Derivadas. Técnicas de derivación.

Tasa de variación media. Derivada de una función en un punto. Interpretación geométrica.

Derivadas laterales Continuidad y derivabilidad Función derivada Reglas de derivación

Tasa de variación media.

Dada la función f en [a,b], se llama tasa de variación media de f en [a,b]

f b f a

b a

Ejemplo.- Un automóvil se mueve según

la función e(t) = 2.t 2; donde t es el tiempo

en segundos y e(t) el espacio que recorre

dicho móvil en línea recta en metros.

Calcular la velocidad media (tasa de

variación) durante los 10 primeros

segundos

10 0 200 020

10 0 10 0

e e ms

Hay que observar que la tasa media de f en

[a,b], es la pendiente de la recta secante a

f(x) en los puntos (a,f(a)) y (b,f(b))

Si existe TVI(a), lo denominamos DERIVADA DE f(x) EN EL PUNTO a, y se

denota por f ’(a)

Derivada de una función en un punto.

Dada una función f definida en [a,b], se llama derivada de f en el punto a, a:

Cuando existe, decimos que la función f es derivable en x = a.

0

lim limb a h

f b f a f a h f af a

b a h

2 2

0 0

0

5 5 2 5 2 5lim lim

lim 20 2 ) 20

h h

h

e h e h

h hmh s

Ejemplo.- Un automóvil se mueve según la

función e(t) = 2.t 2; t es el tiempo en segundos

y e(t) el espacio en metros. Calcular la

velocidad instantánea (t’(a)) en el segundo 5

Hay que observar que f’(a) (si existe) es la

pendiente de la recta tangente a f(x) en el el

punto (a,f(a))

Derivadas laterales

Denominamos derivadas laterales (izquierda y derecha) de f en x = a,

a los límites:

0 0

lim limh h

f a h f a f a h f af a f a

h h

La función f es derivable en x = a si y solo si f ’(a-) = f ’(a+):

2

1

1

x si xf x

x si x

Ejemplo.- Existe la derivada de f en x = 1, siendo f la función

Teniendo en cuenta que

0

2 2

0

1 11 lim 1

1 11 lim 2

h

h

hf

h

hf

h

Se deduce que f no es derivable en x = 1

Derivabilidad y continuidad

Si f es derivable en x = a, entonces f es continua en x = a.

Hay que observar que:

Si f es continua en x = a, no tiene por que ser derivable en x = a.

Si f no es continua en x = a, f no es derivable en x = a

Ejemplo.- Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función valor

absoluto. 0

0

x si xf x x

x si x

f es continua ya que

0 0

lim (0) lim 0h h

h f h

Sin embargo no es derivable en x = 0, ya que

0 0

0 lim 1 1 lim 0h h

h hf f

h h

Funciones derivables

Si f es derivable en todo número real, decimos que f es derivable.

Hay que observar que:

Las funciones polinómicas son derivables, al igual que la función sen o cos,

o también las funciones exponenciales.

Sin embargo no lo son por ejemplo la función tan que tiene discontinuidades

de salto infinito, y en esos puntos ni es continua ni derivable

La recta tangente y normal

Teniendo en cuenta que f ’(a) (si existe) es la PENDIENTE de la

RECTA TANGENTE rtg a la función f, en el punto (a,f(a)), dicha recta

será

:tgr y f a f a x a

Y teniendo en cuenta que (-f ’(a))– 1 (si existe) es la PENDIENTE de la

RECTA NORMAL (recta perpendicular a la recta tangente a f) en el punto

(a,f(a)) ) rnor a la función f, en el punto (a,f(a)), dicha recta será

1:norr y f a x a

f a

La recta tangente y normal

Ejemplo.- Calcular la recta tangente r y normal s a f(x) = x2 en x = 1

: 1 1 1 1 2 1

2 1

1 1: 1 1 1 1

1 2

2 3

r y f f x y x

x y

s y f x y xf

x y

Función derivada

Dada una función f, llamamos función derivada de f a la que se

obtiene mediante el límite

0

limh

f x h f xf x

h

Dada una función f, llamamos función derivada segunda de f a la que se

obtiene mediante el límite

0

limh

f x h f xf x

h

La derivada de la segunda derivada se denomina derivada tercera (f’’’(x)), y

así sucesivamente

Función derivada

Ejemplo.- Si un objeto se según la ecuación de espacio e(t) = 2.t2 + 5.t + 1

metros (t en segundos), calcular su velocidad y su aceleración instantánea

0

2 2

0

0

' lim

2 5 1 2 5 1lim 4 5

4 5 4 5'' lim 4

h

h

h

e t h e tv t e t

h

t h t h t tt

ht h t

a t e th

Cálculo de derivadas

Derivada de la función constante f(x) = k

0 0 0

0lim lim lim 0h h h

f x h f x k kf x

h h h

Ejemplo.- La derivada de la función f(x) = , será f ’(x) =0

Derivada de la función identidad f(x) = x

0 0 0

lim lim lim 1h h h

f x h f x x h x hf x

h h h

Ejemplo.- La derivada de la función potencia f(x) = x, será f ‘(x) = 1

Cálculo de derivadas

Derivada de la función potencia f(x) = xn, con n un número natural

0 0

1 2 2

1

0

lim lim

1 2lim

n n

h h

n n n

n

h

f x h f x x h xf x

h hn n nx h x h h

nn x

h

En general, también se cumple para n un número racional

Ejemplo.- La derivada de la función f(x) = x-3, es f ’(x) = (-3) . x-4

Cálculo de derivadas

Derivada de la raíz cuadrada f(x) = x

0 0

0 0

0

lim lim

lim lim

1 1lim

2

h h

h h

h

f x h f x x h xf x

h h

x h x x h x h

h x h x h x h x

x h x x

Cálculo de derivadas

Derivada de la función de proporcionalidad inversa f(x) = 1/x

0 0

20 0 0

1 1

lim lim

1 1lim lim lim

h h

h h h

f x h f x x h xf xh h

x x h

x h x h

h h x h x x h x x

Reglas de derivación

Si y = k.f(x)

0 0

0

( ) ( )lim lim

( ) ( )lim

h h

h

y x h y x k f x h k f xy

h hf x h f x

k k f xh

— —

—

Ejemplo.- Si y = 3.x2, será y ‘ (x) = 3.(2.x) = 6.x

Reglas de derivación

Si y = f(x) g(x)

0 0

0 0

( ) ( ) ( ) ( )lim lim

( ) ( ) ( ) ( )lim lim

h h

h h

f x h g x h f x g xy x h y xy

h hf x h f x g x h g x

f x g xh h

——

— —

Ejemplo.- Si y = x2 + x, será y ‘ (x) = 2.x + 1

Reglas de derivación

Si y = f(x) . g(x)

0 0

0

0 0

0

( ) ( ) ( ) ( )lim lim

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim

( ) ( ) ( ) ( )lim ( ) lim ( )

( ) ( )lim ( )

h h

h

h h

h

f x h g x h f x g xy x h y xy

h hf x h g x h f x g x h f x g x h f x g x

hf x h f x g x h g x

g x h f xh h

f x h f xg x f

h

——

—

0

( ) ( )( ) lim

( ) ( )

h

g x h g xx

h

f x g x f x g x

Ejemplo.- Si y = (3x2).(x). Será

y ‘ (x) = (6x). (x) + (3x2).[1/(2x)] = (15x2) / (2x)

Reglas de derivación

Si y = f(x) / g(x)

2

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

f xy f x y x g x f x y x g x y x g x

g x

f xf x g x

g xf x y x g xy x

g x g x

f x g x f x g x

g x

Ejemplo.- Si y = (x+1) / (x2). Será

y ‘ (x) = [1.(x2) – (x+1).(2x)] / x4 = - (x+2) / x3

La regla de la cadena

Si y = ( f º g ) (x) = f(g(x)), se cumple:

y f g x g x

Ejemplo.- Si y = (x2+1), denominando f(g) = g y g(x) = x2+1, será:

2 2

12

2 1 1

xy f g x g x x

x x

Derivación implícita

Si en vez de venir una curva mediante su función o expresión explícita, viene

expresada mediante su ecuación implícita (ecuación algebraica de variables x

e y, con y = y(x)). Entonces, se deriva dicha expresión, teniendo en cuenta

las reglas de aplicación a las derivadas, y despejando y ‘

Ejemplo.- Calcular la recta tangente a la circunferencia de centro el origen de

coordenadas y radio la unidad, que pasa por el punto (2/2, 2/2).

Derivando la ecuación implícita de la circunferencia

x2 + y2 = 1 Obtenemos 2.x + 2.y.y ‘ = 0. Es decir

y ’ = - x/y

Que en el punto (2/2, 2/2), y ‘ = -1, luego la ecuación de la recta será

y – 2/2 = -1. (x-2/2)

es decir

x + y = 2.

Derivadas de las funciones logarítmicas

Si y = ln x

0 0

0 0 0

0 0

ln lnlim lim

ln1 1 1 1

lim lim ln 1 lim ln 1

1 1 1 1lim ln 1 lim ln

h h

h h h

x

h

h h

y x h y x x h xy

h hx h

xxx xh h x hh h

exx x xh

— —

Ejemplo.- Si y = ln (5x+9). Será

5

5 9y

x

Derivadas de las funciones logarítmicas

Si y = loga x, como loga x = ln x / ln a, teniendo en cuenta las reglas de

derivación será

1 1 1ln

ln lny x

a a x

Ejemplo.- Si y = log3 (5x+9). Será

1 5

ln3 5 9y

x

Derivadas de las funciones exponenciales

Si y = ex , tomando logaritmos neperianos será

ln ln 1x xyy e x y y e

y

Si y = ax , como y = ex.ln a será

ln ln ln ln ln lnx xyy a x a a y y a a a

y

Derivadas de las funciones exponenciales

Ejemplo.- Si y = 72x. Será

27 2 ln 7xy

Si y = f(x)g(x) , como y = eg(x).ln f(x) será

lnln ln ln ln

ln

ln

ln

g x f x g x

g x

y f x e f x g x

f xyf x g x g x

y g x

f x g x g x f x g xy y

g x

f x g x g x f x g xy f x

g x

Derivadas de las funciones trigonométricas

Si y = sen x, aplicando la definición de derivada será

0 0

0

0 0

sen senlim lim

sen cos sen cos senlim

cos 1 senlimsen limcos

sen 0 cos 1 cos

h h

h

h h

y x h y x x h xy

h hx h h x x

hh h

x xh h

x x x

Si y = cos x, utilizando el teorema fundamental de trigonometría será

2 2sen cos 1 2 sen cos 2 0

2 sen cos sen cossen

2 cos

x x x x y y

x x x xy x

y x

Derivadas de las funciones trigonométricas

Si y = tg x = sen x / cos x, utilizando las reglas de derivación será

2 2

2 2

22

2 22

2 2

sen cos sen cos sen cos

cos cos1

seccos

sen cos1

cos cos

x x x x x xy

x x

xx

x xtg x

x x

Ejemplo.- Si y = cos(ln x), será

sen ln1sen ln

xy x

x x

Derivadas de las funciones trigonométricas inversas

Hay que tener en cuenta que como las funciones trigonométricas son

periódicas, las funciones inversas, existirán solamente en un intervalo en el

cual dicha función sea biyectiva

2 2

1 1 1cos 1

cos 1 sen 1y y y

y y x

Si y = Arc cos x, razonando de forma análoga al resultado anterior será

2

1

1y

x

Si y = Arco sen x, teniendo en cuenta que será sen y = x, será

Si y = Arc tg x, será

2

1

1y

x

Derivadas de las funciones trigonométricas inversas

Ejemplo.- Si y = Arc sen x, será

2 2

1 1 1

2 21y

x x xx

——

Derivada como razón de cambio

Dada una función f(x), si para cada x denominamos:

df(x) = f ‘ (x) . dx (ó df = f ‘ (x) . dx)

será: f ‘ (x) = df / dx

Ejemplo.- Se está hinchando un globo esférico. Si su radio crece a razón de 1

centímetro por segundo, ¿Con que rapidez estará creciendo el volumen cuando

el radio sea de 5 centímetros? 34

3V r Como el volumen viene dado por

243

3

dV drr t

dt dt

Tanto r como V son cantidades que varian con el tiempo, es decir, funciones

de t, luego la variación del volumen, será

2 343 5 100 314,16 /

3

dVcm s

dt

Que para r = 5 cm y dr/dt = 1 cm/s., será

Lo que indica que cuando el radio alcanza la longitud de 5 cm. El volumen

aumenta a razón de 314 cm cúbicos por segundo, aproximadamente

Mas ayuda del tema de la página

Matemática de DESCARTES del

Ministerio de Educación y ciencia

(http://recursostic.educacion.es/descartes/web/)

En la siguiente diapósitiva

Mas ayuda del tema de la página

Matemática de GAUSS del Ministerio

de Educación y ciencia

(http://recursostic.educacion.es/gauss/web)

En la siguiente diapósitiva

Mas ayuda del tema de la página

lasmatemáticas.es

Videos del profesor

Dr. Juan Medina Molina

(http://www.dmae.upct.es/~juan/mate

maticas.htm)

En la siguiente diapósitiva

Mas ayuda del tema de la página

Manuel Sada

(figuras de GeoGebra)

(http://docentes.educacion.navarra.es/msa

daall/geogebra/)

En la siguiente diapósitiva