Post on 20-Jul-2022
Control mediante la presion y latemperatura de las propiedades
opticas en cristales fotonicos
Francis Armando Segovia Chaves
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias, Departamento de Fısica
Bogota, Colombia
2020
Control mediante la presion y latemperatura de las propiedades
opticas en cristales fotonicos
Francis Armando Segovia Chaves
Tesis de grado presentada como requisito parcial para optar al tıtulo de:
Doctor en Ciencias Fısica
Director:
Ph. D Herbert Vinck Posada
Lınea de Investigacion:
CRISTALES FOTONICOS
Grupo de Investigacion:
GRUPO DE SUPERCONDUCTIVIDAD Y NANOTECNOLOGIA
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias, Departamento de Fısica
Bogota, Colombia
2020
Y en mi paıs apacentando nubes, puse en el sur
mi corazon, y al norte, cual dos aves rapaces,
persiguieron mis ojos, el rebano de horizontes.
La vida es bella, dura mano, dedos tımidos al
formar el fragil vaso de tu cancion, lo colmes de
tu gozo o de escondidas mieles de tu llanto.
Aurelio Arturo (Poeta Narinense)
Agradecimientos
Quiero expresar mis mas sinceros agradecimientos al Dr. Herbert Vinck Posada, director
de este trabajo por el constante apoyo, orientacion, infinita paciencia, y entusiasmo trans-
mitido en mi formacion profesional. A Catalina C., quien ha hecho mas agradable las largas
y extenuantes jornadas de trabajo y ha sido punto de apoyo fundamental en la culminacion
de este trabajo, ¡LO LOGRAMOS!. A mi madre...Gracias.
Finalmente a los jurados evaluadores. A los Doctores Anderson Dussan de la Universidad
Nacional de Colombia y Juan Carlos Granada de la Universidad del Valle, por sus aportes
para mejorar el documento final. Al Doctor Victor Vasquez de la Universidad Autonoma de
Mexico por el tiempo destinado en leer la tesis y sugerir nuevas perspectivas. A ellos Gracias
ix
Resumen
Los cristales fotonicos son estructuras dielectricas las cuales permiten el control de la propa-
gacion de la luz. En esta tesis presentamos los resultados teoricos referentes a la estructura
de bandas fotonicas en cristales con patrones de periodicidad en una y dos dimensiones.
Las propiedades opticas de los cristales fotonicos son investigadas al solucionar las ecuacio-
nes de Maxwell a traves de metodos teoricos como matriz de transferencia, expansion en
ondas planas y expansion en modos guiados. El metodo de la matriz de transferencia es
empleado en la obtencion del espectro de transmitancia en cristales fotonicos unidimensio-
nales, mientras que con el metodo de expansion en ondas planas calculamos la estructura de
bandas en cristales fotonicos unidimensionales y bidimensionales. En esta tesis se considera
la dependencia con la presion hidrostatica y temperatura aplicada de la constante dielec-
trica del semiconductor GaAs. Los resultados obtenidos revelan que la sintonizacion de las
propiedades opticas son debidos principalmente a la presion hidrostatica en lugar de la tem-
peratura. Adicionalmente, el metodo de expansion en modos guiados es usado en el calculo
de la estructura de bandas de un slab fotonico donde el confinamiento de la luz es en las tres
direcciones espaciales. Finalmente, se elabora la teorıa del metodo de expansion en modos
guiados para el problema de propagacion de la luz en un pilar fotonico unidimensional de
simetrıa cilındrica. Esperamos que los resultados obtenidos en esta tesis puedan ser tomados
en consideracion para el desarrollo de nuevas perspectivas en el diseno de dispositivos opticos.
Contenido
Resumen IX
Lista de figuras XII
1. Introduccion 2
1.1. Estado del arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2. Fundamentos Teoricos 10
2.1. Ecuaciones de Maxwell en cristales fotonicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2. Redes de Bravais y recıproca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3. Teorema de Bloch-Floquet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4. Metodos semianalıticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4.1. Metodo de la matriz de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4.2. Metodo de expansion en ondas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4.3. Metodo de expansion en modos guiados . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3. Resultados 26
3.1. Cristales fotonicos unidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2. Cristales fotonicos bidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2.1. Red cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2.2. Red hexagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3. Slab de cristal fotonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.1. Estructura de bandas fotonica en slabs fotonicos de redes cuadrada y
hexagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.2. Cavidades en slabs fotonicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4. Pilar fotonico circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4. Conclusiones y Perspectivas 48
4.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2. Perspectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5. Publicaciones 50
xii Contenido
A. Anexos 52
A.1. Coeficientes de Fourier en redes fotonicas cuadrada y hexagonal . . . . . . . 52
A.2. Relaciones de dispersion para la guıa de onda homogenea . . . . . . . . . . . 53
A.3. Ecuacion modal de la guıa de onda circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Bibliografıa 57
Lista de Figuras
1-1. Representacion de cristales fotonicos en una, dos y tres direcciones espaciales.
Imagen tomada de Ref. [1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1-2. Slab fotonico bidimensional. a) arreglo de pilares verticales, y b) arreglo de
huecos de aire dispuestos en una red hexagonal de espesor finito. . . . . . . . 4
1-3. Montaje de la bomba de diamante. Imagen tomada de Ref. [45]. . . . . . . . 6
1-4. Constante dielectrica de Ge y GaAs como funcion de la presion. Imagen to-
mada de Ref. [46]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1-5. a) Dependencia con la presion de la constante dielectrica estatica del GaAs
para diferentes temperaturas (75.6 y 300 K). b) Dependencia con la tempe-
ratura de la constante dielectrica estatica del GaAs a diferentes frecuencias.
Imagen tomada de Ref. [47]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2-1. Representacion esquematica de: a) Multicapa unidimensional y b) celda j-
esima de la multicapa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2-2. Region de integracion: a) Red cuadrada y b) Red Hexagonal. . . . . . . . . . 17
2-3. a) Representacion del slab de CF. b) Guıa de onda homogenea de constante
dielectrica ε1 (substrato), ε2 (slab) y ε3 (recubrimiento). . . . . . . . . . . . . 19
2-4. Guıa de onda dielectrica homogenea con nucleo de radio R. . . . . . . . . . . 21
2-5. Pilar fotonico circular de radio R rodeado de aire y compuesto por materiales
intercalados de espesores d1 y d2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3-1. a) Espectro de transmitancia para P=0 kbar y T=4 K. b) Espectro de trans-
mitancia en funcion de la temperatura para P=0 kbar. c) Espectro de trans-
mitancia en funcion de la presion hidrostatica para T=4 K. d) Espectros de
transmitancia para T=4 K y valores de presion: P=0 kbar (lınea negra), P=10
kbar (lınea azul) y P=20 kbar (lınea roja). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3-2. Celda unitaria constituida por dos materiales de constantes dielectricas ε1 y ε2. 28
3-3. Comparacion de la estructura de bandas fotonica para a) T=100 K (lınea
azul) y b) P=15 kbar (lınea roja). La estructura de bandas fotonicas para
P=0 kbar y T=4 K se representa con la lınea negra . . . . . . . . . . . . . . 29
3-4. Celda unitaria compuesta por dos materiales de constantes dielectricas ε1 y ε2. 30
3-5. a) Estructura de bandas fotonica en un CF-1D defectivo. b) Intensidad del
modo defectivo. Los valores usados son para P=0 kbar y T=4 K. La lınea en
color naranja representa el perfil de la funcion dielectrica del CF-1D defectivo. 30
xiv Lista de Figuras
3-6. Espectros de transmitancia en funcion de a) la temperatura para P=0 GPa,
y b) presion para T=4.2 K. Los valores usados en las simulaciones numericas
son N= 10 bicapas y d1 = d2=5 µm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3-7. Estructura de bandas fotonica en un CF-2D de red cuadrada con cilindros de
GaAs incrustados en aire. a) Polarizaciones TE y TM. b) Polarizacion TM
para P=0 kbar (lınea negra) y P=40 kbar (lınea roja). Las regiones en color
gris representa los gaps fotonicos para P=0 kbar y T=4 K. . . . . . . . . . . 33
3-8. a) Perfil de la funcion dielectrica defectiva para P=0 kbar y T=4 K. b) Es-
tructura de banda fotonica TM para R=0.3a, T=4 K y presiones de 0 kbar
(lınea negra) y 40 kbar (lınea roja). c) Perfil de intensidad del modo confinado
para P=0 kbar y T=4 K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3-9. Estructura de bandas fotonica en la red hexagonal de huecos cilındricos de
aire incrustados en GaAs para T=4 K y R=0.48a. a) Polarizaciones TE (lınea
azul) y TM (lınea negra) para P=0 kbar. Estructura de bandas fotonica b)
TE y c) TM, para P=30 kbar (lınea verde) y P=70 kbar (lınea roja). . . . . 35
3-10.Representacion de la red hexagonal de huecos de aire de seccion transversal
triangular incrustados en GaAs con funcion dielectrica εGaAs(P, T ). Los puntos
de alta simetrıa Γ,M y K delimitan la zona irreducible de Brillouin (region
color amarillo). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3-11.a) Perfil de la funcion dielectrica en la red hexagonal de triangulos equilateros
con L=0.5a. b) Estructura de bandas fotonica para polarizaciones TE (lınea
azul) y TM (lınea negra). c) Mapa de gaps en funcion de la longitud de los
triangulos. Los valores usados son P=0 kbar y T=4 K. . . . . . . . . . . . . 37
3-12.a) Perfil de la funcion dielectrica con la remocion de un triangulo de L=0.8a,
P=0 kbar y T=4 K. b) Mapa de gaps para polarizacion TE del CF-2D defec-
tivo. c) Estructura de bandas fotonica TE para presiones de 0 (lınea negra),
30 (lınea verde) y 70 kbar (lınea roja). Las lıneas horizontales hacen referencia
a la posicion de los modos defectivos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3-13.a) Slab fotonico compuesto por huecos de aire dispuestos en una red cuadrada.
b) Estructura de bandas fotonica para los modos TE-like (lınea negra) y TM-
like (lınea roja). La region en color amarillo representa el gap fotonico para
modos TE-like. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3-14.a) Slab fotonico con un arreglo de huecos de aire dispuestos en una red he-
xagonal inmersos en GaAs. b) Estructura de bandas fotonica para los modos
TE-like (lınea negra) y TM-like (lınea roja). La region en color amarillo re-
presenta el gap fotonico para modos TE-like. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3-15.Estructura de bandas fotonica para los modos TE-like en slabs fotonicos de
redes: a) Red cuadrada y b) Red hexagonal. La region en color gris representa
el gap fotonico para P=70 kbar (lınea roja). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Lista de Figuras 1
3-16.a) Slab fotonico con un arreglo de huecos triangulares de aire dispuestos en una
red hexagonal inmersos en un slab de GaAs. b) Estructura de bandas fotonica
para los modos TE-like (lınea negra) y TM-like (lınea roja). c) Estructura de
bandas fotonica para los modos TE-like para diferentes angulos de rotacion
θ = 0, 20 y 30. d) Estructura de bandas fotonica para los modos TE-like
para presiones de 0, 30 y 70 kbar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3-17.a) Vista superior de la red hexagonal del slab fotonico defectivo. b) Estructura
de bandas fotonica para los modos TE-like para presiones de 0 kbar (lınea
color negro) y 70 kbar (lınea color rojo). Las lıneas horizontales representan
la posicion de los modos defectivos para cada presion. . . . . . . . . . . . . . 43
3-18.a) Vista superior del slab fotonico para una cavidad L3, donde s representa
el corrimiento lateral de los huecos de aire. b) Estructura de bandas fotonica
TE-like para presiones de 0 kbar (lınea negra), 30 kbar (lınea azul) y 70 kbar
(lınea roja). Las lıneas horizontales representan los modos defectivos para cada
presion. c) Comportamiento del factor de calidad en funcion del corrimiento
lateral de los huecos para P=0 kbar y T=4 K. d) Comportamiento del factor
de calidad en funcion del corrimiento lateral de los huecos para tres valores
de presion: 0 kbar (lınea negra), 30 kbar (lınea azul) y 70 kbar (lınea roja). . 44
3-19.Celda unitaria del pilar fotonico circular de parametro de red a. . . . . . . . 45
3-20.Estructura de bandas fotonica para el pilar fotonico unidimensional. Los mo-
dos a) Modos HE01 (lınea negra) y EH01 (lınea roja). b) Modo HE01 para
presiones de P=0 kbar (lınea azul), P=30kbar (lınea azul) y P=70kbar (lınea
naranja). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3-21.a) Estructura de bandas fotonicas para modos con m=0, l = 0 y 1. b) Estruc-
tura de bandas fotonicas para modos HE11 a presiones de 0 (lınea verde) y
70 kbar (lınea naranja). Los valores usados en las simulaciones son R=5a y
T= 4K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1. Introduccion
1.1. Estado del arte
Uno de los intereses de la comunidad cientıfica es la fabricacion de materiales de dimen-
sion cada vez mas pequena para que los dispositivos sean mas compactos, consuman menos
energıa y funcionen a velocidades mas altas. Esta tendencia a la miniaturizacion basada en
la habilidad de observar y manipular la materia a pequena escala, tiene por objetivo la bus-
queda de funcionalidades nuevas o mejoradas en campos de la electronica, fotonica, medicina,
textiles, energıa sostenible, entre otros. En este contexto, la fotonica intenta comprender el
comportamiento de la luz en los materiales con el objetivo de disenar e implementar disposi-
tivos al servicio de la comunidad. Entre los materiales artificiales utilizados con innovadoras
aplicaciones para controlar la propagacion de la luz tenemos los cristales fotonicos (CFs),
los cuales se caracterizan por la periodicidad espacial de la constante dielectrica [1]. La idea
que conduce al concepto de CF puede ser entendido por la analogıa entre fotones en un
potencial dielectrico periodico y electrones en un cristal atomico. La periodicidad del po-
tencial electronico es la razon para la existencia de una estructura de bandas permitida y
prohibida [2]. En los fotones una funcion dielectrica periodica es la responsable de la exis-
tencia de bandas y gaps fotonicos [3]. La estructura de bandas fotonicas refiere a los modos
de luz que pueden propagarse en el interior del cristal, mientras que los gaps representan el
dominio de frecuencias donde los fotones tienen prohibido propagarse [4]. La existencia de
un gap fotonico es una de las caracterısticas mas atractivas de los CFs por sus aplicaciones
tecnologicas para controlar la propagacion de la luz [5, 6]. Inicialmente los estudios estaban
encaminadas solamente en CFs tridimensionales (3D), los cuales se caracterizan por tener
un gap fotonico completo donde se inhibe la propagacion de la luz para todos los estados de
polarizacion [7, 8]. La principal desventaja de los CFs-3D es el difıcil proceso de fabricacion
que limita los tipos de estructuras posibles. Pronto surgio la clasificacion de los CFs en una
dimension (CF-1D) y dos dimensiones (CF-2D), como se ilustra en la Figura (1-1). En la
naturaleza tambien podemos encontrar ciertos procesos opticos de reflexion e iridiscencia,
responsables de los sofisticados colores que exhiben determinados organismos de la flora y
fauna, estrechamente relacionados con el comportamiento que ocurre en un CF [9]. Los colo-
res brillantes de las plumas de pajaros, alas de mariposas y escarabajos son algunos ejemplos
[10, 11]. Un examen detallado de estas estructuras revela filamentos fibrosos de alto ındice de
refraccion dispuestos periodicamente y separados por delgadas capas de aire. Cada filamento
consta de microestructuras dispuestas periodicamente hechas de quitina, que dispersan la
1.1 Estado del arte 3
luz produciendo una iridiscencia brillante cuando se ve desde ciertos angulos [12].
Figura 1-1.: Representacion de cristales fotonicos en una, dos y tres direcciones espaciales.
Imagen tomada de Ref. [1].
Al romper la periodicidad del CF por la insercion de defectos (geometricos o de composi-
cion), la luz puede tener estados de energıa (modos defecto) dentro del gap fotonico [13].
Esto se observa como una localizacion del campo electromagnetico alrededor del defecto,
permitiendo el confinamiento o guiado de modos de luz con alta eficiencia. Las frecuencias
de los modos defectivos son empleadas en el diseno de estructuras para potenciales aplica-
ciones en componentes opticos como: resonadores [14, 15], laseres [16, 17], guıas de ondas
[18, 19], etc. Por estas notorias potencialidades, los esfuerzos de la teorıa, experimentacion
y fabricacion de CFs, estan encaminados en el diseno en un solo chip de los componentes
opticos para el procesamiento de informacion [20, 21]. Los teoricos tienen que enfrentar el
problema fundamental de resolver las ecuaciones de Maxwell para una variedad de CFs con
o sin defectos. Mientras que los experimentalistas estan comprometidos con la tarea no facil
de caracterizar las muestras y descubrir nuevos efectos no considerados por la teorıa. Por
ultimo, pero no menos importante, los fabricantes tienen metodos para obtener patrones
dielectricos regulares con la forma deseada. Estos objetivos son particularmente desafiantes
especialmente para lo que concierne al experimento y la fabricacion, si se desea que los CFs
operen en el dominio de frecuencias de dispositivos opticos.
Por otra parte, en los CFs-2D la periodicidad varıa en dos dimensiones con una extension
infinita ortogonal al plano de la periodicidad. Claramente, las estructuras reales no pueden
ser de esta manera ya que la fabricacion implica espesores de dimensiones finitas, lo cual
origina que el confinamiento de la luz no se de en la direccion de no periodicidad. El diseno
mas directo en la busqueda del confinamiento de la luz con las propiedades deseadas de los
CFs-3D es fabricar CFs-2D de altura finita. Estas estructuras comunmente conocidas como
slabs de CFs consisten en un CF-2D incrustado en una guıa de onda dielectrica plana [22, 23].
El confinamiento de la luz es vıa reflexion total interna debido a la discontinuidad dielectrica
proporcionada por la guıa de onda en direccion vertical, y por el patron periodico del CF-2D
que controla la propagacion de la luz en el plano [24, 25]. La Figura (1-2) muestra un slab de
CF el cual consta de un arreglo de pilares verticales en aire (Panel a), o mas comunmente,
4 1 Introduccion
un arreglo de huecos de aire incrustados en un medio de constante dielectrica alta como
un semiconductor (Panel b). Los materiales de uso comun son silicio sobre aislante (SOI,
silicon on insulator), arseniuro de galio (GaAs), fosfuro de indio (InP) y nitruro de silicio
(Si3N4) [26, 27]. Entre las tecnicas utilizadas para la fabricacion de los slabs de CFs tene-
mos la litografıa de haz de electrones y el crecimiento de capa delgada, empleando tecnicas
ampliamente usadas en el campo de la microelectronica y optoelectronica [28].
Figura 1-2.: Slab fotonico bidimensional. a) arreglo de pilares verticales, y b) arreglo de
huecos de aire dispuestos en una red hexagonal de espesor finito.
No obstante dado los conocimientos basicos y tecnologicos obtenidos con el uso de tecnicas de
crecimiento de cristales y de litografıa ya implementadas en electronica y optoelectronica con
materiales semiconductores, aun permanecen sin estudiar algunos aspectos que representan
interes desde el punto de vista de la fısica fundamental relacionados con la sintonizacion de
la estructura de bandas fotonica a traves de mecanismos externos.
1.2. Antecedentes
En la mayorıa de las estructuras fotonicas arriba mencionadas, el gap fotonico se fija despues
de la fabricacion y esto puede limitar su uso practico. Se han propuesto muchos enfoques
para sintonizar o ajustar tanto la estructura de bandas como el gap fotonico, abriendo ası
una nueva perspectiva en la investigacion cientıfica. La sintonizacion puede obtenerse sin
modificar la estructura del CF, y controlando externamente las propiedades intrınsecas de
los materiales constituyentes del cristal. Desde un punto de vista teorico encontramos que
la temperatura es una herramienta para la sintonizacion del gap fotonico y de los espectros
de transmision. J. Manzanares et al. [29] consideran un CF-2D formado por postes de aire
de seccion transversal circular incrustados en InSb, donde existe una dependencia con la
temperatura de la concentracion de portadores intrınsecos del semiconductor. Los efectos
simultaneos de expansion termica y termo-opticos en CFs-2D compuestos por postes de Si
incrustados en aire son investigados por H. Elsayed et al. [30]. Se reporta que el incremento
1.2 Antecedentes 5
de la temperatura sobre la temperatura ambiente origina un aumento del ancho del gap
fotonico de los modos transverso electricos. El desplazamiento a energıas mas altas de la es-
tructura de bandas fotonicas en una red honeycomb bidimensional son investigadas en [31], al
tener en cuenta que las propiedades opticas del GaAs dependen de la presion y temperatura
aplicada. En el caso de CFs-2D donde el arreglo de dispersores de GaAs son dispuestos en
redes cuadradas y triangulares, se observa un leve corrimiento a energıas altas de la estruc-
tura de bandas con el incremento de la temperatura aplicada [32]. El empleo de materiales
superconductores como componentes en CFs tambien ha atraıdo la atencion en el ajuste del
gap fotonico y espectro de transmitancia. Recientemente, A. Aly investiga la respuesta del
espectro de transmitancia con la presion aplicada en un CF-1D compuesto por un material
superconductor (Ti2Ba2Ca2Cu3O10) y semiconductor (GaAs) [33]. Los resultados obtenidos
permiten sintonizar a valores mas altos la frecuencia de corte con el incremento de la pre-
sion aplicada. J. Hao et al. [34] modelan teoricamente una estructura fotonica bidimensional
compuesta por cilindros superconductores (Hg-1223) inmersos en GaAs. Obtienen una maxi-
mizacion del gap fotonico con el aumento de la presion hidrostatica debido al incremento
de la frecuencia del plasma. Los campos electricos y magneticos tambien son un mecanismo
externo para cambiar la posicion del gap fotonico a frecuencias altas, como en el caso de CFs
compuestos por materiales niobato de litio [35] y plata [36].
Por otro lado, M. Tefelska et al. [37] investigan experimentalmente los efectos de la presion
hidrostatica sobre la polarizacion y las propiedades de propagacion en fibras fotonicas de
cristal lıquido. Concluyen que el aumento en la presion origina un estrechamiento del gap
acompanado de cambios en el estado de polarizacion. Resultados similares son reportados
por T. Wolinski et al. [38] al considerar experimentalmente la influencia de la temperatu-
ra, campo electrico externo y presion hidrostatica, sobre las propiedades de propagacion en
fibras de cristal lıquido. Encuentran un desplazamiento del gap en el espectro de transmi-
tancia al cambiar la temperatura. Ese desplazamiento permite determinar las caracterısticas
termicas del ındice de refraccion ordinario del cristal lıquido. Al aumentar la presion entre 0
y 73.2 MPa, la posicion del gap fotonico depende no solo del ındice de refraccion del material
sino tambien de la geometrıa de la fibra. Experimentalmente se observa el corrimiento de la
transmitancia a longitudes de onda corta cuando la presion se incrementa de 0 a 45 MPa en
una fibra de CF de doble nucleo [39]. Un comportamiento analogo es reportado por C. Wu
et al. [40], quienes construyen un interferometro Fabry-Perot y miden experimentalmente la
reflectancia cuando aumenta gradualmente la presion entre 0 y 40 MPa. Reportan que el
espectro se desplaza hacia longitudes de onda mas corta con el incremento de la presion. En
el trabajo de S. Olyaee y A. Dehghani [41], presentan un sensor de presion el cual consiste en
una guıa de onda de CF acoplada a una nanocavidad. La guıa de ondas se configura mediante
la eliminacion de una fila de postes cilındricos de Si, y la nanocavidad por la insercion de un
defecto puntual en la periodicidad del CF-2D. El sensor disenado tiene un factor de calidad
de 1470 y se calibra para medir la presion aplicada con un amplio rango de linealidad entre 0
y 10 GPa. Las anteriores investigaciones teorico-experimentales en la actualidad encuentran
6 1 Introduccion
importantes aplicaciones en medicina [42], inspeccion petrolera [43], y en imagenes sensibles
a la presion y el tiempo, como es el caso en la obtencion de huellas dactilares de alta precision
[44].
En general, la investigacion donde involucra la presion se ha convertido en un campo in-
terdisciplinario que tiene amplias implicaciones desde la fısica hasta ingenierıa y tecnologıa.
La presion aplicada en estructuras semiconductoras artificiales como pozos cuanticos y su-
perredes, juega un papel importante en las investigaciones de los estados electronicos. Esto
se debe en parte a que los niveles de energıa en la interfaz entre los diferentes materiales
de una heteroestructura de semiconductores se pueden ajustar continuamente. El ganador
del premio nobel en 1946 P. Bridgman, fue uno de los pioneros en las tecnicas para aplicar
presion hidrostatica a un material dentro de una celda de yunque (anvil-cell). El concepto
ampliamente utilizado hoy en dıa, consiste en una celda formada por dos diamantes los cuales
comprimen a grandes presiones una muestra de algun material para estudio (Figura (1-3))
[45]. La eleccion del diamante se debe a su dureza permitiendo alcanzar presiones ∼GPa. La
celda de yunque es un dispositivo especialmente adecuado para realizar mediciones opticas
a altas presiones, donde el principio basico es depositar la muestra dentro de un orificio de
200-300µm, el cual se cerrara en la parte superior e inferior por las caras planas paralelas
de dos yunques de diamante. La muestra se somete a presion cuando los dos diamantes se
juntan, dependiendo de su volumen se han construido diferentes celdas y la mayorıa com-
prenden un piston movil que sostiene uno de los diamantes, y algun tipo de mecanismo de
palanca para aplicar la presion. Los lıquidos organicos y gases condensados, tambien son
empleados como medios de presion hidrostatica para asegurar las condiciones en la camara
donde se encuentra depositada la muestra.
Figura 1-3.: Montaje de la bomba de diamante. Imagen tomada de Ref. [45].
Desde el punto de vista tecnologico el GaAs es uno de los semiconductores mas estudiados. A.
Goni et al. [46] emplean una celda yunque de diamante y una mezcla de metanol-etanol como
medio de presion, para investigar la dependencia con la presion de la constante dielectrica a
1.2 Antecedentes 7
altas frecuencias. La presion es medida por el metodo de luminiscencia de rubi. La constante
dielectrica ε∞ se extrapola a partir de la dependencia con la frecuencia del ındice de refraccion
usando un modelo oscilatorio empırico. En la Figura (1-4) se muestra los resultados obtenidos
por estos autores, donde las lıneas que atraviesan los puntos de datos corresponden al ajuste
a mınimos cuadrados. Se aprecia un decrecimiento monotonamente de ε∞ con el aumento de
la presion.
Figura 1-4.: Constante dielectrica de Ge y GaAs como funcion de la presion. Imagen tomada
de Ref. [46].
G. Samara [47] investiga los efectos de la temperatura y presion hidrostatica sobre la constan-
te dielectrica a bajas (εs) y altas frecuencias usando una celda de presion de acero montada
dentro de un Dewar de baja temperatura. Esta celda es capaz de contener presiones hasta 1.2
GPa. La constante dielectrica disminuye casi linealmente al aumentar la presion (ver Figura
(1-5 a)). Con la tecnica de capacitancia de radiofrecuencia, Samara encuentra que por debajo
de 150 K no existe una clara dependencia con la frecuencia de la constante dielectrica, como
se muestra en la Figura (1-5 b). Sin embargo, se aprecia que a altas temperaturas existe
una dependencia relativamente fuerte con la frecuencia de la constante dielectrica. El valor
obtenido en las mediciones de ε es 13.18 ± 3 % a una temperatura de 300 K. Los resultados
de Samara son aproximados a los obtenidos por I. Strzalkowski et al. [48], quienes realizan
mediciones de la capacitancia a bajas frecuencias en muestras de espesores 2.4×10−2cm.
Observan que la constante dielectrica varia linealmente con la temperatura en el rango de
100 a 300 K, de la forma ε(T ) = ε(0)(1 + λT ), siendo ε(0) la constante dielectrica extrapo-
lada linealmente a 0 K y λ =(2.01 ± 0.02) 10−4/K. Para T=300K el valor obtenido de la
constante dielectrica es 13.08.
8 1 Introduccion
Figura 1-5.: a) Dependencia con la presion de la constante dielectrica estatica del GaAs para
diferentes temperaturas (75.6 y 300 K). b) Dependencia con la temperatura
de la constante dielectrica estatica del GaAs a diferentes frecuencias. Imagen
tomada de Ref. [47].
Las investigaciones con la celda yunque de diamante han empleado los sistemas de baja
dimensionalidad para investigar los efectos sobre parametros como masas efectivas, altura
de las barreras, constante dielectrica, etc. Encontramos reportes donde los dispositivos han
venido siendo trabajados empleando soluciones etanol-metanol como medio para generar
presion, y celda de diamante del tipo Merri-Bassett [49]. Los resultados en este tipo de sis-
temas nanometricos (pozos cuanticos, nanotubos, nanohilos y puntos cuanticos) refieren que
al comprimir las estructuras se genera un aumento de los gaps de energıa. Teoricamente en
Ref.[50] se investiga los efectos de la presion sobre las transiciones opticas en puntos cuan-
ticos autoensamblados de InAs/GaAs. Oyoko et al. [51] encontraron que la energıa de enlace
aumenta con la presion al estudiar impurezas en heteroestructuras en forma paralelepıpeda.
Motivados por las interesantes aplicaciones de los CFs donde la respuesta optica es contro-
lada por diferentes mecanismos externos; en esta tesis nos planteamos la siguiente pregunta:
¿Cual sera la respuesta optica de los CFs si son sometidos a una presion y temperatura? Para
responder esta pregunta nos restringiremos al caso de CFs-1D, 2D, y slabs fotonicos. Debido
a que el GaAs es uno de los semiconductores mas importantes (si no el mas importante)
desde el punto de vista tecnologico; la inclusion de la presion y temperatura esta determi-
nada por la dependencia con estos parametros de la constante dielectrica del GaAs [47, 31].
1.2 Antecedentes 9
El contenido de este trabajo esta estructurado de acuerdo con el siguiente esquema: en el
capıtulo 2 hacemos una introducion a la teorıa fundamental de los cristales fotonicos y pre-
sentamos algunos metodos teoricos utilizados para desarrollar nuestro estudio como matriz
de transferencia, expansion en ondas planas y expansion en modos guiados. En el capıtulo
3 se muestran los principales resultados obtenidos derivados de la teorıa ya descrita en lo
que respecta a los espectros de transmitancia y estructura de bandas fotonicas. Finalmente
se presentan las conclusiones pertinentes a nuestro trabajo y se dan algunas pautas para el
desarrollo de futuras investigaciones.
2. Fundamentos Teoricos
La analogıa entre el comportamiento de los fotones en un medio de constante dielectrica
periodica y los electrones en un cristal atomico, hace posible que en la descripcion de los
CFs se hereden los conceptos del estado solido relacionados con la descripcion de electrones
en solidos cristalinos. Sin embargo, existe una diferencia entre ambas descripciones y es
que la dinamica electronica en un cristal atomico esta gobernada por la ecuacion escalar
de Schrodinger, mientras que la descripcion de la dinamica electromagnetica en CFs se rige
por las ecuaciones vectoriales de Maxwell. En este capıtulo se realiza una revision general
de los conceptos relevantes asociados a la descripcion de las luz en medios dielectricos no
homogeneos, ası como de los metodos semianalıticos: matriz transferencia, expansion en
ondas planas y expansion en modos guiados, los cuales seran de utilidad para los resultados
obtenidos en el capıtulo 3.
2.1. Ecuaciones de Maxwell en cristales fotonicos
El punto de partida de la teorıa electromagnetica es la formulacion del problema en terminos
de las ecuaciones de Maxwell. En lo que sigue asumiremos ausencia de cargas libres y co-
rrientes electricas [52]. Bajo estas suposiciones las ecuaciones de Maxwell en unidades MKS,
para medios lineales, isotropos y no magneticos se escriben
−→∇ ·−→D(−→r , t) = 0,
−→∇ ×
−→E (−→r , t) = − ∂
∂t
−→B (−→r , t)
−→∇ ·−→B (−→r , t) = 0,
−→∇ ×
−→H (−→r , t) =
∂
∂t
−→D(−→r , t) (2-1)
Las ecuaciones constitutivas de los campos electrico (−→E ) y magnetico (
−→H ), estan relacionados
con los campos de desplazamiento electrico (−→D) e induccion magnetica (
−→B ) ası:
−→D(−→r , t) = ε0ε(
−→r )−→E (−→r , t),
−→B (−→r , t) = µ0
−→H (−→r , t) (2-2)
Las ecuaciones (2-1) se desacoplan, y las expresiones que gobiernan la propagacion de los
campos−→E y
−→H estan determinadas por las ecuaciones de onda electromagnetica:
1
ε(−→r )
−→∇ ×
−→∇ ×
−→E (−→r , t) = − 1
c2
∂2
∂t2−→E (−→r , t) (2-3)
2.2 Redes de Bravais y recıproca 11
−→∇ × 1
ε(−→r )
−→∇ ×
−→H (−→r , t) = − 1
c2
∂2
∂t2−→H (−→r , t) (2-4)
donde c es la velocidad de la luz en el vacıo. Debido a la linealidad de las ecuaciones de
Maxwell es posible separar la dependencia espacial y temporal de los campos en un conjunto
de modos armonicos con frecuencia angular ω,
−→E (−→r , t)−→H (−→r , t)
=
−→E (−→r )−→H (−→r )
e−iωt, y ası reescribir
las ecuaciones de onda (2-3) y (2-4) de la siguiente manera:
1
ε(−→r )
−→∇ ×
−→∇ ×
−→E (−→r ) =
ω2
c2
−→E (−→r ) (2-5)
−→∇ × 1
ε(−→r )
−→∇ ×
−→H (−→r ) =
ω2
c2
−→H (−→r ) (2-6)
La ecuacion (2-6) se conoce como ecuacion maestra [1], a menudo se escribe como:
Θ−→H (−→r ) =
ω2
c2
−→H con Θ =
−→∇ ×
(1
ε(−→r )
−→∇×
)(2-7)
El papel de la funcion dielectrica ε(−→r ) es analoga al potencial atomico periodico V (−→r ) de la
mecanica cuantica. La ecuacion (2-7) es semejante a la ecuacion de Schrodinger estacionaria
con operador de Maxwell Θ. Esta analogıa permite estudiar los CFs en terminos de la fısica
del estado solido, donde los cristales atomicos son una repeticion periodica en el espacio de
una unidad estructural denominada celda unitaria [2], mientras que en los CFs la unidad
estructural es la repeticion de dos o mas medios macroscopicos. Por lo tanto, es necesario
realizar una revision de algunos conceptos que subyacen del estado solido como lo es la red
de Bravais y recıproca.
2.2. Redes de Bravais y recıproca
La parte mas pequena de un cristal cuya repeticion espacial origina todo el cristal se deno-
mina celda unitaria, y en virtud de la simetrıa de traslacion cada punto de una celda unitaria
puede compararse con un punto equivalente de otra celda unitaria [53]. Matematicamente la
posicion de estos puntos equivalentes en el cristal se caracteriza por la combinacion lineal de
los vectores de red
−→R = n1
−→a1 + n2−→a2 + n3
−→a3 (2-8)
donde −→a1 , −→a2 y −→a3 , son los vectores no coplanares denominados vectores primitivos de red.
El conjunto de todos los vectores de red forma una red espacial o red de Bravais.
Ademas del concepto de red espacial en el espacio ordinario, se utiliza el concepto de red
recıproca en el espacio abstracto tridimensional de los vectores de onda−→k . Al considerar
12 2 Fundamentos Teoricos
una onda plana ei−→k ·−→r , esta hereda la periodicidad de la red de Bravais solamente para un
conjunto de puntos determinados por los vectores de la red recıproca−→G , los cuales cumplen
ei−→G ·(−→r +
−→R ) = ei
−→G ·−→r (2-9)
Matematicamente la ecuacion (2-9) se satisface para−→G ·−→R = 2πN (2-10)
donde N es un numero entero. La red recıproca de un cristal en espacio−→k es un conjunto
infinito de puntos determinados por los vectores−→G = m1
−→b1 +m2
−→b2 +m3
−→b3 (2-11)
donde−→bj (j=1,2,3) son los vectores elementales de la red recıproca, relacionados con vectores
en el espacio real a traves de las igualdades
−→ai ·−→bj = 2πδij (2-12)
La celda unitaria del espacio recıproco se llama primera zona de Brillouin la cual cobra
importancia en la teorıa formal de bandas electronicas.
2.3. Teorema de Bloch-Floquet
El teorema de Bloch-Floquet describe las propiedades de la funcion de onda electronica en
un cristal con potencial periodico. Esta funcion de onda estacionaria de los electrones son
las autofunciones de la ecuacion
H ψ(−→r ) = Eψ(−→r ), con H = − ~2
2m∇2 + V (−→r ) (2-13)
donde H es el Hamiltoniano del electron, E es la energıa del estado, y el potencial V (−→r )
tiene la periodicidad traslacional del cristal V (−→r +−→R ) = V (−→r ) [2, 53]. Las soluciones de
la ecuacion de Schrodinger estan representadas por el producto de una onda plana y una
funcion periodica para todo vector de la red de Bravais, ası
ψ−→k
(−→r ) = ei−→k ·−→r u−→
k(−→r ) (2-14)
donde−→k es el vector de onda y u−→
k(−→r ) es una funcion con periodicidad de la red, u−→
k(−→r +
−→R ) = u−→
k(−→r ). El estado de Bloch representado por la ecuacion (2-14) se reescribe de la
siguiente forma:
ψ−→k
(−→r +−→R ) = ei
−→k ·−→Rψ−→
k(−→r ) (2-15)
La ecuacion (2-15) se conoce como condicion de frontera de Bloch.
En los CFs la periodicidad es determinada por la constante dielectrica ε(−→r +−→R ) = ε(−→r ) para
cualquier−→R . Los estados del campo electromagnetico satisfacen el teorema de Bloch-Floquet
con−→E y
−→H representados como el producto de una onda plana y una funcion periodica con
periodicidad de la red del espacio real.
2.4 Metodos semianalıticos 13
2.4. Metodos semianalıticos
La solucion de las ecuaciones (2-5) y (2-6) alcanza gran complejidad cuando aumentamos la
dimensionalidad espacial de la estructura, siendo necesario recurrir al uso de metodos semi-
analıticos para obtener las correspondientes soluciones para los campos electromagneticos.
En esta seccion describiremos tres de los metodos usados en el campo de los CFs para el
calculo de los espectros de transmision (reflexion) y estructura de bandas fotonica ω(−→k ), a
saber, el metodo de matriz de transferencia (MMT), metodo de expansion en ondas planas
(MEOP), y metodo de expansion en modos guiados (MEMG).
2.4.1. Metodo de la matriz de transferencia
A continuacion realizamos una descripcion del MMT en medios dielectricos estratificados,
el cual puede utilizarse para calcular las propiedades de reflexion y transmision de cualquier
estructura multicapa arbitraria imponiendo condiciones de frontera adecuadas. Este metodo
se fundamenta en conectar las amplitudes de las ondas que inciden y se reflejan en una capa,
con las amplitudes de una capa posterior a traves de las condiciones de continuidad de los
campos electromagneticos en cada una de las interfaz del medio [54].
Consideremos el caso de incidencia normal de la luz sobre una multicapa rodeada de aire y
compuesta por capas alternas de diferentes materiales. En la Figura (2-1 a) se presenta un
esquema de la estructura donde la direccion de crecimiento es el eje x, N es el numero de
bicapas de ındice de refraccion diferente n1 y n2. El perfil del ındice de refraccion para la
celda j (ver Figura 2-1 b), esta dado por la funcion
n(x) =
n1 jΛ < x < jΛ + d1,
n2 jΛ + d1 < x < (j + 1)Λ(2-16)
donde d1 y d2 = Λ−d2 son los espesores de las capas que forman la celda j, y Λ es periodo de
la estructura, n(x+Λ) = n(x). Los campos en la celda j son designados ası: las amplitudes de
las ondas que se propagan respectivamente hacia la derecha e izquierda en la capa con ındice
de refraccion n2 son aj y bj. Estas amplitudes se encuentra a la derecha entre la interface
de la celda j con la celda j + 1. Las amplitudes cj y dj representan las ondas viajan en la
capa de ındice de refraccion n1, las cuales se encuentran a la derecha en la interface entre
n1 y n2 dentro de la celda j. Las ondas con ”prima” corresponden a las amplitudes de los
campos que viajan a la derecha (a′j y c′j) e izquierda (b′j y f ′j), localizados a la izquierda de
cada capa. La conexion de las amplitudes de los campos del medio n2 de la celda j − 1 al
medio n2 de la celda j, estan dados por(aj−1
bj−1
)= D−1
2 D1P1
(cjdj
)= D−1
2 D1P1D−11 D2P2
(ajbj
)(2-17)
donde Dj (j=1,2) es la matriz dinamica la cual conecta las amplitudes de los campos a cada
14 2 Fundamentos Teoricos
Figura 2-1.: Representacion esquematica de: a) Multicapa unidimensional y b) celda j-
esima de la multicapa.
lado de las fronteras, mientras que la matriz de propagacion Pj lleva informacion de la fase
en cada capa. Estas matrices estan dadas por:
Dj =
(1 1
nj −nj
), Pj =
(eiϕj 0
0 e−iϕj
)(2-18)
donde ϕj =ωdjcnj. El paso de la luz a traves de las N celdas, desde el medio inicial (aire)
hasta la celda N equivale a la relacion matricial(A0
B0
)= M
(As0
)(2-19)
donde A0 y B0 representan las amplitudes de los campos incidente y reflejados en el medio
de entrada. La amplitud del campo transmitido en el medio de salida es As. La matriz de
transferencia total M para la estructura descrita en la Figura (2-1 a) es
M =
(m11 m12
m21 m22
)= D−1
a
[N∏j=1
DjPjD−1j
]Da (2-20)
2.4 Metodos semianalıticos 15
donde Da es la matriz dinamica del aire. Usando la forma total de la matriz M para medios
sin absorcion, se puede obtener la transmitancia (T ) y reflectancia (R) para la estructura
finita por medio de las relaciones
R =
∣∣∣∣m21
m11
∣∣∣∣2 , T =
∣∣∣∣ 1
m11
∣∣∣∣2 (2-21)
donde m11 y m21 son los elementos matriciales de (2-20).
2.4.2. Metodo de expansion en ondas planas
Una de las formas pero de ninguna manera la unica en el calculo de la estructura de bandas
fotonica, es ajustar los metodos de calculo de la estructura de bandas electronica al caso de los
CFs. Entre los ajustes que reflejan las diferencias entre los CFs y cristales convencionales, es
el hecho que en la descripcion de CFs el campo electromagnetico es inherentemente vectorial.
El MEOP es la herramienta para la solucion de las ecuaciones de Maxwell bajo condiciones
frontera periodicas. Con este metodo se aprovecha la periodicidad de la estructura para
realizar una expansion periodica del campo y la funcion dielectrica en una base de ondas
planas. Dicha expansion se introduce en las ecuaciones (2-5) y (2-6) con el fın de obtener un
sistema infinito de ecuaciones algebraicas. Los CFs-2D son estructuras dielectricas donde el
ındice de refraccion varıa de acuerdo a un patron periodico bidimensional en el plano y uno
homogeneo en la otra dimension. Al asumir una estructura con periodicidad en el plano xy,
y distribucion homogenea en z; los modos electromagneticos estaran divididos en dos tipos
de polarizacion: transversoelectrica (TE) y transversomagnetica (TM), los cuales tienen en
direccion z solamente una componente Hz y Ez, respectivamente.
Caso TE
La informacion fısica de interes esta determinada por aquellos vectores de onda paralelos al
plano xy, para este tipo de polarizacion−→H (−→r ) se expresa como
−→H (−→r ) = zHz(x, y)ei
−→k ‖·−→r (2-22)
donde−→k ‖ = xkx + yky. De acuerdo con el teorema de Bloch, Hz(x, y) y 1
ε(−→r )son funciones
periodicas las cuales pueden expresarse como una base de ondas planas en la red recıproca,
esto es−→H (−→r ) = z
∑G
CTEG ei(
−→G+−→k ‖)·−→r ,
1
ε(−→r )=∑G
ηGei−→G ·−→r (2-23)
donde−→G = xGx + yGy, C
TEG y ηG representan los coeficientes de expansion, la suma sobre
el ındice G indica un barrido sobre todos los vectores−→G . Al substituir las ecuaciones (2-23)
en (2-6), la ecuacion vectorial se expresa como una ecuacion escalar de la forma∑G
ηG′−G[(G′x + kx) (Gx + kx) +
(G′y + ky
)(Gy + ky)
]CTEG =
(ωc
)2
CTEG′ (2-24)
16 2 Fundamentos Teoricos
Caso TM
Siguiendo la misma lınea de argumento descrito anteriormente, para la polarizacion TM el
campo electrico se escribe como un estado de Bloch de la forma
−→E (−→r ) = z
∑G
CTMG ei(
−→G+−→k ‖)·−→r (2-25)
Al substituir en (2-5) la ecuacion (2-25) y la funcion 1ε−→r )
dada por (2-23), obtenemos el
sistema de ecuaciones algebraicas:∑G
ηG′−G[(Gx + kx)
2 + (Gy + ky)2]CTM
G =(ωc
)2
CTMG′ (2-26)
Las ecuaciones (2-24) y (2-26) representan un problema de valores propios, a partir de las
soluciones se obtiene informacion tanto de las frecuencias propias ω(−→k ) (estructura de bandas
fotonica) como de las funciones propias. La estructura de bandas o el diagrama de dispersion
proporcionan la mayor parte de informacion que se necesita para predecir las propiedades
opticas del CF.
La transformada de Fourier ηG juegan un papel clave en la determinacion de la estructura
de bandas fotonica para ambas polarizaciones. En la ecuacion (2-23) los coeficientes ηG son
obtenidos a traves de una integracion sobre una celda unitaria, ası:
ηG =1
Ω
∫Ω
1
ε(−→r )e−i−→G ·−→r d2r (2-27)
donde Ω representa el area de la celda unitaria. A continuacion se describe el calculo de ηG en
cilindros infinitos de seccion transversal circular distribuidos en redes cuadrada y hexagonal.
Los parametros de red para ambas redes son especificados en la Tabla 2-1.
En una red cuadrada con vector de red recıproco−→G = 2π
a(jx+my), la expansion del inverso
Cuadro 2-1.: Vectores directos y recıprocos de las redes cuadrada y hexagonal.
Geometrıa
Red cuadrada Red hexagonal
Vectores directos −→a1 = (1, 0); −→a2 = (0, 1) −→a1 = (1, 0); −→a2 = (1/2,√
3/2)
Vectores recıprocos−→b1 = 2π
a(1, 0);
−→b2 = 2π
a(0, 1)
−→b1 = 2π
a(1,−
√3
3);−→b2 = 2π
a(0, 2
√3
3)
Area celda unitaria a2√
32a2
de la constante dielectrica en una base de ondas planas con periodicidad de la red de Bravais
es:
1
ε(x, y)=∑j,m
ηjme2πai(xj+ym) (2-28)
2.4 Metodos semianalıticos 17
donde j y m son numeros enteros. Los coeficientes ηjm se calculan a partir de la region de
ortogonalidad de la celda unitaria representada en la Figura (2-2 a), con εc y εs las constantes
dielectricas del cilindro y medio exterior, respectivamente. La integracion se realiza en region
cuadrada y circular, asi
ηjm =1
a2
[1
εs
∫e−
2πai(xj+ym)da− (
1
εs− 1
εc)
∫e−
2πai(xj+ym)da
](2-29)
Despues de efectuar los calculos (ver Anexo [A.1]), los coeficientes ηjm estan dados por
ηG =
1
εs+πr2
a2
(1
εc− 1
εs
)−→G = 0
2πr
a2
(1
εc− 1
εs
) J1
[r√
(2πja
)2 + (2πma
)2
]√
(2πja
)2 + (2πma
)2
−→G 6= 0
(2-30)
donde Jl es la funcion de Bessel de orden l.
Figura 2-2.: Region de integracion: a) Red cuadrada y b) Red Hexagonal.
En el caso de la red hexagonal, el vector de red recıproco es−→G = 2π
a(jx +
2m− j√3
y) y la
region de ortogonalidad corresponde a la region rectangular y circular, como se muestra en
la Figura (2-2 b). Los coeficientes ηjm en forma analıtica se escriben:
ηG =
1
εs+
2πr2
a2√
3
(1
εc− 1
εs
)−→G = 0
4πr
a2√
3
(1
εc− 1
εs
) J1
[r√
(2πja
)2 + (2π(2m−j)a√
3)2]
√(2πja
)2 + (2π(2m−j)a√
3)2
−→G 6= 0
(2-31)
18 2 Fundamentos Teoricos
2.4.3. Metodo de expansion en modos guiados
Los CFs-2D se extienden de manera infinita a lo largo de un eje perpendicular al plano
de periodicidad del cristal. Sin embargo, los dispositivos fotonicos fabricados tienen espesor
finito y utilizan una guıa de onda plana para confinar la luz en direccion vertical [55, 56].
Los mejores candidatos para confinar y guiar eficientemente los campos electromagneticos en
las tres dimensiones espaciales son los slabs de CF (o comunmente llamados CFs planares),
donde los CFs-2D son incrustados en guıas de ondas planas dielectricas. El confinamiento
vertical de la luz es por reflexion total interna, y la propagacion en el plano es controlada
por el patron fotonico a traves de la reflexion distribuida de Bragg. La estructura de bandas
en los slabs fotonicos es mas complicada que en CFs-2D debido a la altura finita del patron
bidimensional. Para obtener una aproximacion cercana de la distribucion del campo de los
modos guiados a la estructura real; D. Gerace en 2006 hace una extension natural del MEOP
al expandir los modos de Bloch en la base de los modos guiados de una guıa de onda ho-
mogenea [57]. El metodo de expansion en modos guiados (MEMG) se explica a continuacion,
los detalles mas especıficos se encuentran en el trabajo original citado anteriormente.
Slab fotonico
La solucion a la ecuacion de onda (2-7) concerniente al campo magnetico puede expandirse
utilizando un conjunto ortonormal de vectores base como:
−→H (−→r ) =
∑µ
cµ−→H µ(−→r ) (2-32)
sujeto a la condicion de ortonormalizacion,∫ −→H ∗µ(−→r ) ·
−→H ν(−→r )d−→r = δµν (2-33)
Al substituir la ecuacion (2-32) en (2-7), se obtiene∑µ
cµ−→H ν ·
−→∇ × 1
ε(−→r )
−→∇ ×
−→H ∗µ =
(ωc
)2∑ν
cν−→H ∗µ ·
−→H ν (2-34)
Al integrar (2-34) sobre el volumen de la estructura, y teniendo en cuenta la identidad
vectorial−→∇ · (
−→F ×
−→G) = (
−→∇ ×
−→F ) ·−→G −
−→F · (−→∇ ×
−→G), obtenemos∑
µ
cµ
∫1
ε(−→r )
[−→∇ ×
−→H ∗µ(−→r )
]·[−→∇ ×
−→H ν(−→r )]d−→r =
ω2
c2
∑µ
cµ
∫ −→H ∗µ ·
−→H νd−→r (2-35)
La ecuacion (2-35) nos conduce a un problema de valores propios lineales de la forma:∑ν
Hµνcν =ω2
c2cµ (2-36)
2.4 Metodos semianalıticos 19
donde los elementos matriciales Hµν estan dados por:
Hµν =
∫1
ε(−→r )
[−→∇ ×
−→H ∗µ(−→r )
]·[−→∇ ×
−→H ν(−→r )]d−→r (2-37)
Figura 2-3.: a) Representacion del slab de CF. b) Guıa de onda homogenea de constante
dielectrica ε1 (substrato), ε2 (slab) y ε3 (recubrimiento).
Para resolver la ecuacion (2-36) en el slab fotonico, los estados−→H µ son basicamente los modos
guiados en la guıa de onda plana. La Figura (2-3 a) muestra el slab fotonico con funcion
dielectrica ε2(−→r‖ ), rodeado por un recubrimiento y substrato de funciones dielectricas ε3(−→r‖ )y ε1(−→r‖ ), respectivamente. El problema radica en definir los modos guiados de la guıa de
onda homogenea del problema fısico original. Haciendo uso de las ecuaciones de Maxwell
a la guıa de onda homogenea representada por la Figura (2-3 b), las ecuaciones implicitas
transversoelectricas y transversomagneticas (ver Anexo [A.2]), estan dadas por
q(χ1 + χ3)cos(qd) + (χ1χ3 − q2)sin(qd) = 0 (2-38)
q
ε2(χ1
ε1+χ3
ε3)cos(qd) + (
χ1χ3
ε1ε3− q2
ε22)sin(qd) = 0 (2-39)
donde d es el espesor, los vectores de onda en el nucleo, substrato y recubrimiento se repre-
sentan por χ1 =√g2 − ε1 ω
2
c2, q =
√ε2ω2
c2− g2 y χ3 =
√g2 − ε3 ω
2
c2, respectivamente. Ahora
es necesario aproximar las funcion dielectrica del slab fotonico a una constante dielectrica
homogenea, para ello se considera el promedio de la constante dielectrica:
εi =1
Ω
∫Ω
εi(−→r‖ )d−→r‖ (i = 1, 2, 3) (2-40)
donde la integral se extiende sobre la celda unitaria de area Ω, y −→r‖ = (x, y) es el vector
de coordenadas en el plano. Al tener en cuenta la periodicidad del CF-2D, unicamente se
permiten los modos guiados con vector de onda −→g =−→k +
−→G , donde
−→G es el vector de la
20 2 Fundamentos Teoricos
red recıproca asociada a la periodicidad en el plano. Esto conduce a la expansion del campo
magnetico en el interior del CF como:
−→H (−→r ) =
∑G
∑α
c(−→k +−→G)−→H guiados−→k +−→G
(−→r ) (2-41)
donde las sumatorias se extienden sobre los modos guiados (α) y vectores de red recıprocos.
Con el fın de calcular los elementos matriciales dados por la ecuacion (2-37), el inverso de
las funciones dielectricas se expanden en un conjunto de ondas planas sobre los vectores de
red recıprocos,
1
ε(−→r‖ )=∑−→G
ηGei−→G ·−→r‖ (2-42)
con coeficientes de Fourier,
ηG =1
Ω
∫ε−1(−→r‖ )e−i
−→G ·−→r‖dr‖ (2-43)
Las perdidas de radiacion de los modos tambien pueden tratarse con el enfoque del MEMG
pero siguiendo la regla de oro de Fermi de la mecanica cuantica. Esas perdidas se representan
como la parte imaginaria de sus frecuencia ası:
−Im(ω2k
c2
)= π|Hguiados,rad|2ρ
(−→k ;
ω2k
c2
)(2-44)
donde ρ
(−→k ;
ω2k
c2
)es la densidad de estados fotonicos unidimensionales radiantes con vector
de onda fijo en el plano. La parte imaginaria de la ecuacion (2-44) se usa para calcular las
perdidas presentes en cualquier cavidad resonante mediante el factor de calidad Q ası:
Qk =ωk
2Im(ωk)(2-45)
Pilar fotonico circular
Con base del formalismo del MEMG descrito anteriormente para un slab fotonico, ahora
elaboramos la teorıa del MEMG para el calculo de la estructura de bandas en un pilar
fotonico unidimensional. La estructura de interes puede ser vista como una guıa de onda
multicapa, es decir, una guıa cuyo ındice de refraccion (constante dielectrica) varıa de capa a
capa a lo largo del eje de su eje de simetrıa. En el calculo de la estructura de bandas fotonica
el procedimiento a seguir en su orden sera: primero, la obtencion de los modos guiados en
una guıa infinita. Segundo, se construye el cristal fotonico unidimensional y se hace uso del
teorema de Bloch-Floquet para el calculo de la relacion de dispersion.
En la Figura (2-4) se muestra el problema a resolver, una guıa de onda de seccion transversal
2.4 Metodos semianalıticos 21
circular con nucleo de constante dielectrica ε1 y radio R, el recubrimiento tiene constante
dielectrica ε2 y radio R′. Estamos interesados en los modos que se propagan a lo largo del eje
z, las expresiones generales del campo electromagnetico con frecuencia ω estan dadas por:−→E (−→r , t)−→H (−→r , t)
=
−→E (r, φ)−→H (r, φ)
ei(ωt−βz) (2-46)
donde β es la constante de propagacion en z. En coordenadas cilındricas la ecuacion de onda
se escribe:(∂2
∂r2+
1
r
∂
∂r+
1
r2
∂2
∂φ2+ (k2 − β2)
)Ez(r, φ)
Hz(r, φ)
= 0 (2-47)
Figura 2-4.: Guıa de onda dielectrica homogenea con nucleo de radio R.
La solucion de la ecuacion (2-47) es separable en r y φ, ası:Ez(r, φ)
Hz(r, φ)
= Ψ(r)eilφ (2-48)
donde l es entero positivo. Al substituir (2-48) en (2-47), obtenemos la ecuacion diferencial
para Ψ(r):
d2Ψ
dr2+
1
r
dΨ
dr+
(k2 − β2 − l2
r2
)Ψ(r) = 0 (2-49)
La ecuacion (2-49) se resuelve de manera general tanto en el nucleo como en el revestimiento
considerando los modos guiados en la estructura y evanescentes para r→∞. Las soluciones
se escriben:
Ez(r, φ, z, t) =
AJl(hr)e
i(ωt+lφ−βz) r ≤ R
CKl(qr)ei(ωt+lφ−βz) r > R
, Hz(r, φ, z, t) =
BJl(hr)e
i(ωt+lφ−βz) r ≤ R
DKl(qr)ei(ωt+lφ−βz) r > R
(2-50)
22 2 Fundamentos Teoricos
donde A, B, C y D son constantes complejas por determinar. Jl y Kl son las funciones de
Bessel de orden l de primera y segunda especie, respectivamente. Los vectores de onda en la
direccion radial internos y externos con k0 = ω/c estan representados por h =√ε1k2
0 − β2 y
q =√β2 − ε2k2
0. Para garantizar que los campos de los modos de propagacion en la guıa de
onda decrezcan exponencialmente en el revestimiento, se cumple k0√ε2 < β < k0
√ε1. Las
ecuaciones de Maxwell permiten deducir las componentes radial y azimutal de los campos a
partir de Ez y Hz, ası:
Componentes del campo electromagnetico en el nucleo (r ≤ R)
Er =i
h2
[β∂Ez∂r
+ωµ0
r
∂Hz
∂φ
]=iβ
h2
(AhJ ′l (hr) +
iωµ0l
βrBJl(hr)
)ei(ωt+lφ−βz) (2-51)
Eφ = − i
h2
[β
r
∂Ez∂φ− ωµ0
∂Hz
∂r
]= − iβ
h2
(il
rAJl(hr)−
ωµ0
βBhJ ′l (hr)
)ei(ωt+lφ−βz)
(2-52)
Hr = − i
h2
[β∂Hz
∂r− ωε1
r
∂Ez∂φ
]= − iβ
h2
(BhJ ′l (hr)−
iωε1l
βrAJl(hr)
)ei(ωt+lφ−βz) (2-53)
Hφ = − i
h2
[β
r
∂Hz
∂φ+ ε1ω
∂Ez∂r
]= − iβ
h2
(il
rBJl(hr) +
ε1ω
βAhJ ′l (hr)
)ei(ωt+lφ−βz)
(2-54)
Componentes del campo electromagnetico en el recubrimiento (r > R)
Er =i
q2
[β∂Ez∂r
+ωµ0
r
∂Hz
∂φ
]=iβ
q2
(CqK ′l(qr) +
iωµ0l
βrDKl(qr)
)ei(ωt+lφ−βz) (2-55)
Eφ =i
q2
[β
r
∂Ez∂φ− ωµ0
∂Hz
∂r
]=iβ
q2
(il
rCKl(qr)−
ωµ0
βDqK ′l(qr)
)ei(ωt+lφ−βz) (2-56)
Hr =i
q2
[β∂Hz
∂r− ωε2
r
∂Ez∂φ
]=iβ
q2
(DqK ′l(qr)−
iωε2l
βrCKl(qr)
)ei(ωt+lφ−βz) (2-57)
Hφ =i
q2
[β
r
∂Hz
∂φ+ ε2ω
∂Ez∂r
]=iβ
q2
(il
rDKl(qr) +
ε2ω
βCqK ′l(qr)
)ei(ωt+lφ−βz) (2-58)
A continuacion debe imponerse el cumplimiento de la continuidad en la frontera nucleo-
revestimiento (r=R) de las componentes tangenciales de los campos electromagneticos dados
por las ecuaciones (2-50)-(2-58).
Continuidad de Ez:
AJl(hR) = CKl(qR) (2-59)
2.4 Metodos semianalıticos 23
Continuidad de Hz:
BJl(hR) = DKl(qR) (2-60)
Continuidad de Eφ:
Aβl
h2RJl(hR) +
iBωµ0
hJ ′l (hR) = −Cβl
q2RKl(qR)− iDωµ0
qK ′l(qR) (2-61)
Continuidad de Hφ:
Bβl
h2RJl(hR)− iAωε1
hJ ′l (hR) = −Dβl
q2RKl(qR) +
iCωε2q
K ′l(qR) (2-62)
El sistema de ecuaciones (2-59)-(2-62) tiene solucion distinta de la trivial cuando el deter-
minante de la matriz es cero. En el Anexo [A.3] desarrollamos el determinante obteniendo
la ecuacion modal [58]:(J ′l (hR)
hRJl(hR)+
K ′l(qR)
qRKl(qR)
)(ε1J
′l (hR)
hRJl(hR)+
ε2K′l(qR)
qRKl(qR)
)= l2
(1
(hR)2+
1
(qR)2
)2(β
k0
)2
(2-63)
La ecuacion (2-63) es cuadratica en J ′l (hR)/hRJl(hR), para un valor fijo de l se determina
las soluciones discretas para β distinguiendo dos tipos de modos:
Modos HE:Jl−1(hR)
hRJl(hR)= −ε1 + ε2
2ε1
K ′l(qR)
qRKl(qR)+
(l
h2R2− σ
)(2-64)
Modos EH:Jl+1(hR)
hRJl(hR)=ε1 + ε2
2ε1
K ′l(qR)
qRKl(qR)+
(l
h2R2− σ
)(2-65)
donde
σ =
√(ε1 − ε2
2ε1
)2(K ′l(qR)
qRKl(qR)
)2
+l2
ε1
(β
k0
)2(1
h2R2+
1
q2R2
)2
(2-66)
A una determinada frecuencia ω y para cada valor de l, existen infinitos valores de β que
corresponde a un modo guiado para las soluciones de las ecuaciones (2-64) y (2-65). La idea
central es calcular la estructura de bandas fotonica del pilar fotonico infinito de radio R,
rodeado de aire, y compuesto por capas alternadas de medios con constantes dielectricas ε1y ε2, como se representa en la Figura (2-5). Con el MEMG se realiza una expansion de los
modos del CF en la base de los modos guiados de la guıa de onda efectiva con vector de onda−→β en direccion z. Los efectos de la modulacion dielectrica son introducidos en el nucleo de
la guıa de onda de la forma
ε(r, ϕ, z) =
ε(z) para r < R, 0 < ϕ ≤ 2π,−∞ < z <∞1 para r > R, 0 < ϕ ≤ 2π,−∞ < z <∞
(2-67)
24 2 Fundamentos Teoricos
Figura 2-5.: Pilar fotonico circular de radio R rodeado de aire y compuesto por materiales
intercalados de espesores d1 y d2.
La solucion de la ecuacion de onda (2-7) se reduce a resolver el problema de valores propios
(2-36). Los elementos matriciales Hµν determinados por la ecuacion (2-37), son calculados
teniendo en cuenta las soluciones del campo magnetico para las regiones del nucleo y reves-
timiento de la guıa de onda homogenea,
−→H (−→r ) =
∑µ
cµ−→H guiados
µ (−→r ) (2-68)
Los modos fotonicos en el pilar dependen del vector de onda−→k restringido a la primera zona
de Brillouin,−→β =
−→k +−→G .
Para el calculo de los elementos matriciales (ecuacion (2-37) ), en coordenadas cilındricas−→∇ ×
−→H se escribe:
−→∇ ×
−→H =
r
r
(∂Hz
∂ϕ− r∂Hϕ
∂z
)− ϕ
(∂Hz
∂r− ∂Hr
∂ϕ
)+k
r
(∂(rHϕ)
∂r− ∂Hr
∂ϕ
)(2-69)
Al substituir en (2-69) las expresiones del campo magnetico correspondiente al nucleo y
revestimiento, obtenemos
Para r ≤ R
−→∇ ×
−→H µ =
r
r(ilµHz + irβµHϕ)− ϕ
(BhJ ′lµ(hr)ei(ωt+lµϕ−βµz) + iβµHr
)+k
r
([BβµlµhJ ′lµ(hr)− iωε1
hAJ ′lµ(hr)− iωε1ArJ ′′lµ(hr)
]ei(ωt+lµϕ−βµz) − ilµHr
)≡ f1µ(r)ei(ωt+lµϕ−βµz) (2-70)
2.4 Metodos semianalıticos 25
Para r > R
−→∇ ×
−→H ν =
r
r(ilνHz + irβνHϕ)− ϕ
(DqK ′lν (qr)e
i(ωt+lνϕ−βνz) + iβνHr
)+k
r
([−Dβνlν
qK ′lν (qr) +
iωε2qCK ′lν (qr) + iωε2CrK
′′lν (qr)
]ei(ωt+lνϕ−βνz) − ilνHr
)≡ f2ν(r)e
i(ωt+lνϕ−βνz) (2-71)
Reemplazamos en la ecuacion (2-37) las ecuaciones (2-70) y (2-71), teniendo en cuenta que
el dominio de integracion corresponde al interior y exterior del pilar fotonico,
Hµν =
∫ R
0
∫ 2π
0
∫ ∞−∞
1
ε(z)f ∗1µ(r)f1ν(r)e
i(lν−lµ)ϕei(βν−βµ)zrdrdϕdz +∫ ∞R
∫ 2π
0
∫ ∞−∞
f ∗2µ(r)f2ν(r)ei(lν−lµ)ϕei(βν−βµ)zrdrdϕdz (2-72)
Al efectuar las integrales en (2-72), los elementos matriciales se escriben
Hµν = 2πaδlµlν(Mµνε
−1µν +Nµνδβµ,βν
)(2-73)
donde a es el parametro de red, δlµlν =∫ 2π
0ei(lν−lµ)ϕdϕ, δβµ,βν =
1
a
∫∞−∞ e
i(βν−βµ)zdz, y ε−1µν =
1
a
∫∞−∞
1
ε(z)ei(βν−βµ)zdz. Las integrales radiales en (2-73) se representan por Mµν y Nµν , ası
Mµν =
∫ R
0
f ∗1µ(r)f1ν(r)rdr, y Nµν =
∫ ∞R
f ∗2µ(r)f2ν(r)rdr (2-74)
En la ecuacion (2-74), f1µ,ν y f2µ,ν son funciones dependientes de los perfiles del campo
electromagnetico en el nucleo y recubrimiento (ecuaciones (2-70) y (2-71)). Mediante la
ecuacion (2-73) se obtiene los elementos matriciales Hµν del pilar fotonico y se soluciona la
ecuacion de valores propios (2-37) para el caso particular que sera presentado en el proximo
capıtulo.
3. Resultados
En este capıtulo presentamos los resultados para el espectro de transmitancia y estructuras
de bandas fotonicas con los conceptos y metodos descritos en el capıtulo anterior. El con-
tenido esta organizado de la siguiente forma: en la primera seccion, se muestran los resultados
del espectro de transmitancia y estructura de bandas fotonica para CFs-1D donde emplea-
mos los metodos de matriz de transferencia y expansion en ondas planas. En la siguiente
seccion presentamos los resultados de la estructura de bandas fotonica en CFs-2D donde los
dispersores de seccion transversal circular y triangular, son dispuestos en dos tipos de redes:
cuadrada y hexagonal. Finalmente, se muestran los principales resultados de las estructura
de bandas en un slab fotonico y pilar fotonico circular, empleando el metodo de expansion
en modos guiados.
3.1. Cristales fotonicos unidimensionales
Las estructuras dielectricas multicapa unidimensionales han encontrado uso en muchos dispo-
sitivos opticos como, por ejemplo, recubrimientos antirreflectantes [59], reflectores de Bragg
[60, 61] y microcavidades [62, 63]. Haciendo uso del MMT calculamos el espectro de trans-
mitancia en la estructura descrita por la Figura (2-1 a), con periodo de bicapas N=10 y
elegimos espesores de un cuarto de longitud de onda, n1d1 = n2d2 = λ0/4 (para λ0=1.0 µm).
Consideramos que el CF-1D esta compuesto por capas alternadas de un material semicon-
ductor (GaAs) y aire, donde los ındices de refraccion estan representados por n1 =√εGaAs y
n2 =1.0, respectivamente. La sintonizacion del espectro de transmitancia es posible al tener
en cuenta la dependencia de las propiedades intrınsecas del semiconductor con parametros
externos. Para ello consideramos la dependencia con la presion hidrostatica (P) y temperatu-
ra (T) de la constante dielectrica del GaAs, ası
εGaAs(P, T ) = (ε0 + AeT/T0P )e−αP (3-1)
donde ε0=12.446, A = 0.21125, T0=240.7 K, y α=0.00173 kbar−1 [47, 31].
En la Figura (3-1 a) presentamos el espectro de transmitancia para valores fijos de presion
(0 kbar) y temperatura (4 K). Observamos una banda espectral en la que no existen estados
electromagneticos en la estructura. La luz incidente con longitudes de onda en el rango de
723.78 a 1574.03 nm correspondientes al gap fotonico es reflejada totalmente (transmitancia
nula). Al incrementar la temperatura de 4 a 200 K para P=0 kbar, la transmitancia no
3.1 Cristales fotonicos unidimensionales 27
exhibe cambios notorios como se muestra en la Figura (3-1 b). El espectro de transmitancia
cuando mantenemos constante la temperatura (4 K) e incrementamos la presion de 0 a 20
kbar, se reporta en la Figura (3-1 c). Los resultados revelan que el espectro transmitancia
exhibe un leve corrimiento a logitudes de onda corta a medida que aumenta la presion, como
se observa se observa en la Figura (3-1 d) donde elegimos los valores de presion 0, 10 y 20
kbar.
Figura 3-1.: a) Espectro de transmitancia para P=0 kbar y T=4 K. b) Espectro de trans-
mitancia en funcion de la temperatura para P=0 kbar. c) Espectro de trans-
mitancia en funcion de la presion hidrostatica para T=4 K. d) Espectros de
transmitancia para T=4 K y valores de presion: P=0 kbar (lınea negra), P=10
kbar (lınea azul) y P=20 kbar (lınea roja).
Para obtener una descripcion de la estructura de bandas fotonica emplearemos el MEOP,
donde consideramos que la estructura representada por la Figura (2-1 a) tiene una periodici-
dad infinita en direccion x, y homogeneidad lo largo de las otras dos direcciones yz. El CF-1D
28 3 Resultados
esta compuesto de materiales con constantes dielectricas ε1 y ε2. Las ecuaciones de valores
propios dadas por (2-24) y (2-26) se reducen al caso unidimensional al anular la dependencia
en ky. Para un vector de onda completamente paralelo al eje x, las polarizaciones TE y
TM se reducen al mismo caso. Adicionalmente, los coeficientes de Fourier del inverso de la
funcion dielectrica dados por la ecuacion (2-23), se escriben
ηGx =1
a
∫ a/2
−a/2
1
ε(x)e−Gxxidx (3-2)
donde la componente unidimensional del vector de red recıproco es Gx =2πm
acon m un
numero entero. En la integral (3-2), ε(x) toma el valor de ε1 o ε2 dependiendo del intervalo
de integracion. La Figura (3-2) se muestra la celda unitaria formada por los materiales ε1y ε2 con espesores d1 y d2, respectivamente. La longitud de la celda unitaria del CF-1D es
a = d1 + d2.
Figura 3-2.: Celda unitaria constituida por dos materiales de constantes dielectricas ε1 y
ε2.
En el calculo de la estructura de bandas fotonicas consideramos que el CF-1D esta compuesto
por materiales alternados de GaAs (ε1) y aire (ε2) con espesores de 0.5a. La constante
dielectrica del GaAs esta dada por la ecuacion (3-1). En la Figura (3-3) se muestra la
estructura de bandas fotonica al incrementar la temperatura de 4 a 100 K a presion de 0
kbar (Panel (a)), y cuando la presion se incrementa en 15 kbar a temperatura de 4 K (Panel
(b)). El efecto sobre la estructura de bandas al incrementar la temperatura da como resultado
un corrimiento a menores frecuencias, esta dependencia es despreciable ya que ambas curvas
practicamente coinciden. Sin embargo, un efecto contrario se observa en el Panel (b) donde
el corrimiento de la estructura de bandas es mas notorio a frecuencias altas cuando la presion
se incrementa para una temperatura fija. Los resultados obtenidos revelan claramente que
respuesta optica se debe principalmente a los incrementos de la presion hidrostatica en lugar
de la temperatura.
3.1 Cristales fotonicos unidimensionales 29
Figura 3-3.: Comparacion de la estructura de bandas fotonica para a) T=100 K (lınea azul)
y b) P=15 kbar (lınea roja). La estructura de bandas fotonicas para P=0 kbar
y T=4 K se representa con la lınea negra
Cuando la periodicidad del CF-1D se rompe por la introduccion de un defecto, un modo
defectivo se localiza en el interior del gap fotonico el cual se caracteriza por una maxima
transmitancia. En la Figura (3-4) se representa el CF-1D defectivo donde se incrementa el
espesor de una de las capas. En este tipo de estructuras para devolverle la periodicidad al
cristal es necesario utilizar la tecnica de la supercelda donde se considera una celda unitaria
mucho mas grande que la del cristal regular pero con el defecto ubicado en el centro [64]. Los
coeficientes de expansion del inverso de la funcion dielectrica para el cristal defectivo estan
dados por
ηGx =1
Ls
∫ Ls/2
−Ls/2
1
ε(x)e−
2πmxLs
idx (3-3)
donde Ls es la longitud total de la supercelda.
La estructura de bandas fotonica del CF-1D defectivo donde se incrementa el espesor de
una capa de GaAs en LD =1.5a, es presentada en la Figura (3-5 a). Los resultados fueron
obtenidos para valores fijos de temperatura (4 K) y presion (0 kbar). En la estructura de
bandas aparecen nuevas bandas debido a que la zona de Brillouin se reduce y se produce
un doblamiento de estas. Encontramos un modo defectivo con ωa/2πc ' 0.204 en el interior
30 3 Resultados
Figura 3-4.: Celda unitaria compuesta por dos materiales de constantes dielectricas ε1 y ε2.
del gap fotonico ubicado en la region de frecuencias 0.153≤ ωa/2πc ≤0.259. Este modo de-
fectivo se localiza alrededor del defecto como se muestra en la Figura (3-5 b), donde hemos
superpuesto la intensidad del modo con la funcion dielectrica de la supercelda.
Figura 3-5.: a) Estructura de bandas fotonica en un CF-1D defectivo. b) Intensidad del
modo defectivo. Los valores usados son para P=0 kbar y T=4 K. La lınea en
color naranja representa el perfil de la funcion dielectrica del CF-1D defectivo.
Tambien exploramos los efectos de la temperatura y presion cuando uno de los materiales
constituyentes del CF-1D es un superconductor. Para tal fın consideramos el modelo del
CF-1D propuesto en [65], en el cual la estructura esta compuesta por capas alternadas del
superconductor HgBa2Ca2Cu3O8+δ que usualmente es abreviado Hg-1223 y el semiconduc-
3.1 Cristales fotonicos unidimensionales 31
tor GaAs, con constantes dielectricas ε1 y ε2, respectivamente. La respuesta electromagnetica
del superconductor se describe adecuadamente por el modelo de Gorter-Casimir en el marco
de la teorıa de London [66]. Para temperaturas muy pequenas comparadas con la tempera-
tura crıtica Tc, la contribucion de los electrones en el estado normal a la constante dielectrica
es despreciables, por lo tanto, a bajas temperaturas la constante dielectrica se escribe
ε1(ω) = 1− c2
ω2λ2L
(3-4)
donde λL es la profundidad de penetracion del campo magnetico la cual depende con la
temperatura, y para el superconductor Hg-1223 viene dada por:
λL(T ) =λ0(
1−(T
Tc
)3)1/3
(3-5)
con λ0 la profundidad de penetracion cuyo valor es λ0=6.1 µm [67, 68]. Para incluir los
efectos de la presion en Hg-1223, la temperatura Tc cambia con la presion de la siguiente
forma [69]:
Tc = q1 + q2P + q3P2 (3-6)
donde q1=134, q2=2.009 y q3=-4.194×10−2. La constante dielectrica del GaAs esta dada por
la ecuacion (3-1), y asumiremos que el espesor de las capas depende con la presion ası
d(P ) = d0 [1− (S11 + 2S12)P ] (3-7)
donde d0 es el espesor inicial a presion cero, las constantes elasticas del GaAs son S11=1.16×10−2
GPa−1 y S12=-3.7×10−3 GPa−1 [47, 70].
Haciendo uso del MMT calculamos el espectro de transmitancia donde el numero de perio-
dos en la estructura descrita por la Figura (2-1 a) es N=10. Los espesores de las capas de
los materiales constituyentes del CF-1D son iguales d1 = d2=5 µm. En la Figura (3-6) en
dos paneles se muestra los efectos de la temperatura y presion aplicada sobre el espectro
de transmitancia. En el Panel (a) se observa que los gaps fotonicos no presentan cambios
notables al incrementar la temperatura desde 4.2 a 100 K manteniendo fija la presion (0
GPa). Sin embargo, cambios notorios son observados en el espectro de transmitancia cuando
la presion se incrementa de 0 a 20 GPa para un valor fijo de temperatura (4.2 K), como se
muestra en el Panel (b). A medida que la presion se incrementa los gaps fotonicos exhiben
un corrimiento hacia regiones de frecuencias mas altas. Esto indica que la sintonizacion de
los gaps fotonicos al igual que los resultados reportados en las Figuras (3-1 d) y (3-3 b) son
debidos principalmente a los incrementos en la presion hidrostatica.
32 3 Resultados
Figura 3-6.: Espectros de transmitancia en funcion de a) la temperatura para P=0 GPa,
y b) presion para T=4.2 K. Los valores usados en las simulaciones numericas
son N= 10 bicapas y d1 = d2=5 µm.
3.2. Cristales fotonicos bidimensionales
Como los CFs son normalmente estructuras artificiales, su forma esta limitada por los me-
todos de fabricacion disponibles en la escala espacial requerida. Comunmente las tecnicas
de fabricacion estructuras dielectricas se basan en el crecimiento epitaxial y litografıa de
semiconductores. La mayorıa de los CFs-2D reportados en la literatura consisten en cilindros
circulares de aire en un substrato semiconductor [71, 72, 73]. Tambien se han realizado
diferente estudios con dispersores de geometrıa diferente a la circular [74, 75], cuyo objetivo es
la obtencion y maximizacion de los gaps fotonicos. En esta seccion el MEOP es utilizado para
calcular la estructura de bandas fotonica en CFs-2D con dispersores de seccion transversal
circular y triangular arreglados en dos tipos de redes de Bravais: cuadrada y hexagonal.
3.2.1. Red cuadrada
La Figura (3-7 a) muestra la estructura de bandas fotonica para las polarizaciones TE y
TM, en un CF-2D compuesto por cilindros infinitos de seccion transversal circular de radio
R=0.3a arreglados en una red de Bravais cuadrada. Los cilindros de GaAs con constante
dielectrica dada por la ecuacion (3-1) estan incrustados en aire. Los puntos de simetrıa estan
representados por Γ : (akx = 0, aky = 0), X : (akx = π, aky = 0) y M : (akx = π, aky = π).
3.2 Cristales fotonicos bidimensionales 33
Para valores dados de presion (0 kbar) y temperatura (4 K), se evidencia la aparicion de
regiones de frecuencias prohibidas solamente en la polarizacion TM.
Figura 3-7.: Estructura de bandas fotonica en un CF-2D de red cuadrada con cilindros de
GaAs incrustados en aire. a) Polarizaciones TE y TM. b) Polarizacion TM
para P=0 kbar (lınea negra) y P=40 kbar (lınea roja). Las regiones en color
gris representa los gaps fotonicos para P=0 kbar y T=4 K.
Teniendo en cuenta los resultados de la seccion anterior donde los efectos predominantes son
debidos principalmente a la presion hidrostatica, la Figura (3-7 b) muestra la estructura
de bandas fotonica para polarizacion TM para una temperatura de 4K, y presiones de 0 y
40 kbar. Encontramos que la estructura de bandas exhibe un corrimiento hacia regiones de
frecuencias mas altas, acompanado de un incremento del ancho del primer gap fotonico el
cual para P=0 kbar se localiza en 0.223≤ ωa/2πc ≤0.288, mientras que en P=40 kbar se
localiza en 0.257≤ ωa/2πc ≤0.355. Adicionalmente, observamos que el aumento en la presion
hidrostatica origina una disminucion del ancho del segundo gap fotonico.
Las cavidades en CFs-2D se forman alterando las propiedades de periodicidad de la red
fotonica. Si el defecto originado tiene propiedades apropiadas pueden formarse modos lo-
calizados con frecuencias dentro del gap fotonico. Una vacante, como lo es la remocion de
un cilindro de GaAs en la red del CF-2D se muestra en la Figura (3-8 a). Debido a las
condiciones de periodicidad utilizadas por el MEOP se debe emplear la tecnica de la super-
celda [64] de tamano 5a× 5a. Los resultados obtenidos revelan en el interior del primer gap
de un modo defectivo para la estructura de bandas fotonicas de polarizacion TM, como se
34 3 Resultados
muestra en la Figura (3-8 b). La frecuencia del modo defectivo puede ajustarse cambiando
las propiedades de la constante dielectrica del GaAs. Al mantener fija la temperatura en 4
K, los modos defectivos estan localizados en ωdef=0.28 y ωdef=0.35 para presiones de 0 y 40
kbar, respectivamente. La Figura (3-8 c) presenta el perfil de intensidad de campo electrico
en el punto de simetria X para 0 kbar y 4 K, donde se evidencia que el modo se encuentra
localizado en la zona defectiva y decae fuera del defecto.
Figura 3-8.: a) Perfil de la funcion dielectrica defectiva para P=0 kbar y T=4 K. b) Estruc-
tura de banda fotonica TM para R=0.3a, T=4 K y presiones de 0 kbar (lınea
negra) y 40 kbar (lınea roja). c) Perfil de intensidad del modo confinado para
P=0 kbar y T=4 K.
3.2 Cristales fotonicos bidimensionales 35
3.2.2. Red hexagonal
Otras de las estructuras ampliamente investigadas en el campo de los CFs-2D que pueden ser
reproducidas por el hombre es la red hexagonal. La Figura (3-9 a) muestra la estructuras de
bandas fotonica para las polarizaciones TE y TM, donde consideramos huecos cilındricos de
aire de seccion transversal circular incrustados en GaAs y arreglados en una red hexagonal.
Los puntos de simetrıa estan representados por Γ : (akx = 0, aky = 0), M : (akx = 0, aky =
2π/√
3) y K : (akx = 2π/3, aky = 2π/√
3). Los parametros escogidos fueron: radio de los
huecos R=0.48a, valores de presion y temperatura de 0 kbar y 4 K, respectivamente.
Figura 3-9.: Estructura de bandas fotonica en la red hexagonal de huecos cilındricos de aire
incrustados en GaAs para T=4 K y R=0.48a. a) Polarizaciones TE (lınea azul)
y TM (lınea negra) para P=0 kbar. Estructura de bandas fotonica b) TE y c)
TM, para P=30 kbar (lınea verde) y P=70 kbar (lınea roja).
Los resultados obtenidos muestran que en ambas polarizaciones existe un gap fotonico en las
regiones de frecuencias 0.364≤ ωa/2πc ≤0.527 (polarizacion TE) y 0.435≤ ωa/2πc ≤0.523
36 3 Resultados
(polarizacion TM). En las Figuras (3-9 b y c) observamos el mismo comportamiento de la
estructura de bandas obtenidas en la red cuadrada. A medida que la presion se incrementa
se favorece el cambio a energıas mas altas de los intervalos de frecuencias permitidas y
prohibidas en ambas polarizaciones.
Los avances de las tecnicas experimentales han logrado la formacion de dispersores en los CFs
de geometrıa diferente a la circular. La tecnica de anodizacion logra la fabricacion de CFs-2D
compuestos por cilindros de seccion transversal triangular [76, 77]. Siguiendo el formalismo
del MEOP calculamos la estructura de bandas fotonica para una red hexagonal de agujeros
de seccion transversal en forma de triangulos equilateros. La Figura (3-10) representa la
red hexagonal de los triangulos de aire de lado L incrustados en un material semiconductor
de GaAs. A su vez tambien se muestra los puntos de alta simetrıa y la zona irreducible de
Brillouin delimitada por dichos puntos.
.
Figura 3-10.: Representacion de la red hexagonal de huecos de aire de seccion transversal
triangular incrustados en GaAs con funcion dielectrica εGaAs(P, T ). Los pun-
tos de alta simetrıa Γ,M yK delimitan la zona irreducible de Brillouin (region
color amarillo).
Siguiendo el procedimiento de la subseccion 2.4.2, la transformada de Fourier ηG en la celda
unitaria descrita en la Figura (3-10) esta dada por
ηG =
1
εGaAs(P, T )+L2
2a2
(1− 1
εGaAs(P, T )
)−→G = 0
L2
2a2
(1− 1
εGaAs(P, T )
)[I(Gx, Gy) + I(−Gx, Gy)]
−→G 6= 0
(3-8)
3.2 Cristales fotonicos bidimensionales 37
donde a es el parametro de red, la constante dielectrica εGaAs(P, T ) viene dada por la ecuacion
(3-1), y la funcion I(Gx, Gy) es
I(Gx, Gy) =2i√
3GyLe
(GyL
2√3−GxL
4
) [ei√3LGy4 sinc
(GxL−
√3GyL
4
)− sinc
(GxL
4
)](3-9)
La red fotonica hexagonal de huecos triangulares de lado L=0.5a, incrustados en GaAs con
constante dielectrica para 0 kbar y 4 K, se muestra en la Figura (3-11 a). Las estructuras de
Figura 3-11.: a) Perfil de la funcion dielectrica en la red hexagonal de triangulos equilateros
con L=0.5a. b) Estructura de bandas fotonica para polarizaciones TE (lınea
azul) y TM (lınea negra). c) Mapa de gaps en funcion de la longitud de los
triangulos. Los valores usados son P=0 kbar y T=4 K.
bandas fotonica para ambas polarizaciones es presentada en la Figura (3-11 b), donde sola-
mente la polarizacion TE tiene gap fotonico en la region comprendida 0.191≤ ωa/2π ≤0.201.
Al incrementar la longitud de los triangulos se favorece una maximizacion del gap fotonico
38 3 Resultados
acompanado por la aparicion de nuevas bandas prohibidas en ambas polarizaciones, como
se muestra en la Figura (3-11 c). Al remover un agujero triangular en la red del CF-2D
(ver Figura (3-12 a), para una supercelda de tamano 5a × 5a se encuentra en el interior
del gap fotonico de un modo defectivo. La sintonizacion de la banda defectiva a frecuencias
mas altas se logra por dos mecanismos: aumentando el tamano de los triangulos como se
muestra en el mapa de gaps para polarizacion TE (Figura (3-12 b)), o incrementando la
presion hidrostatica (Figura (3-12 c)). Para presiones de 0, 30 y 70 kbar, el modo defectivo
se sintoniza a frecuencias de ωdef=0.235, ωdef=0.24, y ωdef=0.25, respectivamente.
Figura 3-12.: a) Perfil de la funcion dielectrica con la remocion de un triangulo de L=0.8a,
P=0 kbar y T=4 K. b) Mapa de gaps para polarizacion TE del CF-2D defec-
tivo. c) Estructura de bandas fotonica TE para presiones de 0 (lınea negra),
30 (lınea verde) y 70 kbar (lınea roja). Las lıneas horizontales hacen referencia
a la posicion de los modos defectivos.
3.3 Slab de cristal fotonico 39
3.3. Slab de cristal fotonico
Una de las desventajas de los CFs-2D es que el modelo se extiende infinitamente en direccion
z. Para hacer las cosas mas realistas, ahora se considera el caso de una estructura fotonica
bidimensional de altura finita en direccion z. En los slabs de CF el confinamiento vertical
de la luz es proporcionado por reflexion total interna, mientras que el confinamiento lateral
se basa en las propiedades de periodicidad del CF-2D. Entre los slabs fotonicos tenemos
los suspendidos en aire [78, 79], y los fabricados en una heteroestructuras que generalmente
consiste en materiales semiconductores III-V [55, 80]. La guıa de onda plana esta consti-
tuida comunmente por un slab delgado de material de alto ındice de refraccion (nucleo),
incrustada entre medios semiinfinitos de bajos ındices de refraccion (recubrimiento). Cuan-
do el espesor de la region central es comparable con la longitud de onda de la radiacion
electromagnetica, se observa efectos interesantes en la propagacion de la luz determinados
por el confinamiento vertical. En esta seccion presentamos los resultados obtenidos a traves
del MEMG de las estructuras de bandas fotonicas en slabs fotonicos con nucleo de GaAs de
constante dielectrica dada por la ecuacion (3-1), y rodeado de aire ε1 = ε3 =1.0 (ver Figura
(2-3 b)). La periodicidad del CF-2D es en el plano xy con dispersores dispuestos en redes
cuadrada y hexagonal.
3.3.1. Estructura de bandas fotonica en slabs fotonicos de redes
cuadrada y hexagonal
La Figura (3-13 a) representa el slab fotonico simetrico de espesor d=0.5a y compuesto
por huecos de aire de seccion transversal circular de radio R=0.3a dispuestos en una red
cuadrada. La constante dielectrica del slab es calculada para valores dados de temperatura
(4 K) y presion (0 kbar). La estructura de bandas es presentada en la Figura (3-12 b) donde
se distinguen dos regiones en el cono de luz: los modos guiados ubicados dentro del cono de
luz, y aquellos estados continuos o modos de radiacion por fuera del cono de luz. Los modos
guiados son evanescentes en el recubrimiento y oscilantes dentro del nucleo del slab. Los
modos por encima del cono de luz son oscilantes en la region del recubrimiento. Debido a la
presencia de un plano de simetrıa horizontal, los modos guiados se clasifican en TE-like con el
campo electrico paralelo al slab y TM-like con el campo magnetico paralelo al slab. Podemos
observar la formacion de un intervalo de frecuencias prohibidas (0.273≤ ωa/2πc ≤0.281) para
los modos TE-like en el que no existen modos guiados, dando lugar a los mismos fenomenos
que ocurren en CFs-2D como la capacidad de confinar la luz en el plano para guıas de ondas
o resonadores [81, 82].
Eligiendo los mismos parametros del slab fotonico de red cuadrada, consideramos ahora el
caso del slab de GaAs compuesto por huecos de aire de seccion transversal circular dispuestos
en una red hexagonal, como se muestra en el Panel (a) de la Figura (3-14). Al igual que en el
caso anterior los modos guiados se encuentran en el interior del cono de luz con la diferencia
40 3 Resultados
Figura 3-13.: a) Slab fotonico compuesto por huecos de aire dispuestos en una red cuadrada.
b) Estructura de bandas fotonica para los modos TE-like (lınea negra) y TM-
like (lınea roja). La region en color amarillo representa el gap fotonico para
modos TE-like.
que el ancho del gap fotonico para los modos TE-like es mayor, y se encuentra ubicado en
la region de frecuencias 0.259≤ ωa/2πc ≤0.339.
Figura 3-14.: a) Slab fotonico con un arreglo de huecos de aire dispuestos en una red he-
xagonal inmersos en GaAs. b) Estructura de bandas fotonica para los modos
TE-like (lınea negra) y TM-like (lınea roja). La region en color amarillo re-
presenta el gap fotonico para modos TE-like.
En la Figura (3-15) en dos paneles se muestra el corrimiento de la estructura de bandas
3.3 Slab de cristal fotonico 41
fotonica debido a la presion hidrostatica en las redes cuadrada (Panel (a)) y hexagonal
(Panel (b)). Al igual que en el caso de los CFs-2D, cuando la presion se incrementa se logra
sintonizar la estructura de bandas a frecuencias mas altas. Para una presion de 70 kbar
el gap fotonico para las redes cuadrada y hexagonal se localiza en la region de frecuencias
0.29≤ ωa/2πc ≤0.296 y 0.274≤ ωa/2πc ≤0.355, respectivamente.
Figura 3-15.: Estructura de bandas fotonica para los modos TE-like en slabs fotonicos de
redes: a) Red cuadrada y b) Red hexagonal. La region en color gris representa
el gap fotonico para P=70 kbar (lınea roja).
A continuacion, examinaremos la estructura de bandas fotonica en slabs formados por huecos
de aire de seccion transversal triangular dispuestos en una red hexagonal (Figura (3-16 a)).
El espesor del slab y longitud de los triangulos son 0.5a y L=0.8a, respectivamente. Para una
temperatura de 4 K y presion de 0 kbar, la estructura de bandas se presenta en la Figura (3-
16 b). Observamos la existencia de un gap fotonico para los modos TE-like, mientras que los
modos TM-like exhiben bandas prohibidas para energıas mas altas. Con el fın de favorecer
una maximizacion del gap fotonico, en la Figura (3-16 c) se muestra la estructura de bandas
para los modos TE-like cuando consideramos una rotacion de los dispersores en θ = 20 y 30.
El ancho de la banda prohibida aumenta con la rotacion de los triangulos, localizandose en
0.26≤ ωa/2πc ≤0.33 y 0.26≤ ωa/2πc ≤0.34 para rotaciones de 20 y 30, respectivamente.
El corrimiento a frecuencias mas altas del gap fotonico se logra con el incremento de la
presion hidrostatica, donde para P=70 kbar el rango de frecuencias prohibidas se encuentra
en 0.28≤ ωa/2πc ≤0.33, como se muestra en la Figura (3-16 d).
42 3 Resultados
Figura 3-16.: a) Slab fotonico con un arreglo de huecos triangulares de aire dispuestos en
una red hexagonal inmersos en un slab de GaAs. b) Estructura de bandas
fotonica para los modos TE-like (lınea negra) y TM-like (lınea roja). c) Es-
tructura de bandas fotonica para los modos TE-like para diferentes angulos
de rotacion θ = 0, 20 y 30. d) Estructura de bandas fotonica para los modos
TE-like para presiones de 0, 30 y 70 kbar.
3.3.2. Cavidades en slabs fotonicos
Controlar la propagacion de la luz en estructuras dielectricas significa prohibir/permitir la
propagacion dentro de un rango de frecuencias seleccionado. El introducir modos defectivos
en el interior del gap fotonico se logra al formar una cavidad cuando se elimina, agrega
o cambia la posicion de uno o mas dispersores en la red del CF. La cavidad formada al
eliminar uno o tres orificios de aire se denomina H1 y L3, respectivamente. Este tipo de
cavidades encuentran aplicaciones en atrapamiento optico [83], y constituyen un componente
3.3 Slab de cristal fotonico 43
prometedor para biosensores opticos [84, 85]. En la Figura (3-17 a) se representa la vista
superior del slab fotonico con la remocion de un hueco en la red hexagonal. Los parametros
utilizados en el slab de CF para el espesor, radio de los huecos y temperatura son: 0.5a,
R=0.3a y T=4 K, respectivamente. La estructura de bandas fotonica para modos TE-like se
muestra en la Figura (3-17 b) para presiones de 0 y 70 kbar. En el interior del gap fotonico
el modo defectivo se localiza en ωa/2πc =0.292 (para 0 kbar) y 0.309 (para 70 kbar). Entre
las versatilidades de los CFs es el confinamiento de la luz debido a los defectos introducidos
en su periodicidad. La energıa almacenada en la cavidad esta determinada por el factor de
calidad (Q), siendo un desafio su calculo por las diferencias en las muestras experimentales y
las estructuras teoricas ideales. En la formulacion del MEMG para el calculo de las estructura
de bandas fotonicas reportadas en la seccion anterior, no hemos tenido en cuenta los modos
radiativos fuera del cono de luz. Exactamente este acoplamiento es el que conduce a las
perdidas en la cavidad dada por la parte imaginaria de las frecuencias (ecuacion (2-44)).
Encontramos que al incrementar la presion hidrostatica existe una disminucion del factor Q
de los modos defectivos: 399.17 (para 0 kbar) y 215.548 (para 70 kbar).
Figura 3-17.: a) Vista superior de la red hexagonal del slab fotonico defectivo. b) Estructura
de bandas fotonica para los modos TE-like para presiones de 0 kbar (lınea
color negro) y 70 kbar (lınea color rojo). Las lıneas horizontales representan
la posicion de los modos defectivos para cada presion.
Se ha demostrado que pequenos ajustes en el plano de la geometrıa de las cavidades en CFs-
2D, pueden afectar significativamente las perdidas de energıa fuera del plano permitiendo la
obtencion de factores Q considerablemente mas altos [86, 87, 88]. Este resultado es presentado
a continuacion para un slab fotonico con una cavidad L3, y distribucion hexagonal de huecos
de aire de radio 0.3a y espesor d=0.5a, como se muestra en la Figura (3-18 a). La cavidad
L3 se produce por la remocion de tres huecos en la red, donde consideramos un corrimiento
44 3 Resultados
lateral (s) de los huecos en los extremos horizontales del defecto. La estructura de bandas
Figura 3-18.: a) Vista superior del slab fotonico para una cavidad L3, donde s representa
el corrimiento lateral de los huecos de aire. b) Estructura de bandas fotonica
TE-like para presiones de 0 kbar (lınea negra), 30 kbar (lınea azul) y 70
kbar (lınea roja). Las lıneas horizontales representan los modos defectivos
para cada presion. c) Comportamiento del factor de calidad en funcion del
corrimiento lateral de los huecos para P=0 kbar y T=4 K. d) Comportamiento
del factor de calidad en funcion del corrimiento lateral de los huecos para tres
valores de presion: 0 kbar (lınea negra), 30 kbar (lınea azul) y 70 kbar (lınea
roja).
fotonica TE-like dada por la Figura (3-18 b), muestra en el interior del gap la posicion del
modo fundamental confinado en la cavidad con frecuencias (ωa/2πc = w0): w0=0.267, 0.273
y 0.282, para presiones de 0, 30 y 70 kbar, respectivamente. El comportamiento del factor
Q del modo fundamental en funcion del corrimiento lateral de los huecos, es presentado
en la Figura (3-18 c). El factor Q alcanza un valor maximo '13.57×104 en s=0.21a, con
3.4 Pilar fotonico circular 45
la intensidad de campo electromagnetico concentrado en el centro de la cavidad como se
observa en el recuadro de la figura. Sin embargo, para s=0.21a se observa una disminucion
del confinamiento debido al decrecimiento del factor Q con el incremento de la presion como
se muestra en la Figura (3-18 d). Para 30 y 70 kbar los valores de Q son'12.89×104 y
12.13×104 respectivamente.
3.4. Pilar fotonico circular
La importancia de los pilares fotonicos esta vinculado a su empleo en la fabricacion de
dispositivos de alto interes comercial como lo son los diodos emisores de luz [89], sensores de
gas [90], entre otros. El principal esfuerzo de las tecnicas experimentales esta encaminado en
la fabricacion de pilares con altos factores de calidad, con muestras con menor numero de
imperfecciones [91], y geometrıas de diferentes diametros [92] y excentricidades (en el caso
de pilares elıpticos) [93]. En esta seccion presentamos los resultados preliminares obtenidos
referente a la estructura de bandas fotonica para el pilar fotonico descrito en la Figura (2-
5), empleando el modelo teorico elaborado para el MEMG. En el calculo de los elementos
Figura 3-19.: Celda unitaria del pilar fotonico circular de parametro de red a.
matriciales dados por (2-73) es necesario determinar ε−1µν ; la integracion debe efectuarse en
la celda unitaria descrita por la Figura (3-19), ası:
ε−1µν =
1
a
(∫ −d1/2−a/2
ε−12 eiβµ,νzdz +
∫ d1/2
−d1/2ε−1
1 eiβµ,νzdz +
∫ a/2
d1/2
ε−12 eiβµ,νzdz
)(3-10)
donde desigamos por βµ,ν = βµ − βν . Al efectuar la integracion en (3-10) obtenemos:
ε−1µν =
1
ε2sinc
(βµ,νa
2
)+d1
a
(1
ε1− 1
ε2
)sinc
(βµ,νd1
2
)(3-11)
siendo sinc(x) = sin(x)/x. En lo que sigue, consideramos que el pilar fotonico esta compues-
to por capas alternadas de GaAs (ε1(P, T )) y aire (ε2). Asumiremos que los espesores de las
capas son tipo λ/4, es decir, d1 =a√ε2√
ε1 +√ε2
y d2 =a√ε1√
ε1 +√ε2
con a = d1 +d2. En principio
las ecuaciones modales (2-64) y (2-65), proporcionan la base de modos de la guıa circular
46 3 Resultados
infinita homogenea en la cual es conocido que existen modos hıbridos etiquetados por HElmy EHlm. Para el numero angular principal (l) y orden del modo (m), un β arroja un conjunto
discreto y finito de energıas w. La base de modos de la guıa de onda homogenea se emplea
para resolver la ecuacion de valores propios (2-36). Para l = 0 y m = 1, los modos fotonicos
se clasifican en HE01 y EH01, los cuales corresponden a los modos transversoelectrico (TE)
y transversomagnetico (TM), respectivamente. En la Figura (3-20 a) se muestra la relacion
de dispersion para los modos HE01 y EH01 manteniendo fija la temperatura (4 K). Los
valores elegidos para el radio del pilar y la presion aplicada son R=5a y P=0 kbar, respecti-
vamente. Podemos observar que el gap se localizan en 0.086≤ ωa/2πc ≤0.191 (modo HE01)
y 0.094≤ ωa/2πc ≤0.189 (modo EH01). Los modos radiativos son aquellos que se encuentran
ubicados por encima de la lınea de luz. La frecuencia de corte para los modos HE01 y EH01
es ωa/2πc=0.021 y 0.032, respectivamente. La relacion de dispersion del modo HE01 para
presiones de 0, 30 y 70 kbar, se muestra en la Figura (3-20 b). El gap fotonico se ubica en
los intervalos de frecuencias de 0.088≤ ωa/2πc ≤0.191 (para 30 kbar) y 0.09≤ ωa/2πc ≤0.19
(para 70 kbar). Al incrementar la presion encontramos un corrimiento a frecuencias altas
de la banda dielectrica (ver recuadro inferior) mientras que la banda aerea exhibe un leve
corrimiento a frecuencias bajas (ver recuadro superior), originando ası una disminucion del
ancho del gap.
Figura 3-20.: Estructura de bandas fotonica para el pilar fotonico unidimensional. Los mo-
dos a) Modos HE01 (lınea negra) y EH01 (lınea roja). b) Modo HE01 para
presiones de P=0 kbar (lınea azul), P=30kbar (lınea azul) y P=70kbar (lınea
naranja).
La estructura de bandas para los modos fotonicos de orden m = 1 y numero angular prin-
3.4 Pilar fotonico circular 47
cipal l = 0 y 1, son presentados en la Figura (3-21 a). La estructura homogenea efectiva
soporta un conjunto de bandas guiadas, ası como de un continuo de modos que son radia-
tivos en su revestimiento. El modo fundamental del pilar de mas baja energıa es el modo
HE11. Al igual que en la estructura de bandas del modo HE01, cuando incrementamos la
presion hidrostatica las bandas fotonica del modo HE11 exhiben igual corrimiento. La region
de frecuencias prohibidas se localiza para P=0 kbar en 0.088≤ ωa/2πc ≤0.188, mientras que
al incrementar la presion en 70 kbar el gap se localiza en 0.091≤ ωa/2πc ≤0.187. En los
recuadros de la Figura (3-21 b) se muestra el corrimiento a frecuencias mas altas y bajas de
las bandas dielectrica y aerea, respectivamente.
Figura 3-21.: a) Estructura de bandas fotonicas para modos con m=0, l = 0 y 1. b) Es-
tructura de bandas fotonicas para modos HE11 a presiones de 0 (lınea verde)
y 70 kbar (lınea naranja). Los valores usados en las simulaciones son R=5a
y T= 4K.
4. Conclusiones y Perspectivas
Culminamos este documento mencionando algunas de las conclusiones acerca de esta tesis y
tambien algunas perspectivas de futuros trabajos.
4.1. Conclusiones
En esta tesis la modulacion de las propiedades opticas en cristales fotonicos se lo-
gra al considerar la dependencia de la constante dielectrica del GaAs con la presion
hidrostatica y temperatura aplicada. Los metodos de matriz de transferencia y ex-
pansion en ondas planas, se introducen como tecnicas estandares para el calculo de
los espectros de transmitancia y estructura de bandas en cristales fotonicos 1D y 2D,
respectivamente. Los resultados obtenidos revelan que la respuesta optica de estas es-
tructuras con la temperatura es despreciable; los cambios son debidos principalmente
a la presion que origina un corrimiento a frecuencias mas altas del espectro de trans-
mitancia y estructura de bandas.
En cristales fotonicos 2D con dispersores de forma triangular, el incremento en la
longitud favorece la maximizacion del gap fotonico para las polarizaciones TE y TM.
Al perturbar la periodicidad del cristal se producen modos que se confinan con energıas
en el interior del gap fotonico, exhibiendo un corrimiento a altas frecuencias al aumentar
la longitud de los triangulos.
Los slabs fotonicos representan una compensacion entre el control bidimensional y
tridimensional de la luz. El mecanismo de confinamiento vertical de la luz es por
reflexion total interna, mientras que el confinamiento en el plano depende depende
de la periodicidad del cristal fotonico. Empleando el metodo de expansion en modos
guiados se determina los estados guiados ubicados en el interior del cono de luz. Al
igual que en las estructuras fotonicas ideales bidimensionales, al incrementar la presion
hidrostatica se encuentra un corrimiento de la relacion de dispersion hacia regiones de
frecuencias mas altas.
Las perdidas inherentes en slabs fotonicos con cavidades L3 son calculadas por el factor
de calidad el cual decrece con el incremento de la presion hidrostatica.
Se desarrolla la teorıa del metodo de expansion en modos guiados para el calculo de la
estructura de bandas fotonicas en pilares fotonicos unidimensionales.
4.2 Perspectivas 49
4.2. Perspectivas
De los resultados de esta tesis se derivan posibles trabajos futuros que a continuacion se
describen:
Un proyecto pendiente el cual esta actualmente en desarrollo, es continuar con la
investigacion referente al calculo de la estructura de bandas fotonica en el pilar fotonico
teniendo en cuenta los efectos de la presion y temperatura.
Calculo del factor de calidad en el pilar fotonico siguiendo el formalismo implementado
por el MEMG bajo los efectos de la presion y temperatura aplicada.
En ninguna parte de esta disertacion se ha considerado los efectos de dispersion del
semiconductor de GaAs. Un proyecto pendiente es el calculo de la estructura de bandas
fotonica en cristales fotonicos 2D y en slabs fotonicos, incluyendo la dependencia de la
constante dielectrica con la frecuencia de plasma y la densidad de portadores de carga.
Implementar el metodo de modos guiados del pilar fotonico para caracterizar pilares
con geometrıa diferente a la circular especialmente en pilares elıpticos.
Una de las principales perspectivas que deja este trabajo, es extender el metodo de
modos guiados del pilar fotonico al caso en que se pierde la simetrıa de traslacion
unidimensional, sin que se presente desorden total sino siguiendo un procedimiento
deterministico.
5. Publicaciones
Como resultado de esta tesis se tienen los siguientes trabajos.
Francis Segovia-Chaves, Erik Navarro, and Herbert Vinck-Posada, ”Photonic band
structure in a one-dimensional distributed Bragg reflector pillar”, Materials Research
Express 7 (2020) 126201.
Francis Segovia-Chaves, and Herbert Vinck-Posada,”Effects of hydrostatic pressure
on the photonic band estructure and quality factor of an L3 cavity in a photonic crystal
slab”, Results in Physics 16 (2020) 102947.
Francis Segovia-Chaves, and Herbert Vinck-Posada, ”Effects of hydrostatic pressure
on an L1 and L3 cavity of a photonic slab”, Materials Research Express 7 (2020)
036202.
Francis Segovia-Chaves, and Herbert Vinck-Posada, ”Effects of pressure and rota-
tion on photonic crystal slabs composed by triangular holes arranged in a hexagonal
lattice”, Optik: International Journal for Light and Electron Optics 207 (2020) 164382.
Francis Segovia-Chaves, and Herbert Vinck-Posada, ”The guided-mode expansion
method in the calculate of dispersion of photonic band in symmetrical slabs composed
by square lattices”, Optik: International Journal for Light and Electron Optics 206
(2020) 164323.
Francis Segovia-Chaves, Herbert Vinck-Posada, and Erik Navarro-Baron, ”Photonic
band structure in a two-dimensional hexagonal lattice of equilateral triangles”, Physics
Letters A 383 (2019) 3207.
Francis Segovia-Chaves, and Herbert Vinck-Posada, ”Effects of hydrostatic pressure
on the band structure in two-dimensional semiconductor square photonic lattice with
defect”, Physica B: Condensed Matter 545 (2018) 203.
Francis Segovia-Chaves, and Herbert Vinck-Posada, ”Tuning of transmittance spec-
trum in a one-dimensional superconductor-semiconductor photonic crystal”, Physica
B: Condensed Matter 543 (2018) 7.
Francis Segovia-Chaves, and Herbert Vinck-Posada, ”The effect of the hydrostatic
pressure and temperature on the defect mode in the band structure of one-dimensional
51
photonic crystal”, Optik: International Journal for Light and Electron Optics 156
(2018) 981.
Presentacion en eventos cientıficos
Ponencia oral: Efectos de la presion sobre la estructura de bandas fotonica en una red
hexagonal de triangulos, X Encuentro Iberoamericano de Optica, Septiembre 23-27
(2019), Cancun-Mexico.
Poster: Effects of hydrostatic pressure on the band structure in two-dimensional square
photonic lattice with defect, 20th International conference superlattices nanostructures
and nanodevices, July 23-27 (2018), Madrid-Espana
Ponencia oral: Dependencia con la temperatura del modo defecto en cristales fotonicos
unidimensionales defectivos acoplados, LXI Congreso Nacional de Fısica, 7-12 octubre
(2018), Puebla-Mexico.
A. Anexos
A.1. Coeficientes de Fourier en redes fotonicas cuadrada
y hexagonal
Red Cuadrada
Los correspondientes coeficientes ηjm estan dados por
ηjm =1
a2
[1
εs
∫e−
2πai(xj+ym)da− (
1
εs− 1
εc)
∫e−
2πai(xj+ym)da
](A-1)
En (A-1) la integral de la region cuadrada es diferente de cero para j = 0 y m = 0, mientras
que en la integracion sobre la region circular usamos coordenadas polares, ası:
ηjm =1
a2
[1
εsδ0,jδm,0a
2 − (1
εs− 1
εc)
∫e−
2πair(jcosθ+msinθ)rdrdθ
](A-2)
Teniendo en cuenta las identidades:∫ 2π
0e−
2πair(Acosθ+Bsinθ)dθ = 2πJ0
(r√A2 +B2
)y∫ r
0rJ0(Cr)dr =
rJ1(r)
C, la ecuacion (A-2) se escribe:
ηjm =1
a2
1
εsδ0,jδm,0a
2 − (1
εs− 1
εc)
2πrJ1
(r
√(2πja
)2+(
2πma
)2)
√(2πja
)2+(
2πma
)2
(A-3)
Para j 6= 0 y m 6= 0, la ecuacion (A-3) se escribe
ηjm =1
a2
(1
εs− 1
εc
) 2πrJ1
(r
√(2πja
)2+(
2πma
)2)
√(2πja
)2+(
2πma
)2(A-4)
Para j = 0 y m = 0, en (A-3) debemos tener en cuenta la identidad lımC→0
J1(Cr)
C=r
2,
obteniendo
ηjm =1
εs+
(1
εc− 1
εs
)πr2
a2(A-5)
A.2 Relaciones de dispersion para la guıa de onda homogenea 53
Red Hexagonal
En el calculo de los coeficientes ηjm, la region de integracion se divide en la region rectangular
y circular (ver Figura (2-2)), ası:
ηjm =1
a2√
3
[1
εs
∫e− 2π
ai(xj+
y(2m−j)√3
)da− 2(
1
εs− 1
εc)
∫e− 2π
ai(xj+
y(2m−j)√3
)da
](A-6)
Siguiendo el procedimiento como en el caso de la red cuadrada, en (A-6) la integral de la
region circular se resuelve en coordenadas polares,
ηjm =1
a2√
3
1
εsδ0,jδm,0a
2√
3− 4πr(1
εs− 1
εc)J1
[r√
(2πja
)2 + (2π(2m−j)a√
3)2]
√(2πja
)2 + (2π(2m−j)a√
3)2
(A-7)
Para j 6= 0 y m 6= 0, la ecuacion (A-7) se escribe
ηjm =1
a2√
3
(1
εc− 1
εs
) 4πrJ1
[r√
(2πja
)2 + (2π(2m−j)a√
3)2]
√(2πja
)2 + (2π(2m−j)a√
3)2
(A-8)
Para j = 0 y m = 0, en (A-7) obtenemos
ηjm =1
εs+
(1
εc− 1
εs
)2πr2
a2√
3(A-9)
A.2. Relaciones de dispersion para la guıa de onda
homogenea
Para relacionar las amplitudes de los campos en cada interface de la guıa de onda, adop-
taremos el formalismo del metodo de la matriz de transferencia. Para los modos TE, el campo
electrico a cada lado de la interface esta constituido por ondas que viajan a la izquierda (-z)
y derecha (+z), por lo tanto, expresamos el campo electrico de la forma:
Recubrimiento:
E1,y(z) = Aeik1zz +Be−ik1zz (A-10)
Nucleo:
E2,y(z) = Ceik2zz +De−ik2zz (A-11)
Substrato:
E3,y(z) = Eeik3zz + Fe−ik3zz (A-12)
54 A Anexos
Ahora aplicamos la continuidad de las componentes tangenciales para el campo electrico y
magnetico (−→H = − i
ωµ0
−→∇ ×
−→E ) en cada frontera.
E1,y = E2,y|z=−d/2 ⇒ Ae−ik1zd/2 +Beik1zd/2 = Ce−ik2zd/2 +Deik2zd/2 (A-13)
E2,y = E3,y|z=d/2 ⇒ Ceik2zd/2 +De−ik2zd/2 = Eeik3zd/2 + Fe−ik3zd/2 (A-14)
Teniendo en cuenta las relaciones dadas por (A-10)-(A-12), el campo magnetico es calculado
mediante Hx =i
ωµ0
∂zEy. En este caso la continuidad de las componentes tangenciales se
escriben:
H1,x = H2,x|z=−d/2 ⇒ k1z(Ae−ik1zd/2 −Beik1zd/2) = k2z(Ce
ik2zd/2 −De−ik2zd/2) (A-15)
H2,x = H3,x|z=d/2 ⇒ k2z(Ceik1zd/2 −De−ik1zd/2) = k3z(Ee
ik2zd/2 − Fe−ik2zd/2) (A-16)
Segun el MMT las amplitudes de los campos en el recubrimiento y substrato (ver ecuacion
(2-19)) estan relacionadas por:(A
B
)= Dl2P2D23
(E
F
)= MT
(E
F
)(A-17)
donde las matrices de transmision se representan por Dl2 = D−11 D2 y D23 = D−1
2 D3, siendo
la matriz dinamica
Dj =
(1 1
kjz −kjz
)(j = 1, 2, 3) (A-18)
y la matriz de propagacion
P2 =
(eik2zd 0
0 e−ik2zd
)(A-19)
La ecuacion modal para TE se obtiene a partir de la condicion det(MT )=0; despues de
efectuar los procedimientos algebraicos obtenemos
(2k1zk2z + 2k2zk3z)cos(k2zd)− isin(k2zd)(2k2zk2z + 2k2zk3z) = 0 (A-20)
En (A-20) reemplazamos k1z = iχ1, k2z = β y k3z = iχ3,
(iβχ1 + iβχ3)cos(βd)− isin(βd)(β2 + i2χ1χ3) = 0 (A-21)
Finalmente, la ecuacion secular de los modos guiados TE es
β(χ1 + χ3)cos(βd) + sin(βd)(χ1χ3 − β2) = 0 (A-22)
El procedimiento descrito anteriormente se aplica al caso de los modos TM, con la diferencia
que la matriz transmision esta dada por Dij =1
2kzj√εiεj
(εjkzi + εikzj εikzi − εikzjεjkzi − εikzj εjkzi + εikzj
).
A.3 Ecuacion modal de la guıa de onda circular 55
A.3. Ecuacion modal de la guıa de onda circular
Teniendo en cuenta el conjunto de ecuaciones simultaneas con coeficientes desconocidos A,
B, C y D (ver ecuaciones (2-59)-(2-62)), el determinante se expresa de la forma:∣∣∣∣∣∣∣∣∣α 0 −θ 0
δα µ0γ θΩ µ0Γ
0 α 0 −θ−ε1ε0γ αδ −ε2ε0Γ θΩ
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0 (A-23)
donde designamos como α = Jl(hR), δ =βl
h2R, γ =
iω
hJ ′l (hR), θ = Kl(hR), Ω =
βl
q2Ry
Γ =iω
qK ′l(hR). Al resolver el determinante (A-23), obtenemos
α2(θ2Ω2+ε2ε0µ0Γ2)−αθ(−ε2ε0µ0γΓ−θΩαδ)+θα(αδθΩ+ε1ε0µ0Γγ)+θ2(α2δ2+ε1ε0µ0γ2) = 0
(A-24)
Factorizamos (A-24),
ε2ε0µ0αΓ(αΓ + θγ) + ε1ε0µ0θγ(αΓ + γθ) + 2α2θ2Ωδ + θ2α2(Ω2 + δ2) = 0
⇒(
Γ
θ+γ
α
)(ε2ε0µ0
Γ
θ+ ε1ε0µ0
γ
α
)+ (Ω + δ)2 = 0 (A-25)
En (A-25) substituimos los valores originales,
−(J ′l (hR)
hJl(hR)+
K ′l(qR)
qKl(qR)
)(ε0ε1µ0ω
2
h
J ′l (hR)
Jl(hR)+ε0ε2µ0ω
2
q
K ′l(qR)
Kl(qR)
)+β2l2
R2
(1
h2+
1
q2
)2
= 0
(A-26)
Finalmente, la ecuacion modal se escribe:(J ′l (hR)
hRJl(hR)+
K ′l(qR)
qRKl(qR)
)(ε1hR
J ′l (hR)
Jl(hR)+
ε2qR
K ′l(qR)
Kl(qR)
)=β2l2
k20
(1
h2R2+
1
q2R2
)2
(A-27)
La ecuacion (A-27) es cuadratica en J ′l (hR)/hRJl(hR), la cual se reescribe de la forma:
ε1h2R2
(J ′l (hR)
Jl(hR)
)2
+J ′l (hR)K ′l(qR)
hqR2Jl(hR)Kl(qR)(ε1+ε2)+
ε2q2R2
(K ′l(qR)
Kl(qR)
)2
−l2(β
k0
)2(1
h2R2+
1
q2R2
)2
= 0
(A-28)
Las soluciones de (A-28) son de la forma:
J ′l (hR)
Jl(hR)= −(ε1 + ε2)K ′l(qR)
2ε1qRKl(qR)±
√(ε1 − ε2
2ε1
)2(K ′l(qR)
Kl(qR)
)2
+l2β2
ε1k20
(1
h2R2+
1
q2R2
)2
(A-29)
56 A Anexos
En (A-29) usamos la formula de recurrencia de las funciones de Bessel, J ′l (x) = −Jl+1(x) +l
xJl(x), obteniendo ası las ecuaciones modales para EH y HE:
Modos EH:Jl+1(hR)
hRJl(hR)=ε1 + ε2
2ε1
K ′l(qR)
qRKl(qR)+
(l
h2R2− σ
)(A-30)
Modos HE:Jl−1(hR)
hRJl(hR)= −ε1 + ε2
2ε1
K ′l(qR)
qRKl(qR)+
(l
h2R2− σ
)(A-31)
donde
σ =
√(ε1 − ε2
2ε1
)2(K ′l(qR)
qRKl(qR)
)2
+l2
ε1
(β
k0
)2(1
h2R2+
1
q2R2
)2
(A-32)
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