Post on 20-Sep-2018
Detección de fallos en estructuras
mediante la medida de la variación de
sus propiedades dinámicas
Ramón Rojas Díaz Ingeniería Industrial
Tutor: Pedro Galvín Barrera
Sevilla, Enero 2006
Escuela Superior de
Ingenieros de Sevilla
UNIVERSIDAD DE SEVILLA
PROYECTO FIN DE CARRERA
ii
Resumen
Los presencia de daños en estructuras puede deberse a multitud de causas. Por ejemplo,
debido a causas accidentales que excedieron aquellas para las cuales fueron diseñadas las
estructuras o simplemente porque éstas han superado su vida útil y sus propiedades físicas
y mecánicas han cambiado o deteriorado debido al paso del tiempo y por el ataque del
medio ambiente.
La presencia de un daño en un sistema mecánico implica un cambio en las propiedades
dinámicas del mismo. Por tanto, la detección del daño mediante la variación de las
propiedades dinámicas tiene un gran interés, sobre todo en los casos en que los defectos
están en partes de la estructura que no son accesibles.
Este proyecto pretende dar una visión general de los métodos de detección del daño en
estructuras usados en la actualidad, profundizando en alguno de ellos y probándolos en el
banco de ensayos creado al efecto en el Laboratorio de Teoría de Estructuras de la Escuela
Superior de Ingenieros de la Universidad de Sevilla.
Estos métodos no sólo se han empleado en la estructura ya mencionada, sino que se
analizaron posibles daños en otras estructuras reales: el Puente de la Barqueta, el puente I-
40 sobre Río Grande en Alburquerque (Nuevo México), la torre de la Giralda, el eje del
Giraldillo y el puente Z-24 en Suiza.
iii
Índice
Resumen…………………………………………………………………………………….ii
Índice……………………………………………………………………………………….iii
AGRADECIMIENTOS…………………………………………………………………….v
i
1.- REVISIÓN TEÓRICA…………………………………………………………………..1
1.1.- Caracterización Dinámica de Estructuras. Análisis Modal Operacional. NExT y
ERA …………………………………………………………………………………..2
1.1.1.- Peak Picking…………………………………………………………..3
1.1.2.- Descomposición en el dominio de la
frecuencia……………………....4
1.1.3.- Técnica de excitación Natural (NExT)………………………………..6
1.1.4.- Eigensystem Realization Algorithm
(ERA)…………………………...9
1.2.- Métodos para la detección del daño……………………………………………12
1.2.1.- Variación de las frecuencias Naturales………………………………12
1.2.2.- Variación de los modos de vibración………………………………...13
1.2.3.- Variación de la curvatura de los modos……………………………...15
1.2.4.- Variación en las matrices de Flexibilidad y de
Rigidez……………...16
2.- OBJETIVOS…………………………………………………………………………...22
3.- DISEÑO Y JUSTIFICACIÓN DEL PÓRTICO……………………………………….24
3.1.- Tipología del pórtico…………………………………………………………...24
3.2.- Configuraciones propuestas……………………………………………………25
iv
3.3.- Modelo de Elementos finitos…………………………………………………..28
4.- EXPERIMENTACIÓN………………………………………………………………...39
4.1.- Configuraciones propuestas……………………………………………………39
4.2.- Realización de los ensayos……………………………………………………..39
4.3.- Programas en PULSE…………………………………………………………..40
4.4.- DIbEMA (Damage Identification by Elemental Modal
Analysis)……………..41
4.4.1.- Cómo introducir los datos……………………………………………42
4.4.2.- Método de
Niebdal…………………………………………………...42
4.4.3.- Método de cambios en las frecuencias naturales y en los modos de
vibración……………………………………………………………..43
4.4.4.- Consideraciones adicionales a los métodos de la Matriz de Rigidez y
de la Matriz de Flexibilidad…………………………………………43
4.4.5.- Método de Stubbs……………………………………………………44
4.4.6.- Método de variación de la
curvatura…………………………………44
4.4.7.- Método de MAC……………………………………………………..45
5.- RESULTADOS………………………………………………………………………...47
5.1.- Modos elegidos………………………………………………………………...49
5.2.- Cambios en las frecuencias
naturales…………………………………………..52
5.2.1.- Estado dañado: quitando una de las barras de la cruz de San Andrés.52
5.2.2.- Estado dañado: quitando completamente la cruz de San Andrés……53
5.2.3.- Estado dañado: eliminando uno de los empotramientos…………….55
v
5.2.4.- Estado dañado: dintel con una grieta………………………………...55
5.3.- Cambios en los modos de vibración…………………………………………...56
5.3.1.- Estado dañado: quitando una de las barras de la cruz de San Andrés.56
5.3.2.- Estado dañado: quitando completamente la cruz de San Andrés……57
5.3.3.- Estado dañado: eliminando uno de los empotramientos……………..64
5.3.4.- Estado dañado: dintel con una grieta………………………………...67
5.4.- Cambios en la Matriz de Flexibilidad………………………………………….71
5.4.1.- Estado dañado: quitando una de las barras de la cruz de San Andrés.72
5.4.2.- Estado dañado: quitando completamente la cruz de San Andrés……73
5.4.3.- Estado dañado: eliminando uno de los empotramientos……………..75
5.4.4.- Estado dañado: dintel con una grieta………………………………...76
5.5.- Cambios en la Matriz de Rigidez………………………………………………78
5.5.1.- Estado dañado: quitando una de las barras de la cruz de San Andrés.78
5.5.2.- Estado dañado: quitando completamente la cruz de San Andrés……79
5.5.3.- Estado dañado: eliminando uno de los empotramientos……………..81
5.5.4.- Estado dañado: dintel con una grieta………………………………...82
5.6.- Método de Subbs……………………………………………………………….83
5.6.1.- Estado dañado: quitando una de las barras de la cruz de San Andrés.83
5.6.2.- Estado dañado: quitando completamente la cruz de San Andrés……84
5.6.3.- Estado dañado: eliminando uno de los empotramientos…………….86
5.6.4.- Estado dañado: dintel con una grieta………………………………...88
5.7.- Método de variación de la curvatura…………………………………………...89
5.7.1.- Estado dañado: quitando una de las barras de la cruz de San Andrés.89
5.7.2.- Estado dañado: quitando completamente la cruz de San Andrés……90
5.7.3.- Estado dañado: eliminando uno de los empotramientos…………….91
5.7.4.- Estado dañado: dintel con una grieta………………………………...92
vi
5.8.- Método de MAC……………………………………………………………….93
5.8.1.- Estado dañado: quitando una de las barras de la cruz de San Andrés.93
5.8.2.- Estado dañado: quitando completamente la cruz de San Andrés……94
5.8.3.- Estado dañado: eliminando uno de los empotramientos…………….94
5.8.4.- Estado dañado: dintel con una grieta………………………………..95
6.- COMPARACIÓN CON EL MEF……………………………………………………...96
6.1.- Método de
Stubbs………………………………………………………………97
6.1.1.- Comparación de los resultados del MEF con la referencia obtenida
experimentalmente…………………………………………………..97
6.1.2.- Comparación de los resultados del MEF con la estructura real al quitar
una de las barras de la cruz de San Andrés………………………….98
6.1.3.- Comparación de los resultados del MEF con la estructura real al quitar
completamente la cruz de San Andrés………………………………99
6.1.4.- Comparación de los resultados del MEF con la estructura real al
eliminar un empotramiento………………………………………...100
6.1.5.- Comparación de los resultados del MEF con la estructura real al
provocar la grieta…………………………………………………...102
6.2.- Otros Métodos………………………………………………………………...103
7.- ANÁLISIS PARAMÉTRICO………………………………………………………...104
7.1.- Método de
Stubbs……………………………………………………………..105
8.- APLICACIONES……………………………………………………………………..108
8.1.- Puente de La
Barqueta………………………………………………………...108
vii
8.1.1.- Datos………………………………………………………………….109
8.1.2.- Resultados…………………………………………………………….112
8.1.3.- Conclusiones…………………………………………………………120
8.2.- Puente I-40……………………………………………………………………120
8.2.1.- Datos………………………………………………………………….121
8.2.2.- Resultados…………………………………………………………….123
8.2.3.- Conclusiones…………………………………………………………129
8.3.- Torre de la Giralda……………………………………………………………129
8.3.1.- Datos………………………………………………………………….130
8.3.2.- Resultados…………………………………………………………….131
8.3.3.- Conclusiones…………………………………………………………132
8.4.- Eje del Giraldillo…………………..………………………………………….132
8.4.1.- Datos………………………………………………………………….134
8.4.2.- Resultados…………………………………………………………….135
8.4.3.- Conclusiones…………………………………….…………………...137
8.5.- Puente Z-24…………………………………………………………………...137
8.5.1.- Datos………………………………………………………………….138
8.5.2.- Resultados…………………………………………………………….139
8.5.3.- Conclusiones…………………………………………………………143
9.- CONCLUSIONES……………………………………………………………………144
10.- DESARROLLOS FUTUROS..……………………………………………………...146
11.- REFERENCIAS……………………………………………………………………..147
viii
ANEXO 1: MANEJO DEL PROGRAMA DIAMOND...……………………………….149
Agradecimientos
Quisiera expresar desde estas líneas mi profundo agradecimiento a todos los que de manera
directa o indirecta, me han ayudado a la realización de este proyecto, en particular a Mario
Solís Muñiz, por su ayuda en la fase inicial del mismo, y, sobre todo, a Pedro Galvín
Barrera y Emilio Javier Gómez Álvarez, sin los cuales no hubiera podido realizar este
trabajo.
1
1. REVISIÓN TEÓRICA
En un principio, los métodos de detección de daño existentes se basaban en la
inspección visual o en métodos experimentales localizados, tales como métodos
acústicos o ultrasónicos, métodos basados en campos magnéticos, radiografías, etc.
[1]. Estas técnicas requerían el conocimiento a priori de la localización aproximada
del fallo, con las consiguientes limitaciones.
Se hacen necesarias por tanto otras técnicas diferentes a las citadas, aplicables a
estructuras complejas y que estén basadas en las características dinámicas de las
mismas.
Es durante la década de los 70 y 80 cuando comienzan a desarrollarse estas técnicas
alternativas, desarrolladas fundamentalmente por la industria petrolífera para la
aplicación a plataformas offshore (en estas estructuras una gran parte de las mismas
está bajo el agua, por lo que se hace muy difícil realizar una inspección visual). A
partir de la década de los 80 estas nuevas técnicas comienzan a aplicarse a la
ingeniería civil, y a partir de 1987 a la industria aeroespacial, año a partir del cual
todos los vehículos en órbita se inspeccionan con estas técnicas.
Cualquier sistema mecánico se caracteriza dinámicamente mediante los parámetros
modales: frecuencias naturales, modos de vibración y amortiguamientos. Son las
variaciones en dichos parámetros las que nos dan idea de la presencia de un daño en
las estructuras. En efecto, cualquier fractura o grieta en un sistema mecánico,
disminuirá localmente la rigidez del elemento estructural y, dado que las frecuencias
naturales son proporcionales a la relación (k/m)1/2 (donde k es la rigidez y m es la
masa), éstas disminuirán. Asimismo, el amortiguamiento estructural tiende a
aumentar con la presencia de defectos.
La identificación del daño se puede realizar en base a cuatro niveles [2]:
• Nivel 1: Determinación de la existencia del daño.
• Nivel 2: Localización geométrica del daño.
• Nivel 3: Cuantificación del daño.
• Nivel 4: Predicción de la vida en servicio restante de la estructura.
2
Este último nivel está relacionado con la mecánica de la fractura y la fatiga de
materiales, por lo que se sale del alcance de este proyecto.
Para la determinación de la presencia del daño (nivel 1) basta con observar la
variación de las frecuencias naturales y/o de la forma de los modos de vibración o
incluso la aparición de nuevos modos. En cambio, para localizar y cuantificar el daño
(niveles 2 y 3) es necesario un análisis más profundo y exhaustivo.
Como hemos dicho, para la aplicación de las técnicas de detección del daño, es
necesario obtener primero los parámetros modales del sistema. Por ello, en primer
lugar se revisarán los distintos métodos de identificación dinámica de estructuras,
para posteriormente analizar los distintos métodos de identificación de daños.
1.1 Caracterización dinámica de estructuras. Análisis modal
operacional. NExT y ERA
Existen principalmente dos formas de realizar ensayos dinámicos en grandes
estructuras: el análisis modal clásico y el análisis modal operacional.
El primero está basado en excitar artificialmente la estructura y medir, al mismo
tiempo, la carga y la respuesta. Para caracterizar la estructura se emplea la función de
respuesta en frecuencia. Este tipo de ensayos conlleva la utilización de grandes y
costosos equipos, además de requerir que la estructura deje de estar en servicio (para
conocer exactamente la excitación). Este método presenta, obviamente, enormes
limitaciones en grandes estructuras.
El análisis modal operacional (en adelante OMA), se basa en determinar las
propiedades dinámicas de la estructura a partir de la estructura sometida a su cargas
de servicio, sin conocer el valor de éstas. Este hecho, unido a la simplicidad de los
equipos utilizados, comparados con el análisis operacional clásico, constituyen las
ventajas principales del OMA, y hace que este método sea el más usado en la
caracterización de grandes estructuras. Para caracterizar la estructura ya no se
emplea la función de respuesta en frecuencia, sino la función de densidad espectral
de las respuestas en los puntos de medida.
3
En la estructura sencilla que se construyó en el Laboratorio de Teoría de Estructuras
de la Escuela Superior de Ingenieros de la Universidad de Sevilla, la aplicación del
análisis modal clásico no presenta un obstáculo insalvable, pero dado que el objetivo
final de este proyecto es el conocimiento de las técnicas de detección de daño para su
posterior aplicación a estructuras reales, es conveniente el empleo de OMA.
1.1.1 Peak Picking
El método conocido como Peak Picking (PP) es el más sencillo para identificar los
parámetros modales de estructuras a partir de la respuesta de las mismas cuando
están sometidas a cargas de servicio.
Este método se basa en que la FRF (empleada en el análisis modal clásico) y la
función de densidad espectral (empleada en el OMA) alcanzan picos en
determinadas frecuencias. Éstas estarán relacionadas tanto con las frecuencias de
resonancia de la estructura como con las frecuencias de excitación.
Figura 2.1 FRF de un sistema mecánico. Los picos muestran las frecuencias de
resonancia.
Los picos en la función de densidad espectral de las señales ocurren para las
frecuencias de resonancia de la estructura, y no para las frecuencias naturales no
amortiguadas, las cuales son necesarias para la determinación de los modos de
vibración. Ambas frecuencias están próximas cuando el amortiguamiento modal es
4
pequeño, por lo que la aplicación de esta técnica está limitada a estructuras con
pequeño amortiguamiento modal (ζ<0.05).
Cuando se emplea el OMA para caracterizar dinámicamente estructuras, es probable
que se necesiten realizar más de un ensayo, situando los acelerómetros en distintas
posiciones. Sin embargo, habrá uno que no cambie su posición: el acelerómetro de
referencia. Estos acelerómetros deben ser colocados en puntos óptimos de la
estructura en los que podamos medir todos los modos de vibración: no puede ser un
nodo de algún modo (pues su desplazamiento es nulo).
Los modos de vibración se determinan usando la FRF en las frecuencias naturales.
En OMA, a diferencia del análisis modal clásico, FRF no quiere decir relación
respuesta-fuerza, sino la relación entre la respuesta de los acelerómetros y la del
acelerómetro de referencia. Si el amortiguamiento de la estructura es bajo y los picos
están separados, podremos aceptar que la respuesta dinámica en los picos de
resonancia está determinada por un único modo.
El PP es el método de identificación dinámica más simple, pero presenta algunos
inconvenientes:
• Marcar los picos es algo muy subjetivo, sobre todo si éstos no están muy
claros.
• Al aumentar el amortiguamiento los picos se desplazan de las frecuencias
naturales.
• No se obtienen los modos de vibración, sino los modos de deformación, que
son una buena aproximación de aquellos sólo si el amortiguamiento es
pequeño.
• Los amortiguamientos estimados mediante esta técnica no proporcionan,
generalmente valores correctos.
1.1.2 Descomposición en el dominio de la frecuencia
Esta técnica fue presentada por Brincker et al. (2000), e introduce mejoras
significativas en el PP.
La relación entre las entradas x(t) (desconocidas) y las respuestas de la estructura en
los puntos de medida y(t) se expresa como
5
( ) ( ) ( ) ( )∑∈
=)(
··ω
ωωSubk
Txxyy jHjwGjHjwG (1.1)
Donde Gxx(jω) es la matriz de orden rxr de densidad espectral (PSD) de la entrada, r
es el número de entradas, Gyy(jω) es la matriz de orden mxm de la PSD de la
respuesta, m es el número de respuestas y H(jω) es la matriz (mxr)de FRF.
En el caso de una estructura ligeramente amortiguada solicitada por un ruido blanco,
(1.1) puede ser aproximada por:
( )k
Tkkk
Subk k
Tkkk
yy jd
jd
jGλωφφ
λωφφ
ωω −
+−
= ∑∈
····
)( (1.2)
Donde dk son constantes escalares, Φk son los modos de vibración, λk los polos de la
FRF y Sub(ω) es el conjunto de modos de vibración que contribuyen
significativamente a la respuesta de la estructura para la frecuencia ω.
El primer paso del algoritmo de identificación del método consiste en estimar la
matriz de densidad espectral de las respuestas. Una vez obtenidos los valores de
Gyy(jω) para frecuencias discretas ω=ωi se realiza la descomposición en valores
singulares (SVD) de la matriz:
( ) Tiiiiyy USUjG ··ˆ =ω (1.3)
Donde la matriz Ui contiene los vectores singulares ui y Si es una matriz diagonal que
contiene los valores singulares. Cerca del pico k, el modo k será el que gobierne la
respuesta, pudiendo ocurrir que en la respuesta de la estructura influya un modo
próximo. Si sólo el modo k es dominante, la ecuación (1.2) sólo tendrá un término,
siendo el primer vector singular ui1 una estimación del modo de vibración
1ˆ
iu=φ (1.4)
y el valor singular correspondiente es el valor de la función de densidad espectral del
sistema de un grado de libertad representado por (1.2).
En el caso de que existan dos modos próximos, la estimación de los modos de
vibración se realiza usando dos frecuencias: una en la que el primer modo es
dominante, y otra en la cual el dominante es el segundo.
En este método, los valores singulares mayores representan los modos dominantes,
mientras que el resto representan ruido o modos débiles ocultos tras los dominantes.
6
Una ventaja de este método es que se pueden identificar fácilmente modos de
vibración muy próximos, examinando no sólo el mayor valor singular, sino también
los siguientes.
Otra ventaja del método es que la SVD limpia la PSD por lo que la elección de los
picos es menos subjetiva que en el PP.
Para obtener la frecuencia natural y el amortiguamiento modal, una vez ajustada la
función de densidad espectral alrededor del pico, se realiza la antitransformada de
Fourier (FFT-1) regresando al dominio del tiempo, y se obtiene la frecuencia natural
simplemente de la señal en el tiempo obtenida, y el amortiguamiento modal a partir
del decremento logarítmico.
1.1.3 Técnica de excitación natural (NExT)
NExT es un método que permite estimar los parámetros modales de estructuras a
partir de la respuesta de éstas a sus cargas de servicio.
Esta técnica se desarrolla en cuatro etapas:
• Adquirir la respuesta del sistema.
• A partir de los registros temporales adquiridos en la primera fase, calcular
las funciones de autocorrelación y correlación cruzada.
• Usando las respuestas obtenidas, se identifican las frecuencias naturales y
los amortiguamientos modales.
• Finalmente se obtienen los modos de vibración.
Para justificar teóricamente el método, habría que demostrar que las funciones de
autocorrelación y correlación cruzada que se obtienen a partir de la respuesta de una
estructura excitada por cargas aleatorias, son suma de la vibración libre amortiguada
de un conjunto de sistemas de un grado de libertad. Las frecuencias naturales y
amortiguamientos de estos sistemas de un grado de libertad se corresponden con los
de la estructura.
El comportamiento dinámico de un sistema se describe mediante la ecuación:
)()(·)(·)(· tftxKtxCtxM =++ &&& (1.5)
7
Donde M es la matriz de masa, C la de amortiguamiento y K la matriz de rigidez. f es
el vector de fuerzas y x el vector de desplazamientos de la estructura (respuesta). La
ecuación anterior puede transformarse a coordenadas modales, haciendo uso de:
∑=
==n
r
rr tqtqtx1
)(·)(·)( φφ (1.6)
Donde Φ es la matriz modal, q(t) es el vector de coordenadas modales y qr el modo
de vibración r. La ecuación 2.1.c.1 en coordenadas modales queda entonces:
)(··1)(·)(···2)( 2 tfm
tqtqtq Trr
rrn
rrn
rr φωωζ =++ &&& (1.7)
Con rnω la r-ésima frecuencia natural, ζr el r-ésimo amortiguamiento y mr la r-ésima
masa modal. Si suponemos las condiciones nulas, la solución de la ecuación anterior
viene dada por la integral de convolución:
)1(·
)·)·sin(···exp(·1
)·()·(·)(
2rrn
rd
rn
rn
rrd
rr
t rTrr
Y
ttm
gdonde
dtgftq
ζωω
ωωζω
τττφ
−=
−=
−= ∫ ∞−
(1.8)
La expresión (1.6) queda entonces:
∫∑ ∞−=
−=t rTr
n
r
r dtgftx τττφφ )·()·(··)(1
(1.9)
Podemos particularizar la expresión anterior para la respuesta en un punto i debido a
una solicitación sobre un punto k.
∫∑ ∞−=
−=t r
k
n
r
rk
riik dtgftx τττφφ )·()·(··)(
1 (1.10)
Por otro lado, obtenemos la función de correlación cruzada de dos respuestas (xik(t) y
xjk(t)) debidas a un ruido blanco1 aplicado en el punto k. Por definición , la función
de correlación cruzada es Rijk(T)=E[xik(t+T)·xjk(t)]. Si sustituimos la ecuación
(1.10), la ecuación queda:
[ ] σττσσσφφφφ ddffEtgTtgTRt Tt
kksr
n
r
sk
sj
rk
ri
n
sijk ∫ ∫∑∑ ∞−
+
∞−= =
−−+= ·)()·()·()·(····)(1 1
8
Por definición, la función de autocorrelación de f(t), si ésta es un ruido blanco, es
[ ] )(·)()·()( στδατσστ −==− kkkkff ffER
(1.12)
Donde αk es una constante y δ(τ-σ) la función delta de Dirac. Sustituyendo en la
expresión de Rijk(T) y haciendo el cambio de variable λ=(t-τ) se obtiene
λλλφφφφα dgTgTRt sr
n
r
sk
sj
rk
ri
n
sKijk ∫∑∑ ∞−
= =
+= )()·(····)(1 1
(1.13)
Asimismo
( ) [ ]
[ ]rd
r
rn
rn
rrd
rn
r
rd
r
rn
rn
rrd
rn
rr
mTT
mTTtg
ωλωλωζ
ωωζ
ωλωλωζ
ωωζλ
·)·)·cos(··exp(
)·)·sin(··exp(
·)·)·sin(··exp(
)·)·cos(··exp(
−−
+−
−=+
(1.14)
De manera análoga se puede obtener una expresión para gs(λ). Sustituyendo ésta y la
(1.14) en (1.13), se obtiene una expresión en la que está el fundamento de este
método2:
[ ]∑∑= =
−+−=n
r
n
s
rd
rn
rrijk
rd
rn
rrijkijk TTHTTGTR
1 1
)·)·sin(··exp()·)·cos(··exp()( ωωζωωζ (1.15)
Es decir, que la función de correlación cruzada es una suma de funciones senoidales
con la mismas características que la respuesta a vibración libre de la estructura. Por
tanto, NExT permite analizar la respuesta forzada de una estructura como si fuera su
respuesta libre, usando como función de respuesta a un impulso la función de
correlación cruzada, para a partir de ella estimar los parámetros modales haciendo
uso de técnicas en el dominio del tiempo. En particular, la técnica empleada es el
Eigensystem Realization Algorithm (ERA).
Por tanto, el primer paso para identificar los parámetros modales de una estructura es
estimar la función de correlación cruzada de cada sensor de medida con respecto al
sensor de referencia.
1 Excitación que presenta el mismo nivel de energía para todas las frecuencias.
2 Donde ( ) λλωλω
λωλωζωζωωφφφφα
dmmH
Grd
rds
dsn
srn
rn
ssd
srd
r
sk
sj
rk
rik
sijk
rijk ∫∑
∞
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−−=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛0
1 )·cos()·sin(
···sin)···exp(·······
9
1.1.4 Eigensystem Realization Algorithm (ERA)
El objetivo del método es determinar un modelo matemático de un sistema dinámico
a partir de las medidas realizadas (Ljung(1995)). ERA toma la respuesta libre de una
estructura y construye un espacio de estados a partir del cual se identifican los
parámetros modales de la estructura. Como vimos en el apartado anterior, en lugar de
tomar la respuesta en vibración libre, podemos tomar la función de correlación
cruzada, por lo que normalmente se usan conjuntamente NExT y ERA,
denominándose al proceso NExT/ERA.
El comportamiento dinámico de un sistema se describe mediante la ecuación:
)()(·)(·)(· 2 tftxKtxCtxM =++ &&& (1.16)
Donde M es la matriz de masa, C2 la de amortiguamiento y K la matriz de rigidez, f
es el vector de fuerzas y x el vector de desplazamientos de la estructura.
En sistemas continuos (como las estructuras), está ecuación se suele discretizar
usando el MEF, obteniéndose un sistema con n gdl. Aunque (1.16) representa el
comportamiento dinámico de una estructura, no suele usarse directamente en los
métodos de identificación de sistemas, ya que dicha ecuación es continua en el
tiempo y las medidas se toman en instantes discretos. Además, no es posible medir
en todos los puntos tal y como indica esa ecuación.
La ecuación (1.16) se convierte en un modelo de espacio de estados, discreto en el
tiempo:
)(·)(·)( tFBtxAtx Cc +=& (1.17)
donde:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= −−− 1
211
0·.
0)()(
)(M
BCMKM
IA
tUtU
tx Cc& (1.18)
Donde Ac es la matriz de estados, Bc es la matriz de entradas y x(t) es el vector de
estados. El número de elementos de x(t) es el número de variables independientes
necesario para describir el estado de un sistema.
En la práctica no se miden todos los gdl, sino que los acelerómetros están situados en
l localizaciones determinadas, obteniéndose la ecuación de observación.
10
)(·)( tUCty a&&= (1.19)
donde y(t) son las aceleraciones medidas y Ca es la matriz de salida para las
aceleraciones. Definiendo:
( ) 12
11 ····· −−− =−−= MCDCMCKMCC aaa (1.20)
La ecuación (1.19) se puede escribir como:
)(·)(·)( tFDtxCty += (1.21)
Donde C y D se denominan respectivamente matrices de salida y transmisión.
Las ecuaciones (1.17) y (1.21) constituyen un modelo de estados determinista
continuo en el tiempo, puesto que las expresiones pueden ser evaluadas en cualquier
instante de tiempo y F(t) e y(t) pueden ser medidas exactamente.
Sin embargo, las expresiones sólo pueden ser evaluadas en instantes discretos k∆t,
siendo k un número natural, y ∆t el intervalo de muestreo. Tras considerar el
muestreo, el modelo de espacio de estados se transforma en:
kkk
kkk
FDxCyFBxAx
····1
+=+=+ (1.22)
Donde xk=x(k∆t) es el vector de estados discreto, A=exp(Ac∆t) es la matriz discreta
de estados, y B=(A -I)· Ac-1 es la matriz discreta de entradas.
Las medidas realizadas se usan para obtener la respuesta de la estructura a vibración
libre, es decir, las funciones de correlación cruzada, que son guardadas por bloques
en una matriz de Hankel, con 2i bloques de filas, cada uno de ellos con l columnas, y
j columnas (en una matriz de Hankel, cada antidiagonal está formada por la
repetición de los mismos elementos):
( )
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
−+−
+++
−++
−+−
−
22212
21
11
21
21
110
...............
...
...
...............
...
...
0
jiii
jiii
jiii
jiii
j
j
yyy
yyyyyyyyy
yyyyyy
H (1.23)
11
La matriz H(0) contiene las funciones de correlación cruzada y, por lo tanto, las
características dinámicas de la estructura, es decir, información acerca de los modos
de vibración, las frecuencias naturales y los amortiguamientos modales. Cuantas más
filas y columnas se añadan a la matriz H(0), el rango de la matriz crece hasta, en
teoría, alcanzar un límite asociado al número de modos que contribuyen a la
respuesta de al estructura.
El tamaño de la matriz H(0) está relacionado con el número de muestras, teniéndose
que decidir el tamaño apropiado de la matriz, que permita capturar las componentes
de alta frecuencia y, por otra parte, evitando que tenga un tamaño excesivamente
grande para que no tenga mucho ruido.
Se realiza una SVD de H(0):
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∑
∑=∑= T
p
Tn
p
npn
T
VV
UUVUH ·0
0···)0( (1.24)
Donde en la matriz Σ se encuentran los autovalores. Esta matriz se descompone en
dos matrices diagonales: Σn para los n valores singulares mayores, a partir de los
cuales se construye la matriz de estados A que caracteriza dinámicamente la
estructura, y una matriz Σp para los restantes p valores singulares. Los menores
valores singulares están asociados a ruido.
Las matrices discretas de estados y de salida se obtienen respectivamente como:
21
21
21
·
·)·1(··
nn
nnTnn
UC
VHUA
∑=
∑∑= −−
(1.25)
Las frecuencias naturales y los amortiguamientos modales de la estructura son
determinados a partir de las siguientes relaciones
( ) ( )( )( )nnn
n anglet
λζλ
ω lncos·ln
−=∆
= (1.26)
Donde λn son los vectores singulares de A y ∆t es la frecuencia de muestreo. Los
modos de vibración de la estructura se obtienen como
TC·=Φ (1.27)
Donde T es una matriz que contiene los vectores singulares de la matriz A.
12
El método NExT/ERA se usa comúnmente para la estimación de los parámetros
modales de muchas estructuras, siendo un método de identificación en el dominio
del tiempo robusto y fiable.
1.2 Métodos para la detección del daño
Hoy día existen multitud de técnicas usadas para la detección y localización del
daño. La complejidad de las mismas varía dependiendo del nivel al cual se realice la
identificación del daño (recuérdese que hay cuatro [2]).
De todas las técnicas existentes en la actualidad, en esta sección se analizarán
únicamente los más fáciles de implementar y los que den mejores resultados. Todos
estos métodos se probarán posteriormente con los datos obtenidos durante los
ensayos e incluso se tratarán de comparar con los modos proporcionados por un
modelo numérico de elementos finitos.
1.2.1 Variación de las frecuencias naturales
Este método es el más simple, y su alcance está limitado al nivel 1. Se basa en la idea
de que cuando se produce un daño en la estructura, la rigidez de alguno de los
elementos de ésta disminuye, variando consecuentemente los valores de las
frecuencias de resonancia de la misma.
Esta técnica se puede usar como fase previa de un estudio de salud estructural, y en
ella se comparan los valores de las frecuencias naturales del sistema bien con
respecto a un estado de referencia que conozcamos que no presenta daño, o bien con
respecto a los valores obtenidos mediante un modelo numérico, por ejemplo de
elementos finitos. En este caso, el modelo debe asemejarse mucho a la realidad, pues
en otro caso las frecuencias naturales serán distintas a pesar de que no haya daño. El
conocimiento de las variaciones de las frecuencias de resonancia rara vez sirven para
localizar el daño. Esto sólo será posible a muy altas frecuencias, pues en esos casos
los modos están asociados a respuestas locales.
1.2.2 Variación de los modos de vibración
La presencia de un daño puede además variar los modos de vibración de la
estructura. Hay multitud de artículos en los que se muestran la variación de algunos
modos (amplitud o forma) cuando aparece una grieta ([3]; [4]).
13
Asimismo, un daño puede incluso provocar la aparición de nuevos modos. En efecto,
el daño en la estructura puede eliminar algunas restricciones (uniones entre barras,
arriostramientos, etc) con lo que se permitan movimientos antes limitados.
Estos nuevos modos se reflejan en la función de densidad espectral como nuevos
picos. Asimismo, dicha gráfica presenta un ruido mayor con motivo de las
perturbaciones que introducen los fallos. Estos hechos se muestran en las gráficas
siguientes
Figura 1.2 Descomposición en valores singulares de la función de densidad
espectral de una estructura sin daño
Figura 1.3 Descomposición en valores singulares de la función de densidad
espectral de una estructura dañada. Se observa el mayor ruido y los nuevos picos.
14
Para comparar dos conjuntos de modos se usa el Modal Assurance Criterion (en
adelante MAC). El MAC cuantifica la desviación de la comparación gráfica de dos
métodos, mediante la expresión:
( ) ( )( )( )jB
TjBkA
TkA
jBT
kAjBkAMAC
,,,,
2,,
,, ·,
φφφφ
φφφφ = (1.28)
donde Φ denota modos normalizados mediante la matriz de masa.
Los valores del MAC varía entre 0 (modos no correlacionados, esto es ortogonales) y
1 (correlación perfecta entre los modos: un modo es múltiplo del otro). Generalmente
se acepta que cuando MAC≥0.9 ambos modos están correlacionados, y cuando
MAC≤0.1 los modos son ortogonales.
Este criterio es especialmente útil para comparar modos del estado dañado con el
original. Cuando modos análogos presentan un MAC<0.9 podemos estar ante un
estado con daño. Lógicamente, a priori no conocemos si existe un fallo en la
estructura. Lo que hacemos es comparar con los modos de una situación de
referencia o con los valores obtenidos numéricamente (MEF). West (1984) fue el
primero en emplear el MAC para la localización del daño en estructuras.
Yuen (1985) examinó el cambio en los modos de vibración y en sus derivadas
primeras, mediante los parámetros
ui
iu
di
id
i
ui
iu
di
id
i
ωφ
ωφ
φ
ωφ
ωφ
φ
′−
′=′
−=
*
*
(1.29)
Lo que el autor hizo fue simular estos parámetros para reducciones en la rigidez en
cada elemento estructural. Luego comparó los valores medidos con los teóricos,
pudiendo determinar la localización del fallo. Es obvio que este método presenta
fuertes limitaciones en grandes estructuras.
1.2.3 Variación de la curvatura de los modos
Una alternativa al uso de los modos es usar la derivada de éstos. Es posible
demostrar que los cambios en la curvatura de los modos pueden ser un buen
indicador de la presencia de daños en estructuras [7]. La curvatura de los modos
15
viene dada por la derivada segunda de los mismos. Para su determinación
emplearemos la expresión de las diferencias centradas:
2,1,,1
,
2h
iqiqiqiq
+− +−=″
φφφφ (1.30)
Es fácil demostrar que en el caso de que la estructura esté dañada, la curvatura de los
modos aumentará. Para ello, sólo hace falta pensar en una viga sometida a un
momento M(x). La curvatura en un punto de la línea media viene dada por la
expresión:
IExMxv
·)()( =′′ (1.31)
Donde E es el módulo de Young del material e I la inercia a flexión de la sección. Si
se produce un daño, el producto E·I disminuirá (puesto que lo hace la rigidez del
elemento), por lo que la curvatura aumentará.
Stubbs [8] presentó un método basado en la disminución de la energía modal de
deformación entre dos grados de libertad. Para una estructura con comportamiento
lineal y elástico, el autor define un índice de daño para el elemento p de la estructura
que viene dado por las expresiones que siguen:
∑
∑
∑
∑
=
=
=
= == m
i
uip
m
i
dip
m
i
dañoip
m
i
dañadoip
p
1
1
1
sin
1
µ
µ
µ
µβ (1.32)
donde i denota el modo y p el elemento. Los términos del sumatorio se calculan:
∫
∫ ∫
∫
∫ ∫
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ″
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ″+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ ″
=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ″
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ″+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ ″
=
L
id
b
a
L
id
id
dip
L
iu
b
a
L
iu
iu
uip
dxx
dxxdxx
dxx
dxxdxx
0
2
0
22
0
2
0
22
)(
)()(
)(
)()(
φ
φφµ
φ
φφµ
(1.33)
Φ” denota la derivada segunda de los modos, que podrán estar normalizados de
cualquier manera. Los valores de βp más altos corresponden a los elementos donde
16
probablemente esté localizado el daño. En esos elementos la variación fraccional en
la rigidez de flexión se determina como sigue:
∑
∑
=
=
−= m
i
dip
m
i
uip
p
g
g
1
1
1α (1.34)
donde
∫
∫
∫
∫
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ″
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ″
=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ″
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ″
=
L
id
b
a id
dip
L
iu
b
a iu
uip
dxx
dxxg
dxx
dxxg
0
2
2
0
2
2
)(
)(
)(
)(
φ
φ
φ
φ
(1.35)
Nótese que estas expresiones son válidas para una viga de Euler-Bernouilli sometida
a flexión. Por tanto, para barras sometidas a tracción o torsión habrá que determinar
unas expresiones alternativas válidas. Esto se tratará en una sección posterior del
presente trabajo.
Por último, diremos que existe un parámetro más sensible al daño que los propios
modos, y para cuya obtención no es preciso derivar [9].
iu
di
ui
id
i φωω
φφ −⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=∆
2* · (1.36)
1.2.4 Variación en las matrices de flexibilidad y rigidez
Puede demostrarse [10] que la matriz de flexibilidad (que es la inversa de la de
rigidez) puede aproximarse por:
∑=
≅n
i
Tii
i
F1
2·1 φφ
ω (1.37)
Donde Φi es el i-ésimo modo de vibración normalizado con la matriz de masa y ωi es
la i-ésima frecuencia natural.
En efecto, y dado que IT =Ωφφ ·· , entonces
17
MMMMKn
i
Tiii
T ········1
2 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=Ω= ∑
=
φφωφφ (1.38)
Por tanto, y dado que Ω=diag(ωi2), la matriz de flexibilidad se calcula mediante la
expresión 2.2.d.1. Para el estado dañado se determina mediante la misma expresión
pero tomando las frecuencias y modos de dicho estado:
∑=
≅n
i
dTi
did
i
dF1
2 ·1 φφω
(1.39)
La localización del daño se obtiene a partir de la columna de la matriz Fd-F con el
valor más alto en valor absoluto, la cual estará asociada al grado de libertad en el que
se produce el daño.
De manera análoga podemos actuar con la matriz de rigidez, pero determinando ésta
como sigue:
∑=
=n
i
TiiiK
1
2 ·· φφω
(1.40)
Y estando el daño localizado en la columna donde K-Kd sea máximo (o
equivalentemente Kd-K sea mínimo).
Nótese que, dado que para calcular F se divide por las frecuencias naturales al
cuadrado, sólo son necesarios unos pocos modos para determinar dicha matriz. Esta
es la principal ventaja de emplear la matriz de flexibilidad frente a la de rigidez. Si
empleáramos ésta última necesitaríamos un número de modos mucho mayor.
Vázquez Torres et al. [4] definieron para el caso en que el número de modos de
vibración conocidos (m) fueran menores que el número de grados de libertad (n, que
se corresponde con los puntos de medida), unas matrices de rigidez y flexibilidad
denominadas “crudas” (“raw stiffness matrix” y “raw flexibility matrix”). Éstas se
calculan mediante expresiones análogas a las anteriores:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]Tmxnmxm
nxm
nxnTmxnmxmnxmnxn
F
MMK
Φ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡Φ=
ΦΦ=
∗
∗
·1·
····
2
2
ω
ω (1.41)
18
Nótese que éstas matrices son similares a las matrices de rigidez y flexibilidad, pero
singulares. Es decir, no cumplen que [K*]-1=[F*].
Los autores, mediante estas expresiones y ciertas transformaciones, definieron otras
matrices: matriz de seudo-masa, matriz de rigidez corregida y matriz de flexibilidad
corregida ( que ahora ya son no singulares y cumplen que una es la inversa de la
otra). Con estas matrices se trató detectar el daño en vigas de hormigón simplemente
apoyadas, concluyendo finalmente que la que mejor identifica el daño es la matriz de
flexibilidad cruda. En este trabajo, por simplicidad, sólo analizaremos los métodos
en los que se emplea la matriz de flexibilidad y de rigidez crudas.
El inconveniente de estos métodos es que exigen el empleo de los modos
normalizados a la matriz de masa, y si empleamos OMA, no es posible obtener los
modos de vibración normalizados de esa manera. Por tanto, este método presenta
limitaciones para el análisis de grandes estructuras.
No obstante, existen algunos métodos que permiten la obtención de los modos
normalizados a la matriz de masa (a los que llamaremos escalados) a partir de modos
no escalados [11].
Llamemos ψi al modo i-ésimo no escalado, y nombrando φ=α·ψ, se tiene que
ψψαϕϕ ····· 2 MM TT =
Por definición de modos escalados
1·· =ϕϕ MT (1.42)
Entonces podemos obtener
ψψα
··1MT
= (1.43)
Esa ecuación puede obtenerse de manera aproximada mediante dos métodos. El
primero de ellos es el conocido como Método Simple, y está basado en que una
pequeña variación de la masa no causa variación apreciable de los modos, aunque sí
de las frecuencias naturales de vibración.
Dado que la ecuación de movimiento es
)()(·)(·)(· tftxKtxCtxM =++ &&& (1.44)
19
El problema clásico de autovalores en el caso de amortiguamiento proporcional o sin
amortiguamiento es:
0200 ··· Φ=Φ KM ω (1.45)
Si cambiamos la masa de modo que la matriz de masa se convierta en M+∆M, la
ecuación anterior se convierte en
( ) 1211 ··· Φ=Φ∆+ KMM ω (1.46)
Si asumimos que Φ0≈Φ1≈Φ y restamos las dos ecuaciones anteriores, obtenemos la
ecuación:
( ) 21
21
20 ···· ωωω Φ∆=−Φ MM (1.47)
Si premultiplicamos los dos miembros de la ecuación anterior por la transpuesta de la
matriz de modos, y teniendo en cuenta las ecuaciones φ=α·ψ y (1.47),
obtenemos
( )ψψω
ωωα
···21
21
20
MT ∆−
= (1.48)
Pudiendo ser ψ un modo obtenido antes o después de la variación de la masa, aunque
se obtienen mejores resultados con los modos anteriores a la variación de la masa.
El segundo método es el Método de Extrapolación. El valor exacto del factor de
escala se obtiene mediante la expresión
00
0··
1ψψ
αMT
= (1.49)
Si la existe una variación en la masa el factor de escala puede obtenerse de manera
exacta
( ) 11
1··
1ψψ
αMMT ∆+
= (1.50)
Si asumimos que los modos no varían al introducir la variación en la masa, entonces
la ecuación anterior se convierte en
0000
1····
1ψψψψ
αMM TT ∆+
= (1.51)
20
Sustituyendo la ecuación (1.50) en (1.51)
0020
1
··11
ψψα
αMT ∆+
= (1.52)
De esta última expresión es fácil concluir que, cuanto mayor sea el cambio en la
masa, menor será el nuevo factor de escala α1. El límite de (1.52) cuando el
incremento de masa tiende a cero es el propio factor de escala buscado:
20
0020
0 ··11 α
ψψα
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
∆+→∆ MTMlím (1.53)
Por tanto, si hacemos varios cambios en la masa βi·∆M, podemos obtener unas curva
como las que siguen
Figura 1.2 El método de extrapolación para obtener modos escalados a partir de
modos no escalados.
Y en el punto de corte con el eje de ordenadas obtenemos el valor del factor de
escala buscado. Es preciso tener en cuenta que en el caso en que la variación de la
masa no sea muy grande, es posible obtener α0 con sólo dos αi.
21
2. OBJETIVOS
Como ya se ha indicado, este proyecto pretende dar una visión general de los
métodos de detección del daño en estructuras usados en la actualidad.
Para alcanzar este objetivo, el proyecto se estructuró en varias etapas (ver figura 2.1).
La primera de ellas, consistía en adquirir unos conocimientos teóricos generales y
suficientes acerca de las técnicas empleadas, tanto en la identificación dinámica de
estructuras como en la identificación, localización y cuantificación del daño.
22
Desarrollarmétodos
Probarlosen el
Pórtico
Aplicación aestructuras reales
Construccióndel PórticoConocimientos
teóricos
Figuras 2.1 Esquema de las etapas en las que se estructuró el proyecto
La segunda etapa consistió en el diseño de una estructura sencilla sobre la que se
simularían los estados de daño. Para ello se creó un modelo de elementos finitos de
la misma con el fin de conocer como cabría esperar que se comportara la estructura
en las distintas configuraciones. En esta etapa también se construyó la estructura.
Durante la tercera etapa se realizaron todos los ensayos sobre el pórtico, para
posteriormente analizar todos los resultados. También en esta etapa se realizó el
programa que realizaría los cálculos.
La última etapa consistió en adaptar los métodos desarrollados a otras estructuras
reales, tales como el eje del Giraldillo y el Puente de la Barqueta.
23
24
3. DISEÑO Y JUSTIFICACIÓN DEL PÓRTICO
Para la comprobación de las técnicas anteriormente descritas, se decidió diseñar y
construir una estructura sencilla, que haría las funciones de banco de ensayos donde
simular diferentes estados de daño.
Para poder realizar numerosos ensayos sin que la estructura quedara inútil, se diseñó
ésta de modo que fuera desmontable. Así, los daños se simularían variando las
uniones entre barras (aflojando los tornillos) y/o eliminando alguna de éstas (las
barras de la cruz de San Andrés). Finalmente, y una vez probados los distintos
métodos en cada una de las configuraciones, se cambió el dintel de la estructura por
uno idéntico con una grieta, con el fin de probar las técnicas desarrolladas en una
situación más real.
3.1 Tipología del pórtico
Como ya se ha indicado, la idea era construir en el laboratorio una estructura sencilla
sobre la que realizar diversos ensayos, para lo cual debería ser desmontable. Las
dimensiones del pórtico y la disposición de las barras se muestran en las siguientes
figuras. La nomenclatura empleada en la figura 3.1 se usará de ahora en adelante para
ilustrar los comentarios.
PILAR Nº1
DINTEL
PILAR Nº2
1500
700
Figura 3.1 Croquis de la estructura (mm)
25
Figura 3.2 Estructura donde se realizaron los ensayos
Los pilares y el dintel son perfiles normalizados HEB-100, mientras que la cruz de
San Andrés está constituida por L-40.4.
Para facilitar el montaje, el dintel presenta dos placas soldadas en sus extremos.
Estas placas están taladradas, al igual que los pilares, para unir las barras mediante
tornillos.
3.2 Configuraciones propuestas
Como se indicó anteriormente, analizaremos varias situaciones en las que hay daño.
Dado que la estructura es desmontable, hay multitud de combinaciones posibles (de
daño no destructivo) que simular. Nosotros sólo trabajaremos con algunas.
• La estructura tal y como se diseñó, con la idea de obtener un estado de
referencia, con respecto al cual comparar todos los demás.
26
Figura 3.3 Estructura donde se realizaron los ensayos
• Liberando el empotramiento de uno de los pilares, manteniendo el resto de
la estructura intacta.
Figura 3.4 Detalle en el que se muestra el fallo en el empotramiento
27
• Eliminando una de las barras de la cruz de San Andrés, aflojando asimismo
los tornillos de unión entre el dintel y el pilar.
Figura 3.5 Tornillos aflojados
• Eliminando completamente la cruz, y aflojando los tornillos de unión entre
el dintel y los pilares, en ambos lados.
Figura 3.6 Sin la cruz de San Andrés y con los tornillos aflojados
28
• Cambiando el dintel por otro idéntico, sobre el que se realizó una grieta de
60 mm, a 58 cm de uno de sus extremos y manteniendo el resto de la
estructura intacta.
Figura 3.7 Detalle de la grieta
3.3 Modelo de elementos finitos
Una vez decidida una configuración y unas dimensiones para el pórtico, se hizo
necesario establecer un modelo de Elementos Finitos, con el fin de conocer a priori
como se comportaría la estructura en vibración libre. La idea es conocer de antemano
si al medir sobre las distintas configuraciones consideradas, se producirían
variaciones apreciables en los modos y las frecuencias naturales de vibración. Para
dicho modelo se utilizó el programa ANSYS.
Una vez obtenido el modelo numérico de la estructura, lo primero es conocer la
forma de los modos de vibración, para así colocar los acelerómetros en las posiciones
adecuadas y, si fuera posible, utilizar esos modos para comparar con los resultados
obtenidos experimentalmente. En la siguiente figura se muestra el modelo de
Elementos Finitos.
29
Figura 3.8 Modelo de elementos finitos de la estructura
El modelo utilizado trata de ajustarse lo más posible a la realidad. Para ello, incluso
se incluyeron elementos masa en los extremos de los pilares (elementos mass21 de
ANSYS) de valor 780 gramos3. Esas masas modelan las plaquitas que se soldaron
para poder atornillar los perfiles en L, y que pueden verse en la siguiente fotografía.
3 La placa tiene unas dimensiones de 100x100x10mm (10-4 m3) y la densidad del acero se tomó igual a 7800kg/m3.
Figura 3.9 Detalle del pórtico en el que pueden verse las plaquitas
30
Los modos relativos a la vibración de los arriostramientos no se estudiarán. Tampoco
los modos de vibración de flexión en el plano del pórtico, los de torsión o los axiles,
puesto que al tener una rigidez en esas direcciones mucho mayores que la rigidez a
flexión en el plano perpendicular al plano del pórtico, los desplazamientos en esas
direcciones se acoplarán con los desplazamientos perpendiculares al plano del
pórtico, haciéndose difícil la obtención de espectros “limpios”. Se hace necesario,
por tanto, identificar los modos de vibración principales, con el objeto de cuantificar
las variaciones en la respuesta al producirse el daño. A continuación se muestran una
serie de modos y, para cada uno, unas tablas con los valores de las frecuencias
naturales para todas las disposiciones analizadas.
Modo 1.-
Configuración Referencia Sin una
barra
Sin la
cruz
Sin apoyo
Frecuencia
(Hz.)
57.13 56.21 55.367 -
31
Modo 2.-
Configuración Referencia Sin una
barra
Sin la
cruz
Sin apoyo
Frecuencia
(Hz.)
99.618 96.694 96.581 72.766
Modo 3.-
32
Configuración Referencia Sin una
barra
Sin la
cruz
Sin apoyo
Frecuencia
(Hz.)
117.794 117.482 117.401 119.472
Modo 4.-
Configuración Referencia Sin una
barra
Sin la
cruz
Sin apoyo
Frecuencia
(Hz.)
159.566 - 165.226 144.43
Modo 5.-
33
Configuración Referencia Sin una
barra
Sin la
cruz
Sin apoyo
Frecuencia
(Hz.)
198.143 191.131 194.068 215.863
Modo 6.-
Configuración Referencia Sin una
barra
Sin la
cruz
Sin apoyo
Frecuencia 239.95 237.796 237.769 251.761
34
(Hz.)
Modo 7.-
Configuración Referencia Sin una
barra
Sin la
cruz
Sin apoyo
Frecuencia
(Hz.)
366.796 359.504 359.5 403.82
Modo 8.-
35
Configuración Referencia Sin una
barra
Sin la
cruz
Sin apoyo
Frecuencia
(Hz.)
419.53 406.082 - 427.042
Modo 9.-
Configuración Referencia Sin una
barra
Sin la
cruz
Sin apoyo
Frecuencia
(Hz.)
501.672 484.566 484.57 -
36
Modo 10.-
Configuración Referencia Sin una
barra
Sin la
cruz
Sin apoyo
Frecuencia
(Hz.)
514.534 509.564 509.676 541.065
Modo 11.-
Configuración Referencia Sin una Sin la Sin apoyo
37
barra cruz
Frecuencia
(Hz.)
526.109 511.691 516.838 -
Modo 12.-
Configuración Referencia Sin una
barra
Sin la
cruz
Sin apoyo
Frecuencia
(Hz.)
786.873 - 771.538 -
Al realizar la simulación modal de la estructura con algún daño, se observó que en
algunas configuraciones aparecían modos que no son propios de la estructura sin
daño. Estos modos se muestran a continuación
Sin la cruz.
38
El modo es una traslación en el plano del pórtico. Su frecuencia natural es 135.873
Hz.
Sin el apoyo.
Aparecen tres nuevos modos. El primero se presenta a una frecuencia de 3.585 Hz.
El segundo aparece a 13.456 Hz, y su forma se presenta en la figura siguiente:
39
El tercer nuevo modo se da a una frecuencia de resonancia de 31.929 Hz. Este modo
intenta “levantar” la estructura del suelo.
Cuando se realizaron los ensayos, lo primero que se observa es que los valores de las
frecuencias naturales no coincidían para configuraciones idénticas. Esto es lógico,
pues las uniones entre barras y a la bancada en ANSYS son ideales (desplazamientos
y giros nulos), pero eso no se cumple de manera exacta en la realidad. De este modo,
cabe esperar que al aplicar alguna de las técnicas descritas anteriormente a los modos
obtenidos numéricamente y experimentalmente, se detectara un daño en las uniones.
40
4. EXPERIMENTACIÓN
Durante esta etapa del proyecto se realizaron los ensayos para extraer las
características modales de la estructura, probando con ellas los distintos métodos
desarrollados en este trabajo.
4.1 Configuraciones propuestas
Se ensayaron todas las configuraciones propuestas y comentadas en la sección 3.1.a.
4.2 Realización de los ensayos
Para la realización de los ensayos, se hizo un análisis modal operacional sobre la
estructura. Para ello se hizo uso del programa comercial PULSE y de varios
acelerómetros Endevco 256 HX-100.
Para los modos de flexión, se realizaron medidas en la dirección perpendicular al
plano del pórtico
La colocación exacta de los acelerómetros se decidió con la idea de poder medir el
mayor número de modos de vibración con el menor número posible de
acelerómetros.
Dicha colocación se muestra en la figura siguiente, donde también se indica cuál es
el acelerómetro de referencia.
28,5
37,5
26 33 33 45 22
3730
REF
Figura 4.1 Posición de los acelerómetros (cm)
41
Como ya se ha indicado a lo largo de este trabajo, al realizar un OMA, no es
necesario conocer el valor de la excitación en cada instante. Por tanto, para realizar
dicho análisis, nos bastará con dar un golpe seco en la estructura.
Una vez hecho esto, ya podemos obtener las funciones de correlación cruzada, las
frecuencias naturales, los amortiguamientos y los modos de vibración, por lo que
estaríamos en disposición de realizar los cálculos necesarios para la detección de los
daños causados sobre la estructura.
4.3 Programas en PULSE
Para la adquisición de los datos de los ensayos, era necesario preparar unas
estaciones de trabajo en PULSE, en las que se introducía la geometría, los
acelerómetros y la posición de éstos.
Figura 4.2 Geometría generada en PULSE, posición de los acelerómetros y
dirección de la medida.
42
4.4 DIbEMA (Damage Identification by Experimental Modal Analysis)
Durante la realización de este proyecto, se realizó un programa en código MATLAB,
DIbEMA, que implementa los métodos comentados usando como datos los modos de
vibración de la estructura.
En particular, en el presente trabajo se han empleado los modos de vibración de las
diferentes estructuras después de realizar ensayos experimentales empleando un
analizador portátil tipo PULSE de Brüel & Kjaer y el programa para identificación
de modos ARTeMIS.
El programa realizado, desarrolla siete métodos de detección del daño,
consiguiéndose con algunos de ellos la localización exacta del mismo, y con otro
intuir la localización de la zona dañada. Los métodos implementados se muestran en
la figura siguiente, y se aclaran en apartados posteriores.
Figura 4.10 Métodos para la identificación y localización del daño
Es muy importante indicar que los modos que hay que comparar deben ser análogos.
Es decir, los modos que sólo aparezcan en una configuración deberán ser desechados
para la realización de cálculos, aunque su existencia sí sirva para la detección de la
presencia de un fallo en la estructura.
43
4.4.1 Cómo introducir los datos
Para introducir los datos se crea un fichero de datos en MATLAB para cada estado.
Dado que ARTeMIS proporciona los modos como un vector real y otro imaginario,
lo que se hace es crear una matriz con dos columnas, una para cada uno de los
mencionados vectores.
La estructura de cada una de esas columnas es sencilla. Es una sucesión de vectores
columnas para cada modo. La estructura de dicho subvector se repite para todos los
modos y se muestra en la figura 4.11.
Nº de modo
Frecuencia natural (Hz)
Amortiguamiento estructural
Desplazamiento del grado de libertad 1
.
.
.
Desplazamiento del grado de libertad n
Figura 4.11 Estructura de los ficheros de datos
4.4.2 Método de Niebdal
Como ya se ha indicado, PULSE proporciona modos complejos. Se hace por tanto
necesario convertir dichos modos en modos reales, utilizándose para ello el método
de Niebdal. Dicho método realiza la conversión mencionada mediante la expresión:
)())·(()·()( CCCC yimagyrealpinvyimagyrealy += (4. 1)
donde yC es el modo complejo proporcionado por ARTeMIS e y es el modo real que
hay que usar para realizar los cálculos.
Es conveniente indicar que ARTeMIS proporciona los modos normalizados de
manera tal que:
1· =yyT (4.2)
44
en el caso de que éstos se hayan extraído en ficheros de texto con la extensión *.uff.
Es decir, que no están normalizados a la matriz de masa, tal y como se precisaba en
varios métodos.
4.4.3 Método de cambios en las Frecuencias Naturales y en los Modos de Vibración
El programa realizado desarrolla dichos métodos. Como ya se ha indicado, el alcance
de estos métodos se limita a la detección de la presencia de un daño.
Para el primer método, lo que hace el programa es mostrar en una tabla los valores
de las frecuencias para los estados sin daño y dañado, así como las diferencias
absolutas y relativas.
El otro método muestra gráficamente los modos de vibración. Se representan en azul
los modos de la estructura sin dañar, y en rojo los modos de la estructura dañada.
En ocasiones, observando éstos puede notarse donde hay un fallo, pero generalmente
el alcance está limitado, al igual que el método anterior, al Nivel 1.
4.4.4 Consideraciones adicionales a los métodos de la Matriz de Rigidez y de la
Matriz de Flexibilidad
Como ya se indicó en la justificación teórica de ambos métodos, para poder obtener
dichas matrices, los modos de vibración deben estar normalizados a la matriz de
masa, es decir:
IT =Ωφφ ·· (4.3)
No obstante, la localización del daño puede realizarse sin necesidad de que los
modos estén normalizados de esa manera, siempre y cuando se introduzca el factor
de escala α0.
Por otro lado, [10] nos dice que una vez obtenida la matriz ∆F o ∆K, el grado de
libertad asociado al daño vendrá dado por la columna donde esté el máximo de dicha
matriz.
Durante la realización de este proyecto, se mejoró este método con el fin de ajustar
mejor la localización del daño. Lo que se hizo fue interpolar los modos, de manera
que pudiéramos obtener los modos en todo punto de la estructura, y con ellos los
valores de las matrices ∆F y ∆K.
45
El programa presenta esta posibilidad, pero también el obtener los resultados sólo
para los grados de libertad en los que se ha medido. Asimismo, dibuja una gráfica en
la que se ven dichos resultados para todos los puntos.
4.4.5 Método de Stubbs
El programa representa la estructura, mostrando en escala de colores sus elementos
según el valor del daño. Indica también la posición exacta del elemento dañado, así
como el valor de βp para todos los elementos.
El programa discretiza el intervalo entre βmínima y βmáxima en cinco subintervalos,
asignando para cada uno un color. Los elementos de la estructura se colorean según a
qué subintervalo pertenezca su valor de βp (de menor a mayor valor: celeste, azul,
amarillo, verde y rojo).
Para obtener los βp es necesario discretizar la estructura, dividiéndola en elementos,
para lo cual es necesario interpolar los modos de vibración. Es conveniente interpolar
antes de derivar, por dos razones:
• Al hacer la derivada segunda, estamos “eliminando” dos componentes del
vector, por lo que conoceríamos el valor de la función (en este caso Φ”) en
dos puntos menos de la estructura, siendo entonces la interpolación menos
exacta.
• Asimismo, si los dos puntos que se eliminan están muy lejos de los
siguientes, habrá dos tramos importantes de la estructura en los que la única
manera de obtener los βp es extrapolando los valores de Φ”, lo cual, como es
sabido, no es recomendable.
El programa realizado presenta la posibilidad de realizar la interpolación por dos
métodos: interpolación cúbica y por splines, siendo esta última más exacta.
4.4.6 Método de variación en la curvatura
Como ya se ha indicado, la curvatura de los modos de vibración aumenta conforme
disminuye la rigidez de la estructura, es decir, cuando aparece un daño. Tal y como
se ha hecho en todos los métodos desarrollados en el presente trabajo, la derivada
segunda que ha de hacerse para obtener a curvatura se determina empleando la
expresión de las diferencias centradas:
46
2,1,,1
,
2h
iqiqiqiq
+− +−=″
φφφφ (4.5)
Lo que hace el programa es interpolar los modos de manera que podamos obtener la
diferencia de curvaturas en todos los puntos de la estructura que sea objeto de
estudio.
Una vez hecho esto se determina la diferencia entre los estados con y sin daño. Dado
que la curvatura puede disminuir cambiando incluso su signo, lo que se decidió fue
hacer la diferencia de los valores absolutos de la curvatura, obteniéndose así buenos
resultados, como veremos posteriormente.
4.4.7 Método de MAC
Recuérdese que el MAC entre dos modos cualesquiera viene dado por la expresión:
( ) ( )( )( )jB
TjBkA
TkA
jBT
kAjBkAMAC
,,,,
2,,
,, ·,
φφφφ
φφφφ = (4.6)
El programa calcula el MAC para todos los modos considerados, representando una
matriz donde cada elemento (i,j) denota el MAC entre el modo del estado sin dañar i
y el modo del estado dañado j. Cuando modos análogos presenten un MAC<0.9 o
modos no análogos uno mayor que 0.1, puede que estemos ante la presencia de un
daño.
Por tanto, si no hay presencia de daño, la matriz deberá tener una diagonal llena de
unos (o valores próximos). Los elementos de fuera de la diagonal serán en ese caso
cercanos a cero (puesto que los modos de vibración son ortogonales), salvo en el
caso de modos oblicuos, que serán también próximos a uno.
Como se ha indicado anteriormente, PULSE proporciona modos complejos. Para
obtener MAC, no emplearemos los modos reales obtenidos mediante la fórmula de
Niebdal (que proporciona modos reales aproximados), sino que emplearemos los
modos complejos con parte real e imaginaria, por lo que la expresión (4.6) debe
adaptarse a la siguiente:
( ) ( )( )( )jCON
TkCONiSIN
TiSIN
jCONT
iSINjCONiSINMAC
,,,,
2,,
,, ·,
φφφφ
φφφφ = (4.7)
47
Donde Tφ denota el modo transpuesto conjugado.
En el caso en que no haya daño, los modos deberán ser idénticos, por lo que la matriz
de MAC tenderá a la identidad, y la representación que proporciona DIbEMA deberá
parecerse a la siguiente:
Modo sin daño
Mod
o da
ñado
Representación de la matriz MAC cuando no existe daño
1 2 3 4 5 6 71
2
3
4
5
6
7
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
Figura 4.11 Representación del MAC proporcionada por DIbEMA cuando no existe
daño.
Es decir, es una matriz banda, donde los elementos de la diagonal valen uno y los de
fuera de la diagonal valen cero.
48
5. RESULTADOS
Tras la realización de los ensayos, se obtuvieron con PULSE la descomposición en
valores singulares de la función de densidad espectral. Con el método de Enhanced
Peak Picking, se obtuvieron los modos de vibración. A continuación se muestran la
descomposición en valores singulares para todas las configuraciones ensayadas:
Figura 5.1 Descomposición en valores singulares de la función de densidad
espectral del estado de referencia.
Figura 5.2 Descomposición en valores singulares de la función de densidad
espectral quitando una de las barras de la cruz de San Andrés.
49
Figura 5.3 Descomposición en valores singulares de la función de densidad
espectral quitando completamente la cruz de San Andrés.
Figura 5.4 Descomposición en valores singulares de la función de densidad
espectral eliminando uno de los apoyos.
50
Figura 5.5 Descomposición en valores singulares de la función de densidad
espectral con la presencia de la grieta.
Puede notarse fácilmente la mayor regularidad del espectro para el estado de
referencia.
5.1 Modos elegidos
Como ya se indicó anteriormente, para el cálculo del daño, no podemos tomar todos
los modos, sino sólo los análogos En particular, se tomaron siete modos, suficiente a
priori para la detección de los daños provocados sobre el pórtico.
Los valores de las frecuencias de los modos tomados se muestran en la siguiente
tabla:
Referencia Sin una
barra
Sin la
cruz
Sin el
apoyo
Con la
grieta
Modo 1 (Hz) 39 27.8997 16.9175 8.3566 32.8337
Modo 2 (Hz) 56.01 42.7064 52.4989 17.1308 5031443
Modo 3 (Hz) 129.2543 108.4781 122.7766 122.7864 104.1378
Modo 4 (Hz) 171.9975 137.4087 139.3450 128.0235 123.4860
Modo 5 (Hz) 284.5839 244.0176 195.7259 276.4638 231.1050
Modo 6 (Hz) 322.8178 298.4904 237.9484 286.1779 324.1528
51
Modo 7 (Hz) 384.3203 344.8268 258.0480 383.5759 384.1469
Tabla 5.1 Frecuencias de resonancia de los modos tomados para cada una de las
configuraciones analizadas
Los modos de vibración se muestran en las siguientes figuras obtenidas con el
programa ARTeMIS.
Figura 5.6 Modo 1. f=39 Hz
Figura 5.7 Modo 2. f=56.01 Hz
52
Figura 5.8 Modo 3. f=129.25 Hz
Figura 5.9 Modo 4. f=171.9975 Hz
Figura 5.10 Modo 5. f=284.5839 Hz
53
Figura 5.11 Modo 6. f=322.8178 Hz
Figura 5.12 Modo 7. f=384.3203 Hz
A continuación mostramos los resultados obtenidos al comparar el estado tomado
como referencia con los estados en los que se provocó un daño, para cada uno de los
métodos considerados. Para ayudar a los comentarios, se nombró de cierta manera
las barras de la estructura
5.2 Cambios en las frecuencias naturales
5.2.1 Estado dañado: quitando una de las barras de la cruz de San Andrés
Mostramos en lo que sigue la variación de las frecuencias naturales al quitar una de
las barras de la cruz respecto al estado de referencia sin daño.
54
1 2 3 4 5 6 70
50
100
150
200
250
300
350
400Frecuencias naturales
Nº de modo de vibracion
Frec
uenc
ia(H
z)
Sin dañoCon daño
Figura 5.13 Variación de las frecuencias naturales.
Decremento de las frecuencias en Hz
Modo 1 Modo 2 Modo 3 Modo 4 Modo 5 Modo 6 Modo 7
11.1003 13.3036 20.7762 34.5888 40.5663 24.3274 39.4935
Decremento de las frecuencias en %
Modo 1 Modo 2 Modo 3 Modo 4 Modo 5 Modo 6 Modo 7
28.4624 23.7522 16.0739 20.1101 14.2546 7.5360 10.2762
Tabla 5.2 Decremento de las frecuencias naturales al producirse el daño.
5.2.2 Estado dañado: quitando completamente la cruz de San Andrés
Mostramos en lo que sigue la variación de las frecuencias naturales entre los dos
estados.
55
1 2 3 4 5 6 70
50
100
150
200
250
300
350
400Frecuencias naturales
Nº de modo de vibracion
Frec
uenc
ia(H
z)
Sin dañoCon daño
Figura 5.14 Variación de las frecuencias naturales.
Decremento de las frecuencias en Hz
Modo 1 Modo 2 Modo 3 Modo 4 Modo 5 Modo 6 Modo 7
22.0825 3.5111 6.4777 32.6525 88.8580 84.8694 126.2723
Decremento de las frecuencias en %
Modo 1 Modo 2 Modo 3 Modo 4 Modo 5 Modo 6 Modo 7
56.6217 6.2687 5.0116 18.9843 31.2238 26.2902 32.8560
Tabla 5.3 Decremento de las frecuencias naturales al producirse el daño
56
5.2.3 Estado dañado: eliminando uno de los empotramientos
1 2 3 4 5 6 70
50
100
150
200
250
300
350
400Frecuencias naturales
Nº de modo de vibracion
Frec
uenc
ia(H
z)
Sin dañoCon daño
Figura 5.15 Variación de las frecuencias naturales.
Decremento de las frecuencias en Hz
Modo 1 Modo 2 Modo 3 Modo 4 Modo 5 Modo 6 Modo 7
30.6434 38.8792 6.4679 43.9740 8.1201 36.6399 0.7444
Decremento de las frecuencias en %
Modo 1 Modo 2 Modo 3 Modo 4 Modo 5 Modo 6 Modo 7
78.5727 69.4147 5.0040 25.5667 2.8533 11.3500 0.1937
Tabla 5.4 Decremento de las frecuencias naturales al producirse el daño.
5.2.4 Estado dañado: dintel con una grieta
La grieta está a 58 cm de la unión pilar-dintel. Dicha distancia corresponde a un
punto situado entre los grado de libertad 5 y 6, pero más cercano a éste.
57
1 2 3 4 5 6 70
50
100
150
200
250
300
350
400Frecuencias naturales
Nº de modo de vibracion
Frec
uenc
ia(H
z)
Sin dañoCon daño
Figura 5.16 Variación de las frecuencias naturales.
Decremento de las frecuencias en Hz
Modo 1 Modo 2 Modo 3 Modo 4 Modo 5 Modo 6 Modo 7
6.1663 5.8657 25.1165 48.5115 53.4789 -1.3350 0.1734
Decremento de las frecuencias en %
Modo 1 Modo 2 Modo 3 Modo 4 Modo 5 Modo 6 Modo 7
15.8110 10.4726 19.4318 28.2048 18.7920 -0.4135 0.0451
Tabla 5.5 Decremento de las frecuencias naturales al producirse el daño.
5.3 Cambios en los modos de vibración
Se representan en azul los modos de la estructura sin dañar, y en rojo los modos de la
estructura dañada.
5.3.1 Estado dañado: quitando una de las barras de la cruz de San Andrés
Observando la tabla 5.2, cabe esperar que el primer modo sea el que más
información pueda proporcionar acerca del daño, pues la variación relativa es la más
alta. A continuación mostramos la comparativa de los modos analizados en los dos
estados. En algunos modos se ha señalado los grados de libertad que presentan
diferencias a partir de las cuales se pueda intuir la localización del daño.
58
Figura 5.17 Modo 1 en el estado de referencia y sin una de las barras de la cruz.
En rojo se muestra el estado dañado, y en azul el estado sin dañar. Mirando el
recuadro se intuye la presencia del daño. En este primer modo se nota por el cambio
de pendiente del modo de vibración en la zona cercana a la unión.
Figura 5.18 Modo 2 en el estado de referencia y sin una de las barras de la cruz.
59
Figura 5.19 Modo 3 en el estado de referencia y sin una de las barras de la cruz.
Figura 5.20 Modo 4 en el estado de referencia y sin una de las barras de la cruz.
60
Figura 5.21 Modo 5 en el estado de referencia y sin una de las barras de la cruz.
Figura 5.22 Modo 6 en el estado de referencia y sin una de las barras de la cruz.
61
Figura 5.23 Modo 7 en el estado de referencia y sin una de las barras de la cruz.
5.3.2 Estado dañado: quitando completamente la cruz de San Andrés
Mostramos ahora superpuestos los modos de vibración para ambos estados. En azul
se muestra la referencia, y en azul los modos para la estructura sin la cruz de San
Andrés.
Figura 5.24 Modo 1 para el estado de referencia y sin la cruz de San Andrés.
62
Figura 5.25 Modo 2 para el estado de referencia y sin la cruz de San Andrés.
Figura 5.26 Modo 3 para el estado de referencia y sin la cruz de San Andrés.
63
Figura 5.27 Modo 4 para el estado de referencia y sin la cruz de San Andrés.
Figura 5.28 Modo 5 para el estado de referencia y sin la cruz de San Andrés.
64
Figura 5.29 Modo 6 para el estado de referencia y sin la cruz de San Andrés.
Figura 5.30 Modo 7 para el estado de referencia y sin la cruz de San Andrés.
En este caso es complicado intuir la posición del daño a partir de los modos de
vibración. De hecho, únicamente puede suponerse un daño si se observa el modo 2
(fig. 5.18ero en este caso, sólo parece que haya fallo en uno de los extremos del
dintel.
65
5.3.3 Estado dañado: eliminando uno de los empotramientos
Al existir un daño importante en la estructura en un único punto muy localizado (el
empotramiento a la bancada), cabe esperar que pueda ser fácilmente localizable el
daño analizando la forma de los modo de vibración.
Figura 5.31 Modo 1 para el estado de referencia y sin el empotramiento.
En este primer modo es muy fácilmente detectable el fallo. Los modos presentan una
forma muy parecida salvo por la deformada del grado de libertad 11, lo que denota
una diferencia de rigidez local entre ambos estados.
Figura 5.32 Modo 2 para el estado de referencia y sin el empotramiento.
66
Figura 5.33 Modo 3 para el estado de referencia y sin el empotramiento.
Figura 5.34 Modo 4 para el estado de referencia y sin el empotramiento.
67
Figura 5.35 Modo 5 para el estado de referencia y sin el empotramiento.
Figura 5.36 Modo 6 para el estado de referencia y sin el empotramiento.
68
Figura 5.37 Modo 7 para el estado de referencia y sin el empotramiento.
En algunas de las figuras anteriores se ha marcado la zona cercana al empotramiento
donde se simuló el daño. En realidad, si se observa atentamente para todos los modos
en el entorno de esa región, puede observarse la diferencia entre el estado de
referencia y el dañado.
5.3.4 Estado dañado: dintel con una grieta
Figura 5.38 Modo 1 para el estado de referencia y con la grieta.
69
Figura 5.39 Modo 2 para el estado de referencia y con la grieta.
El tramo entre los grados de libertad 5 y 6 pasa en este modo de ser una línea recta
en el estado sin dañar, a tender a convertirse en una curva en el estado dañado.
Figura 5.40 Modo 3 para el estado de referencia y con la grieta.
En la figura siguiente se nota mejor donde está la diferencia entre los modos, lo cual
hace notar la posible posición del daño.
70
Figura 5.40b Modo 3 para el estado de referencia y con la grieta.
Es de nuevo el grado de libertad 6 el que difiere del modo de referencia.
Figura 5.41 Modo 4 para el estado de referencia y con la grieta.
71
Figura 5.42 Modo 5 para el estado de referencia y con la grieta.
Figura 5.43 Modo 6 para el estado de referencia y con la grieta.
72
Figura 5.44 Modo 7 para el estado de referencia y con la grieta.
Para los dos estados comparados, se puede concluir fácilmente que el daño está
asociado al grado de libertad número 6, por lo que el fallo debe estar en una zona
próxima a él.
5.4 Cambios en la Matriz de Flexibilidad
Como ya se ha indicado, se ha obtenido la variación en la matriz de flexibilidad de
dos maneras: sólo para los grados de libertad medidos con los acelerómetros, e
interpolando (mediante Splines). En este último caso, la discretización realizada es
de 100 elementos en cada barra.
Los grados de libertad donde estaban colocados los acelerómetros están numerados
como se muestra en la siguiente figura:
73
Figura 5.45 Numeración de los grados de libertad en los que hay un acelerómetro.
No obstante, al haber realizado un OMA, cabe esperar que los resultados no sean
satisfactorios, puesto que los modos no están escalados.
5.4.1 Estado dañado: quitando una de las barras de la cruz de San Andrés
0 2 4 6 8 10 12 140
1
2
3
4
5
6
7
8x 10
-6Decremento de la matriz de flexibilidad, en cada grado de libertad
Coordenada de la línea media
Var
iaci
ón d
e la
F
Figura 5.46 Decremento de la matriz de flexibilidad.
74
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
1
2
3
4
5
6
7
8x 10-6 Valores maximos de la variación de la flexibilidad
Coordenada de la línea media
Var
iaci
on d
e la
F
Figura 5.47 Decremento de la matriz de flexibilidad en todos los puntos de la
estructura.
El daño está localizado en la coordenada 0.7 m del pilar, justo en la unión con el
dintel. No obstante, se observa otro máximo local en la zona correspondiente a la
unión del dintel con el pilar dañado.
5.4.2 Estado dañado: quitando completamente la cruz de San Andrés
Observando los resultados del método de la matriz de flexibilidad aplicado a estas
dos configuraciones, se concluye que el daño está presente la unión donde en el caso
anterior se quitó la diagonal.
75
0 2 4 6 8 10 12 140
0.5
1
1.5
2
2.5x 10
-5Decremento de la matriz de flexibilidad, en cada grado de libertad
Coordenada de la línea media
Var
iaci
ón d
e la
F
Figura 5.48 Decremento de la matriz de flexibilidad.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.5
1
1.5
2
2.5x 10-5 Valores maximos de la variación de la flexibilidad
Coordenada de la línea media
Var
iaci
on d
e la
F
Figura 5.49 Decremento de la matriz de flexibilidad en todos los puntos de la
estructura.
Según este método el fallo está localizado en la unión del pilar nº2 con el dintel,
aunque puede notarse otro máximo local en la zona señalada, correspondiente a la
unión del otro pilar con el dintel.
76
5.4.3 Estado dañado: eliminando uno de los empotramientos
En estas configuraciones, cabe esperar que el método proporcione resultados
satisfactorios, pues el daño es muy local.
0 2 4 6 8 10 12 140
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2x 10
-4Decremento de la matriz de flexibilidad, en cada grado de libertad
Coordenada de la línea media
Var
iaci
ón d
e la
F
Figura 5.50 Decremento de la matriz de flexibilidad.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2x 10-4 Valores maximos de la variación de la flexibilidad
Coordenada de la línea media
Var
iaci
on d
e la
F
Figura 5.51 Decremento de la matriz de flexibilidad en todos los puntos de la
estructura.
77
El máximo de la variación de la matriz de flexibilidad se encuentra, según la gráfica
anterior, únicamente a 3.5cm del empotramiento.
5.4.4 Estado dañado: dintel con una grieta
En primer lugar mostramos los resultados considerando únicamente los grados de
libertad asociados a los puntos donde estaban los acelerómetros.
0 2 4 6 8 10 12 140
1
2
3
4
5
6x 10-6Decremento de la matriz de flexibilidad, en cada grado de libertad
Coordenada de la línea media
Var
iaci
ón d
e la
F
Figura 5.52 Decremento de la matriz de flexibilidad.
Tal y como era de esperar, la mayor diferencia en la matriz de flexibilidad se
presenta para el sexto grado de libertad.
Si interpolamos para todos los puntos de la estructura, puede obtenerse con más
exactitud la localización de la grieta.
78
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
1
2
3
4
5
6x 10-6 Valores maximos de la variación de la flexibilidad
Coordenada de la línea media
Var
iaci
on d
e la
F
Figura 5.53 Decremento de la matriz de flexibilidad en todos los puntos de la
estructura.
La localización del daño obtenida es a 0.5724 metros de la unión pilar-dintel, lo cual
significa un error respecto del valor real del 1.31%.
A la vista de todos estos resultados podemos extraer ciertas conclusiones. Si se
observan las gráficas anteriores, vemos que, a pesar de que los modos de vibración
no estuvieran normalizados a la matriz de masa, en algunas configuraciones se
obtienen resultados satisfactorios. Esto se debe a que los valores de las frecuencias
naturales de los modos posteriores al segundo son, en esos casos, mucho mayores
que la primera, por lo que los términos asociados del sumatorio:
∑=
≅n
i
Tii
i
F1
2·1 φφ
ω (5.1)
asociados a dichas frecuencias son despreciables respecto al primero. Se obtiene por
tanto una matriz cuyo valor es aproximado a la matriz de flexibilidad (la que se
obtendría si los modos de vibración estuvieran escalados y sólo empleáramos uno
para la obtención de la mencionada matriz) multiplicada por un cierto escalar.
79
5.5 Cambios en la Matriz de Rigidez
Esta técnica presenta un inconveniente ya conocido. La matriz de rigidez se obtiene
mediante un sumatorio en el que cada término está multiplicado por una frecuencia.
Por tanto, para obtener una buena aproximación son necesario muchos modos con
altas frecuencias. Y al utilizarse más de un modo es necesario que éstos estén
escalados. Al haber tomado únicamente siete modos de vibración y no estar éstos
normalizados a la matriz de masa, cabe esperar que los resultados sean menos
satisfactorios que en el caso en que se analizaban las variaciones en la matriz de
flexibilidad.
5.5.1 Estado dañado: quitando una de las barras de la cruz de San Andrés
Igual que en la aplicación del método anterior, se ha estudiado la variación de la
matriz de rigidez cruda interpolando para todos los puntos del dominio y sin
interpolar.
Analizando sólo los grados de libertad en los que había acelerómetros, puede notarse
que la variación máxima está asociada al grado de libertad nº 10, (ver figura 5.38)
0 2 4 6 8 10 12 140
5
10
15x 10
5 Decremento de la matriz de rigidez, en cada grado de libertad
Coordenada de la línea media
Var
iaci
ón d
e la
K
Figura 5.54 Decremento de la matriz de rigidez.
80
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
1
2
3
4
5
6
7x 106 Valores maximos de la variación de la rigidez
Coordenada de la linea media
Var
iaci
on d
e la
K
Figura 5.55 Decremento de la matriz de rigidez en todos los puntos de la
estructura.
La posición exacta del daño, según este método está en el pilar donde realmente se
produjo el daño, a 13.7 cm de la unión con el pilar. Al no ser exacto el resultado
proporcionado por el método de la matriz de flexibilidad, cabía esperar que tampoco
lo proporcionara éste, pues como es sabido, para estimar la matriz de flexibilidad son
necesarios modos con frecuencia mayor.
5.5.2 Estado dañado: quitando completamente la cruz de San Andrés
Tampoco este método presenta resultados satisfactorios para estas dos
configuraciones.
81
0 2 4 6 8 10 12 140
0.5
1
1.5
2
2.5x 10
6 Decremento de la matriz de rigidez, en cada grado de libertad
Coordenada de la línea media
Var
iaci
ón d
e la
K
Figura 5.56 Decremento de la matriz de rigidez.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.5
1
1.5
2
2.5
3x 10
6 Valores maximos de la variación de la rigidez
Coordenada de la linea media
Var
iaci
on d
e la
K
Figura 5.57 Decremento de la matriz de rigidez en todos los puntos de la
estructura
82
5.5.3 Estado dañado: eliminando uno de los empotramientos
0 2 4 6 8 10 12 140
2
4
6
8
10
12x 10
5 Decremento de la matriz de rigidez, en cada grado de libertad
Coordenada de la línea media
Var
iaci
ón d
e la
K
Figura 5.58 Decremento de la matriz de rigidez.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
2
4
6
8
10
12
14x 10
5 Valores maximos de la variación de la rigidez
Coordenada de la linea media
Var
iaci
on d
e la
K
Figura 5.59 Decremento de la matriz de rigidez en todos los puntos de la
estructura.
El máximo se da en la zona cercana al empotramiento, a 30 cm.
83
5.5.4 Estado dañado: dintel con una grieta
Considerando sólo los grados de libertad asociados a los acelerómetros, se obtiene
que son los grados de libertad 5 y 6 los más afectados por la grieta, por lo que ésta
deberá estar entre ambos puntos.
0 2 4 6 8 10 12 140
0.5
1
1.5
2
2.5x 106 Decremento de la matriz de rigidez, en cada grado de libertad
Coordenada de la línea media
Var
iaci
ón d
e la
K
Figura 5.60 Decremento de la matriz de rigidez.
Si interpolamos para todos los puntos de la estructura, se obtienen dos máximos, en
x=0.5883 y x=1.1925, estando el máximo absoluto en el primero de los puntos
mencionados, lo cual implica un error del 1.43%. Esto se muestra en la figura siguiente.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.5
1
1.5
2
2.5
3x 10
6 Valores maximos de la variación de la rigidez
Coordenada de la linea media
Var
iaci
on d
e la
K
Figura 5.61 Decremento de la matriz de rigidez en todos los puntos de la estructura.
84
5.6 Método de Stubbs
Para la aplicación de este método se discretizó cada barra de la estructura en 100
elementos, utilizando una interpolación por splines.
5.6.1 Estado dañado: quitando una de las barras de la cruz de San Andrés
En la figura 5.66 se muestra la posición del elemento dañado, mientras que los
valores de βp para cada elemento de la estructura se muestra en la figura 5.67,
observándose que el valor máximo se presenta en la unión del dintel con el pilar (a
1.59 metros de la otra unión), tal y como ocurría en la realidad.
00.5
11.5
-0.20
0.20.4
0.60.8
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Posición del elemento dañado en la estructura
Figura 5.62 Posición del elemento dañado en la estructura
En la figura anterior puede notarse una escala de colores. Ésta varía según los valores
de βp. Se subdivide el intervalo entre los valores mínimo y máximo de dicho
parámetros en 5 subintervalos. Dependiendo de a cuál de ellos pertenezca βp, se le
asigna un color al elemento: celeste-azul-amarillo-verde-rojo.
85
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0.99
0.995
1
1.005
1.01
1.015
1.02
1.025
1.03Valores de BETA
Coordenada de la linea media (m)
BE
TA
barra 1barra 2barra 3
Figura 5.63 Valores de βp en la estructura.
5.6.2 Estado dañado: quitando completamente la cruz de San Andrés
El resultado al aplicar este método es más satisfactorio, pues la evolución de βp en la
estructura presenta picos en los dos extremos de los dos pilares, como era de esperar,
pues se ha disminuido la rigidez en esos puntos al eliminar la cruz y con ello
aumenta la energía de deformación absorbida por el elemento y, por tanto, el
parámetro βp.
00.5
11.5
-0.20
0.20.4
0.60.8
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
86
Figura 5.64 Posición del elemento dañado en la estructura
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0.995
1
1.005
1.01
1.015
Valores de BETA
Coordenada de la linea media (m)
BE
TA
barra 1barra 2barra 3
Figura 5.65 Valores de βp en la estructura.
Vemos que, según este método, el daño está localizado en el mismo lugar que en la
configuración analizada anteriormente. Es decir, a pesar de haber quitado las dos
barras que conformaban la cruz de San Andrés, sólo se localiza el daño en uno de los
extremos del dintel.
Si ahora comparáramos el caso en que se ha quitado una única barra de la cruz con el
caso en que quitáramos la cruz completamente se localiza el fallo en la unión del
pilar nº1 con el dintel, tal y como cabría esperar.
87
00.5
11.5
-0.20
0.20.4
0.60.8
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Posición del elemento dañado en la estructura
Figura 5.66 Posición del elemento dañado en la estructura
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.99
0.995
1
1.005
1.01
1.015
Valores de BETA
Coordenada de la linea media (m)
BE
TA
barra 1barra 2barra 3
Figura 5.67 Valores de βp en la estructura.
5.6.3 Estado dañado: eliminando uno de los empotramientos
Al aplicar este método, el elemento con mayor índice de daño se encuentra en la
unión del dintel con el pilar no empotrado.
88
00.5
11.5
-0.20
0.20.4
0.60.8
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Posición del elemento dañado en la estructura
Figura 5.68 Posición del elemento dañado en la estructura.
No obstante, si se observa en la zona del empotramiento, también es de color rojo. Es
decir, también presenta un β muy alto, tal y como se muestra en la figura siguiente.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.996
0.997
0.998
0.999
1
1.001
1.002
1.003
1.004
Valores de BETA
Coordenada de la linea media (m)
BE
TA
barra 1barra 2barra 3
Figura 5.69 Valores de βp en la estructura.
Puede notarse los dos picos en los puntos mencionados. La diferencia es ínfima
(0.01%), lo cual puede deberse a problemas derivados del cálculo numérico
89
(smearing, etc) o incluso al ruido que presentaba la señal, ya que al estar liberado el
apoyo, la estructura presentaba movimientos de sólido rígido.
5.6.4 Estado dañado: dintel con una grieta
00.5
11.5
-0.20
0.20.4
0.60.8
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Posición del elemento dañado en la estructura
Figura 5.70 Posición del elemento dañado en la estructura.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0.99
0.995
1
1.005
1.01
1.015
1.02
Valores de BETA
Coordenada de la linea media (m)
BE
TA
barra 1barra 2barra 3
Figura 5.71 Valores de βp en la estructura.
90
La grieta está localizada a 0.5844 m de la unión entre el pilar y el dintel. Esto implica un
error del 0.76%. Este error tan pequeño puede deberse incluso a que la posición exacta de
los acelerómetros no coincide con las distancias medidas sobre la estructura.
5.7 Variación en la curvatura
5.7.1 Estado dañado: quitando una de las barras de la cruz de San Andrés
A continuación se muestra en una tabla, para cada modo, la variación máxima de la
curvatura, así como la localización del punto donde se da dicha variación máxima.
Para la obtención de la curvatura en todos los puntos de la estructura, se discretizó
cada barra de la estructura en 100 elementos.
Modo Variación de la
curvatura
Barra Coordenada (m)
1 2.0675 Dintel 1.5264
2 1.2265 Dintel 1.5264
3 23.8133 Dintel 1.5264
4 10.9512 Pilar
nº2
0.0420
5 157.84 Pilar
nº2
0.0420
6 58.2986 Dintel 1.5423
7 31.6215 Pilar
nº1
0
Tabla 5.6 Variación de la curvatura entre los estados sin dañar y eliminando una de las
barras de la cruz.
En el croquis siguiente se muestra la configuración del ensayo y la nomenclatura
utilizada:
91
PILAR Nº1
DINTEL
PILAR Nº2
Figura 5.72 Nomenclatura para las barras de la estructura.
De la tabla anterior se pueden extraer ciertas conclusiones. La primera que salta a la
vista, es que es posible localizar el daño, pero sólo si se analizan un cierto número de
modos. Como puede observarse en la tabla 5.3, para algunos modos se localiza el
daño en otros lugares distintos a la localización exacta del mismo, y si sólo se
escogieran esos modos el método proporcionaría resultados erróneos. No obstante, la
mayoría de los modos presentan una variación máxima de la curvatura en torno a
1.53 metros de distancia del pilar nº 1. La posición real del daño es a 1.59m, con lo
que se comete un error del 4%, lo cual es más que aceptable.
5.7.2 Estado dañado: quitando completamente la cruz de San Andrés
Los resultados obtenidos quitando las dos barras se muestran en la tabla 5.7:
Modo Variación de la
curvatura
Barra Coordenada (m)
1 7.0488 Pilar nº2 0.0420
2 39.4243 Pilar nº2 0.0420
3 17.6992 Dintel 1.5423
4 23.1122 Pilar nº2 0.0420
5 49.3577 Pilar nº2 0.0420
6 34.4601 Pilar nº 0.6930
92
1
7 58.5831 Pilar nº1 0
Tabla 5.7 Variación de la curvatura entre los estados sin dañar y eliminando por
completo la cruz de San Andrés.
A la vista de la tabla anterior, puede pensarse que con este método no es posible la
localización del fallo. No obstante, si se analiza en profundidad la variación de la
curvatura en todos los puntos, se observa que los modos 1,2,4 y 6 presentan otro
máximo local en el pilar nº 2, a 0.6930 metros del empotramiento. Es decir, en la
zona próxima a la posición real del fallo. Nuevamente ocurre lo mismo que con el
método de Stubbs: a pesar de haber daño en dos posiciones, sólo se localiza en una.
Podemos también comparar la variación de la curvatura entre los casos en que se
quito sólo una de las barras y el que se quitó la barra por completo.
Modo Variación de la
curvatura
Barra Coordenada (m)
1 7.8121 Pilar nº2 0.0420
2 41.6343 Pilar nº2 0.0420
3 16.2116 Dintel 1.5423
4 12.5950 Dintel 1.5423
5 12.1404 Pilar nº1 0.6930
6 30.9551 Pilar nº
1
0.6930
7 28.9820 Pilar nº1 0.6860
Tabla 5.8 Variación de la curvatura entre los estados sin una barra de la cruz y
eliminando por completo la cruz de San Andrés.
5.7.3 Estado dañado: eliminando uno de los empotramientos
Los resultados obtenidos eliminando el empotramiento a la bancada del pilar nº 2 se
muestra a continuación:
Modo Variación de la
curvatura
Barra Coordenada (m)
93
1 170.1699 Pilar
nº2
0.0420
2 34.2758 Pilar
nº2
0.0420
3 15.7454 Dintel 1.5423
4 40.9480 Pilar
nº2
0.0420
5 7.5954 Pilar
nº1
0.6930
6 17.0051 Pilar
nº1
0
7 9.6306 Pilar
nº1
0
Tabla 5.8 Variación de la curvatura entre el estado sin daño y al eliminar el
empotramiento.
Puede observarse que no se consigue localizar el daño con todos los modos. Sin
embargo, hay tres variaciones de la curvatura mucho mayores que el resto (modos
1,2 y 4) que implican un daño a sólo 4 cm del empotramiento. Por tanto, si
analizamos el conjunto completo de modos podemos determinar con un pequeño
error la localización exacta del daño.
5.7.4 Estado dañado: dintel con una grieta
Los resultados obtenidos cuando el daño presente en la estructura es la grieta, se
muestran a continuación:
Modo Variación de la
curvatura
Barra Coordenada (m)
1 170.1699 Dinte
l
0.5406
2 34.2758 Dinte 0.5406
94
l
3 15.7454 Dinte
l
0.5406
4 40.9480 Dinte
l
0.6930
5 7.5954 Dinte
l
0.6930
6 17.0051 Dinte
l
0.5406
7 9.6306 Dinte
l
0.5406
Tabla 5.10 Variación de la curvatura entre el estado sin daño y al eliminar el
empotramiento.
Se comprueba que se obtienen resultados muy satisfactorios para todos los modos,
salvo para los modos 4 y 5. No obstante, para el primer modo, la variación es un
orden de magnitud mayor, por lo que podríamos aceptar el resultado de ese modo
como el correcto, con lo que se incurriría en un error relativo del 6%.
5.8 MAC
El programa calcula el MAC para todos los modos considerados, representando una
matriz donde cada elemento (i,j) denota el MAC entre el modo i y el j.
En las figuras 5.73 a 5.76 se observa la representación del MAC. Puede verse que los
elementos de la diagonal (en rojo) ya no valen 1, mientras que los de fuera de la
diagonal toman valores distintos de cero.
Estos dos hechos implican que los modos analizados no son los mismos. Es decir,
existe fallo en la estructura.
5.8.1 Estado dañado: quitando una de las barras de la cruz de San Andrés
95
Representación de la matriz MAC
Modo sin daño
Mod
o da
ñado
1 2 3 4 5 6 71
2
3
4
5
6
7
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
Figura 5.73 Representación del MAC entre el estado de referencia y el caso
en que se quita una de las barras de la cruz de San Andrés.
5.8.2 Estado dañado: quitando completamente la cruz de San Andrés
Representación de la matriz MAC
Modo sin daño
Mod
o da
ñado
1 2 3 4 5 6 71
2
3
4
5
6
7
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
96
Figura 5.74 Representación del MAC entre el estado de referencia y el caso
en que se quita completamente la cruz de San Andrés.
5.8.3 Estado dañado: eliminando uno de los empotramientos
Representación de la matriz MAC
Modo sin daño
Mod
o da
ñado
1 2 3 4 5 6 71
2
3
4
5
6
7
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
Figura 5.75 Representación del MAC entre el estado de referencia y el caso
en que se elimina uno de los empotramientos.
5.8.4 Estado dañado: dintel con una grieta.
Modo sin daño
Mod
o da
ñado
Representación de la matriz MAC
1 2 3 4 5 6 71
2
3
4
5
6
7
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
97
Figura 5.76 Representación del MAC entre el estado de referencia y el caso
en que hay una grieta.
98
6. COMPARACIÓN CON EL MEF
Como ya se ha indicado a lo largo del presente trabajo, en ocasiones no es posible
utilizar como referencia las medidas dinámicas sobre un estado que se conozca que
no presenta daño alguno. En estos casos es necesario recurrir a modelos de
elementos finitos.
En esta sección se pretende comprobar que es posible usar como modos de referencia
los obtenidos numéricamente.
Dado que el modelo es muy aproximado, sólo se han obtenido cinco modos de
vibración análogos a los que existen realmente en la estructura. Estos modos se
muestran en la siguiente tabla:
Referencia Sin una
barra
Sin la
cruz
Sin el
apoyo
Con la
grieta
Modo 1 (Hz) 39 27.8997 16.9175 8.3566 32.8337
Modo 2 (Hz) 56.01 42.7064 52.4989 17.1308 5031443
Modo 3 (Hz) 129.2543 108.4781 122.7766 122.7864 104.1378
Modo 5 (Hz) 284.5839 244.0176 195.7259 276.4638 231.1050
Modo 6 (Hz) 322.8178 298.4904 237.9484 286.1779 324.1528
Tabla 6.1 Frecuencias de resonancia de los modos tomados para cada una de las
configuraciones analizadas para comparar con los resultados proporcionados por el
modelo de elementos finitos
Esos modos se corresponden con los obtenidos mediante el MEF nombrados como
modo 1, 2, 4, 6 y 7.
En esta sección, para analizar todos los estados considerados, sólo se han empleado
el método de Stubbs y de variación de la curvatura.
Dado que el modelo no es exacto, al comparar los resultados obtenidos mediante el
MEF con la referencia obtenida experimentalmente cabe esperar que se localicen
daños locales en ciertos puntos de la estructura, tales como los empotramientos y las
uniones entre barras.
99
El modelo aproximado es ideal, por lo que la rigidez de la estructura es mayor que en
la realidad. Así, las frecuencias naturales obtenidas numéricamente serán mayores
que las determinadas experimentalmente.
Decremento de las frecuencias en Hz
Modo 1 Modo 2 Modo 3 Modo 4 Modo 5
17.4870 43.3290 29.2157 -47.544 34.1622
Decremento de las frecuencias en %
Modo 1 Modo 2 Modo 3 Modo 4 Modo 5
30.9576 43.6173 18.4361 -20.057 9.5698
Tabla 6.2 Decremento de las frecuencias naturales respecto al modelo ideal.
6.1 Método de Stubbs
Se ha discretizado cada una de las barras en 100 elementos. Los resultados obtenidos
se muestran a continuación.
6.1.1 Comparación de los resultados del MEF con la referencia obtenida
experimentalmente
00.5
11.5
-0.20
0.20.4
0.60.8
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Posición del elemento dañado en la estructura
Figura 6.1 Posición del elemento dañado en la estructura
100
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0.994
0.996
0.998
1
1.002
1.004
1.006
1.008
1.01
Valores de BETA
Coordenada de la linea media (m)
BE
TA
barra 1barra 2barra 3
Figura 6.2 Valores de βp en la estructura.
En esta última gráfica se puede observar que existen máximos locales del indicador
del daño βp en las uniones entre barras y en los empotramientos, tal y como
esperábamos.
6.1.2 Comparación de los resultados del MEF con la estructura real al quitar una de
las barras de la cruz de San Andrés.
00.5
11.5
-0.20
0.20.4
0.60.8
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Posición del elemento dañado en la estructura
Figura 6.3 Posición del elemento dañado en la estructura
101
Si se observa la figura 6.3, se comprueba que se localiza correctamente el daño. La
diferencia se encuentra al analizar los valores de βp, pues se comprueba que aparecen
máximos locales en las uniones entre las barras. Es decir, donde el modelo ideal
presenta una rigidez mayor que la que existe en la realidad.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0.99
1
1.01
1.02
1.03
1.04
Valores de BETA
Coordenada de la linea media (m)
BE
TA
barra 1barra 2barra 3
Figura 6.4 Valores de βp en la estructura.
6.1.3 Comparación de los resultados del MEF con la estructura real al quitar
completamente la cruz de San Andrés.
00.5
11.5
-0.20
0.20.4
0.60.8
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Posición del elemento dañado en la estructura
Figura 6.5 Posición del elemento dañado en la estructura
102
Obsérvese que al igual que al comparar con un estado de referencia real (no
numérico), hay uno de los extremos del dintel que presenta un daño mayor.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0.99
0.995
1
1.005
1.01
1.015
1.02
1.025
Valores de BETA
Coordenada de la linea media (m)
BE
TAbarra 1barra 2barra 3
Figura 6.6 Valores de βp en la estructura.
6.1.4 Comparación de los resultados del MEF con la estructura real al eliminar un
empotramiento
Como vemos en la figura 6.7, en este caso el elemento más dañado no coincide con
el apoyo, aunque éste sí presenta un valor alto de βp. Sí se observa la figura 5.72, esto
ocurría también en el caso en que la referencia se había obtenido experimentalmente.
En la figura 6.8 podemos ver más claramente los valores de βp que se alcanzan en la
estructura, observando que hay otro valor muy alto de dicho parámetro en el
empotramiento. Dicho valor difiere del máximo únicamente en un 0.07%
103
00.5
11.5
-0.20
0.20.4
0.60.8
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Posición del elemento dañado en la estructura
Figura 6.7 Posición del elemento dañado en la estructura
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.992
0.994
0.996
0.998
1
1.002
1.004
1.006
1.008
1.01
1.012Valores de BETA
Coordenada de la linea media (m)
BE
TA
barra 1barra 2barra 3
Figura 6.8 Valores de βp en la estructura
104
6.1.5 Comparación de los resultados del MEF con la estructura real al provocar la
grieta
En este caso también se localiza el daño con exactitud, pues se obtiene que la grieta
está situada a 60cm del pilar. (Recuérdese que en la realidad estaba a 58 cm).
Asimismo, se obtienen también máximos relativos en las uniones con los pilares.
00.5
11.5
-0.20
0.20.4
0.60.8
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Posición del elemento dañado en la estructura
Figura 6.9 Posición del elemento dañado en la estructura
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.99
0.995
1
1.005
1.01
1.015
Valores de BETA
Coordenada de la linea media (m)
BE
TA
barra 1barra 2barra 3
Figura 6.10 Valores de βp en la estructura
105
6.2 Otros Métodos
Al analizar el método de Stubbs, hemos comprobado que dicho método proporciona
buenos resultados al comparar con una referencia obtenida numéricamente.
A continuación veremos algunos ejemplos que ilustran que es posible emplear
también otros de los métodos estudiados cuando la referencia se ha obtenido
mediante un modelo de elementos finitos.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5x 10-6 Valores maximos de la variación de la flexibilidad
Coordenadad de la línea media
Var
iaci
on d
e la
F
Figura 6.11 Variación de la matriz de Flexibilidad cuando hay una grieta
En la figura 6.11 se observa que en esta situación, el método de la matriz de
flexibilidad proporciona un buen resultado, pues se obtiene que la grieta está a 62
cm, frente a los 58 de la posición real.
El método de la variación de la curvatura también proporciona resultados aceptables.
Así, si se analiza el estado en que se ha liberado un empotramiento, se obtiene un
modo que experimenta una variación de la curvatura un orden de magnitud mayor
que el resto (el modo nº 1). La variación máxima se presenta sólo a 4.2 cm de su
posición real.
106
7. ANÁLISIS PARAMÉTRICO
Llegados a este punto resulta interesante conocer cuántos modos es necesario utilizar
en los cálculos, y cuántos elementos son necesarios para la discretización cuando ha
de realizarse una interpolación.
Obviamente, el número mínimo de modos se reduce a uno en algunos métodos, tales
como el que analiza la variación de los modos y la de sus curvaturas. En efecto, si se
escoge apropiadamente el modo de vibración, la información proporcionada por éste
puede ser suficiente. Veámoslo con sendos ejemplos.
Figura 7.1 Modo 1 para el estado de referencia y sin el empotramiento.
Si sólo se analizara ese modo, está claro que es posible identificar el daño causado
sobre la estructura.
Por otro lado, recordemos las variaciones máximas de la curvatura para el caso en el
que se quitaba una de las barras de la cruz de San Andrés:
Modo Variación de la
curvatura
Barra Coordenada (m)
1 2.0675 Dintel 1.5264
2 1.2265 Dintel 1.5264
3 23.8133 Dintel 1.5264
107
4 10.9512 Pilar
nº2
0.0420
5 157.84 Pilar
nº2
0.0420
6 58.2986 Dintel 1.5423
7 31.6215 Pilar
nº1
0
Tabla 7.1 Variación de la curvatura entre los estados sin dañar y eliminando una de
las barras de la cruz.
Si sólo se hubiera analizado el modo nº6, se habría identificado correctamente el
daño, pero hubiera ocurrido justo lo contrario si se hubiera estudiado, por ejemplo, el
modo nº4.
Por tanto, en estos métodos no puede deducirse un número mínimo de modos que
analizar, pues depende de lo apropiado de la elección.
Para los otros métodos, emplearemos los resultados obtenidos para el caso de la
presencia de una grieta.
7.1 Método de Stubbs
En la siguiente gráfica se muestra el error relativo frente al nº de elementos de la
discretización. Considerando como aceptable un error del 4%, a partir de un nº de
elementos igual a 65 (tamaño de elemento<2.5cm), se obtienen resultados
satisfactorios.
108
0 20 40 60 80 100 1200
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Nº de elementos
Erro
r rel
ativ
o
Error cometido en la localización del daño
65
Figura 7.2 Error cometido en la localización del daño según el número de
elementos de la discretización.
Procedemos ahora a determinar el nº mínimo de modos necesarios para la
localización del daño. Limitando el error máximo al 4%, podemos afirmar que con
un único modo puede determinarse la posición del daño, tal y como se muestra en la
figura siguiente.
0 20 40 60 80 100 1200
2
4
6
8
10
12
14Error cometido con el método de Stubbs tomando sólo un modo
Nº de elementos
Erro
r rel
ativ
o(%
)
109
Figura 7.3 Error cometido en la localización del daño según el número de
elementos de la discretización, cuando sólo se toma un modo de vibración
En este caso son necesarios muchos menos elementos para obtener un resultado con
un error menor del tomado como límite. Esto hace pensar que la obtención de buenos
resultados, más que depender del número de modos, lo hace de la calidad de los
modos tomados.
Si se toma un solo modo, el MAC del modo en el estado de referencia y del estado
dañado debe estar por encima de 0.3. Por debajo de ese valor los modos pueden
considerarse casi ortogonales y es imposible detectar el daño.
No se ha encontrado ningún límite superior del MAC. De hecho, se obtuvieron
resultados satisfactorios con pares de modos con MAC>0.93. Es decir, se puede
detectar el fallo comparando un único modo, aunque éste en el estado sin daño y con
daño presente una correlación muy alta.
110
8. APLICACIONES
Como etapa final de este proyecto, se probó el programa creado para su
utilización en la detección de posibles daños en algunas estructuras reales.
8.1 Puente de La Barqueta
El Puente de La Barqueta fue construido en Sevilla con motivo de la
Exposición Universal de 1992. Se trata de un puente metálico de arco
atirantado que cruza el cauce del meandro del río Guadalquivir sin apoyos
intermedios, salvando una longitud de 170m.
El tablero del puente, de 16m. de ancho se amplía a 21m. mediante aceras
voladas. La sección transversal del arco central se compone a partir de un
rectángulo de dimensiones270cm de ancho por 180 cm de canto.
Figura 8.1 Puente de La Barqueta (Sevilla)
Tras la EXPO’92, la Isla de La Cartuja fue ocupada por el Parque Tecnológico
Cartuja’93. El Puente de la Barqueta es ahora puerta de este Parque, por lo que
111
conlleva una gran carga de tráfico. Por tanto, resulta interesante tener a un
punto un sistema de detección de fallos.
8.1.1 Datos
Para la realización de un análisis de daño es necesario un estado de referencia.
Como tal se tomaron los resultados proporcionados por el modelo de elementos
finitos del puente realizado por Pedro Galvín Barrera.
Para comprobar si el puente sufría algún daño, se utilizaron los resultados
obtenidos mediante PULSE en los ensayos realizados el 15 de Junio del 2005.
Para los mismos se emplearon acelerómetros Endevco 86.
Éstos se colocaron en las posiciones indicadas en la figura 9.2. Por tanto, a la
hora de realizar los cálculos de detección del daño, el Puente de La Barqueta se
modeló como dos vigas paralelas separadas 16m.
Figura 8.2 Posición de los acelerómetros en el Puente de La Barqueta
Cada acelerómetro está separado del siguiente 19.2m.
Los cálculos de detección del daño se realizaron haciendo uso únicamente de
10 modos. Dichos modos se representan a continuación.
112
Figura 8.3 1er modo del Puente de La Barqueta. f=0.7241 Hz
Figura 8.4 2º modo del Puente de La Barqueta. f=1.223 Hz
Figura 8.5 3er modo del Puente de La Barqueta. f=2.019 Hz
Figura 8.6 40 modo del Puente de La Barqueta. f=2.034 Hz
113
Figura 8.7 50 modo del Puente de La Barqueta. f=2.501 Hz
Figura 8.8 6º modo del Puente de La Barqueta. f=3.464 Hz
Figura 8.9 7º modo del Puente de La Barqueta. f=3.901 Hz
Figura 8.10 8º modo del Puente de La Barqueta. f=4.499 Hz
114
Figura 8.11 9º modo del Puente de La Barqueta. f=5.36 Hz
Figura 8.12 10º modo del Puente de La Barqueta. f=5.824 Hz
8.1.2 Resultados
Al realizar la comparación entre el modelo de elementos finitos y los
resultados experimentales se obtuvieron ciertas diferencias, lo cual provoca
que al realizar los cálculos de detección de daños, se obtengan ciertas zonas
críticas donde existe la posibilidad de la presencia de un daño.
Lo primero que podemos analizar es que, aunque mínimas, existen ciertas
diferencias en las frecuencias naturales.
115
1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
5
6
7
Nº de modo de vibracion
Frec
uenc
ia(H
z)
Frecuencias naturales
Sin dañoCon daño
Figura 8.9 Diferencias entre las frecuencias naturales teóricas y reales
Si comparamos la forma de los modos de vibración en los dos casos, no
podemos determinar zonas dañadas a priori.
050
100150
200
05
10
1520-1
-0.5
0
0.5
1
Figura 8.10 Modo 1 Puente de la Barqueta
116
050
100150
200
05
10
1520
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Figura 8.11 Modo 2 Puente de la Barqueta
050
100150
200
05
10
1520
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Figura 8.12 Modo 3 Puente de la Barqueta
117
050
100150
200
05
10
1520
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Figura 8.13 Modo 4 Puente de la Barqueta
050
100150
200
05
10
1520
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Figura 8.14 Modo 5 Puente de la Barqueta
118
050
100150
200
05
10
1520
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Figura 8.15 Modo 6 Puente de la Barqueta
050
100150
200
05
10
1520
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Figura 8.16 Modo 7 Puente de la Barqueta
119
050
100150
200
05
10
1520
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Figura 8.17 Modo 8 Puente de la Barqueta
050
100150
200
05
10
1520
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Figura 8.18 Modo 9 Puente de la Barqueta
120
050
100150
200
05
10
1520
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Figura 8.19 Modo 10 Puente de la Barqueta
Para la implementación del método de Stubbs se discretizó cada tramo del
puente en 300 elementos, lo cual proporciona un tamaño de elemento de 44.9
cm. Este método proporciona los siguientes resultados.
050
100150
200
05
10
15200
0.5
1
1.5
Posición del elemento dañado en la estructura
Figura 8.16 Posición del elemento dañado en la estructura
121
La posición del elemento dañado se encuentra a 84.31 metros del primer
acelerómetro colocado al comienzo del puente.
0 50 100 150 200 250 300 3500
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Valores de BETA
Coordenada de la linea media (m)
BE
TATramo 1Tramo 2
Figura 8.17 Valores de βp en la estructura
A la vista de esta última figura, podemos concluir que no existe daño en el
puente.
Por último veremos los resultados proporcionados por el método de la
variación de la curvatura.
Modo Variación de la
curvatura
Barr
a
Coordenada (m)
1 1.2739·10-4 1 63.191
2 4.816·10-4 1 160.55
3 7.05·10-4 2 82.483
4 8.1353·10-4 2 82.483
5 2.2·10-3 2 101.78
6 1.86·10-3 2 82.483
7 1.9622·10-4 1 64.088
122
8 3.07·10-3 1 26.4
9 1.1·10-3 1 63.639
10 5.35·10-4 2 82.483
Tabla 8.1 Variación de la curvatura de los modos entre el modelo de elementos
finitos y los resultados experimentales.
En la tabla 8.1 podemos observar que la variación de la curvatura es ínfima,
por lo que tampoco este método detecta ninguna zona dañada.
8.1.3 Conclusiones
La aplicación de los métodos de detección de daño estudiados durante la
realización de este proyecto arroja dos conclusiones fundamentales.
La primera es que el modelo de Elementos Finitos realizado se aproxima
mucho a la realidad. La segunda es que el Puente da la Barqueta se encuentra
en perfecto estado.
8.2 Puente I-40
El puente I-40 (Interstate 40) estuvo situado sobre el Rio Grande en
Alburquerque (Nuevo Mexico,USA). Dicho puente fue demolido en el verano
de 1993 como parte de un proyecto de construcción de nuevos puentes que
soportaran un tráfico mayor. Como paso previo a la demolición, un equipo de
Los Alamos National Laboratory creo diversos niveles controlados de daño,
con el fin de probar en una estructura real los métodos de detección del daño.
123
Figura 8.18 Puente I-40
El I-40 consistió en un tablero de hormigón soportado por dos placas metálicas
soldadas y tres conectores de acero que unían el tablero con las placas. Dicho
puente tenía una longitud de 5060 metros y una anchura de 360 metros. Se practicaron análisis modales ordinarios, por lo que los modos de vibración
obtenidos estaban escalados.
8.2.1 Datos
Los datos fueron obtenidos de la página web de Los Alamos National
Laboratory. Como estado de referencia se utilizaron las medidas dinámicas
realizadas sobre la estructura antes de la demolición, y como estado dañado las
medidas realizadas sobre la estructura una vez realizada la ranura, en el mismo
punto en el que se colocó el acelerómetro número 20.
124
Figura 8.19 Obtención física del estado dañado del puente I-40
Como ya se ha indicado, el análisis modal realizado no fue operacional, a
diferencia de los otros casos analizados, por lo que los modos obtenidos
estaban normalizados a la matriz de masa.
En total se emplearon 26 acelerómetros, 13 a cada lado de la línea media del
puente.
Los cálculos de detección del daño se realizaron haciendo uso únicamente de 6
modos. Los valores de las frecuencias naturales de los modos considerados se
muestran en la siguiente tabla:
Modo 1 (Hz) 2.4793
Modo 2 (Hz) 2.9493
Modo 3 (Hz) 3.4942
Modo 4 (Hz) 4.0774
Modo 5 (Hz) 4.1668
Modo 6 (Hz) 4.6362
Tabla 8.2 Valores de las frecuencias naturales del estado de referencia para el
análisis del puente I-40.
125
8.2.2 Resultados
Un primer análisis respecto a los valores de las frecuencias naturales revela la
presencia del daño.
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 62
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Nº de modo de vibracion
Frec
uenc
ia(H
z)
Frecuencias naturales
Sin dañoCon daño
Figura 8.20 Diferencias entre las frecuencias naturales teóricas y
reales
A continuación mostramos la comparación de los modos de vibración entre
los estados dañado y sin dañar.
Figura 8.21 Modo 1 Puente I-40
126
0
2000
4000
6000
0100
200
300400
-1
-0.5
0
0.5
1
Figura 8.22 Modo 2 Puente I-40
0
2000
4000
6000
0100
200
300400-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
Figura 8.23 Modo 3 Puente I-40
127
0
2000
4000
6000
0100
200
300400
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Figura 8.24 Modo 4 Puente I-40
0
2000
4000
6000
0100
200
300400-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
Figura 8.25 Modo 5 Puente I-40
128
0
2000
4000
6000
0100
200
300400-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
Figura 8.26 Modo 6 Puente I-40
Al estar los modos de vibración normalizados a la matriz de masa, cabe esperar
que el método de la flexibilidad proporcione resultados satisfactorios.
0 5 10 15 20 25 300
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2x 10
-3Decremento de la matriz de flexibilidad, en cada grado de libertad
Figura 8.27 Variación de la matriz de rigidez en el puente I-40
129
Como se observa en la figura 8.27, la variación máxima de la matriz de
flexibilidad se produce en torno al grado de libertad número 20; es decir, justo
donde creó el daño.
A continuación mostramos los resultados obtenidos mediante el método de la
rigidez.
0 5 10 15 20 25 300
5
10
15
20
25
30
35
40Decremento de la matriz de rigidez, en cada grado de libertad
Figura 8.28 Variación en la matriz de rigidez en el puente I-40
Vemos que el valor máximo no se da en el grado de libertad asociado al lugar
donde se produjo el daño. Asimismo, vemos otros “picos” en el ∆K asociados a
otros grados de libertad. Estos hechos se deben fundamentalmente a que con
los modos y frecuencias naturales considerados, la aproximación de la matriz
de rigidez no es del todo apropiada. Esto se debe a que existen otros modos de
vibración asociados a la estructura con valores de frecuencias naturales no muy
altos, por lo que hay términos no despreciables de la ecuación
∑=
=n
i
TiiiK
1
2 ·· φφω (8.1)
que no se han tenido en cuenta.
130
Para la implementación del método de Stubbs se discretizó cada tramo del
puente en 1000 elementos, lo cual proporciona un tamaño de elemento de 5.08
cm. Este método proporciona los siguientes resultados.
0
2000
4000
6000
0100
200
300400
0
0.5
1
1.5
Posición del elemento dañado en la estructura
Figura 8.29 Posición del elemento dañado en la estructura
La posición del elemento dañado se encuentra a 2542.5 metros del primer
acelerómetro colocado al comienzo del puente. El daño fue causado a 2540
metros. La diferencia absoluta es de 2.5 metros y, dado que el tamaño de
elemento es 5.08 m, podemos concluir que el resultado es exacto.
Por último veremos los resultados proporcionados por el método de la
variación de la curvatura.
Modo Variación de la
curvatura
Barr
a
Coordenada (m)
1 2.5009·10-6 2 2524.8
2 7.228·10-7 2 2524.8
3 5.8069·10-7 1 5069.8
4 9.3918·10-7 2 2524.8
5 8.2229·10-7 1 1559.6
131
6 8.5552·10-7 2 2524.8
Tabla 8.3 Variación de la curvatura de los modos.
En la tabla 8.3 podemos observar que la variación de la curvatura es un orden
de magnitud mayor en el primer modo que en los siguientes (ver fig.8.21). Y el
punto donde la variación de la curvatura es máxima es a 2524.8 del comienzo
del puente, lo que constituye un error del 0.6%.
8.2.3 Conclusiones
La principal conclusión que se extrae de esto es que en el caso en que los
modos de vibración estén normalizados a la matriz de masa, el método de la
flexibilidad proporciona unos resultados muy exactos.
8.3 Torre de la Giralda
La popular Giralda de Sevilla es en realidad el antiguo alminar de la mezquita
almohade del siglo XII, transformada en campanario de la Catedral. En su día fue la
torre más alta del mundo. Hoy, después de las tres añadiduras realizadas tras la
reconquista, vemos la definitiva torre de 97,5 metros de altura, coronada por una
desmesurada veleta de bronce (Giraldillo).
Figura 8.30 Giralda de Sevilla
132
8.3.1 Datos
Se modeló la torre de la Giralda como un voladizo, tomándose como
propiedades de la misma:
• Masa: m=4000toneladas
• Longitud: L=100m.
• E·I =1.57·1011 N·m2
Como estado de referencia, se tomaron los valores teóricos proporcionados por
las expresiones:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
++
+−= ))·cos()··(cosh()·cosh()·cos()·()·(
)·()·(·)( 1 xaxaLaLaLasenhLasen
xasenhxasenAxφ
42
··
IEma ω
= (8.3)
Sólo se consideró un modo de vibración (el primero), cuya frecuencia natural
se obtiene aplicando la expresión:
41 ···52.3LmIE
=ω (8.4)
Para comprobar si la torre sufría algún daño, se utilizaron los resultados
obtenidos mediante PULSE en los ensayos realizados el 21 de Diciembre del
2005. Para los mismos se emplearon acelerómetros Endevco 86.
Se colocaron dos acelerómetros en cada punto de medida, con lo que se
pretendía medir en dos direcciones distintas. Éstos se colocaron en las
posiciones indicadas en la figura 8.31.
133
Figura 8.31 Posición de los acelerómetros en la Giralda.
Una vez obtenidos las medidas en cada dirección, se combinaron, aplicando el
teorema de Pitágoras, de modo que se obtuvieran el valor de los
desplazamientos absolutos.
8.3.2 Resultados
El primer resultado que se obtiene es que los valores de las frecuencias
naturales son idénticos. En cuanto a la forma de los modos de vibración:
-1-0.5
00.5
1
020
40
60800
0.1
0.2
0.3
0.4
Figura 8.32 Modos de vibración de la Giralda.
134
Nótese que en azul se han representado los modos obtenidos teóricamente, y en
rojo los obtenidos experimentalmente.
Para la implementación del método de Stubbs se discretizó la torre en 100
elementos, lo cual proporciona un tamaño de elemento de 1 m.
-1-0.5
00.5
1
020
40
60800
0.5
1
1.5
Posición del elemento dañado en la estructura
Figura 8.33 Posición del elemento dañado en la estructura
En todos los puntos se obtiene un valor de βp igual a la unidad, por lo que
podemos concluir que no existe daño en la Giralda.
8.3.3 Conclusiones
Como conclusión principal podemos extraer que la Giralda puede modelarse de
manera muy aproximada a la realidad por un voladizo.
8.4 Eje del Giraldillo
El Giraldillo es una escultura de bronce de gran tamaño construida en 1568, fundida
por Bartolomé Morel y que hace la función de veleta sobre la torre de la Giralda en
la catedral de Sevilla. La escultura ha sido sometida a un intenso proceso de
restauración, para lo cual fue necesario desubicarla de su lugar habitual entre 1997 y
2005, periodo durante el cual fue sustituido por una Réplica.
135
Figura 8.34 Giraldillo
Una vez finalizada la restauración, durante el año 2005 se desarrolló el proyecto de
reposición del Giraldillo sobre la torre de la Giralda, que consistió en desmontar la
réplica del Giraldillo y su estructura portante y sustituirla por la figura original y un
nuevo vástago de apoyo adecuado para ella.
Dado el valor de la pieza en cuestión, su inaccesibilidad y su carácter mecánico,
parece lógico pensar en la conveniencia de disponer permanentemente de
información acerca de su comportamiento, estado de conservación, etc. Con los
métodos desarrollados en el presente proyecto, es posible conocer si el eje del
Giraldillo presenta algún tipo de daño.
Figura 8.35 Detalle de la sección del eje del Giraldillo
136
En cada una de las secciones 1,2 y 3 se colocaron dos acelerómetros, para
medir en dos direcciones distintas: SO-NE y SE-NO.
Los ensayos se realizaron el día 21 de Diciembre de 2005.
8.4.1 Datos
Se modeló el Giraldillo como un voladizo, añadiendo una masa puntal en la
posición del centro de gravedad de la estatua, y de valor el peso de la misma,
esto es, 1500 kg. El centro de gravedad está situado a 2 metros de la sección 3
(ver fig.8.35).
El vástago del Giraldillo tiene sección variable, por lo que lo modelaremos
como tres vástagos rígidamente unidos entre sí, a los que llamaremos, de más
abajo hacia arriba, vástago existente, nuevo vástago inferior y nuevo vástago
superior. Las propiedades de dichos elementos son:
Elemento Vástago
existente
Nuevo vástago
inferior
Nuevo vástago
superior
Φext. (mm) 141.3 130 100
Espesor(mm) 12.7 24 100
I(cm4) 614.2 490.875 782.27
m/L(Kg/m) 2.113·105 3.4921·105 6.1654·105
L(mm) 1840 650 2890
Tabla 8.4 Propiedades mecánicas del Giraldillo.
Como estado de referencia, se tomaron los valores proporcionados por un
modelo de elementos finitos:
137
Figura 8.36 Modelo de elementos finitos del Giraldillo
Sólo se consideró un modo de vibración (el primero), obteniéndose
experimentalmente una valor de la frecuencia natural de 1.0138 Hz y
numéricamente 2.9080 Hz. El mayor valor de la frecuencia se debe a que el
modelo es aproximado, y no se ha tenido en cuenta la inercia de la estatua.
8.4.2 Resultados
El primer resultado que puede obtenerse es que los modos de vibración obtenidos
numérica y experimentalmente son muy aproximados.
-1-0.5
00.5
1
00.511.522.50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Figura 8.37 Modo de vibración del Giraldillo
138
El método de la flexibilidad proporciona el siguiente resultado:
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014Decremento de la matriz de flexibilidad, en cada grado de libertad
Coordenada de la línea media
Var
iaci
ón d
e la
F
Figura 8.38 Variación de la matriz de flexibilidad en el Giraldillo
Es decir, en el extremo la variación de la flexibilidad es máxima.
Si aplicamos el método de Stubbs, se obtiene:
-1-0.5
00.5
1
0
1
2
30
0.5
1
1.5
Posición del elemento dañado en la estructura
Figura 8.38 Posición del elemento dañado en el Giraldillo
Es decir, que el posible daño se produjo en el extremo. Asimismo, se obtiene que la
variación máxima de la curvatura se da en el extremo.
139
8.4.3 Conclusiones
A la luz de los resultados anteriores, puede concluirse que el Giraldillo está en
perfecto estado, debiéndose las diferencias entre el modelo numérico y la realidad a
que no se ha considerado la inercia del Giraldillo.
8.5 Puente Z-24
El puente Z-24 fue construido en 1963, y estaba localizado en Canton Bern (Suiza),
cerca de Solothurn y conectaba Koppigen y Utzenstorf. Antes de ser demolido, se
incluyó en el proyecto SIMCES, con el fin de probar métodos de detección del daño.
Se tomó éste entre cinco candidatos porque era parecido a la mayoría de los puentes
suizos.
Constaba de tres vanos, y una longitud total de 66 metros. La anchura era de 4.545
metros.
Figura 8.35 Puente Z-24 en Suiza
Sobre dicho puente se simularon distintos estados de daño. Sin embargo, en el
presente PFC se analizarán dos situaciones previas al daño: medir las
vibraciones cuando la excitación es el ambiente y cuando se deja caer una masa
de 100 kg desde un metro de altura.
140
8.5.2 Datos
Los datos se obtuvieron de la página web de la universidad Católica de
Leuven, que proporciona las medidas de los desplazamientos de cuatro modos
de vibración en 48 puntos del tablero y en 16 puntos de los pilares, que no
serán analizados.
Figura 8.36 Modelo del Z-24
Figura 8.37 Peso
141
Los valores de las frecuencias naturales obtenidos son:
Modo Ambiente Peso
Modo 1 (Hz) 3.8568 3.8457
Modo 2 (Hz) 4.8965 4.8302
Modo 3 (Hz) 9.7700 9.7488
Modo 4 (Hz) 10.3106 10.4194
Tabla 8.2 Valores de las frecuencias naturales del análisis del puente Z-24
8.5.2 Resultados
El primer resultado que se obtiene es que los valores de las frecuencias
naturales cambian ligeramente:
1 1.5 2 2.5 3 3.5 43
4
5
6
7
8
9
10
11
Nº de modo de vibracion
Frec
uenc
ia(H
z)
Frecuencias naturales
Sin dañoCon daño
Figura 8.38 Diferencias entre las frecuencias naturales teóricas y
reales
En cuanto a la variación de los modos de vibración, vemos a continuación que
apenas varían:
142
-200
2040
6080
-4-2
0
24
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Figura 8.39 1er modo de vibración del Z-24
-200
2040
6080
-4-2
0
24
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
Figura 8.40 2o modo de vibración del Z-24
143
-200
2040
6080
-4-2
0
24
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
Figura 8.41 3er modo de vibración del Z-24
-200
2040
6080
-4-2
0
24
-0.5
0
0.5
Figura 8.42 4o modo de vibración del Z-24
Nótese que en azul se han representado los modos obtenidos con excitación
ambiental, y en rojo los obtenidos con la excitación producida por el peso.
Sólo se nota una diferencia apreciable en el segundo modo.
Para la implementación del método de Stubbs se discretizó el puente de modo
que el tamaño de elemento fuera 0.5 metros.
144
-200
2040
6080
-4-2
0
240
0.5
1
1.5
Posición del elemento dañado en la estructura
Figura 8.43 Posición del elemento dañado en la estructura
El punto donde se obtiene el daño está situado a 27.92m del comienzo del
puente, esto es, junto al nodo 120. El otro pico se da en junto al nodo 320.
El método de la flexibilidad proporciona los siguientes resultados:
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5x 10
-5Decremento de la matriz de flexibilidad, en cada grado de libertad
Coordenada de la línea media
Var
iaci
ón d
e la
F
Figura 8.44 Variación de la matriz de flexibilidad en el Z-24
Se comprueba que los dos picos se aparecen junto a los nodos 120 y 320.
El método de la variación en la curvatura proporciona los siguientes
resultados:
145
Modo Variación de la
curvatura
Barr
a
Coordenada (m)
1 0.0118 1 27.67
2 0.0024 1 27.67
3 0.0122 1 27.67
4 0.0328 1 27.67
Tabla 8.3 Variación de la curvatura de los modos.
Este método proporciona resultados idénticos a los otros métodos. Es necesario
indicar que ese punto coincide con el punto donde se dejó caer la masa.
8.5.3 Conclusiones
Como conclusión principal podemos extraer que cuando se deja caer una masa, se
pueden inducir perturbaciones en los modos de vibración, de modo que las medidas
no sean del todo exactas. De hecho, podríamos obtener que una estructura que
estuviera en perfecto estado presentara un daño, tal y como ha ocurrido.
146
9. CONCLUSIONES
Durante el desarrollo de este proyecto, que pretendía proporcionar un conocimiento
profundo de algunas de las técnicas más empleadas actualmente en la detección de
daños en estructuras, se han extraído diversas conclusiones, cuyo conocimiento
ayudará a la aplicación de las mencionadas técnicas a estructuras reales. Las
conclusiones más importantes se detallan a continuación.
• La variación en los valores de las frecuencias naturales sólo da idea de la
presencia de un daño. Sólo será posible localizarlo a muy altas frecuencias,
pues en esos casos los modos están asociados a respuestas locales.
• La variación de la forma de los modos, puede ayudar a localizar el daño,
tanto más cuanto más local sea el daño. Sin embargo, esto no siempre es
posible.
• El método de Stubbs proporciona los resultados más satisfactorios,
localizando la mayor parte de las veces la posición exacta del defecto sobre
la estructura.
• Dicho método puede proporcionar resultados correctos comparando la
energía de deformación incluso de un solo modo, siempre y cuando éste
presente un MAC entre el estado sin daño y dañado que pertenezca al
intervalo (0.3,0.96).
• El método de la matriz de flexibilidad sólo proporciona resultados
satisfactorios en el caso en que los modos estén normalizados a la mariz de
masa. No obstante, si los valores de las frecuencias naturales de los modos
posterior al primero son suficientemente mayores a la primera frecuencia de
resonancia, sólo el primer término de la expresión
∑=
≅n
i
Tii
i
F1
2·1 φφ
ω (9.1)
tendrá importancia, pudiendo obtenerse resultados satisfactorios. De
cualquier modo, nótese que con la expresión (8.1), si los modos no están
147
escalados, no se obtendrá la matriz de flexibilidad, sino ésta multiplicada
por un cierto escalar.
• El método más recomendable es el de Stubbs. Éste proporciona siempre
resultados más exactos porque compara la energía de deformación elemento
a elemento.
• Para obtener resultados satisfactorios con el método de la matriz de rigidez
son necesarios generalmente un número mayor de modos que con el método
de la matriz de flexibilidad, así como que éstos estén normalizados a la
matriz de masa.
• El método de la curvatura puede proporcionar la localización del fallo en la
estructura incluso analizando únicamente un solo modo. El inconveniente es
que cuando hay un daño la estructura, los modos varían mucho, por lo que
hay algunos que experimentan la variación máxima de la curvatura en
lugares distintos a donde se produce el daño, por lo que si cogemos sólo
esos modos obtendremos resultados totalmente erróneos. Es decir, para
implementar este método es preciso analizar el comportamiento de varios
modos.
• Es posible comparar los resultados experimentales con los obtenidos
mediante un modelo de elementos finitos, obteniéndose buenos resultados.
El inconveniente es que si el modelo no es del todo bueno, aparecen zonas
con daños en las posiciones cercanas a donde el modelo falla.
• Cuando se deja caer una masa para excitar una estructura y realizar un
análisis modal, se pueden inducir perturbaciones en los modos de vibración,
de modo que las medidas no sean del todo exactas, provocando errores en
los sistemas de detección de daño.
148
10. DESARROLLOS FUTUROS.
A partir del trabajo realizado en este proyecto se pueden plantear diversas líneas de
trabajo para el futuro, entre las que podemos destacar las siguientes.
• Como hemos visto, los métodos de la matriz de flexibilidad y de rigidez no
proporcionan resultados satisfactorios cuando los modos no están escalados.
Lo primero que se propone es la realización de ensayos en los que se varíe
la masa, con el fin de comprobar si es posible determinar los factores de
escala con los que obtengamos modos normalizados a la matriz de masa a
partir de modos no escalados.
• Desarrollar sistemas de seguimiento continuo de estructuras reales, de modo
que en cualquier instante podamos conocer si existe un daño en el sistema.
Esto tendría un mayor interés en estructuras civiles como puentes. A corto
plazo, este tipo de sistemas podrá ser implantado en el Giraldillo.
• Ampliar el campo de aplicación de estos métodos. Este trabajo se ha
centrado en estructuras de barras, por lo que podría intentar adaptar estos
métodos a estructuras laminares (depósitos a presión). También sería
interesante tratar de analizar materiales compuestos y/o anisótropos.
• Aplicar los sistemas de detección del daño a sistemas móviles, tales como
rotores de máquinas, etc. Para ello, quizá habría que analizar vibraciones de
otro tipo (axiales, torsionales, etc).
149
11. REFERENCIAS
[1] Farrar et al. (1996). Damage Identification and Health Monitoring of
Structural and Mechanical Systems from Changes in their Vibration
Characteristics: A Literature Review. Los Alamos National Laboratory (New
Mexico, USA)
[2] Rytter, A. (1993). Vibration Based Inspection of Civil Engineering
Structures, Ph. D. Dissertation, Department of Building Technology and
Structural Engineering. Aalborg University, Denmark.
[3] Galvín et al. (2004). Identificación Dinámica de Elementos de Hormigón
Armado Fisurados Reforzados Externamente con Fibras de Carbono.Anales
de Ingeniería Mecánica, 1027-1036.
[4] Vázquez Torres et al. Identificación de daños en vigas de hormigón
experimentales y analíticas utilizando metodologías modales. Rev. Int. De
Desastres Naturales, Accidentes e Infraestructura civil. Vol. 4(2) 183-200.
[5] West, W.M. (1984). Illustration of the use of Modal Assurance Criterion to
Detect Structural Changes in an Orbiter Test Specimen. Proc. Air Force
Conference on Aircraft Structural Integrity, 1-6.
[6] Yuen, M.M.F. (1985). A Numerical Study of the Eigenparameters of a
Damaged Cantilever. Journal of Sound and Vibration, 103, 301-310.
[7] Pandey et al. (1991). Damage Detection from Changes in Curvature Mode
Shapes. Journal of Sound and Vibration, 145(2), 321-332.
[8] Stubbs et al. (1992). An Efficient and Robust Algorithm for Damage
Localization in Offshore Platforms. Proc. ASCE Tenth Structures Congress,
543-546
[9] Dong et al. (1994). The Sensitivity Study of the Modal Parameters of a
cracked beam. Proc. Of the 12th International Modal Analysis Conference, 98-
104.
[10] Pandey et al. (1991). Damage Detection in Structures Using Changes in
Flexibility. Journal of Sound and Vibration, 169(1), 3-17.
150
[11] López Aenlle et al.(FECHA). Some Methods to Determine Scaled Mode
Shapes in Natural Input Modal Analysis. FUENTE
[12] Zhang, Z. and A.E. Aktan. (1995). The Damage Indices for Constructed
Facilities. Proc. Of the 13th International Modal Analysis Conference, 1520-
1529.
[13] Peterson et al (2001). Application of Dynamic Identification to Timber
beams. II. Journal of Structural Engineering. April 2001.
[14] Farrar and Doebling. Damage Detection II. Field Applications to Large
Structures. Los Alamos National Laboratory (New Mexico, USA)
[15] Galvín Barrera, P. (2005). Desarrollo y validación experimental de un
modelo numérico para problemas de propagación de ondas. Métodos de
identificación dinámica de estructuras a partir de la respuesta a cargas de
servicio. Escuela Superior de Ingenieros de la Universidad de Sevilla.
ANEXO 1.- MANEJO DEL PROGRAMA DIAMOND
151
Cuando se comenzó a realizar este proyecto, se utilizó el programa DIAMOND, realizado
por Farrar et al en Los Alamos National Laboratory. (Nuevo México, USA) y que funciona
en el entorno MATLAB.
Este programa, aunque muy potente visualmente, presenta un gran inconveniente, que es
que como datos sólo utiliza la FRF o las funciones de correlación cruzada (CPS). Como
para poder realizar un estudio del daño en una estructura hace falta un estado de referencia,
el inconveniente que presenta DIAMOND es que necesitamos haber realizado unas
medidas en un estado que conozcamos a priori que no presenta ningún fallo.
A veces esto no es posible, por lo que es necesario recurrir a modelos numéricos para
obtener un estado de referencia. Generalmente, de estos modelos lo que podemos extraer
son frecuencias naturales y modos de vibración, por lo que sería conveniente tener un
programa que implementara los métodos comentados pero usando como datos los modos
de vibración de la estructura. Es por esto que DIAMOND dejó de utilizarse en este
proyecto. No obstante, se realizó un breve manual de instrucciones del mismo que se
adjunta a continuación.
A.1 Datos
DIAMOND utiliza como datos de entrada las funciones de correlación cruzada (CPS) entre
la señal de los acelerómetros y el de referencia o la función de respuesta en
frecuencia(FRF). Una vez obtenidos éstas pueden ser determinados los parámetros
modales (NExT/ERA) y localizar el daño (método de variación en la energía de
deformación, de flexibilidad y MAC).
DIAMOND sólo precisa de la geometría del problema (que se introduce directamente) y de
los datos (FRF o funciones de correlación cruzada-CPS), que se obtendrán del análisis
modal experimental (clásico u operacional) y se introducirán como ficheros universales
(universal file format, uff).
DIAMOND puede realizar diversos tipos de cálculos pero en el presente trabajo sólo nos
centraremos en dos: análisis modal e identificación del daño.
152
A.2 Selección de la tarea.
Lo primero es seleccionar la tarea que deseamos realizar. Las opciones “Modal
Analysis” y “Damage Identification” son las que se usan en el desarrollo de este
proyecto.
Figura A..2.1 Menú “Tasks” en DIAMOND
A.3 Cargar datos.
El programa DIAMOND utiliza para realizar los cálculos ficheros *.mat. Sin
embargo, los sistemas de adquisición de datos proporcionan éstos en *.uff. Por tanto,
es necesario realizar una conversión.
Para ello lo que se hace es importar el fichero *.uff, desde el menú file,
seleccionando import Universal File Type 58 Data.
Figura A.3.1 Importar datos en *.uff en DIAMOND
Tras esto, para pasarlo a *.mat, lo único que hay que hacer es guardarlo, usando para
ello el menú Load/Save save data
153
Figura A.3.2 Guardar en DIAMOND
Nótese que la transformación de formato de los datos se ha realizado con la tarea
“Modal Analysis” seleccionada.
A.4 Crear la geometría.
Para ello, también hay que seleccionar en primer lugar la tarea del análisis modal, y
luego la opción Geometry/DOF Edit Geometry. En la pantalla que aparece (ver
siguiente figura) pueden crearse nodos, barras, beams e incluso placas. Para el
análisis modal sólo es necesario crear los nodos y las líneas. Pero para la localización
del daño es preciso crear elementos SEMbeams. Éstos estarán definidos entre puntos
en los que estén localizados los acelerómetros, siendo necesarios al menos tres. En el
caso de haber realizado un OMA, ningún punto puede estar asociado a un
acelerómetro de referencia.
154
Figura A.4.1 Editor de geometría en DIAMOND
Cuando ya hayamos establecido la geometría, podemos guardarla en el menú
Load/Save Save Geometry.
A.5 Análisis modal.
Aunque quisiéramos realizar un estudio del daño, es necesario realizar un análisis
modal previamente para poder obtener los modos de vibración de la estructura.
Lo primero que hay que hacer es cargar los datos *.mat. Para ello, seleccionamos
Load/Save Load Data Primary.
Figura A.5.1 Cargar datos en DIAMOND
155
Para realizar el análisis modal, pinchamos en Identify modes Spectral function to
fit, escogiendo FRF si el análisis modal experimental realizado es clásico, o CPS si
se realizó un OMA.
Figura A.5.2 Identificación de los modos
En el caso de OMA, sólo podemos usar una de las cuatro posibilidades que hay para
seleccionar los modos: el ERA.
A.6 Analizar modos.
Una vez realizada la selección de los modos que nos interesen, DIAMOND nos
proporciona varias posibilidades interesantes.
La primera, es que podemos guardar dichos modos, con Load/Save Save Modes.
Y si seleccionamos en el menú File la opción export, podemos obtener los modos en
un fichero de texto.
Por defecto los modos estarán normalizados arbitrariamente. Pero a través de
Analyze Modes Analysis Tools podemos obtener una normalización con la matriz
de masa.
Con Analyze Modes Plot Mode Shapes podemos visualizar una animación de los
modos.
A.7 Identificación del daño.
Seleccionamos Task Damage Identification, y posteriormente cargamos los modos
de los estados sin daño y dañado, así como la geometría.
156
Figura A.7.1 Cargar estados sin daño y con daño
Una vez cargados podemos obtener el daño del sistema, según los métodos que
emplea DIAMOND.
Figura A.7.2 Métodos existentes en DIAMOND para la identificación y localización
del daño