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1
DETERMINANTES
Ejercicio nº 1.-
Calcula el valor de los siguientes determinantes:
Ejercicio nº 2.-
Resuelve la ecuación propuesta en a) y calcula el valor del determinante propuesto en b):
Ejercicio nº 3.-
a) Resuelve la ecuación:
b) Calcula el valor del determinante:
Ejercicio nº4.-
Hallar los valores de t que anulan el primer determinante, y calcula cuánto vale el segundo determinante:
1051
2233
1102
0324
b)
110
111
011
a)
−
−
−
−
−
−
−
x
x
x
2113
4111
1201
3012
b)
0
110
11
1
a)
−−
−
−
=
−
a
aa
0
31
21
31
=
x
x
x
3021
2113
1132
0121
−
−
− −
−−
2 2a) 2 0 1 t
b) 2 1 2 10 2 3 1
1 3 0 2
4 2 1 0
tt
t
2
Ejercicio nº 5.-
Halla el valor de los siguientes determinantes. En el apartado a), calcula, además, los posibles valores de t para que el determinante sea cero:
Ejercicio nº 6.-
Demuestra que:
Ejercicio nº 7.-
Calcula el valor de este determinante, dando el resultado factorizado:
Ejercicio nº 8.-
Calcula el valor de este determinante:
Ejercicio nº 9.-
Demuestra que:
1331
3041
5211
4312
b)
42
01
111
a)
−
−−
t
t
t
( ) ( ) ( )cdbcaba
dcba
ccba
bbba
aaaa
−⋅−⋅−=
101
110
011
101
a
a
a
a
xaaa
axaa
aaxa
aaax
( )3
22
22
22
cba
baccc
bacbb
aacba
++=
−−
−−
−−
3
Ejercicio nº 10.-
Halla en función de a, el valor de este determinante:
Ejercicio nº 11.-
a) Justifica cuáles de las siguientes igualdades son correctas y cuales no:
Ejercicio nº 12.-
Indica si son ciertas o no las siguientes igualdades. Razona tu respuesta:
Ejercicio nº 13.-
la respuesta:
110
011
111
11
a
a
a
aa
−−
−−−
; ; 22
dc
ba
dc
ba
dc
ba
dc
ba
dc
ba
dc
baα=
αα
ααα=
α
αα=
α
α
b) Si 3, calcula el valor de los siguientes determinantes:a bc d
=
22
22 ;
ddc
bba
db
ca
+
+
3
333
333
333
b)
222
222
a)
rqp
cba
zyx
rcz
qby
pax
rqp
rcqbpazyx
rqp
cba
zyx
=+++=
dojustifican calcula, ,4 y2 que tales2,2 matrices dos son y Sia) −==× BABA
12 2 −− A;AB;AB;A;A;A tt
( )BBt matriz la de traspuesta la representa
. 2
2 calcula ,2 Sib)
ddc
bba
dc
ba
−+
−+−=
4
Ejercicio nº 14.-
Ejercicio nº 15.-
Indica, razonando tus respuestas, si son ciertas o no las siguientes igualdades:
Ejercicio nº 16.-
Halla el rango de la matriz siguiente:
Ejercicio nº 17.-
Averigua cuál es el rango de la siguiente matriz:
Ejercicio nº 18.-
Calcula el rango de la matriz:
:tesdeterminan siguientes los de valor el halla ,4 que Sabiendo =
rqp
zyx
cba
3
3
3
b)
222
a)
zrzc
yqyb
xpxa
zyx
rqp
czbyax
+
+
+−−−
0
1
1
1
b)
222
222
111
222
a)
43
32
2
=
+++
=
aa
aa
aa
cba
zyx
cba
zyx
−
−
−
=
1143
3010
2321
0211
M
−
−
−
−
=
2355
1430
2111
2132
M
−
−−
−
=
421123
113101
324312
A
5
Ejercicio nº 19.-
Estudia el rango de la matriz:
Ejercicio nº 20.-
Obtén el rango de esta matriz:
Ejercicio nº 21.-
Determina cuál es el rango de la matriz A, según los valores de λ:
Ejercicio nº 22.-
Estudia el rango de la matriz M según los valores de t:
Ejercicio nº 23.-
Estudia el rango de esta matriz, según los valores de t:
−
−
−
−
=
3770
711121
1321
5132
A
−−
−
−−
−
=
11141
30310
11121
32312
M
λ
λ
+λ
=
020
200
1111
A
−−
=
23381
231
1321
t
tM
−−
=
231
040
2401
t
tM
6
Ejercicio nº 24.-
Estudia el rango de la siguiente matriz para los distintos valores de a:
Ejercicio nº 25.-
Determina el rango de la siguiente matriz para los distintos valores de a:
=
aa
a
a
M
522
121
031
−
−
=
014
030
0101
a
aA
7
SOLUCIÓN EJERCICIOS DETERMINANTES
Ejercicio nº 1.-
Calcula el valor de los siguientes determinantes:
Solución:
(1) Desarrollamos por la 4ª columna. (2) Desarrollamos por la 3ª columna.
Ejercicio nº 2.-
Resuelve la ecuación propuesta en a) y calcula el valor del determinante propuesto en b):
1051
2233
1102
0324
b)
110
111
011
a)
−
−
−
−
−
−
−
x
x
x
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]=−−−=−−−=−−−−−=
−
−
−
211121111
110
111
011
a)233 xxxxxxx
x
x
x
( ) [ ] ( ) ( ) 1312 1221 1 2322 −−+−=−−−=−+−−= xxxxxxxxx
( )=
−
−
−
=
−
−
−
−
=
−
−
−
−
⋅−
+
2135
153
324
1051
02135
0153
0324
1051
2233
1102
0324
b)
1
4
423
42
1
FILAS
a
aa
aa
a
( )( ) 28143115
2311
135
02311
153
0135
2
223
2
231FILAS
aa
a
aa
−=+−−=−
−−=
−
−
−
=
⋅−
⋅−
2113
4111
1201
3012
b)
0
110
11
1
a)
−−
−
−
=
−
a
aa
8
Solución:
a) Desarrollamos el determinante e igualamos a cero el resultado:
(1) Desarrollamos por la 2ª columna.
(1) Desarrollamos por la 2ª columna. (2) Desarrollamos por la 1ª fila.
Ejercicio nº 3.-
a) Resuelve la ecuación:
b) Calcula el valor del determinante:
Solución: a) Desarrollamos el determinante y lo igualamos a cero:
( )101
1
1
110
01
10
110
11
1
21
3
12
1COLUMNAS
a
aa
a
±=→=−==
−
=
−
− aaa
aa
a
a
aa
1 ; 1 :soluciones dosHay 21 =−= aa
( )=
−−
−=
−−
−
=
−−
−
−
−
−
515
111
121
5105
1101
1201
3012
2113
4111
1201
3012
b)
1
14
13
2
1
FILAS
aa
aa
a
a
( )1055
55
11
515
111
010
2
3
2
21
a
a
aa
−=−−=−
=
−−
−=
−
0
31
21
31
=
x
x
x
3021
2113
1132
0121
−
−
1101 1
1
100
21
31
31
21
31
22
aa
a
a
23
2
1FILAS
±=→=→=−===
−
xxxx
xx
x
x
x
x
9
(1) Desarrollamos por la 3ª columna. (2) Sumamos la 3ª fila a la 2ª. (3) Desarrollamos por la 2ª fila.
Ejercicio nº4.-
Hallar los valores de t que anulan el primer determinante, y calcula cuánto vale el segundo determinante:
Solución: a) Desarrollamos el determinante e igualamos a cero el resultado:
1 ,1 :soluciones dosHay 21 =−= xx
( ) ( ) ( )==−−=
−−=
−
−
−
+
321
4
3
32
31
FILAS
321
040
234
321
321
234
3021
2113
3021
2034
3021
2113
1132
0121
b)
a
a
aa
aa
( )( ) 401042124
31
24 4
3=⋅=−==
− −
−−
2 2a) 2 0 1 t
b) 2 1 2 10 2 3 1
1 3 0 2
4 2 1 0
tt
t
( ) 022424
1
02
22
233 →=−=−=−−+= tttttttt
tt
t
t
±=→=→=−
=→
2202
022 ttt
t
2;2;0 :soluciones tresHay 321 =−== ttt
( )=
−
−=
−
−−
=
−
−
−−
⋅−
−
124
413
512
0124
0413
0512
1212
0124
2031
1320
1212
b)
1
4
123
12
1
FILAS
a
aa
aa
a
10
(1) Desarrollamos por la 4ª columna. (2) Desarrollamos por la 2ª columna.
Ejercicio nº 5.-
Halla el valor de los siguientes determinantes. En el apartado a), calcula, además, los posibles valores de t para que el determinante sea cero:
Solución:
a) Calculamos el valor del determinante:
Veamos para que valores de t se anula el determinante:
(1) Desarrollamos por la 1ª columna. (2) Sumamos a la 1ª fila la 3ª. (3) Desarrollamos por la 1ª fila.
( )a
a a
a a
FILAS
12
2 1
3 2 1
2 1 51 1
1 0 1 11 8 198 11
8 0 11−
+ ⋅
−= − − = = + =
1331
3041
5211
4312
b)
42
01
111
a)
−
−−
t
t
t
( ) ( ) 47322441214
42
01
111
2222 +−=−+−−+=−−−−+=
−
tttttttttttt
t
t
t
==
==±
=−±
=→=+−
166
34
68
617
6484970473 2
t
t
ttt
.1 cuando y 34 cuando cero vale tedeterminan El == tt
( ) ( ) ( )=−−−=−−
−−
−=−−
−−
=−
−
+
−
⋅−
321
4
43
42
421
FILAS
437
412
600
437
412
237
1331
4370
4120
2370
1331
3041
5211
4312
b)
a
aa
aa
aa
( )( ) 6766
37
12 6
3−=+−−=
−−−=
11
Ejercicio nº 6.-
Demuestra que:
Solución:
(1) Restamos la 1ª fila a las otras tres. (2) Desarrollamos por la 1ª columna. (3) Sacamos (b − a) factor común. (4) Restamos a la 3ª fila la 2ª y a la 2ª la 1ª. (5) Es el determinante de una matriz triangular.
Ejercicio nº 7.-
Calcula el valor de este determinante, dando el resultado factorizado:
Solución:
( ) ( ) ( )cdbcaba
dcba
ccba
bbba
aaaa
−⋅−⋅−=
( ) ( ) ( )=
−−−
−−−
−−−
=
−−−
−−−
−−−=
321
0
0
0
adacab
acacab
ababab
a
adacab
acacab
ababab
aaaa
dcba
ccba
bbba
aaaa
( )( )
( )( )
( )( )( )( )cdbc
cd
bcbc
abab
aba
adac
acac
abab
aba −−=
−
−−
−−
−=
−−
−−
−−
−= a-b a
00
0
1
1
1
1
543
101
110
011
101
a
a
a
a
( ) ( )( )
( )( )
( )=
−−
−−+=+=
+
+
+
+
=4321
1111
001
1111
0001
2
101
111
011
1011
2
102
112
012
1012
101
110
011
101
a
a
aa
a
a
aa
aa
aa
aa
a
a
a
a
a
( )( )
( )( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) =−+=−−+=
−−
−−+=
−−
−−
+= aaaaaaaa
aaa
a
a
a
a 2 211 2 11
11 2
111
00
111
2 2254
12
(1) Sumamos a la 1ª columna las demás. (2) Sacamos (a + 2) factor común. (3) Restamos la 1ª columna a la 2ª y a la 4ª. (4) Desarrollamos por la 1ª fila. (5) Desarrollamos por la 2ª fila.
Ejercicio nº 8.-
Calcula el valor de este determinante:
Solución:
(1) Sumamos a la 1ª columna las otras tres. (2) Sacamos (x + 3a) factor común. (3) Es el determinante de una matriz triangular.
Ejercicio nº 9.-
Demuestra que:
Solución:
( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 22 −+=−+= aaaaaa
xaaa
axaa
aaxa
aaax
( ) ( )( ) =+=
+
+
+
+
=
1
1
1
1
3
3
3
3
3
21
xaa
axa
aax
aaa
ax
xaaax
axaax
aaxax
aaaax
xaaa
axaa
aaxa
aaax
( ) ( ) ( )33
000
000
000
1
3
aa
aa
aa
a
14
13
12
1
FILAS
axax
ax
ax
ax
aaa
ax −⋅+=
−
−
−+
−
−
−=
( )3
22
22
22
cba
baccc
bacbb
aacba
++=
−−
−−
−−
( )12 2
2 2 2 2 2 2 2 2
a b c a a a b c a b c a b cb b c a b b b c a bc c c a b c c c a b
− − + + + + + +− − = − − =
− − − −
13
(1) Sumamos a la 1ª fila las otras dos. (2) Sacamos (a + b + c) factor común. (3) Es el determinante de una matriz triangular.
Ejercicio nº 10.-
Halla en función de a, el valor de este determinante:
Solución:
(1) Desarrollamos por la 2ª fila. (2) Sacamos −1 factor común.
Ejercicio nº 11.-
a) Justifica cuáles de las siguientes igualdades son correctas y cuales no:
( )( ) ( )
( )=
−−−
−−−++=
−−
−−++=
−
−3
13
12
12
COLUMNAS
02
02
001
22
22
111
aa
aa
a
cbac
cbabcba
baccc
bacbbcba
( )( )( )( ) ( )3
3cbacbacbacba ++=−−−−−−++=
110
011
111
11
a
a
a
aa
−−
−−−
( )( ) =
−−
−−−
+−=
−−
+
−−−
+=
−−
−−−
11
01
11
1
110
011
0001
11
110
011
111
11
1
4
3
12
1
FILAS
a
a
aa
a
a
a
a
a
a
a
a
aa
a
a
a
aa
( )( ) ( )( ) ( )( )1111
11
01
11
1 332
−+=−+−+=
−−
+= aaaaaa
a
a
a
a
; ; 22
dc
ba
dc
ba
dc
ba
dc
ba
dc
ba
dc
baα=
αα
ααα=
α
αα=
α
α
b) Si 3, calcula el valor de los siguientes determinantes:a bc d
=
22
22 ;
ddc
bba
db
ca
+
+
14
Solución:
(1) El segundo determinante es 0 por tener las dos columnas proporcionales.
Ejercicio nº 12.-
Indica si son ciertas o no las siguientes igualdades. Razona tu respuesta:
Solución:
Por tanto, es verdadera la igualdad.
b) Falsa, ya que:
( ) VERDADERA a)
→α=−α=α−α=α
α
dc
babcadbcad
dc
ba
( ) FALSA 222 →−α=α≠−α=α
αbcad
dc
babcad
dc
ba
( ) VERDADERA 2222 →α=−α=α−α=αα
αα
dc
babcadbcad
dc
ba
3 b)
==dc
ba
db
ca
( )6320 2
2
2
2
2
22
22
1=⋅=+=+=
+
+
dc
ba
dd
bb
dc
ba
ddc
bba
3
333
333
333
b)
222
222
a)
rqp
cba
zyx
rcz
qby
pax
rqp
rcqbpazyx
rqp
cba
zyx
=+++=
212
222
222
222
222
a)
a
aa
a
3
32
1FILAS
rqp
cba
zyx
rqp
cba
zyx
rqp
cbazyx
rqp
rcqbpazyx
=⋅=−=+++
3 3 3
333
333
333
33
rqp
cba
zyx
rqp
cba
zyx
rcz
qby
pax
rcz
qby
pax
≠==
15
Ejercicio nº 13.-
la respuesta:
Solución: a) Vamos a tener en cuenta estas tres igualdades, que demostraremos al final:
Consideramos A y B dos matrices 2×2.
Por tanto:
b) Sumamos a la 1ª columna la 2ª y sacamos 2 y (−1) factor común:
OBSERVACIÓN: Vamos a demostrar las tres igualdades utilizadas.
dojustifican calcula, ,4 y2 que tales2,2 matrices dos son y Sia) −==× BABA
12 2 −− A;AB;AB;A;A;A tt
( )BBt matriz la de traspuesta la representa
. 2
2 calcula ,2 Sib)
ddc
bba
dc
ba
−+
−+−=
AAkAkBABA =⋅=⋅⋅=⋅ t2 A 3); 2); )1
42222 ===⋅=⋅=• AAAAAA
( ) ( ) 2111 2 ==⋅=⋅−=⋅−=−• AAAAA
824422 2 =⋅=⋅=⋅=• AAA
( ) 842 −=−⋅=⋅=⋅=⋅• BABABA tt
( ) 824 −=⋅−=⋅=⋅=⋅• ABABAB tt
, existe que y ; que cuenta en tener a vamos , hallar Para 111 −−− =⋅• AIAAA
Así:.02 que puesto ≠=A
211 1 = 111 ==→=⋅→⋅ −−−
AAAAIAA
( ) ( ) ( ) 422 2 2
2 =
2
2 =−⋅−=⋅−=
−
−
−+
−+
dc
ba
dc
ba
ddc
bba
: y Si2221
1211
2221
1211
=
=
bb
bbB
aa
aaA
16
Ejercicio nº 14.-
Solución: a) Restando a la 1ª fila la 3ª y sacamos (−2) factor común:
(*) Al permutar la 2ª y 3ª filas de orden, el determinante cambia de signo.
b) Restamos a la 3ª columna la 2ª, y sacamos 3 factor común:
++
++=⋅
2222122121221121
22121211211211111)
babababa
babababaBA
( )( ) ( )( ) =++−++=⋅ 21221121221212112222122121121111 babababababababaBA
−+++= 22212212211221122211221112112111 bbaabbaabbaabbaa
=−−−− 22212212112221122112221111122111 bbaabbaabbaabbaa
=+−−= 21122112112221122112221122112211 bbaabbaabbaabbaa
( ) ( ) =−−−= 211211222112211222112211 bbbbaabbbbaa
( ) BABaaaaBaaBaa ⋅=⋅−=−= 2112221121122211
=⋅
2221
22112)
kaka
kakaAk
( ) AkaaaakaakaakAk 222212211
22221
22211
2 =−=−=⋅
AaaaaAaa
aaA tt =−=→
= 21122211
2212
21113)
:tesdeterminan siguientes los de valor el halla ,4 que Sabiendo =
rqp
zyx
cba
3
3
3
b)
222
a)
zrzc
yqyb
xpxa
zyx
rqp
czbyax
+
+
+−−−
( )=−=
−−−
=
−−−*
2 222 222
zyx
rqp
cba
zyx
rqp
cba
zyx
rqp
czbyax
( )( ) ( ) 842 12
*=⋅=−⋅−=
rqp
zyx
cba
17
(*) Tenemos en cuenta que el determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta.
Ejercicio nº 15.-
Indica, razonando tus respuestas, si son ciertas o no las siguientes igualdades:
Solución:
Por tanto:
b) Observamos que la 2a y la 3a columna son proporcionales, puesto que la 3a la obtenemos multiplicando la 2a por a. Por tanto, el determinante es cero.
La igualdad es cierta.
Ejercicio nº 16.-
Halla el rango de la matriz siguiente:
Solución:
Tomamos un menor no nulo de orden 2:
( )1243 3 3
3
3
3
3
3
3
*
=⋅====
+
+
+
rqp
zyx
cba
rzc
qyb
pxa
rzc
qyb
pxa
zrzc
yqyb
xpxa
0
1
1
1
b)
222
222
111
222
a)
43
32
2
=
+++
=
aa
aa
aa
cba
zyx
cba
zyx
.1 la sumado hemos le 3 la A .21 por 2 la y 2 por domultiplica hemos la fila 1 Laa) aaaa
cierta. es igualdad La.
222
222
111
221
222
+++
⋅=
cba
zyx
cba
zyx
−
−
−
=
1143
3010
2321
0211
M
−
−
−
=
11
30
43
1023
02
21
11
M
18
Las dos primeras filas son linealmente independientes. Veamos si la 3ª fila depende linealmente de las dos primeras:
Comprobamos si el determinante de M es distinto de cero o no:
(1) Restamos a la 4ª columna, la 2ª multiplicada por 3. (2) Desarrollamos por la 3ª fila. Por tanto, ran (M) = 4
Ejercicio nº 17.-
Averigua cuál es el rango de la siguiente matriz:
Solución:
Luego, ran (M) ≥ 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes. Veamos si la tercera fila depende linealmente de las dos primeras:
Comprobamos si el determinante de M es distinto de cero o no:
( ) 2 ran04 23
02 ≥→≠= M
( ) 3 ranntesindependie elinealmentson filas primeras tres Las015
31
21 3
300
23
02
1
1
≥→→≠=−
=− M
( ) ( ) 015
1313
431
321
1
13143
0010
4321
3211
1143
3010
2321
0211
21
≠−=−−−=
−
−−
−
=
−
−
−
=M
−
−
−
−
=
2355
1430
2111
2132
M
05 11
32 :nulo no 2 orden de menor un Tomamos ≠=−
( ) 3 ranntesindependie elinealmentson filas primeras tres Las017
430
1
1
11
32
≥→→≠=
−
− M
19
Por tanto, ran (M) = 3.
Ejercicio nº 18.-
Calcula el rango de la matriz:
Solución:
Por tanto, ran (A) ≥ 2. Las dos primeras líneas son linealmente independientes. Veamos si la tercera fila depende linealmente de las dos primeras:
Luego, ran (A) = 3.
Ejercicio nº 19.-
Estudia el rango de la matriz:
Solución:
Luego, ran (A) ≥ 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes. Veamos si la tercera fila depende linealmente de las dos primeras:
0
12210
143
615
122105
1430
0001
6152
2355
1430
2111
2132
aa
aa
aa
a
124
13
12
1
COLUMNAS
=−=−
−=
−
−
−
−
=
⋅+
+
+M
−
−−
−
=
421123
113101
324312
A
01 01
12 :nulo no 2 orden de menor un Tomamos ≠=
−
ntes.independie ntelinealmeme son filas tres Las014
123
1
3
01
12
→≠=−
−
−
−
−
−
=
3770
711121
1321
5132
A
07 21
32 :nulo no 2 orden de menor un Tomamos ≠−=
−
20
Comprobamos si la cuarta fila depende linealmente de las dos primeras:
Por tanto, ran (A) = 2.
Ejercicio nº 20.-
Obtén el rango de esta matriz:
Solución:
Observamos que la 4ª columna coincide con la 1ª y que la 5ª es igual que la 3ª. Por tanto, podemos prescindir de las dos últimas columnas para calcular el rango de M. Así, ran (M) ≤ 3.
Luego, ran (M) ≥ 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes. Veamos si la 3ª fila depende linealmente de las dos primeras:
( )aaa 3 la obtenemos ,2 la menos columna 1 la restamos si pues,0
11121
3
1
21
32
=
−
−
−
primeras. dos las de lineal ncombinació es fila 3 la Así,.0
7121
121
532
a=−
primeras. dos las de depende fila cuarta la También . 0
370
121
532
;0
770
321
132
=−=
−
−
−
−−
−
−−
−
=
11141
30310
11121
32312
M
03 21
12 :nulo no 2 orden de menor un Tomamos ≠=−
−
21
Ejercicio nº 21.-
Determina cuál es el rango de la matriz A, según los valores de λ:
Solución:
Luego, ran (A) ≥ 2. Buscamos los valores de λ que hacen cero el determinante formado por las columnas 2a, 3a y 4a:
• Si λ = 1 → La 3ª columna depende linealmente de la 2ª y 4ª. Veamos qué ocurre con la 1ª columna:
• Si λ = −2 → La 3ª columna depende linealmente de la 2ª y 4ª. Veamos qué ocurre con la 1ª columna:
( ) 3 ran014
310
121
312
=→≠=
−
−
−
M
λ
λ
+λ
=
020
200
1111
A
λ
λ
+λ
=
020
200
1111
A
02 20
11 :cero de distinto 2 orden de menor un Tomamos ≠=
( )[ ] [ ]=λ−λ−−=+λλ−−=λ
+λ−=
λ
+λ
222122 2
11 2
02
200
111
[ ]
−=λ
=λ±−=
+±−=λ→=−λ+λ⋅=
2
1
231
2811022 2
( ) 3 ran 2 y 1 Si =→−≠λ≠λ• A
( ) 3 ran01
010
201
111
=→≠−= A
( ) 3 ran08
020
202
111
=→≠=
−
− A
22
Por tanto, ran (A) = 3 para cualquier valor de λ.
Ejercicio nº 22.-
Estudia el rango de la matriz M según los valores de t:
Solución:
Observamos que la 3ª columna es proporcional a la 1ª (es su triple), por tanto, podemos prescindir de ella para calcular el rango.
Luego, ran (M) ≥ 2.
Buscamos los valores de t que hacen que el determinante formado por las columnas 1a, 2a y 4a sea cero:
Por tanto, la 3ª fila depende linealmente de las dos primeras para cualquier valor de t. Así, ran (M) = 2.
Ejercicio nº 23.-
Estudia el rango de esta matriz, según los valores de t:
Solución:
−−
=
23381
231
1321
t
tM
01 21
11 :cero de distinto 2 orden de menor un Tomamos ≠=
( ) . de valor cualquier para043824382
2381
21
121
ttttt
t
t =+−−−+−+−=
−−
−−
=
231
040
2401
t
tM
23
Observamos que la 4ª columna es el doble de la 1ª. Luego, podemos prescindir de ella para obtener el rango.
Así, ran (M) ≥ 2. Buscamos los valores de t que hacen cero el determinante formado por las tres primeras columnas:
• Si t = 2 o t = −6 → La 2ª columna depende linealmente de la 1ª y 3ª.
Por tanto, ran (M) = 2.
Ejercicio nº 24.-
Estudia el rango de la siguiente matriz para los distintos valores de a:
Solución:
Luego, ran (M) ≥ 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes para cualquier valor de a.
Buscamos los valores de a que hacen que el determinante formado por las columnas 1a, 3a y 4a sea igual a cero:
• Si a = 1 → Sabemos que la 1ª columna depende linealmente de las dos últimas. Veamos que ocurre con la 2ª columna:
04 40
41 :cero de distinto 2 orden de menor un Tomamos ≠=
−=
=±−=
+±−=→=−+=
−6
2
284
2481640124
31
40
401
2
t
tttt
t
t
( ) 3 ran6 y 2 Si =→−≠≠• Mtt
=
aa
a
a
M
522
121
031
03 12
03 :cero de distinto 2 orden de menor un Tomamos ≠=
( ) →=+−→=+−=+−=−−+= 03403426823562
5
12
03
2
1 2222 aaaaaaaaa
a
a
=
=±=
−±=→
1
3
224
212164
a
aa
últimas. dos las de elinealment depende columna 2 La0
15
12
03
2
1
1a→=
24
Por tanto, ran (M) = 2. • Si a = 3 → Sabemos que la 1ª columna depende linealmente de las dos últimas. Veamos que ocurre con la 2ª
columna:
Ejercicio nº 25.-
Determina el rango de la siguiente matriz para los distintos valores de a:
Solución: Podemos prescindir de la 3ª columna, pues no influye en el rango.
Luego, ran (A) ≥ 2.
Buscamos los valores de a que hacen cero el determinante formado por las tres primeras columnas:
→ ran (A) = 2
( ) 3 ran tanto, Por .08
35
12
03
6
3
1
=≠= M
−
−
=
014
030
0101
a
aA
01 14
01 :cero de distinto 2 orden de menor un Tomemos ≠=
−=
−=±−=
−±−=→=++=−
−
3
1
224
212164034
14
30
101
2
a
aaaa
a
a
( ) 3 ran3 y 1 Si =→−≠−≠• Aaa
→→−=−=• dos otras las de elinealment depende fila 2 La3 o 1 Si aaa