Post on 07-Feb-2018
PROCESO DE ADMISIÓN 2019
CURSO DE MATEMÁTICA
P.S.U.
PREUNIVERSITARIO INPREGA
Profesores: Milton Paredes
Eduardo Putz
Prueba de Selección Universitaria de Matemática:
Considerando la incorporación progresiva de los
contenidos actualizados para la admisión 2019.
Ejes Temáticos: Números
Algebra y Funciones
Geometría
Datos y Azar
Habilidades Cognitivas:
Comprender
Aplicar
Analizar
Sintetizar y Evaluar
Tabla de Especificaciones:
Ejes
Temáticos
Habilidades Cognitivas
Comprender Aplicar Analizar, Sinte-
tizar y Evaluar.
Números
Algebra y Funciones
Geometría
Datos y Azar
Total (%) 20% al 25% 40% al 45% 30% al 40%
21%
24%
28%
27%
100%
T o t a l
Consta de 75+5 = 80 preguntas para ser desarrollada
en un tiempo de 2 horas 40 minutos.
(17)
(19)
(22)
(22)
(80)
(16 - 20) (32 - 36) (24 - 32)
TRABAJO
SEMANAL
1ª Sesión
2ª Sesión
3ª Sesión
Duración del curso: 33 semanas
Cada 5 semanas hay un repaso y ensayo general.
CONTENIDOS Y
EJERCITACIÓN
CONTENIDOS Y
EJERCITACIÓN
CONTENIDOS Y
EJERCITACIÓN
Taller semanal online. (www.inprega.cl)
SÍMBOLOS MATEMÁTICOS
CA' = A
AB
x
u
x!
log
es menor que es mayor que es menor o igual a es mayor o igual a es distinto de es aproximado a tal que pertenece no pertenece unión de conjuntos intersección de cjtos conjunto vacío complemento cjto A ángulo recto
es perpendicular a es paralelo a ángulo trazo AB para todo existe implica, entonces doble implicancia es congruente con es semejante con valor absoluto de x factorial de x vector u logaritmo en base 10
CONJUNTOS NUMÉRICOS:
Definición de número natural, cardinal.
Números pares, impares, dígitos, primos y
compuestos.
Orden en los naturales.
Operaciones en IN: adición , sustracción,
multiplicación , división
Propiedades de las operaciones en IN.
Prioridad de operaciones, paréntesis y problemas.
Los Números Naturales: Son los elementos del
conjunto IN; donde:
IN = {1,2,3,4,5,6,..........}
Si a los números naturales le agregamos el cero
como elemento se obtiene el conjunto de los
Números Cardinales o INo ; entonces:
INo = {0,1,2,3,4,5,6,........}
CONJUNTOS NUMERICOS:
Algunos Subconjuntos de INo:
a) Los números Pares:
{0,2,4,6,8,10,12,14,16,....}
b) Los números impares:
{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,............} ;
c) Los números dígitos: Números formados por sólo
una cifra; luego:
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
(INo = {0,1,2,3,4,5,6,7,.......} (IN = {1,2,3,4,5,6,7,...........}
Forma: 2n – 1; con n IN.
en IN estos son:
{2,4,6,8,10,12,14,16,....}
Forma: 2·n; con n IN.
en INo estos son:
Forma: 2·n; con n INo.
d) Los números primos: Son todos los p IN tales
que p > 1 y sus únicos divisores son “1” y “p” ; es
decir el uno y el mismo número, en consecuencia
todo número primo tiene sólo dos divisores.
Ejemplos:
i) 2 es primo, sus divisores son sólo 1 y 2.
ii) 17 es primo, sus divisores son sólo 1 y 17.
iii) 21 no es primo, 1 y 21 no son sus únicos
divisores ya que 3 y 7 también lo son.
Si IP es el conjunto de todos los números primos,
se tiene que sus elementos son:
IP = {
Notar que el número 2 es el único que cumple con
ser número par y primo a la vez.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53,...... }
d) Los números Compuestos: Son todos los q IN
con q 1 tal que q no sea número primo; los que se
pueden descomponer como un producto de dos o
más números primos.
Ejemplos:
i) 6 es compuesto, ya que 6 = 2 ·3 con 2 y
3 primos. ii) 56 es compuesto, ya que 56 = 2·2·2·7 con 2
y 7 primos. iii) 60 es compuesto, ya que 60 = 2·2·3·5 con
2, 3 y 5 primos.
Orden en IN: Para todo a , b IN se define:
i) (a > b) ( m IN / a = b + m )
ii) (a < b) ( b > a)
iii) (a b) ( a > b a = b )
iv) (a b) ( a < b a = b )
Ejemplos:
8 5 ya que ___________ 6 9 ya que ___________
6 9 ya que ___________ 8 2 ya que ____________
7 3 ya que ___________ 7 7 ya que ____________
8 = 5 + 3
< 9 6
7 = 3 + 4
6 9
8 2
7 = 7
Ejercicio:
Defina por extensión los siguientes conjuntos:
A = { x IN / x > 5 }
B = { x IN / x < 4 }
C = { x IN / x 8 }
D = { x IN / x 6 }
E = { x IN / 4 < x < 9 }
F = { x IN / 3 x < 7 }
H = { x IN / 2 x 7 }
G = { x IN / 2 < x 8 }
A = {6,7,8,9,10,11,....}
B = {1,2,3}
C = {8,9,10,11,12,....}
D = {1,2,3,4,5,6}
E = {5,6,7,8}
F = {3,4,5,6}
G = {3,4,5,6,7,8}
H = {2,3,4,5,6,7}
( IN = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,.......} )
Operaciones en IN:
(1) Adición: Ejemplo: 3 + 2 = 5 ; donde 3 y 2 son los
sumandos y 5 es la suma de tales cantidades.
(2) Multiplicación: Ejemplo: 7 · 5 = 35 ; donde 7
y 5 son los factores y 35 es el producto de tales
cantidades.
Propiedades de la Adición y Multiplicación en IN:
PROPIEDAD ADICION MULTIPLICACION
Conmutatividad:
a,b IN a,b IN
a + b = b + a a · b = b · a
Clausura o ley de composición interna :
a,b IN a,b IN
a + b = c c IN a b = c c IN
PROPIEDAD ADICION MULTIPLICACION
Asociatividad:
a,b,c IN a,b,c IN
a + (b + c) = (a + b) + c a · (b · c) = (a · b) · c
Elemento Neutro:
No Existe Es el 1 ; a IN
a · 1 = a = 1 · a
Distributividad: a,b,c IN
No Cumple a·(b + c) = a · b + a · c
(b + c)·a = a · b + a · c
Notar que la multiplicación es distributiva sobre la
adición:
Ejemplo:
3 (5 + 2) = (3 5) + (3 2)
3 · 7
21
15 + 6
21
En cambio la adición no es distributiva sobre la
multiplicación:
Ejemplo:
4 + (5 · 7) (4 + 5) · (4 + 7)
4 + 35
39
9 · 11
99
(3) Sustracción y división:
Estas operaciones no siempre tienen solución en
IN, luego no cumplen con la propiedad de clausura;
ni con ninguna de las propiedades de la adición y
multiplicación así por ejemplo:
(a) 12 - 9 = 3 ; donde 12 es el minuendo, 9
el sustraendo y 3 es la resta o diferencia.
(b) 7 - 15 = ; no tiene solución en IN.
(c) 32 : 8 = 4 ; donde 32 es el dividendo, 8 el divisor
y 4 es el cuociente.
(d) 19 : 7 = ; no tiene solución en IN.
1) Completar el cuadro siguiente, con las cantidades
faltantes:
Número Operación Número Resultado
32
76
32
72
+
-
·
:
:
4
8
48
50
160
25
16
26
5
18
200
Ejercicios con números Naturales:
Número Operación Número Resultado
53
40 4
90
15
-
·
:
·
:
20
12
18
18
4
35
10
5
300
48
2) Hallar los siguientes tres términos en cada una de las siguientes secuencias de números:
a) 1, 4, 7, 10, 13, , , , ...
b) 2, 6, 12, 20, , , , ....
c) 5, 10, 17, 26, , , , ....
d) 9, 8, 16, 15, 30, 29, , , , ....
16 19 22
30 42 56
12 23 34 45 56 67 78
+3 +3 +3 +3 +3 +3 +3
4+1 9+1 16+1 25+1 36+1 49+1 64+1
37 50 65
58 57 114
9-1 8·2 16-1 15·2 30-1 29·2 58-1 57·2
f) Números triangulares: 1, 3, 6, 10, 15, , , , ....
e) La sucesión de Fibonacci:
0 , 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , , , , ....
0+1 1+1 1+2 2+3 3+5 5+8 8+13 13+21 21+34 34+55 55+89
89 55 144
21 28 36
+2 +3 +4 +5 +6 +7 +8
3) Las siguientes figuras se forman con cuadrados idénticos. En base al número de cuadrados negros y blancos complete:
a) Los cuadrados negros son
la _____________ parte de los
blancos.
b) Los cuadrados blancos son
______________ de los negros.
N°fig.
1
2
3
1
2
3
4
8
12
cuarta
el cuádruplo
4) Juan tiene 10 años menos que el triple de la edad
de Carlos; y la edad de este excede en 3 años a la
mitad de la edad de Sergio el que tiene 18 años.
¿Cuál es entonces la edad de Juan?
A) 16 años
B) 22 años
C) 26 años
D) 36 años
E) 46 años
Sergio: 18 años Mitad: 9años
Carlos:
9 + 3 = 12 (excede en 3 a 9)
Triple edad de Carlos: 3 ·12 = 36
Juan: 36 – 10 = 26 (10 menos que 36)
5) Se dan las siguientes equivalencias: una ficha roja
equivale a 3 azules y cada azul equivale a 2 blancas:
¿A cuánto equivaldrán 120 fichas blancas?
A) 10 rojas
B) 15 rojas
C) 15 azules
D) 20 rojas
E) 20 azules
1 R = 3 A 1 A = 2 B
1 A = 2 B /·60
60 A = 120 B
1 R = 3 A /·20
20 R = 60 A
20 R = 60 A = 120 B
6) Resolver los siguientes ejercicios de operatoria
combinada:
Ejemplo:
25 12 + 50 + 180 : 12 – 2 =
300 + 50 + 15 - 2
365 - 2
363
Notar que en un ejercicio combinado que no tiene
paréntesis, se resuelven primero las
multiplicaciones o divisiones y al final las sumas y
restas.
a) 720 : 12 – 15 2 + 25 4 =
b) 320 10 : 5 – 500 + 640 : 16 4 =
60 - 30 + 100
30 + 100
130
3200 : 5 - 500 + 40 · 4
640 - 500 + 160
300
7) Resolver los siguientes ejercicios de eliminación
de paréntesis:
Ejemplo:
150 - 80 - 3(52 – 35) =
Notar que en un ejercicio con paréntesis, se
resuelven primero los paréntesis más interiores,
hasta eliminar completamente estos y reducir.
150 - [80 - 3 · 17 ]
150 - [ 80 - 51 ]
150 - 29
121
a) 520 - 50 + 5 (35 - 12 ) =
b) 105 - 6 (24 – 8) - 2 (19 – 5) =
520 - [ 50 + 5 · 23 ]
520 - [ 50 + 115 ]
520 - 165
355
105 - [ 6 · 16 - 2 · 14 ]
105 - [ 96 - 28 ]
105 - 68
37
El paseo de un grupo de 36 alumnos tiene como
presupuesto: $180.000 en transporte, $115.200 en
alojamiento y $162.000 en alimentación. ¿Cuál es el
costo por persona si los gastos se reparten en partes
iguales?
Transporte: $180.000
Alojamiento: $115.200
Alimentación: $162.000
Gasto total:
+
$457.200
Número total de personas: 36
Costo por persona: 457.200 : 36 = ' ' 1 ' ' ' 9 0 7
2
5 2 2
7
0 0 0 0
0
0
0
c/u: $12.700
8) Resolver el siguiente problema de operatoria:
Ejercicios Complementarios:
1) ¿En que caso se duplica el resultado para cada
una de las cuatro operaciones?
l) En la adición si los sumandos se duplican.
ll) En la sustracción si el minuendo y sustraendo se duplican.
lll) En la multiplicación si los factores se duplican.
lV) En la división si se duplica el dividendo manteniendo el divisor.
A) Sólo l y ll
B) Sólo l , ll y lll
C) Sólo l , ll y lV
D) Sólo ll , lll y lV
E) En todas
(V)
(V)
(F)
(V)
Desarrollo en siguiente diapositiva
l) En la adición si los
sumandos se duplican.
5
+7
12
10
+14
24
La suma se duplica
(V) ll) En la sustracción si el minuen-
do y sustraendo se duplican. (V)
15
- 9
6
30
- 18
12
La diferencia se duplica
lll) En la multiplicación si
los factores se duplican.
lV) En la división si se duplica el
dividendo manteniendo el divisor. (F) (V)
4 · 5 = 20
8 · 10 = 80
El producto se cuadruplica
18 : 3 = 6
36 : 3 = 12
El cuociente se duplica
2) Se define A = { x/xIN 5 x 9 } ; con
B = {z/zIN 3 z 8 } ; luego la suma entre el
mayor valor de “x” y el menor valor de “z” es:
A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
A = {x/xIN 5 x 9}
B = {z/zIN 3 z 8}
A = {6,7,8,9}
B = {3,4,5,6,7}
Mayor valor de “x” + menor valor de “z”
= 9 + 3
= 12
3) Referente a dos números primos mayores que 2;
es verdadero decir que:
l) Su suma es siempre nº par.
ll) Entre ellos existe sólo nos pares.
lll) Su producto es siempre nº impar.
A) Sólo l
B) Sólo l y ll
C) Sólo l y lll
D) Sólo ll y lll
E) Todas
(V)
(F)
(V)
Desarrollo en siguiente diapositiva
números primos mayores que 2:
{3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,...}
Su suma: Ejemplos: 3 + 5 = 8
7 + 19 = 26
13 + 31 = 44 Resultado par.
l) Su suma es siempre nº par. (V)
ll) Entre ellos existe sólo nos pares.
Ejemplo: Entre 7 y 11 están el 8 , 9 , 10 y 9 no es par
(F)
lll) Su producto es siempre nº impar.
Su producto: Ejemplos: 3 · 5 = 15
7 · 19 = 133
13 · 31 = 403 Resultado impar.
(V)
4) Se define P = 40 - 9·6:2
Q = 5 + 24:6·2
R = 72:3 - 3·5
En base a estos valores se cumple que:
A) P = Q > R
B) Q > P > R
C) P > Q = R
D) Q > R > P
E) P > Q > R
= 40 - 54:2 = 40 - 27 = 13
= 5 + 4·2 = 5 +8 = 13
= 24 - 15 = 9
13 = 13 > 9
P = Q > R
5) Al reducir la siguiente expresión:
[6·(16 – 7) – 5·(14 – 8)] : [ 2·(12 – 9)] = ?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 6
E) 8
[6·(16 – 7) – 5·(14 – 8)] : [ 2(12 – 9)] =
[ 6 · 9 – 5 · 6 ] : [ 2 · 3 ]
[ 54 – 30 ] : [ 6 ]
24 : 6
= 4
6) Pago $23.500 por un pedido de 5 sacos de
cemento. ¿Cuánto tendré que pagar por un nuevo
pedido de 8 sacos de cemento?
A) $32.500
B) $36.700
C) $37.600
D) $38.500
E) $42.600
$23.500 por 5 sacos
el valor de 1 saco es:
23.500 : 5 = ' 4 3 5
7 '
0
' '
0
0
0
0
el valor de 8 sacos es:
4.700 · 8 = $37.600
7) Un camión puede cargar 15.000 Kg. Lleva 80
sacos cuyo peso es de 75 Kg. por unidad. ¿Cuántos
más de estos sacos falta subir para cubrir la carga
máxima?
A) 120
B) 140
C) 160
D) 190
E) 200
80 sacos cuyo peso es de 75 Kg
80 · 75 = 6.000 Kg.
Peso disponible:
15.000 - 6.000 = 9.000 Kg
Sacos que faltan subir:
9.000 : 75 = 120
8) Un empleado gana $65.000 semanalmente y
ahorra cada semana cierta suma. ¿Cuándo ha
ganado $455.000 tiene ahorrado $98.000. ¿Cuánto
ahorra a la semana?
A) $12.500
B) $13.000
C) $13.500
D) $14.000
E) $14.500
Ha ganado $455.000
Semanalmente gana $65.000
El número de semanas es:
455.000 : 65.000 = 7 semanas
Tiene ahorrado $98.000 en 7 semanas
En una semana ahorra:
98.000 : 7 = $14.000
9) ¿Cuál es la ganancia que obtuvo una persona en la
venta de un campo?
(1) Vendió en $2.000.000 cada hectárea del campo.
(2) Compró en $9.000.000 pagando $1.500.000 por
la hectárea.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por si sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional.
No se sabe número de hectáreas y valor anterior de estas.
Se conoce el precio de
venta y de compra con el
número de hectáreas.
Se obtienen 6 hectáreas y el precio de compra de c/u pero no el de venta.
Respuestas de Ejercicios Propuestos Clase-01
1) A={6,7,8,9,..} ; B={1,2,3,4,5,6} ; C={4,5,6,7,..} ;
D={1,2,3,4,5,6} ; E={5,6,7,8} ; F={7,8,9,10,11} ;
G={9,10,11,12,13,14} ; H={5,6,7,8,9,10} ;
I={8,10,12} ; J={5,7,9,11,13} ;
K={11,13,17,19,23} ; L={2,3,4,5,6,7}
2) {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,
61,67,71,73,79,83,89,97}
3) D
4) E
5) C
6) B
7) A
8) C
9) A
10) D
11) D
12) B
13) A
14) C