idnticamente distribuidasconmediaceroyvarianza2.Ladensidadde probabilidad de la magnitud de h es la que se muestra en (9). ()

, h > 0(9) Recordando, para un canalAWGN la probabilidad de error de bit para un sistema BPSK es (8). Sin embargo, en presencia de una canal h la razn de energa efectiva de bit a ruido es como describe (10). De esta forma la probabilidad de error de bit en presencia de un canal de Rayleigh es presentada en (11). ||

(10)

(||

)

() (11) ElBERenpresenciadeuncanalh,paracualquiervalor aleatoriode|h|2debesercalculadoevaluandolafuncinde densidaddeprobabilidadPbsobrelafuncindedensidadde probabilidadde(12).Haciendo

setienequela funcin dedensidad deprobabilidad de es como semuestra en (13).

()()

(12) ()

(13) Laintegraldelaexpresin(12)sepuederesolverpor partes(porsimplicidad,estaintegralnosederivaaqu).Esta operacindacomoresultadolaprobabilidaddeerrordebit esperadoparaunsistemaBPSKenuncanaldemltiples trayectorias de Rayleigh (14).

()

(

) (14) C.ProbabilidaddeerrorBPSKenuncanalISIcon Ecualizacin forzada a cero ydeMnimo Error Cuadrtico Medio UnatcnicaparacompensarlosefectosdelaInterferencia InterSmboloISIesusarEcualizacinForzadaaCeroZF. Estealgoritmodeecualizacinlinealsimplementeinviertela respuestaenfrecuenciadelcanal,conelfinderestablecerla sealrecibidadespusdehaberatravesadoelcanal.Esmuy til cuando la ISI es significativamente grande comparada con elruido.Laprincipaldesventajadeestetipodeecualizacin esque,intentandoinvertircompletamenteelcanal,amplifica el ruido que se encuentra a frecuencias donde la respuesta del canalesdepequeamagnitud.Unecualizadorqueofrece mejor balance lineal en este caso es el Ecualizador de Mnimo Error Cuadrtico Medio MMSE. Su objetivo no es de eliminar por completo la ISI de forma aislada sin preocuparse del ruido, como en el caso de ZF. Ms bien, minimiza el error cuadrtico medioentreelsmboloestimadoyeltransmitidocuandohay ISI y AWGN. Semodelalatransmisindesmboloscomomuestra(15), dndeTeselperiododelsmbolo,an eselsmbolo transmitido,g(t)eselfiltrodetrasmisin,nelndicedel smboloys(t)laformadeondadesaliday,adems,por simplicidad hacemos que el filtro de transmisin sea una seal impulso unitario g(t)= (t). ()

( )

(15) Paramodelarelcanalseasumemltiplestrayectoriascon tressaltos(taps)separados poruntiempoTh[k]=[h1h2h3]. Adicional,lasealrecibidasecorrompeporruidonquese asumeesAWGN.Losvaloresderuidosiguenlafuncinde distribucindeprobabilidadGaussianaconmediaceroy varianza2.Lasealrecibiday[k],deestaforma,sepuede calcular mediante la convolucin en k del smbolo transmitido s[k] = an por h[k] ms el ruido que corrompe el sistema. En la solucin de MMSE [3], para cada tiempo discreto k se hallar un conjunto de coeficientes c[k] que minimicen el error entrelasealdeseadaylasealecualizada .La solucinparaMMSEsederivadayresultaenlaexpresin (16). ()

()

()

()

(16) Dondee[k]eselerrorenlamuestrak,cesunvector columnaquecontieneloscoeficientesdeecualizacinde dimensin[K1],yesunvectorcolumnaquecontienelas muestrasrecibidasdedimensin[K1],Keselnmerode saltosenelecualizador,Ryseslacorrelacincruzadaentrela secuenciaderecibidaylasecuenciadeentrada,Rsyesla correlacincruzadadelasecuenciadeentradaylasecuencia recibidayRyyeslaautocorrelacindelasecuenciarecibida. Se puede hallar el conjunto de valores para los coeficientes de cdiferenciando()

conrespectoac.Deestaformase encuentra que es como muestra (17).

(17) En(17)sepuededefinirlascorrelaciones,tomandoen cuentaquelavarianzadelasealdeentradaes1yqueno existelacorrelacinentrelasealdeentradayelruido,es decir,E(s[k]n[k])=0,finalmentesetiene queRyy=hyRsy= E(hhT) + E(n2). D.Probabilidad de error QPSK en un canal AWGNHaciendounanlisissimilarqueenlaseccinApara BPSK, se tiene que la fase de la portadora puede tomar valores igualmenteespaciados,talescomo/4,3/4,5/4y7/4, como semuestra en (15). En esta expresini tomavalores de 1, 2, 3 y 4,E es la energa por smbolo yT es la duracin del smbolo.Recordandoquecadasmboloestcompuestopor2 bits, utilizando cdigo Gray, estos smbolos pueden ser 00, 01, 10o11.Usandoidentidadestrigonomtricas,sepuede reescribir (15) como muestra la expresin (16), en las mismas condiciones de (15).

(){

[

()

]

(15)

() {

[()

] (

)

[()

] (

)

(16) Para0t. [4]Tse,David.FundamentalsofWirelessCommunication.Cambrige University Press, 2005.