Conceptos Básicos de Conceptos Básicos de GeometríaGeometría

Prof: Gladys Zorrilla CastilloProf: Gladys Zorrilla CastilloDepto. De MatemáticaDepto. De Matemática

ObjetivoObjetivo

Dada la información, el estudiante Dada la información, el estudiante identificará los conceptos básicos de identificará los conceptos básicos de geometría correctamente.geometría correctamente.

Definición de GeometríaDefinición de Geometría

La geometría trata de la medición y La geometría trata de la medición y de las propiedades de puntos, líneas, de las propiedades de puntos, líneas, ángulos y sólidos, asi como de las ángulos y sólidos, asi como de las relaciones que guardan entre sí.relaciones que guardan entre sí.

El puntoEl punto

Los puntos no tienen medida. Los puntos no tienen medida. Son represetados por letras Son represetados por letras mayúsculas y no tienen dimension mayúsculas y no tienen dimension (largo, alto, ancho).(largo, alto, ancho).

A BA B C C

La rectaLa recta

Una recta se extiende al infinito en Una recta se extiende al infinito en ambas direcciones y carece de ancho. ambas direcciones y carece de ancho.

C C

AA

¿Cómo identificar las rectas?

La recta que aparece abajo es la recta b. Si se conocen los nombres de dos puntos de una recta, entonces esta recta puede identificarse por estos dos puntos. En este ejemplo, los puntos A y C estan sobre la recta b, por tanto se pueden hacer referencia a la recta b de varios modos:

palabra recta AC recta CA

simbolo AC CA

C b

A

El planoEl plano

Un plano se extiende al infinito en Un plano se extiende al infinito en toda direccion y no tiene grosor alguno. toda direccion y no tiene grosor alguno. Los planos se representan regularmente Los planos se representan regularmente con una figura de cuatro lados y se con una figura de cuatro lados y se nombran con letras mayusculas o tres nombran con letras mayusculas o tres puntos colineales.puntos colineales.

¿Cómo identificar el plano?

B

A C R

La figura de arriba puede denominarse plano R o plano ABC.

En geometría los términos punto, recta y plano se consideran términos primitivos o no definidos porque solo tienen explicación a traves del uso de ejemplos y descripciones. Sin embargo, ellos sirven para definir otros términos y propiedades geometricas.

Solución de Problemas

a. Recta

Los puntos T y U pertenecen a la recta RS. Escoge dos letras de

de las cuatro dadas en la figura, para nombrar esta recta.

1)FU 2)TU 3) R 4)TE U

T S R

Solución de problemas

b. Plano MSean los puntos A, B y C del plano M. Utiliza estas letras enorden diferente para nombrar el plano.

A C

B

M 1)YJ 2)CFE 3)N 4)BCA

Segmento

El segmento es la parte de una recta que consiste de dos puntos, llamados extremos y de todos los puntos que estan dentro de ella.

A

B

Ejemplo:

En el dibujo anterior hay un angulo que contine dos puntos. El segmento se identificaria como:

o

AB BA

Rayo

Un rayo, RT, es el conjunto de puntos RT y todos los puntos S de tal manera que T caiga entre R y S.

Ejemplo:

El punto final de RT es el punto R.

T

R

Cada punto en una recta determina dos rayos que comparten un mismo extremo. Por ejemplo, el punto A determina los rayos AB, y AC. AB y AC se llaman rayos opuestos.

A C

B

El espacioEl espacio

El espacio es infinito, es El espacio es infinito, es tridimencional, es el conjunto de todos los tridimencional, es el conjunto de todos los puntos.puntos.

Los puntos colineales o alineadosLos puntos colineales o alineados

Son aquellos contenidos en una línea Son aquellos contenidos en una línea o recta. Los puntos que no se encuentran o recta. Los puntos que no se encuentran contenidos en una recta se dice que son contenidos en una recta se dice que son no colineales.no colineales.

Ejemplo: Observese que los puntos A, B y C estan contenidos en la recta i. Estos puntos se dice que son colineales. El puntos D no es un punto colineal ya que no pertenece a la recta i.

C i B

A D

Los puntos (o rectas) coplanariosLos puntos (o rectas) coplanarios

Son aquellos puntos (o rectas) que Son aquellos puntos (o rectas) que se encuentran contenidos en un plano.se encuentran contenidos en un plano.

Ejemplo:

Los puntos Q, R, S y T son coplanarios ya que cada uno esta en el plano E. Las rectas m y k son coplanarias al estar las dos en el plano E.

U

m k T

Q R S

E

Puntos o rectas que no estan contenidos en el mismo plano son no coplanarios. Los puntos Q, R, S, y U son no coplanarios.

Comprueba lo aprendido

Encuentra el segmento correcto: M R

L S

N Q

1) NS 2) RQ 3) LS 4) ML

Comprueba lo aprendido

Seran QP y QR rayos opuestos? Q P R

a) Si, porque el punto Q esta entre medio.b) No, solamente si el punto P esta entre Q y R.c) No, porque no son puntos colineales.d) No, porque son mas de dos rayos.

Vamos a Practicar….

Identifique los puntos colineales y coplanarios:

J w F p

H G T

e

Indica los puntos colineales:Indica los puntos colineales:

a) a) D,U J wJ w F pF p

b) b) A,B H G T H G T

c) c) G,F e e

d) d) J,T

Indica los puntos coplanarios:Indica los puntos coplanarios:

a) a) Q,T,R,S J w pJ w p

b) b) H,N,V,M H GH G

c) c) I,O,F,L F T e F T e

d) d) H,G,J,F

Clasificación de los Clasificación de los ángulosángulos

Ángulo

Un ángulo es la porción de plano limitada por dos semirrectas o rayos que tienen el mismo origen.

Ejemplo de ángulos

Un ángulo es la unión de dos rayos no colineales que comparten el mismo punto extremo.

Ejemplo: B 1

P A

Los rayos reciben el nombre de lados del ángulo y su punto extremo comun es el vértice.

En el dibujo anterior, los lados del ángulo son PA y PB; el vértice es P. El ángulo se puede denotar como APB,

BPA, P o 1. Observese que si se utilizan tres letras, la letra del vértice es la letra del medio.

Practiquemos…

Nombre 1 de otras dos formas

G H

D 1 2

E 1) HEF , FEH

2) GED , DEG

3) GEH , HEG

4) DEH , DEG

Vértice

El vértice del ángulo es el punto en común que es el origen de los lados.

Los ángulos pueden nombrarse de tres formas distintas:

Por las letras mayúsculas correspondientes a las semirrectas, colocando en medio la letra vértice: ABC ó CBA.

Por una letra o número colocado en la abertura a.

Por la letra del vértice B.

Bisectriz

La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que divide al ángulo en dos partes iguales. Un ángulo tiene exactamente una bisectriz.

Ejemplo:

La semirrecta OA es bisectriz del ángulo O si se cumple que: 1= 2

Comprueba lo que aprendistes

Identifica la mejor definición para el término vértice:

a) Es el conjunto de todos los puntos.b) Semirrecta que divide el ángulo en dos partes iguales.c) Es el punto en común que es el origen de los lados.d) Unión de dos segmentos.

Comprueba lo que aprendistes

Nombra un rayo que parezca ser bisectriz de un ángulo y un ángulo que parezca ser bisecado. R

F D

B C

1) JS 2) OP 3) FD 4) AG

Ángulo Agudo

Es todo ángulo cuya amplitud sea menor que la del recto, es decir, es como máximo de 90º.

Ejemplo ángulo agudo

Ángulo Obtuso

Es aquel cuya amplitud es mayor que la del ángulo recto y menor que la del llano, es decir, está comprendida entre 90º y 180º.

Ejemplo ángulo obtuso

Ángulo Recto

Es uno cualquiera de los ángulos en que la bisectriz divide al llano. Su amplitud o abertura es de 90º.

Ángulo Llano o extendido

Es el ángulo formado por dos semirrectas opuestas. Tiene sus lados en la misma recta. Su amplitud es la mitad de un ángulo completo, es decir, de 180º.

Vamos a practicar…

Nombra dos angulos recto: A E

B P D

T

1) APB , APD

2) BPE

3) DPE , TPE

4) APE

Identifica la contestacion correcta

¿Cuál es la medida de un ángulo obtuso?

a) 180 grados

b) 0 grados y menor de 90 grados

c) igual a 90 grados

d) superior a 90 grados e inferior a 180 grados