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1
y´
DEDUCCION DE LA DINAMICA
RELATIVISTA CON ECUACIONES FUNCIONALES
por RODOLFO CARABIO
■ DEDUCCION DE LA DINAMICA RELATIVISTA
Para hallar las formulas que establecen la dinámica relativista es necesario plantear esquemas que conducen a ecuaciones funcionales, las cuales son imprescindibles en la comprensión de los resultados. La cinemática relativista permite plantear la deducción de la dinámica relativista a partir de dos esquemas: el esquema de conservación del impulso y el esquema de conservación del impulso-energía, de la comparación de los resultados y contradicciones obtenidos mediante estos dos esquemas surge la dinámica relativista. ■ Esquema de conservación del impulso Sean dos cuerpos de masas iguales m, en reposo de acuerdo al sistema de referencia (x’y’).El cual se mueve con respecto al sistema de referencia en reposo con la velocidad v C (velocidad del centro de inercia)
Si el impulso es una función de la velocidad, y admitiendo la proporcionalidad lineal del mismo con respecto a la cantidad de cuerpos de igual masa .El impulso total del sistema
vc
m m
X ´ y
X
m
m
vc vc
2
y´
puede escribirse como el producto del número de cuerpos (dos en este caso) por una función dependiente de la velocidad (la del centro de inercia de acuerdo al esquema)
)(.2 CvFmp = Siendo F(v C ) una función a determinar.
Sea que entre los cuerpos actúe una fuerza que les comunique velocidades opuestas
'Cv
De acuerdo al sistema de referencia en reposo (xy), se verán dos cuerpos con velocidades 1v y 2v .De acuerdo a la cinemática relativista:
²/²'1''
1 cvvv
vC
CC
−−
=
01 =v
²/²12
2 cvv
vC
C
+=
El impulso total antes y después de que haya actuado la fuerza ha de ser el mismo, porque un sistema aislado de cuerpos no puede modificar su impulso total por si solo. El impulso que al principio se hallaba por igual en ambos cuerpos con velocidad Cv ,
luego quedo en uno solo con velocidad 2v . Con lo cual debiera cumplirse según este razonamiento:
+=
²²
1
2.)(.2
cvv
FmvFmC
CC
En forma genérica:
X ´
X
m
m
m0 m0
v´c v´c
vc
v2
3
y´
+=
²²1
2.21)(
cvvFvF
Esta es una ecuación funcional que puede resolverse haciendo uso de los esquemas anteriores
Dos cuerpos de masas iguales m, cada uno de ellos en reposo según sus respectivos sistemas de referencia (xy) e (x’y’). Si entre estos cuerpos actúa una fuerza que les comunica velocidades infinitesimales 'dv y 1dv .De acuerdo al principio de relatividad: 1' dvdv =
Según el sistema de referencia en reposo (xy), el cuerpo con velocidad inicial Cv , varía
la misma en la magnitud 2dv De acuerdo al teorema de suma de velocidad:
m
X ´ vc
y
m
m
vc
X
y´
dv´
X ´ vc
y dv1 vc – dv2
X
4
²/'.1
'2 cdvv
dvvvdv
C
CC −
−−=
²/'.1
'²/'².2 cdvv
dvvcdvvvdv
C
CCC
−+−−
=
²/'.1²/'².'
2 cdvvcdvvdv
dvC
C
−−
=
Como 0'→dv , puede escribirse: '²)./²1(2 dvcvdv C−= Teniendo en cuenta que 1' dvdv =
12 ²)./²1( dvcvdv C−= Esta relación sirve como medida de la cantidad de movimiento o de impulso. Pudiéndose definir el mismo en forma diferencial.
1.dvmdp = (Cuando v 0)
O bien:
²/²1
. 2
cvdvm
dp−
=
Esta segunda expresión seria valida para todo valor de la velocidad, de 0 a c
Para hallar la formula del impulso según este esquema, se integra la expresión obtenida
∫ −=
v
cvdvmp
0 ²/²1.
Una simple integración por sustitución conduce al resultado:
cvcvmcp
/1/1ln
2 −+
=
Para comprobar la validez de la expresión obtenida, hay que demostrar que es solución de la ecuación funcional planteada al comienzo:
+=
²/²12.
21)(
cvvFvF
De acuerdo al esquema:
cvcvcvF
vFmp
/1/1ln.
2)(
)(.
−+
=
=
5
²/²1/21
²/²1/21
ln.2
.21
/1/1ln.
2cvcvcvcv
ccvcvc
+−
++
=−+
²/²1/2²/²1
²/²1/2²/²1
ln.21
/1/1ln
cvcvcv
cvcvcv
cvcv
+−+
+++
=−+
²/²/21²/²/21ln.
21
/1/1ln
cvcvcvcv
cvcv
+−++
=−+
²)²/²1()²/1(ln.
21
/1/1ln
cvcv
cvcv
−+
=−+
cvcv
cvcv
/1/1ln.2.
21
/1/1ln
−+
=−+
De esta manera se comprueba la solución de una ecuación funcional, y la coherencia del
esquema planteado
El esquema de conservación del impulso y sus resultados, deben ser comparados con un esquema análogo, basado en la conservación del impulso-energía. Ambos esquemas determinan a su modo la Dinámica Relativista. Pero este ultimo de modo mas completo.
■ Esquema de conservación del impulso-energía
Se representa el choque de dos cuerpos de masas iguales m. Con velocidades opuestas 'Cv ,
según el sistema de referencia (x’y’).Los cuales luego del choque se desvían en ángulo recto
y´
y
X ´
X
m
m
m
v´c
vc
v vc
v1
v1
vy
vy
6
en forma opuesta y a la misma velocidad Cv ’. Conservando de esta manera el impulso y la
energía. Desde el punto de vista del sistema (xy).Es el choque de un cuerpo de masa (m) y velocidad
²)/²1/(2 cvvv CC += con otro cuerpo de masa igual (m) en reposo .Luego del cual ambos
toman velocidades iguales 1v .La cual puede hallarse por composición de acuerdo a la cinemática relativista.
²²1 YC vvv +=
²/²1'. cvvv CCY −=
²)/²1²(²1 cvvvv CCC −+=
²²
2.1 cv
vv CC −=
Según el sistema de referencia (x’y’).La energía que al principio se hallaba en el cuerpo con velocidad v, luego del choque se repartió por igual en los dos cuerpos con velocidad
1v .Entonces si la energía cinética es una función determinada de la velocidad debe cumplirse lo siguiente:
)(. vFmE = )(.2 1vFmE =
−=
+ ²
²2..2
²/²12
cv
vFcv
vF C
CC
C
En forma genérica
−=
+ ²²2..2
²/²12
cvvF
cvvF
Para hallar la solución a la ecuación funcional planteada, vamos a utilizar un esquema similar al anterior, pero cambiando las velocidades 'Cv por los valores infinitesimales dv.
Antes del choque los dos cuerpos tienen con respecto al centro de inercia las velocidades
→
dv y ←
dv , medidas según el sistema de referencia (xy)
7
CC
C v
cdvvdvv
dv −+
+=
→
²'.
1
'
■ (1) '.
²'.
1
²)/²1(dv
cdvvcv
dvC
C
+
−=
→
CC
C v
cdvvdvv
dv −−
−=
←
²'.
1
'
■ '.
²'.
1
²/²1dv
cdvvcv
dvC
C
−
−=
←
Luego del choque, ambos cuerpos toman velocidades iguales v, de acuerdo al sistema de referencia en reposo (xy). Si la energía cinética es una función de la velocidad E = m.F(v) .Los dos cuerpos al pasar de una velocidad Cv ,a una velocidad v ,incrementan su energía en la magnitud:
)('.2 vFmdE =
Cvvdv −= De acuerdo al esquema:
CYC vdvvdv −+= ²²
y´
y X ´
X
vc
dv´
dv´ dv´
dv´
vc - dv vc + dv
v
v
vc
dvy
dvy
8
²/²1'. cvdvdv CY −=
CC
C vdvcv
vdv −
−+= ²'.
²²
1²
CC
CC v
vdv
cv
vdv −
−+=
²'².
²²
11.
Haciendo el desarrollo en serie podemos escribir, despreciando términos de orden superior:
CC
C vcdvcv
vdv −
−
+=²'².
2²)/²1(
1.
'².2
²)/²1(² dv
vcv
vdC
C−=
La diferencia en el modulo )( Cvv − es un diferencial de segundo orden, lo cual no quita
validez a la expresión vdvFmEd ²).('.2² =
Comparando d²v con →
dv ò ←
dv , podemos escribir salvo términos de orden superior:
²)/²1(2²²cvv
dvvdCC −
=
→
Según el esquema de choque, el incremento de la energía que experimentan los dos cuerpos al pasar ambos de Cv a )²( vdvC + , es igual a la suma de energías que
experimentan al pasar uno de ellos de:
Cv a )(→
+ dvvC ,y el otro de Cv a )(←
− dvvC
vdvFmEd ²).('.2² =
²)/²1.(2
²).('.2²cvv
dvvFmEdCC −
=
→
²)/²1.(
²).('.²cvv
dvvFmEd−
=
→
(Notación genérica)
Para hallar la suma de energías al pasar uno de los cuerpos de las velocidades:
Cv a )(→
+ dvvC
y el otro cuerpo de: Cv a )(←
− dvvC
De acuerdo al grafico que sigue se puede escribir:
9
E
d2 F(v) = F ´´(V)dv dv
←→←→
′′+′−′= dvdvvFmdvvFmdvvFmEd .).(.).(.).(.²
←→
→
←→
′′+
−′= dvdvvFmdv
dvdvvFmEd .).(.1).(.²
²/''.1²/'.1cdvvcdvv
dv
dv
C
C
−+
=→
←
Podemos escribir, salvo términos de orden superior:
²'.2
1cdvv
dv
dv C+=→
←
Sustituyendo dv’ según la igualdad (1) ²/²1
'cv
dvdv−
=
→
²)/²1²(.2
1cvc
dvv
dv
dv
C
C
−+=
→
→
←
La expresión para d²E puede escribirse en forma genérica:
)('.²)/²1(
².²
2.²).(.² vFcv
dvcvmdvvFmEd
C−−′′=
Igualando las dos ecuaciones obtenidas para d²E
E = m 0 F (v)
v dv dv
10
²)/²1(²)('.²).('.
²)/²1²(2.²).(.
cvvdvvFmdvvF
cvcvmdvvFm
−=
−−′′
²)/²1²(.2
²)/²1()(')('
²)/²1²(.2
²)/²1()(')(
)('.²)/²1²(
2²)/²1(
1).(')(
cvcdvv
cvvdv
vFvdF
cvcdvv
cvvdv
vFvF
vFcvc
vcvv
vFvF
−+
−=
−+
−=
′′−
+−
=′′
Integrando ambos miembros de esta ecuación
∫∫∫ −+
−=
²)/²1²(.2
²)/²1()(')('
cvcdvv
cvvdv
vFvdF
Bcv
cvcvvF +
−−=
²²1ln
²/²/1ln)('ln
Siendo B la constante de integración
²)/²1.(²/²1.)('
cvcvcvBvF
−−=
Teniendo en cuenta que E= m.F(v)
dvvFmdE ).('.=
dvcvcvBmdE
²/²)³/²1.(..
−=
)/(.
²/²)³/²1(.
²/²)³/²1(..
.
dvdxdv
cvcBmF
dxdv
cvcvBmF
dxFdE
−=
−=
=
dxdv
cvcmBF .
²/²)³/²1(.
−=
Podemos determinar el valor de B .Teniendo en cuenta que para cuando v<<c, la formula obtenida se acerca al valor clásico F= m.a
B=c
dtdv
cvmF .
²/²)³/²1( −=
Para hallar el impulso, tenemos en cuenta que dp= F.dt
11
²/²1.
²/²)³/²1(.
²/²)³/²1(.
cvvmp
cvdvmp
cvdvmdp
−=
−=
−=
∫
Se deduce de esta manera la formula para el impulso, la cual se da como un principio en la literatura Para hallar la formula para la energía cinética se integra m.F’(v)
v
cvcmE
cvdvvmE
cvvvF
0²/²1².
²/²)³/²1(..
²/²)³/²1()('
−=
−=
−=
∫
−
−= 1
²/²11².cv
cmEC
Para demostrar la validez de la deducción. Vamos a comprobar si la función obtenida F(v) es solución de la ecuación funcional planteada según el esquema de conservación del impulso-energía. De acuerdo a que la energía es una función de la velocidad
)(. vFmE =
−
−−
=
−
−−
−
−=
1
²²2
²²1
1².21
²²)²./²1(²41
1²
1²/²1
1².)(
cv
cv
c
ccvv
c
cvcvF
12
y´
m0
²/²121
²²4
²²1
²/²1
2
²²21
21
²²)²./²1(²4²)²/²1²(
1
2
4
4
cv
cv
cv
cvcv
cv
ccvvcvc
−=+
−
+
+
−
+−
=−
+−+
²/²12
²/²1²)/²1(²/²1
²/²121
²/²1²/²1
cvcvcvcvcvcv
cv
−=
−−++
−=+
−+
²/²1
2²/²1
2cvcv −
=−
De esta manera el esquema de conservación del impulso–energia demuestra la expresión para la energía cinética en relatividad Para determinar el valor de las proyecciones del impulso según este esquema, se parte de la definición básica del impulso
²/²1.
1
11 cv
vmp
Y
YY
−=
1' YY vv = ²/²1'2 cvvv CYY −=
De acuerdo al principio de relatividad si ambos cuerpos chocan de modo perfectamente elástico, cambian sus velocidades por las opuestas.
YY
YY
vvvv
−→
−→
'11
Lo cual significa que:
12 YY pp =
y X ´
X
vc
m0
v´y
vy1
13
²/²1.
²/²1.
12
1
12
cvvv
cvvmp
CYY
Y
YY
−=
−=
41
22
1
22
²².²²
²²1
.)2(
²/²1.²/²1.
cvv
cv
cv
vmp
cvcvvmp
YCCY
YY
YC
YY
+−−
=
−−=
Teniendo en cuenta que.
²²².
²²)3(
²²²
1²
²²
11
1
2
cvv
vvv
vcv
vv
vvv
YCYC
YC
C
YC
−+=
−+=
+=
Comparando la expresión (2)con la (3),podemos escribir:
²/²1. 2
2 cvvmp Y
Y−
=
En forma general:
²/²1.
²/1.
cvvmp
cvvmp
XX
YY
−=
−=
Las proyecciones py;px, del impulso p son equivalentes a la proyección del vector p sobre los ejes(x y) El esquema de conservación del impulso y el esquema de conservación del impulso-energía aun basándose en esquemas similares, se contradicen en sus resultados. No obstante se ha mostrado la coherencia interna de ambos métodos Vamos a comparar las formulas para el impulso de ambos esquemas en el marco del esquema de conservación del impulso, pero usando los resultados del sistema de conservación del impulso-energía
14
y´
A)
B)
cvcvcmp
/1/1ln.
2.
−+
=
²/²1.cv
vmp−
=
De acuerdo al esquema de conservación del impulso-energía, el impulso del sistema de cuerpos (A) es con respecto al sistema de referencia (xy) en reposo:
²/²1.2cv
vmp
C
CA
−=
El impulso Bp del sistema de cuerpos (B) es con respecto al sistema de referencia en reposo (xy):
²/²1 1
1
cvmv
pB−
= (7)
De acuerdo al esquema: ²/²1
21 cv
vv
C
C
+=
Insertando el valor de 1v en la expresión del valor de Bp (7)y operando se obtiene:
y´
X ´
X ´
vc
vc
m m
m
m v´c
v´c
15
²)/²1(.2cv
vmp
C
CB −
=
De donde se comprueba que AB pp f según el esquema de conservación del impulso-energía De acuerdo al esquema de conservación del impulso por definición los sistemas de cuerpos(A) y (B) tienen el mismo valor con respecto al sistema de referencia en reposo (xy) Un análisis cuidadoso nos indica que estos sistemas no son iguales. En el sistema de referencia (B) se requiere una determinada energía potencial para comunicar a los dos cuerpos velocidades opuestas 'Cv ,la cual no existe en el sistema de
cuerpos (A) Para solucionar la contradicción existente entre los dos esquemas ,se puede suponer que la energía potencia disponible para comunicar a los dos cuerpos velocidades 'Cv ,tiene
una masa asociada a la misma .La cual a su vez tiene un impulso que se suma al impulso que tienen los dos cuerpos de masa (m).De manera que el impulso total del sistema de dos cuerpos de masa m y energía potencial E’ ,es igual al impulso que tiene un solo cuerpo de masa m y velocidad v= 2 Cv /(1+ ²/² cvC ) (4).Ya que una vez que la fuerza
haya actuado, la energía potencial y su masa asociada desaparecen. Llamando m = B.E 0 ’, a la masa inercial asociada a la energía E 0 ’, y B a una constante a
determinar. Según el esquema del impulso-energía debe cumplirse:
²/²1
.2²/²1
'.. 0
cvvm
cvvEB
pC
C
C
C
−+
−= (5)
²/²1.cv
vmp−
= (6)
Introduciendo en (6) la expresión (4) para la velocidad, e igualando, con (5), tenemos luego de hacer las operaciones:
²/²1
.2²/²1.2.. 0
cvvm
cvvmvEB
C
C
C
CC
−=
−
+′
−
−=′ 1
²/²112. 0 cv
mEBC
Teniendo en cuenta que la energía cinética de los cuerpos es:
−
−= 1
²/²11²2
cvmcEc
C
²/. 0 cEEB C=′
16
De acuerdo al esquema de conservación del impulso, la energía potencial E’ comunica a los dos cuerpos velocidades 'Cv con respecto al sistema de referencia (x’y’), entonces la
energía cinética de estos dos cuerpos con respecto al sistema de referencia (xy) al ser su velocidad con respecto a ese sistema 'CC vv = , debe ser igual a E’
E’c = Ec
Esto nos da la posibilidad de hallar B B = 1/c² De donde se establece finalmente la relación masa-energía E 0 = m.c²
La relación masa-energía surge como una necesidad a fin de poner en acuérdalos resultados que se obtienen a partir de los esquemas de conservación del impulso y del esquema de conservación del impulso-energía
■ Energía total La relación masa-energía hace tomar significado al concepto de energía total de una masa (m) con velocidad v, si definimos la energía total como la suma energía cinética con la energía de masa.
Et = E 0 +Ec
²/²1².cv
cmEt−
=
Relacionando el impulso y la energía total se obtiene:
²/²1 cvmvp
−=
²²²²².² vmcvpp =−
²²²²².² vmcvpp +=
²²²²²²² cvmvpcp += ²²)²²(²² vcmpcp +=
²)²²/(²²/² cmppcv +=
Introduciendo el valor de v²/c² en la raíz de la expresión de la energía total Et
4²²² cmcpEt +=
17
De esta expresión se desprende que puede existir energía sin masa asociada a la misma En efecto, si en la formula consideramos que la masa m =0
Et = pc
■ Momento de impulso en Dinámica Relativista Al estudiar el movimiento de un cuerpo en un campo central de fuerzas en física clásica se encuentra que el producto de la masa de un cuerpo por su velocidad tangencial y la distancia al centro es una magnitud constante: m.v.r cte .Tal magnitud es una característica del sistema considerado y se denomina momento de impulso de la partícula .Vamos a ver si en relatividad tal sistema tiene características análogas y en que forma.
dtrvpdp
drvdr
TrT
T
..
..
−=
=ϕ
v t P t
P r
v r
F c
dϕ
dp t
P r dp r
18
rdr
pdp
rdrpdp
vdr
rv
cvvmdp
vdr
rvpdp
T
T
TT
r
TrT
r
TrT
−=
−=
−
−=
−=
.
..²/²1
.
..
La integración de ambos miembros y estableciendo límites:
2
1
1
2
21
21 lnln
rr
pp
rp
T
T
rr
pTpTT
=
−=
Se demuestra que el producto cterpT =. , en Dinámica Relativista
Con lo cual podemos redefinir el concepto de momento de impulso en dicha dinámica tal como sigue:
²/²1..
.
cvrvmL
rpL
T
T
−=
=
A partir del esquema puede obtenerse la expresión para la fuerza centrifuga Fc
dtdp
dtdp
dpdp
Tr
Tr
ϕϕ
=
= .
Teniendo en cuenta que:
rvp
dtdp
rdtdtvp
dtdp
dtvdr
TT
r
TT
r
T
.
..
..
=
=
=ϕ
Se requiere una fuerza centrípeta para anular esta componente dpr en un intervalo de tiempo dt .Siendo :
²/²1/. cvvmp TT −=
19
Queda finalmente:
rcvvm
Fc T
.²/²1².
−=
■ FUERZAS EN RELATIVIDAD
En mecánica clásica se estudian las fuerzas que ejercen objetos entre sí, la magnitud de dichas fuerzas depende de la masa de los cuerpos que interaccionan, de la distancia entre ellos, de sus velocidades relativas, etc. En cuanto a la dependencia de las fuerzas con las velocidades, el principio de relatividad establece que las formulas que describen han de ser las mismas independientemente del sistema de referencia elegido .Esto podría significar que dichas formulas tienen una forma determinada ,única y universal ,la cual podría hallarse por medio del formalismo matemático de la dinámica relativista y un esquema apropiado a tal fin, de manera similar a como se hizo para hallar las expresiones correspondientes para el impulso y la energía. Para concretar, se estudiara a continuación la dependencia de las fuerzas transversales con la velocidad en relatividad Sean dos cuerpos de masa m), con velocidades 1v y 2v con respecto al sistema de referencia en reposo (xy) .Con respecto al sistema de referencia en movimiento (x’y’) los cuerpos tienen las velocidades ( 1v′ ; 2v′ ) Si entre los cuerpos actúa una fuerza cuya dirección es normal a la dirección del movimiento, en el sistema (x’y’) se medirá una fuerza yF ' , siendo: yF ' = F ( 1v′ ; 2v′ ) En el sistema de referencia (xy) se medirá que la fuerza tiene el valor: );( 21 vvFFy = El primer paso es hallar la relación entre ambas fuerzas En el grafico que sigue se muestra la misma situación fisica vista por los sistemas de referencia en movimiento relativo
20
),();(
21
21
vvFFyvvFyF
=
′′=′
De acuerdo a lo establecido, el valor de F’y y Fy se pueden relacionar a partir de la relación entre 'a cona y 1'v con 1v
²/²'1.
'1 cvam
yF Y
−
′=
tva
tva Y
YY
Y ∆=∴
∆=
'''
(7)
²'
1
'
²'
1
'2
22
1
11
cvvvv
v
cvvvv
vC
C
C
C
+
+=∴
+
+=
Para hallar la relación entre 'a y a ,primero hay que calcular la relación entre Yv ; Yv'
²1
²/²1.
1
cvvcvv
vC
CYY ′
+
−′=
Y los intervalos de tiempo tt ′∆∆ ;
y ´
y
X ´
X
a´ y F´y
v´ 1
m0
F´y v´ 2
vc
a y
Fy
Fy v1
v2
21
²/²1²/..
.²/²1
²/)(²/²1²/
²/²1²/
1
112
1212
1122
cvctvvt
t
tvxxcv
cxxvttt
cvcxvt
cvcxvt
t
C
C
C
C
C
C
C
C
−
′∆′+′∆=∆
′∆′=′−′
−
′−′+′−′=∆
−
+′−
−
′+′=∆
'.²
1²
1
²/²1²./²1.
.²/²1²/.1
11
1
tcvv
cvv
cvcvva
tcvcvv
t
CC
CCYY
C
C
∆
′
+
′
+
−−′=
′∆−
′+=∆
(8) YC
CY a
cvvcv
a ′
′
+
−= .
²1
²/²12
1
²/²1.
1 cvam
Fy Y
−= (9)
Introduciendo en la expresión (9) ,la expresión (7),y luego la relación (8) entre las aceleraciones :
²1
²/11
.2
1
1
ccvvvv
amFy
C
C
Y
′+
′+−
=
²/²1.²/²1.².
1
²)/.1.(²)./²1.(²².
²²
²²
1
²)/.1(.
²²
².2
²²²².
².2
1
²)/.1(.
²)²'(
².
1
²)/.1(.
1
21
1
411
1
114
11
1
12
1
1
cvcvcvv
cvvacvm
cvv
cv
cv
cvvamFy
cv
cvv
cv
cvv
cvv
cvvam
cvv
cvv
cvvamFy
CC
CYC
CC
CY
CCCC
CY
CC
CY
′−−
′
+
′+′−=
′+
′−−
′+=
′−
′−−
′+
′+
′+=
+−
′
+
′+=
′
+′−
−′=
².
1.²/²1
²/²1.
11 c
vvcv
cvamFy
C
CY
22
yF
cvvcv
FyC
C '.
².
1
²/²1
1
+
−=
Si la fuerza es función de las velocidades 1v y 2v ,podemos escribir:
)';(.
².
1
²/²1);( 21
121 vvF
cvvcv
vvFC
C ′
′
+
−=
Dada la relación entre las velocidades ( v 1 con v’ 1 , y v 2 con v’ 2 ), podemos plantear la ecuación ;
);(.
².
1
²/²1
².
1;
².
121
11
2
1
1 vvF
cvvcv
cvvvv
cvvvv
FC
C
C
C
C
C ′′′
+
−=
′+
′+
′+
′+
Esta es una ecuación funcional de dos variables F(v1 ; v 2 ) .Resolverla permite hallar la dependencia de la fuerza transversal con la velocidad en relatividad Para resolver la ecuación planteada, se considera a uno de los cuerpos en reposo con respecto al sistema de referencia (x’y’).Con lo cual:
Cvvv
==′
2
2 0
Y la ecuación se escribe como sigue:
².1
²/²1
12
2
cvvcv
Fy′
+
−=
23
y ´
F´y
Siendo 1v′
².
².1
1²
.1
².1
2
21
2121
21
211
cv
cvvvv
cvvcvvvvv
−
−+=
′+
−
−=′
²/.1²/²1
².1
².
1
²/²²/.1²
.1
21
221
21
22121
cvvcv
cvv
cvv
cvcvvcvv
−−
=′
+
−
−−=
′+
Reemplazando ².1 12
cvv ′
+ por su equivalente, se obtiene :
)(²)./.1.(²/²1²/²1
1212
2 vFcvvcvcv
Fy ′−−−
=
−
−
−
−=
′−
−=
²/.1.
²/²1²/.1);(
)(.²/²1²)/.1(
);(
21
21
2
2121
12
2121
cvvvvF
cvcvvvvF
vFcvcvv
vvF
Siendo F una función arbitraria del argumento. Para el caso mas simple en el cual
ctevF =′)( 1
X ´
X
Fy
v´ 1
v1
v2
v2
24
²/²1²/.1)(
2
212;1 cv
cvvvvF−
−=
Vamos a comprobar que la formula obtenida es solución de la ecuación funcional planteada. Dado que la ecuación funcional debe ser valida para todo sistema de referencia la escribimos para el sistema de referencia(xy),con lo cual escribimos todo sin comillas.
);(.
².
1
²/²1
².
1;
².
121
12
2
1
1 vvF
cvvcv
cvvvv
cvvvv
FC
C
C
C
C
C
+
−=
+
+
+
+
²/²1²)/.1(
.
².
1
²/²1
²1.
²/.11
²1.
²/.1²/.11
2
21
12
2
2
2
2
1
1
cvcvv
cvvcv
ccvvvv
ccvvvv
cvvvv
C
C
C
C
C
C
C
C
−
−
+
−=
+
+−
+
+
+
+−
²/²1²/.1.
².
1
²/²1
²)²(
².
1.².
1
²/)).((²)/.1²)(/.1(
2
21
12
221
2121
cvcvv
cvvcv
cvv
cvv
cvv
cvvvvcvvcvv
C
C
CCC
CCCC
−
−
+
−=
+−
+
+
++−++
²/²1²)/1(.
²²
1/²²²/²²/²1
/².²/²/²1
²/²²/2²/²/²².²/21
²/²/²/²/²/².²/²/1
2
21
422
42121
224
22
21124
2112
cvcvv
cv
cvvcvcv
cvvvcvvcv
cvcvvcvcvvcvv
cvvcvvcvvcvcvvvcvvcvv
C
CC
CC
CCCC
CCCCCC
−
−−=
+−−
+−−=
=−−−++
−−−−+++
²/²1²)/1(.²/²1
²/²1.²/²1²)/1²)(/²1(
2
21
2
21
cvcvvcv
cvcvcvvcv
CC
C
−
−−=
−−
−−
²/²1²/1
²/²1²/1
2
21
2
21
cvcvv
cvcvv
−
−=
−
−
De esta manera se comprueba la validez de la formula obtenida para la fuerza transversal según la velocidad en relatividad Para el cálculo efectivo de esta fuerza se escribe:
25
01
212
02
211
.²/²1²/1
.²/²1²/1
FcvcvvFy
FcvcvvFy
−
−=
−
−=
Siendo 0F la fuerza que ejercen entre si los cuerpos al estar en reposo con respecto al
sistema de referencia (xy)
■ FUERZAS LONGITUDINALES Para estudiar el caso en el cual la dirección del vector fuerza coincide con la dirección del vector velocidad, pueden aplicarse los mismos principios y métodos utilizados para hallar las fuerzas transversales
Escribimos para comenzar las expresiones de Fx y xF ′ para establecer la relacion entre ellas:
''.
²)/²'1(' 2/3
1 dtdv
cvmxF
−=
dtdv
cvmFx .
²)/²1( 2/31−
=
);()';'('
21
21
vvFFxvvFxF
==
y ´
y
X ´
X
vc
F´x F´x
Fx
Fx
v´ 1
v1
v´ 2
v2
26
²1 1
11
cvvvv
vC
C
′+
′+=
Para establecer la relación entre dtdv
y tdvd′′,hay que hallar las relaciones dv con dv’ y dt
con dt’
11
111 .
²)²/1(²/)(²/1vd
cvvcvvcvv
dvC
CC ′′+
′+−′+=
11
1 .²)²/1(²/²1
vdcvvcv
dvC
C ′′+
−=
²/²1²/)()'(
²/²1²/
²/²1²/ 12121122
cvcxxvtt
cvcxvt
cvcxvt
dtC
C
C
C
C
C
−
′−′+−′=
−
′+′−
−
′+′=
'.²/²1²/1
²/²1²/.'
1
1
dtcvcvv
dt
cvctdvvtd
dt
C
C
C
C
−
+=
−
′+′=
Sustituyendo las variables dtdv; por sus equivalentes en la formula para Fx
dtcvvcv
vd
cvvcv
cvmFx
C
C
C
C
.²
1
²/²1.
²'
1
²)/²1(.
²)/²1( 12
12/3
1
′
+
−′
+
−−
= (10)
Teniendo en cuenta que:
²1 1
11
cvvvv
vC
C
′+
′+=
Sustituyendo 1v por su equivalente en(10),y agrupando terminos se obtiene
tdvd
cvv
ccvvvv
cvmFx
C
C
C
C
′′
′
+
′+
′+−
−= .
²1
²²)²./1()²(
1
²)/²1(3
1
1
1
2/3
tdvd
cvmFx
′′
′−= .
²/²1 1
xFFx '= );();( 2121 vvFvvF ′′=
Por lo tanto la única solución a la ecuación funcional es que F(v1 ; v2)=cte
27
dv´y
Los sucesos simultáneos en el sistema de referencia (X’Y’) no lo son en el sistema de referencia (XY),no queda claro la dependencia de la fuerza con la velocidad, sin embargo el cambio de los valores (v’1;v’2), por los opuestos (-v’1 ; -v’2 ), dejan invariable la fuerza longitudinal en ambos sistemas de referencia ,pero las velocidades en (XY) cambian, por tanto esto establece de forma definitiva la invariancia de la fuerza longitudinal con la velocidad
Se realiza a continuación el calculo para la fuerza transversal en el caso mas general de acuerdo al esquema:
dtdpFy Y=
²/²)²(1.
²/²1.
1 cvvvm
cvvmp
YX
YYY
+−=
−=
−+
−= 2/3
11 ²)/²1²()/².(
²/²1/.
cvcdtdvv
cvdtdvm
dtdp YYYY (11)
tdcvcvv
dtC
XC ′−
′+= .
²/²1²/1
²1
²/²1.
cvvcvv
vXC
CYY ′
+
−′= (12)
²1
cvvvv
vXC
XCX ′
+
′+= (13)
y ´
y
X ´
X
vc
F´y
Fy
v´ 1
v1
v´ 2
v2
v´x
vx
dvy
v´y
vy
II ´
II
28
Componiendo 1v de acuerdo a (12) y (13)
221
²1
²)/²1²('
²1
)²(²
′
+
−+
′
+
′+=
cvv
cvv
cvvvv
vXC
CY
XC
XC
Luego de realizar las operaciones correspondientes, y operando para obtener el termino
−
²²1 1
cv
resulta:
′
+
−′−=−
²1
²)/²1²)(/²1(²²
1 11
cvv
cvcvcv
XC
C (14)
Introduciendo adecuadamente el valor de (14) en (11)
tdcv
cvvcvvvdcv
cvcvcvv
c
cvvcvvcvcv
cvvmFy
C
XCXC
YC
CXC
XCCY
C
XC
′−
′+′+
′−
−′−
′
+
′+−′+
−′−
+=
²/²1.
²)/1²)(/1(.²/²1
.²)/²1(²)/²1(
²1²
²)/1²)(/²1²(²/²1.²/²1
²/'1
2/32/31
2
3
1
''.
²)/²1²(²
²/²11
²/1²/²1
.11 dt
dvcvc
vcvcvv
cvmFy YY
XC
C
′−′
+′−′+
−=
De la relación de Fy con respecto a: YX vvv ;;1 , que debe ser idéntica a la de yF ' con
respecto a YX vvv ′′ ;';1 ,la ultima igualdad nos da la relación entre Fy y yF '
yF
cvvcv
FyXC
C '.
²1
²/²1′
+
−=
La variación de la componente Yv representada en el esquema implica una variación en
la componente longitudinal del impulso Xp ,y por consiguiente la existencia de una
fuerza en tal dirección Fx
²/²)²(1.
cvvvmp
YX
XX
+−=
29
YYX
X dvcvcvvmdp .
²)/²1²(.
2/31−
=
Para simplificar el esquema, vamos a considerar que 0=Xdv ,de la relación entre Fy y F’y :
yF
cvvcv
FyXC
C '.
²1
²/²1′
+
−=
Procediendo como en el caso anterior que era con vectores de velocidades paralelos
2
2 0vv
v
C ==′
yF
cvvcv
FyX
'.
²1
²/²1
2
2
′+
−=
²/1 2
2
cvvvvvX
XX −
−=′
²)/1(²/²1
²1
²)/1²(²1
²1
2
22
2
222
cvvcv
cvv
cvvcvvv
cvv
X
X
X
XX
−−
=′
+
−−
+=′
+
y ´
y
X ´
X
vc
F´y
Fy
v´ 1
v1
v´ X
vX
ϕ
v2
30
yFcvcvvFy X '.²/²1²/1
2
2
−
−=
Considerando que F’y es una constante según el sistema de referencia (x’y’): Podemos escribir en forma definitiva para este caso mas general de fuerza transversal:
02
21 .²/²1
²/cos.1Fy
cvcvv
Fy−
−=
ϕ
■ CONDICION DE SIMETRIA
Al estudiar las fuerzas transversales, se estableció al comienzo de esta sección la siguiente ecuación funcional
);(.
²1
²/²1
²1
;
²1
2112
2
1
1 vvF
cvvcv
cvvvv
cvvvv
FC
C
C
C
C
C
+
−=
+
+
+
+
Hallándose para la misma la solución general:
−
−
−
−=
²/1.
²/²1²/1
);(21
21
2
2121 cvv
vvF
cvcvv
vvF)
Siendo F
), función arbitraria del argumento .Vamos a demostrar que la función utilizada
hasta ahora ²/²1²/1
);(2
2121 cv
cvvvvF
−
−= ,cumple además con la condición independiente que
se desprende del esquema que sigue
31
X ´
Se presenta la fuerza transversal para dos pares de partículas. Dado la simetría de la situación física en el sistema (xy), y la isotropía del espacio debe cumplirse:
YY FF 21 = De lo cual se desprende que: YY FF 21 '' =
02
211 .
²/²1²/1' YY FcvcvvF
′−
′′−=
01
2
'0
YY FFv
==′
Para el segundo par:
²)/²1/(2²)/²1/(2 112 cvvcvvv CC ′+′=+=′
0
1
21
1112 .
²)/²1²(41
²)/²1/(2.1' YY F
cvcv
cvvvF
′+′
−
′+′′−=
²)²/²1(²/²4²)/²1(
.²)/²1(²)/²1('
1
11
0
1
12
cvcvcv
FcvcvF Y
Y
′+′−′+′+
′−=
Realizando las operaciones correspondientes resulta
y´
y
X
vc
vc
vc
v´ 1 = vc
v´ 1 = vc
v´ 2
F´ 2y F´ 1y
F 2y
F 1y
32
YYYY FFFF 1202 '' =′⇒=
De esta manera se cumple la condición de simetría
■ FUERZAS MAGNETICAS EN RELATIVIDAD Veamos que resultados se obtienen al aplicar la formula para la fuerza transversal a la interacción entre dos conductores eléctricos paralelos
Al no existir corriente eléctrica en ninguno de los conductores las fuerzas de repulsión entre los pares de cargas de igual signo a ambos lados se equilibran con las fuerzas de atracción entre los pares de cargas opuestas en ambos lados. Al haber corriente eléctrica en ambos conductores, esto significa un movimiento ordenado de cargas eléctricas negativas (electrones), en tanto que las cargas positivas (núcleos), permanecen en reposo.
Si se consideran las fuerzas sobre el conductor (1), la resultante RF
02
212
2
211
2
210 ²/²1
²/1.
²/²1²/1
.²/²1
1F
cvcvv
Fcvcvv
Fcv
vvFF AAR
−
−+
−
−−
−
−−=
=0F fuerza de repulsión en reposo
21; AA FF fuerzas de atracción en reposo
En 0; 21 =vFA (núcleo en reposo)
En 2AF ; 22 vv = (velocidad del electrón)
01 =v (núcleo en reposo)
La resultante:
F 0 F
v1
V2
1
2 FA2 FA1
+
+
-
-
33
02
21 .²/²1
²/ FcvcvvFM
−−=
Es la fuerza magnética, para cargas en reposo, la formula de Coulomb :
².41 21
00 r
qqFεπ
=
Y la fuerza magnética puede escribirse como sigue:
².
²/²1².
41 21
2
21
0 rqq
cvcvv
FM−
=πε
(15)
Si tenemos que la fuerza depende del producto de las velocidades v1 y v2 de los electrones en los conductores, eso quiere decir que dependen del producto de las corrientes 21eII que circulan por estos.
El análogo clásico de la formula (15) se obtiene de la fuerza de Lorentz:
HBBvqFM
...
0
11
µ==
².4. 22
rvqH
π=
².4.. 11220
rvqvq
FM πµ
= (16)
De la comparación de las expresiones (15) y (16), salvo el radical coinciden si:
².1
00 cε
µ =
■ SISTEMAS DE REFERENCIA ACELERADOS EN RELATIVIDAD
Hasta aquí se aplicaron los principios relativistas (Todos los sistemas de referencia inerciales son equivalentes y la velocidad de la luz es la misma medida en todos ellos). A sistemas de referencia con movimiento relativo uniforme. El resultado obtenido fue un nuevo formalismo matemático para la dinámica, la relación masa-energía, la relación fuerza-velocidad, etc. Existe la posibilidad de aplicar los siguientes principios a sistemas de referencia con movimiento relativo acelerado:
34
X ´
X x 1
■ Principio de Relatividad Dos sistemas de referencia con igual aceleración y velocidad con respecto a un tercero considerado en reposo son similares entre si. ■ Principio de Invariancia La velocidad de la luz en el vacío en los sistemas de referencia acelerados es constante e igual a (c) Partiendo de estos dos principios, pueden ser halladas las transformaciones para los sistemas de referencia acelerados, de modo análogo a las transformaciones de Lorentz para los sistemas de referencia inerciales. Para hacerlo se halla en primer lugar la relación entre el tiempo medido en los orígenes de los sistemas (xy) y (x’y’)
Dado que desconocemos la relación entre la marcha del tiempo de los orígenes de ambos sistemas de referencia, se indica como una función )(tF a determinar
)()(
22
11
tFttFt′=′
=′
De acuerdo al principio de relatividad, para los orígenes se debe cumplir :
)( 11 tFt X−=′
)(tF − =función inversa de )(tF
En el esquema, los sistemas de referencia a partir del instante 00 =t , comienzan a
moverse con aceleración relativa a
y´
y c
t´1x t´1
a; v x´ 1
t 1
t2
x2
35
Si en el instante 0t =0, el origen de ambos sistemas coinciden, en el tiempo 1t se habrán
alejado entre si la distancia 1x .Si en ese instante desde el origen del sistema (xy) se emite un rayo de luz hacia el origen del sistema (x’y’),el rayo lo alcanzara en el tiempo
2t ,en el punto 2xx =
El origen del sistema (x’y’) mide que llega al punto 1x en el tiempo 1t ′ y al punto 2x en el
tiempo 2t ′
Siendo )(tFt =′ ; )()(
22
11
tFttFt
=′=′
Desde el momento 1t en que es emitido el rayo hasta que alcanza el origen(x’y’)en el
tiempo 2t ,recorre :
).( 122 ttcx −= . El origen(x’y’) recorre la distancia
2².
2tax =
0..2
².2
².)(
122
212
=+−
=−
tctcta
tattc
0.2.2² 122 =+− tact
act
12 .2²² t
ac
ac
act −+=
Desde el sistema de referencia (x’y’),se observa que el origen(xy) se desplaza con aceleración y velocidad ( ); va −− hasta el punto 1x′ en el tiempo Xt1′ . De acuerdo al principio de relatividad debe cumplirse:
)()(
11
11
tFttFt
X
X−=′
′=
De acuerdo al principio de invariancia de c ;(x’y’) ve que el rayo recorre la distancia 1x′ en el tiempo:
cxt 1′=′∆
Con lo cual: cxtt X
112
′+′=′
Teniendo en cuenta que: 2
². 11
Xtax′
=′
36
Siendo : )( 11 tFt X−=′
[ ]2112 )(
2)( tF
catFt −− +=′
)( 22 tFt =′
[ ]
−+=+ −−
12
112
²²)(
2)( t
ac
ac
acFtF
catF
En forma genérica:
02²²2)(.2)]²([ =
−+−+ −− tac
ac
acF
actF
actF
Resolviendo la ecuación de 2º grado para )(tF −
−+−+=− tac
ac
acF
ac
ac
actF 2
²²2
²²)(
Hallar la función )(tF es el equivalente a determinar el valor de K= ²/²1 cv− en la cinemática relativista En cuanto a la solución de la ecuación funcional planteada .Hay que tener en cuanta que en general la utilidad de este tipo de ecuaciones no esta tanto en algún método de resolución de las mismas (que es incierto). Sino en el hecho de que introduciendo en las mismas las funciones convenientes nos permiten comprobar matemáticamente la validez de las formulas propuestas. Si probamos con:
².)( tBttF += Siendo B un coeficiente a determinar:
)(tF − significa hallar t a partir de )(tF
0)(² =−+BtF
Btt
BtF
BBt )(
²41
21
++−=
Bt
BBtF ++−=−
²41
21)(
Introduciendo en el segundo termino de la ecuación funcional la solución
propuesta , ².)( tBttF += ,y reemplazando en esta función el valor t por tac
ac
ac 2
²²
−+
37
−++−+−+=−
22
²²2
²²2
²²)( t
ac
ac
acBt
ac
ac
ac
ac
ac
actF
taBc
acBt
ac
ac
aBc
acBt
ac
ac
acB 2
²²2
²²2
²²2
²²
2
−+−+=
−+
Haciendo que:
caB
aBc
212
−=⇒−=
−+−+=− t
aBc
aBc
ac
ac
ac
actF 2
²²22
²²)(
taBc
aBc
ac
ac
ac
Bt
BB ²²4
³³4
²²2
²²
²41
21
+−−+=++−
Reemplazando B por su equivalente ca 2/−
tac
ac
act
ac
ac
ac 2
²²2
²²
−+=−+
De esta manera determinamos el coeficiente B = - a /2c, y hallamos la función solución de la ecuación funcional planteada
−=′
−=′
−=
cattt
tcatt
tcattF
21
²,2
².2
)(
Cuando cat = 2/tt =′ Esta formula es valida para sistemas de referencia con aceleración y velocidad opuestas con respecto a sistemas de referencia en reposo .Y tiene sentido físico si cat ≤ Hay que tener en cuenta que t ′ es el tiempo medido en el origen del sistema (x’y’) Para hallar la transformación de coordenadas entre ambos sistemas de referencia podemos recurrir al esquema que sigue:
38
y´
X ´
X
En el tiempo 1t ′ desde el origen del sistema de referencia (x’y’),se emite un rayo de luz
hacia el punto x′ ,a donde llega en el tiempo 2t ′ .Desde el sistema de referencia (xy) se
mide que el punto x′ coincide con el punto 2x en el tiempo 2t .A continuación al reflejarse
en x′ el rayo vuelve al origen (x’y’) en el tiempo 3t ′ ,midiéndose en el sistema (xy) el
tiempo 3t .
Para 1t ′ y 3t ′ son validas las relaciones ya halladas:
².2
².2
333
111
tcatt
tcatt
−=′
−=′
Para hallar el valor de 3t , consideramos que el rayo de luz en el sistema (xy) recorre el
doble de la distancia de 1x a 2x menos la distancia que recorre el origen(x’y’)en el
tiempo )( 13 tt −
c
a
t´1
t´3
t´2
x´
t1
t3
t2
x1
x2 x3
39
2²
2²
)(2
2².
2²
².)(2)(
2²).2²(
)()(2)(
2)²(
)()(2)(
311213
131
31311213
13131311213
131311213
atatxxctct
atttaat
atttaxxttc
ttttattatxxttc
ttattvxxttc
−+−=−
−+−+−−=−
+−
+−−−=−
−
+−−−=−
Multiplicando por )/2( a y agrupando términos se obtiene :
0)(4²22² 121133 =−−
+−+ xx
att
act
at
)(4²2²²
12113 xxa
ttac
ac
act −++++−=
)(412
2
13 xxa
tac
act −+
++−=
De acuerdo al esquema utilizado existe la siguiente relación entre 3t ′ y 1t ′ , determinamos
x’
cxtt′
+′=′ 213
²2
2331 t
cat
cxt −=′
+′
′−−=′ 133 ²
22tt
catcx (17)
En el esquema 2t y 2x representan genéricamente el valor de t y x .Para realizar la
transformación es necesario sustituir el valor de 1t y 1x por sus equivalentes en función
de 2t y 2x . De acuerdo al esquema:
022²
2²
2211
1212
1212
=
−+−
−+=
−+=
cxt
act
act
cat
cxtt
cxxtt
444 3444 21
B
tac
ax
ac
act 2
21
22²²
−++= (18)
40
)(4212
2
3 xxa
Bac
act −+
++−=
2121 )( xttcx +−=
²4²
4²²44²4
²²4
42
)(42
3
23
2
2
3
12
2
3
tacB
act
acB
act
acBB
ac
ac
act
Bact
acB
ac
act
ttacB
ac
act
++−=
−−++++−=
−−+
++−=
−+
++−=
222
3422
²² t
act
ac
ax
ac
act +−++−=
22
322
²² t
ac
ax
ac
act +++−= (19)
Reemplazando 3t (19), y , ²)2/( 111 tcatt −=′ (18), por sus equivalentes en la expresión
para x’(17)
−+++
−++
−
+++−−+++−
=′2
22
22
2
22
22
22²²
222
²²
22²²
222
²²
2t
ac
ax
ac
ac
cat
ac
ax
ac
ac
tac
ax
ac
ac
cat
ac
ax
ac
ac
cx
Si hacemos que:
22
2
22
1
22²²
22²²
tac
ax
acB
tac
ax
acB
−+=
++=
++
+−
+−−+−=′
2
22
2
11 222B
ac
caB
acB
ac
caB
accx
Desarrollando los cuadrados de binomio y agrupando términos se obtiene:
41
−+++−=′
−+++−=′
−+++−=′
−++++−=′
+−+−=′
ac
cat
cax
actcx
act
ac
ax
actcx
tac
cat
ac
ax
ac
accx
BBcat
ac
ax
ac
accx
BcaB
caB
accx
222
22
2
222
1222
211
2²
21
222²²22
2
4.2
22²²22
2
²)²(2
22²²22
2
²2
²2
222
En forma genérica y definitiva se escribe:
tcaat
cax
acx .12
²21²
−
−++=′
Esta es la transformación de coordenadas para sistemas de referencia mutuamente acelerados. Para hallar las transformaciones para el tiempo, de acuerdo al esquema:
cxtt′
+′=′ 12
−
−−++−=′ 2
22112 1
²2
²21²1²
2ct
cat
cax
ac
ctcatt (20)
Recordando la expresión (18) para 1t ,la introducimos en la (20)
21
2
222 )1(2
tBacB
ac
caB
act −−+
+−
+=′
Desarrollando el cuadrado de binomio y agrupando términos :
2122 ²22
tBacB
ca
act −+−−=′
Poniendo el valor de 2B
2122
222²
22tB
act
ac
ax
ac
ca
act −+
−+−−=′
12
2 Bac
cx
act +−−=′
42
X ´
X
Recordando el valor de 1B
cx
cat
cax
act 222
2 12²
21 −
−++=′
En forma genérica queda finalmente:
cx
cat
cax
act −
−++=′ 12
²21
De esta manera han sido halladas las transformaciones directas para sistemas de referencia acelerado, análogas a las transformaciones de Lorentz para sistemas inerciales de referencia. Para hallar las transformaciones inversas, del sistema de referencia (x’y’) al (xy), se procede de acuerdo al esquema que sigue
Comenzamos escribiendo las transformaciones directas:
cx
cat
cax
act
ctcat
cax
acx
−
−++=′
−
−++=′
12²
21
12²
21²
Aceptando la validez de estas formulas para valores negativos de x , y tomando en cuenta el modulo de xx ≡− )( , se obtiene
y´
y
(- x´)
(- x)
t
a; v
t ´
x ´
t
x
43
cx
cat
cax
act
ctcat
cax
acx
+
−+−=′
−
−+−=′
12²
21
12²
21²
En estas formulas el valor obtenido para x’ es el mismo que al comienzo, si consideramos el valor del modulo de x’,del mismo modo a lo hecho para x se debe escribir :
ctcat
cax
acx +
+−−=
2²
211²'
Para el tiempo la formula queda invariable:
cx
cat
cax
act +
−+−=′ 12
²21
Dada la simetría de la situación física, las transformaciones de la parte negativa del sistema (xy) al (x’y’), son iguales a las transformaciones de la parte positiva del sistema (x’y’) al (xy)
cx
cta
cxa
act
tccta
cxa
acx
′+
−
′+
′−=
′+
′+
′−−=
12²
21
2²
211²
■ Relación entre sistemas de referencia inerciales y acelerados Para hallar las transformaciones de abscisas y tiempo entre un sistema de referencia inercial y un sistema de referencia que se desplaza con una aceleración determinada, podemos utilizar los resultados de la relatividad especial en el esquema que sigue; similar al esquema utilizado antes para hallar las transformaciones entre sistemas de referencia acelerados
44
dtctat
dtctatt
t
.²/²²1
.²/²²13
03
1
01
∫∫
−=′
−=′ (21) Validas para el origen(x’y’)
cxtt 2
12
′+′=′
cxtt 2
132 ′
+′=′
).(2 132 ttcx ′−′=′
dtctacxt
t.²/²²1.2
3
12 ∫ −=′
−−−+
−=′ −−
²²²
1²
²²1
44² 1
13
313
2 cta
tcta
tccat
sencat
senacx (22)
Siendo:
22
3
22
1
22²²
22²²
tac
ax
ac
act
tac
ax
ac
act
+++−=
−++=
En el esquema )...( 22 tx ′′
2tson en forma genérica el tiempo y la distancia (x’;y’)
La transformación para el tiempo puede obtenerse a través de la formula:
y´
y
X ´
X
a; v
t´2
t´3
t´1
t´1
x´1
x2
t1
t2
t3
x2
x1
x3
45
X ´
cxtt 2
12
′+′=′
Realizando las operaciones con las integrales de (21) y el valor de (22), resulta:
²²²1
4²²²
144
1133132 c
tatctat
catsen
cat
senact −+−+
+=′ −−
■ Longitud del segmento Dado un segmento de recta en el sistema de referencia (xy) de longitud L .En el sistema de referencia (x’y’), tal segmento mide L’. Si los sistemas de referencia tienen aceleración relativa entre si, la relación entre L y L’ la podemos hallar como se muestra:
222
2 12²
21² ctcat
cax
acx −
−++=′
111
1 12
²2
1² ctcat
cax
acx −
−++=′
cx
cat
cax
act
cx
cat
cax
act
1111
2222
12²
21'
12²
21
−
−++=
−
−++=′
(23)
Hay que tener en cuenta que L’ se define siendo 21 tt ′=′ , entonces:
y´
y
a; v
X
t´1
t´2
x´1
x´2
x1
x2
t1
t2
46
Igualando entre si el par de expresiones (23)
²2
²21
²2
²21 111222
cax
cat
cax
cax
cat
cax
−++=−++ (24)
Restando a su vez las expresiones para 2x′ y 1x′
)(2²
212²
21²'' 211122
12 ttccat
cax
cat
cax
acxx −+
++−++=− (25)
De la comparación de (24) con (25)
)(²
)(.²21
1212 ttc
caxax
acxx −+
−=′−′
De la relación obligada entre 2t y 1t ,la obtenemos despejando 2t de (24)
1²
2)(
22
²2
12 2
2
12112 −−
−+++=
cax
xxca
cat
cax
cat
(26)
Introduciendo el valor de 2t dado por (26) en (25)
{ }
−+
−+++−+−=′−′
ac
cx
xxca
cat
cax
actcxxxx
2)(
²2
²2
12
.)( 2
2
1211
11212
Para el instante inicial 01 =t ,los orígenes (xy);(x’y’) coinciden y podemos escribir para este caso particular la equivalencia entre L y L’
++−++=′
2
01
200 ²²2
11² Lca
cax
acxLL
Si el segmento esta ubicado entre el origen de (xy), y el punto 2x .En tal caso :
20
1 0xL
x==
+−++=′
2
0200 ²11² Lca
acxLL
²²2
' 000 LcaLL −=