Post on 22-Oct-2018
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA
“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”
VICERRECTORADO BARQUISIMETO
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA QUÍMICA
CONTROL DE PROCESOS QUÍMICOS
Prof: Ing. (MSc).
Juan Enrique Rodríguez C.
1 Octubre, 2013
Índice
Diagrama de bloques
Comportamiento dinámico de sistemas de segundo orden
Tiempo muerto
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CONTROL DE PROCESOS QUÍMICOS
Diagrama de bloques
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Diagrama de bloques
La representación gráfica de las funciones de transferencia por medio de diagramas de bloques
es una herramienta muy útil en el control de proceso. En general, los diagramas de bloques
constan de cuatro elementos básicos: flechas, puntos de sumatoria, puntos de derivación y
bloques; en la figura se ilustran estos elementos, de cuya combinación se forman todos los
diagramas de bloques.
En la siguiente tabla, se muestran algunas reglas del algebra de los diagramas a bloques, las
cuales son importantes siempre que se requiere simplificar los diagramas de bloques.
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Diagrama de bloques
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Diagrama de bloques
Ejemplo 1: Las flechas y los bloques de la figura inicial represente la expresión matemática:
sCsR*sGsE*sGsM cc
Ejemplo 2: Las flechas y los bloques de la siguiente figura represente la expresión matemática:
Solución:
7
Diagrama de bloques
Reduciendo la figura anterior, aplicando cada uno de los pasos, tenemos
Aplicando una nueva reducción, tenemos
Obteniendo, así la siguiente expresión:
sX*1GsX*G-G*GsY 241213
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CONTROL DE PROCESOS QUÍMICOS
Comportamiento dinámico de sistemas de segundo orden
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Comportamiento dinámico de sistemas de segundo orden
Los sistemas con comportamiento dinámico de primer orden no son los únicos encontrado en un
proceso químico. Una salida puede cambiar, bajo la influencia de una entrada, de una manera
drásticamente diferente a la de un sistema de primer orden, siguiendo la dinámica de orden
superior.
¿Qué es un sistema de segundo orden?
Un sistema de segundo orden es uno cuya salida, y(t), es descrito por la solución de una ecuación
diferencial de segundo orden. Por ejemplo, la siguiente ecuación describe un sistema lineal de
segundo orden:
tfa
by
a
a
dt
dy
a
a
dt
yd
a
a
tenemos,a entre términoslos todosdividimosy 0,a Si
tbfyadt
dya
dt
yda
00
0
0
1
2
2
0
2
00
012
2
2
Donde:
sistema del esimplement o io,estacionar estadoen Ganancia a
bK
iento)amortiguam deFactor :( a
a2
sistema) del oscilación de natural Periodo:( a
aτ
0
p
0
1
0
22
tfKydt
dy2ζ
dt
ydτ
Entonces
p2
22
10
Comportamiento dinámico de sistemas de segundo orden
En términos de variables de desviación, y tomando que las condiciones iniciales son cero, la
transformación en Laplace obtenida es de la siguiente forma:
12ζsτ
K
sF'
sY'sG
sF'K12ζsτ*sY'
sF'KsY'sY'2ζsY'sτ
FsFKYsYYsY*s2ζYsYsτ
sFKsYsY*s*2ζsY*sτ
22
p
p
22
p
22
0p000
22
p
22
s
s
s
La gran mayoría de los sistemas de segundo – o más – orden encontrados en una planta química
provienen de procesos de multicapacidad o el efecto de los sistemas de control de procesos. Muy
rara vez nos encontraremos sistemas dinámicos con segundo orden o superior inherentemente
apreciables.
Respuesta Dinámica de un sistema de segundo orden:
Este análisis nos proporcionará todas las características dinámicas fundamentales de un sistema
de segundo orden.
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Comportamiento dinámico de sistemas de segundo orden
Para un cambio escalón unitario en la entrada f(t):
12ζsτ*
KsY'
22
p
ss
Los dos polos de la función de transferencia de segundo orden se dan por la raíces del polinomio
característico, los cuales son:
21
2p
2
2
2
1
22
ps*ps*s
τ
K
sY'
: tantoloPor
τ
1ζ
τ
ζpy
τ
1ζ
τ
ζp
:son ellos Y
01s2ζsτ
τ
Y la forma de la respuesta y(t) dependerá de la ubicación de los dos polos, pl y p2, en el plano
complejo. Por lo tanto podemos distiguir tres casos:
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Comportamiento dinámico de sistemas de segundo orden
Caso A: Cuando ζ> 1, tenemos dos polos distintos y real.
Caso B: Cuando ζ = 1, tenemos dos polos iguales (multipolar).
Caso C: Cuando ζ <1, tenemos dos polos complejos conjugados.
Casos A y B: La respuesta se ha graficado en la figura para varios valores de ζ, ζ> l. Se le conoce
como respuesta sobreamortiguada y se parece un poco a la respuesta de un sistema de primer
orden a una entrada escalón unitario. Sin embargo, cuando se compara con una respuesta de
primer orden nos damos cuenta de que el sistema se retrasa inicialmente y entonces su respuesta
es bien lenta.
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Comportamiento dinámico de sistemas de segundo orden
Caso C: La respuesta se ha graficado en la figura, para diversos valores del factor de amortiguamiento,
ζ. Podemos observar lo siguiente:
1. La respuesta subamortiguada es inicialmente más rápida que la críticamente amortiguadas o
sobreamortiguado, que se caracterizan por ser lentas.
2. Aunque la respuesta subamortiguada es inicialmente más rápido y alcanza su valor final rápido, no
permanecer allí, comienza a oscilar con la disminución de la amplitud progresivamente. Este
comportamiento oscilatorio hace que una respuesta subamortiguado sea distinta de todas las anteriores.
3. El comportamiento oscilatorio se hace más pronunciado con menores valores del factor de
amortiguamiento.
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Comportamiento dinámico de sistemas de segundo orden
Características de una respuesta subamortiguada
Vamos a utilizar como referencia la respuesta subamortiguada que se muestra en la figura, con el
fin de definir los términos empleados para describir una respuesta amortiguada.
i) Sobrepaso: es la relación A / B, donde B es el último valor de la respuesta y A es la cantidad
máxima por la cual la respuesta es superior a su valor final. El sobrepaso o sobreimpulso es una
función de ζ, y se puede demostrar que está dada por la siguiente expresión:
21e
B
A
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Comportamiento dinámico de sistemas de segundo orden
ii) Relación de asentamiento: es la relación C / A (es decir, la proporción de las cantidades por
encima del valor final de dos picos sucesivos). El índice de asentamiento, se puede demostrar que
estar relacionado con el factor de amortiguamiento ζ a través de la ecuación:
21
2
eA
C
iii) Período de oscilación, T: El periodo de oscilación, viene expresado mediante:
clo)(tiempo/ci ,1
2T
2
p
Otro término relacionado con el periodo de oscilación, es la frecuencia cíclica, w, que es:
mpo)(ciclo/tie ,1
211
2
p
Tw
Otro dos términos son el periodo de oscilación natural, es la frecuencia cíclica natural:
p
npn2π
1y 2πT
w
Frecuentemente, también se usa la siguiente expresión para funciones de segundo orden:
1s2ζs
K
sX
sYsG
n
2
n
2
p
ww
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Comportamiento dinámico de sistemas de segundo orden
iv) Tiempo de subida, ts : Este término se utiliza para caracterizar la velocidad con la que un
sistema subamortiguado responde. Se define como el tiempo requerido para la respuesta alcance
su valor final por primera vez, también es conocido como tiempo de elevación.
v) Tiempo de respuesta, tr: La respuesta de un sistema subamortiguado alcanzará su valor
último de una manera oscilatoria como t ∞. A efectos prácticos, se ha acordado considerar que
la respuesta alcanza su valor final cuando llegue a estar dentro del ±5% de su valor final y se
queda allí. También es conocido como el tiempo de asentamiento.
Ejemplo: Dos tanques en serie no interactivo
En la Figura se muestra tal sistema. Las funciones de transferencia para los dos tanques son:
1sτ
K
sF'
sh'sGy
1sτ
K
sF'
sh'sG
p2
p2
1
22
p1
p1
i
11
(Compruébelo)
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Comportamiento dinámico de sistemas de segundo orden
La función de transferencia global entre la entrada externa f1(t) y y2(t) es:
1sτ1sτ
K
sF'
sh'
sF'1sτ1sτ
Ksh'
tenemosndosimplifica Entonces,
K
1*sF'*
1sτ
K*
1sτ
Ksh'
sh' dosustituyen
K
1*sh'*
1sτ
Ksh'
R
h'F'y RK :como Pero
sF'*1sτ
Ksh'y sF'*
1sτ
Ksh'
p2p1
p2
i
2
i
p2p1
p2
2
1P
i
p1
p1
p2
p2
2
1
1P
1
p2
p2
2
1
1111p
1
p2
p2
2i
p1
p1
1
18
Comportamiento dinámico de sistemas de segundo orden
p2p1 τ
t
p2
τ
t
p1
p1p2
p22
p0
22
p0
p2
0
p0p2p1
2
p0p2p1
e*τe*τ*ττ
11Kth'
1s2ζsτ
KsG
anteriorecuación la de Entonces,
τ2τ τ; ττ*τ
Sea
La ecuación anterior indica la relación entre la entrada externa, Fi(t), y la salida final, h’2(t), es la
de un sistema sobreamortiguado de segundo orden. Ahora, aplicando la transformada inversa nos
encontramos con:
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Comportamiento dinámico de sistemas de segundo orden
Ejemplo: Dos tanques en serie interactivo
En la figura se muestra tal sistema. Las funciones de transferencia para los dos tanques son:
0h*R
Rh*
R
R1
dt
dhR*A
F*Rhhdt
dhR*A
Entonces
R
hFy
R
hhF
flujo al lineal aresistenci Asumiendo
FFdt
dhA ; FF
dt
dhA
1
1
22
1
2222
i1211
11
2
22
1
211
212
21i1
1
20
Comportamiento dinámico de sistemas de segundo orden
0sh'*R
R1s*R*Ash'*
R
R
sF'*Rsh'sh'*1s*R*A
Laplace de ada transformla Aplicando,
F-FF'y hhh' ; hhh'
:Donde
0h'*R
Rh'*
R
R1
dt
dh'*R*A
F'*Rh'h'dt
dh'*R*A
do,Sustituyen
0h*R
Rh*
R
R1
F*Rh-h
:es sistema, el para ioestacionar estado El
2
1
2221
1
2
i12111
i,0ii2,0221,011
1
1
22
1
2222
i1211
11
1,0
1
22,0
1
2
i,012,01,0
21
Comportamiento dinámico de sistemas de segundo orden
s'F*1s*5τs*2τ
Rsh'
s'F*
1s2R*R
τ3τ s*2τ
Rsh'
s'F*
1sR*R
τ2τ τs*2τ* τ
Rsh'
:entonces 2, tanquedel dinámica la de estudio el requiere sey
ττ2τy R*2R ;AA que supongamos ejemplo, de modoA
s'F*1sR*A τ τs*τ* τ
Rsh'
s'F*1sR*A τ τs*τ* τ
RRs*τ*R sh'
R*Ay R*A sea
: tenemos(s),h'y (s)h' a respectocon ecuaciones las oResolviend
i
p
22
p
22
i
1
1
p
p
22
p
22
i
2
1
p1
p1p1
2
p1p1
22
pp2p11221
i
21p2p1
2
p2p1
22
i
21p2p1
2
p2p1
21p21
1
22p211p1
21
22
Comportamiento dinámico de sistemas de segundo orden
pp
pp
τ*0,4384
t
τ*4,562
t
2
τ*0,4384
t
τ*4,562
t
22
ii
i
pp
22
e*0,11e*1,111tF'
ó
e*0,11e*1,111*Rth'
: tenemosLaplace, de inversa ada transformlacon y
1/ssF' tantolopor ,tF'en unitario paso elen cambioun para Ahora,
lo)(compruebe s'F*1s**0,4384*1s**4,562
Rsh'
: tenemosr,denominado alión factorizac Aplicando
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CONTROL DE PROCESOS QUÍMICOS
Tiempo Muerto
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Tiempo Muerto En todos los ejemplos de modelado discutidos en las secciones anteriores se ha supuesto que cada
vez que se lleva a cabo un cambio en una de las variables de entrada (perturbaciones, variables
manipuladas), su efecto se observa instantáneamente en las variables de estado y las salidas. Por
lo tanto cada vez que la composición de la alimentación, CAi, o la temperatura de alimentación,
Ti, o la temperatura del refrigerante, la TCi, el cambio o el efecto del cambio se hace sentir
inmediatamente.
Por lo contrario a nuestra experiencia física, que dicta que cada vez que una hay un cambio en la
variable de entrada de un sistema, hay un intervalo de tiempo (corto o largo) durante el cual no se
observa ningún efecto sobre los resultados del sistema. Este intervalo de tiempo se denomina
tiempo muerto o retardo de transporte, o retardo puro o lag distancia-velocidad.
Considérese el proceso que se muestra en la figura, en este caso, lo que interesa es conocer cómo
responde T1(t) a los cambios en la temperatura de entrada y ambiente.
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Tiempo Muerto
Para un cambio en escalón de la temperatura de entrada Ti(t). El intervalo entre el momento en
que el disturbio entra al proceso y el tiempo en que la temperatura Tl(t) empieza a responder se
conoce como tiempo muerto. Lo cual se ilustra; gráficamente en la figura siguiente:
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Tiempo Muerto
El tiempo muerto es parte integral del proceso y, consecuentemente, se debe tomar en cuenta en
las funciones de transferencia que relacionan T1(t) con Ti(t) y Ts(t). La ecuación del teorema de
traslación real expresa que la transformada de Laplace de una función con retardo es igual al
producto de la transformada de Laplace de la función, sin retardo, por el término e–st0. El término
e–st0 es la transformada de Laplace del puro tiempo muerto y, por tanto, si lo que interesa es la
respuesta de T1(t) a los cambios en Ti(t) y Ts(t), se deben multiplicar las funciones de
transferencia, por e–st0 o
1τs
e*K
sT
sTy
1τs
e*K
sT
sT 00 st
2
s
1
st
1
i
1
La figura, muestra la respuesta de los sistemas de primer y segundo orden con el tiempo muerto a
un cambio de paso en la entrada.