Post on 01-Mar-2021
DIFERENCIACIÓN de FUNCIONES de VARIAS
VARIABLES � DFVV
Grado en Matemáticas
Renato Álvarez-NodarseUniversidad de Sevilla
https://renato.ryn-fismat.es/clases.html
Renato Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla DFVV
Por si alguien necesita motivación . . .
El 1o estudiamos las funciones de R 7→ R.x
x
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
0 0.5 1 1.5 2
Ahora vamos a ir más lejos: Funciones de Rm 7→ Rn.
-4 -2 0 2 4 -4-2
0 2
4-2
-1.5-1
-0.5 0
0.5 1
1.5 2
cos(y)+sin(x)
xy
¾Sirve para algo? SI: ½El mundo no es unidimensional!
Renato Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla DFVV
Por si alguien necesita motivación . . .
El 1o estudiamos las funciones de R 7→ R.x
x
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
0 0.5 1 1.5 2
Ahora vamos a ir más lejos: Funciones de Rm 7→ Rn.
-4 -2 0 2 4 -4-2
0 2
4-2
-1.5-1
-0.5 0
0.5 1
1.5 2
cos(y)+sin(x)
xy
¾Sirve para algo? SI: ½El mundo no es unidimensional!
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Por si alguien necesita motivación . . .
El 1o estudiamos las funciones de R 7→ R.x
x
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
0 0.5 1 1.5 2
Ahora vamos a ir más lejos: Funciones de Rm 7→ Rn.
-4 -2 0 2 4 -4-2
0 2
4-2
-1.5-1
-0.5 0
0.5 1
1.5 2
cos(y)+sin(x)
xy
¾Sirve para algo?
SI: ½El mundo no es unidimensional!
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Por si alguien necesita motivación . . .
El 1o estudiamos las funciones de R 7→ R.x
x
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
0 0.5 1 1.5 2
Ahora vamos a ir más lejos: Funciones de Rm 7→ Rn.
-4 -2 0 2 4 -4-2
0 2
4-2
-1.5-1
-0.5 0
0.5 1
1.5 2
cos(y)+sin(x)
xy
¾Sirve para algo? SI: ½El mundo no es unidimensional!Renato Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla DFVV
¾De verdad que esto sirve para algo?
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Motivación: La mecánica newtoniana
En la mecánica newtoniana el estado de un sistema viene dado porel conjunto de trayectorias de las partículas que lo constituyen.
Queremos encontrar x(t). Ejemplo: el oscilador armónico.
md2x(t)
dt2= −kx
����������������������
����������������������
��������������������������������������������������������������������������������
0 x
k m
x(t) = A cos
(√k
mt + φ
)
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Motivación: La mecánica newtoniana
En la mecánica newtoniana el estado de un sistema viene dado porel conjunto de trayectorias de las partículas que lo constituyen.
Queremos encontrar x(t). Ejemplo: el oscilador armónico.
md2x(t)
dt2= −kx
����������������������
����������������������
��������������������������������������������������������������������������������
0 x
k m
x(t) = A cos
(√k
mt + φ
)
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Motivación: La mecánica newtoniana
En la mecánica newtoniana el estado de un sistema viene dado porel conjunto de trayectorias de las partículas que lo constituyen.
Queremos encontrar x(t). Ejemplo: el oscilador armónico.
md2x(t)
dt2= −kx
����������������������
����������������������
��������������������������������������������������������������������������������
0 x
k m
x(t) = A cos
(√k
mt + φ
)
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El mundo real tiene 3 dimensiones espaciales
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El mundo real tiene 3 dimensiones espaciales
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El mundo real tiene 3 dimensiones espaciales
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El mundo real tiene 3 dimensiones espaciales
•En la mecánica newtoniana el estado de un sis-tema viene dado por el conjunto de trayectoriasde las partículas que lo constituyen.
•Para una partícula P , el estado estará dado porla función ~rP(t) ∈ R3 que denota la posición encada instante de tiempo t.
Queremos saber la posición ~r(t), la velocidad ~v(t) = d/dt[~r(t)], laenergía cinética T = mv2(t), etc.
• La ley dinámica en es la segunda ley de Newton:
m~a(t) = ~F (t), ~a(t) =d2~r(t)
dt2.
~r(t) =
x(t)y(t)z(t)
~F (t) =
Fx(t)Fy (t)Fz(t)
~a(t) =???
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El mundo real tiene 3 dimensiones espaciales
•En la mecánica newtoniana el estado de un sis-tema viene dado por el conjunto de trayectoriasde las partículas que lo constituyen.
•Para una partícula P , el estado estará dado porla función ~rP(t) ∈ R3 que denota la posición encada instante de tiempo t.
Queremos saber la posición ~r(t), la velocidad ~v(t) = d/dt[~r(t)], laenergía cinética T = mv2(t), etc.
• La ley dinámica en es la segunda ley de Newton:
m~a(t) = ~F (t), ~a(t) =d2~r(t)
dt2.
~r(t) =
x(t)y(t)z(t)
~F (t) =
Fx(t)Fy (t)Fz(t)
~a(t) =???
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El mundo real tiene 3 dimensiones espaciales
•En la mecánica newtoniana el estado de un sis-tema viene dado por el conjunto de trayectoriasde las partículas que lo constituyen.
•Para una partícula P , el estado estará dado porla función ~rP(t) ∈ R3 que denota la posición encada instante de tiempo t.
Queremos saber la posición ~r(t), la velocidad ~v(t) = d/dt[~r(t)], laenergía cinética T = mv2(t), etc.
• La ley dinámica en es la segunda ley de Newton:
m~a(t) = ~F (t), ~a(t) =d2~r(t)
dt2.
~r(t) =
x(t)y(t)z(t)
~F (t) =
Fx(t)Fy (t)Fz(t)
~a(t) =???
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El mundo real tiene 3 dimensiones espaciales
•En la mecánica newtoniana el estado de un sis-tema viene dado por el conjunto de trayectoriasde las partículas que lo constituyen.
•Para una partícula P , el estado estará dado porla función ~rP(t) ∈ R3 que denota la posición encada instante de tiempo t.
Queremos saber la posición ~r(t), la velocidad ~v(t) = d/dt[~r(t)], laenergía cinética T = mv2(t), etc.
• La ley dinámica en es la segunda ley de Newton:
m~a(t) = ~F (t), ~a(t) =d2~r(t)
dt2.
~r(t) =
x(t)y(t)z(t)
~F (t) =
Fx(t)Fy (t)Fz(t)
~a(t) =???
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El mundo real tiene 3 dimensiones espaciales
•En la mecánica newtoniana el estado de un sis-tema viene dado por el conjunto de trayectoriasde las partículas que lo constituyen.
•Para una partícula P , el estado estará dado porla función ~rP(t) ∈ R3 que denota la posición encada instante de tiempo t.
Queremos saber la posición ~r(t), la velocidad ~v(t) = d/dt[~r(t)], laenergía cinética T = mv2(t), etc.
• La ley dinámica en es la segunda ley de Newton:
m~a(t) = ~F (t), ~a(t) =d2~r(t)
dt2.
~r(t) =
x(t)y(t)z(t)
~F (t) =
Fx(t)Fy (t)Fz(t)
~a(t) =???
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El problema de la cuerda vibrante
La modelización del problema viene dada por las derivadas parcialesde la función y .
La ecuación que modela este tipo de fenómenos es la conocidaecuación de ondas y tiene la forma (después veremos que son lasderivadas parciales):
∂2y
∂t2= c2
∂2y
∂x2, y := y(x , t).
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El problema de la cuerda vibrante
La modelización del problema viene dada por las derivadas parcialesde la función y .
La ecuación que modela este tipo de fenómenos es la conocidaecuación de ondas y tiene la forma (después veremos que son lasderivadas parciales):
∂2y
∂t2= c2
∂2y
∂x2, y := y(x , t).
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La ecuación del calor
Queremos ahora saber como evoluciona el calor en una placa que secalienta.
Problema: calcular la función T (x , y , z , t) que en en cada instantet mide la temperatura en el punto de la barra de coordenadas(x , y , z). La modelización del problema viene dada por ecuacióndel calor.
∂T∂t
= a
(∂2T∂x2
+∂2T∂y2
+∂2T∂z2
)T := T (x , y , z , t).
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La ecuación del calor
Queremos ahora saber como evoluciona el calor en una placa que secalienta.
Problema: calcular la función T (x , y , z , t) que en en cada instantet mide la temperatura en el punto de la barra de coordenadas(x , y , z). La modelización del problema viene dada por ecuacióndel calor.
∂T∂t
= a
(∂2T∂x2
+∂2T∂y2
+∂2T∂z2
)T := T (x , y , z , t).
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½Ya estamos listo para el viaje!
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¾De qué va esta asignatura?
Vamos a tratar funciones reales de�nidas sobre subconjuntos de Rn
y cuya imagen está contenida en Rm
f : A ⊂ Rn 7→ B ⊂ Rm
1 Concepto de límite y continuidad.
2 Concepto de derivabilidad
3 Función implícita y función inversa.
4 Cálculo de máximos y mínimos.
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¾De qué va esta asignatura?
Vamos a tratar funciones reales de�nidas sobre subconjuntos de Rn
y cuya imagen está contenida en Rm
f : A ⊂ Rn 7→ B ⊂ Rm
1 Concepto de límite y continuidad.
2 Concepto de derivabilidad
3 Función implícita y función inversa.
4 Cálculo de máximos y mínimos.
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¾De qué va esta asignatura?
Vamos a tratar funciones reales de�nidas sobre subconjuntos de Rn
y cuya imagen está contenida en Rm
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1 Concepto de límite y continuidad.
2 Concepto de derivabilidad
3 Función implícita y función inversa.
4 Cálculo de máximos y mínimos.
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Vamos a tratar funciones reales de�nidas sobre subconjuntos de Rn
y cuya imagen está contenida en Rm
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2 Concepto de derivabilidad
3 Función implícita y función inversa.
4 Cálculo de máximos y mínimos.
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2 Concepto de derivabilidad
3 Función implícita y función inversa.
4 Cálculo de máximos y mínimos.
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¾De qué va esta asignatura?
Vamos a tratar funciones reales de�nidas sobre subconjuntos de Rn
y cuya imagen está contenida en Rm
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1 Concepto de límite y continuidad.
2 Concepto de derivabilidad
3 Función implícita y función inversa.
4 Cálculo de máximos y mínimos.
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TEMARIO DETALLADO
Tema 1. Introducción a las funciones de varias variables I.Límites y continuidad en Rn.
Tema 2. Introducción a las funciones de varias variables II.Derivadas parciales y direccionales. Gradiente. Interpretacionesgeométricas y físicas. Aplicaciones.
Tema 3. Diferenciación en Rn. Teoremas para funcionesdiferenciables (regla de la cadena, valor medio, etc.). Derivadas deorden superior: derivadas cruzadas y fórmula de Taylor.Aplicaciones.
Tema 4. Teoremas de inversión local. Teorema de la funcióninversa. Teorema de la función implícita.
Tema 5. Extremos. Extremos relativos y absolutos. Extremoscondicionados: multiplicadores de Lagrange. Aplicaciones.
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TEMARIO DETALLADO
Tema 1. Introducción a las funciones de varias variables I.Límites y continuidad en Rn.
Tema 2. Introducción a las funciones de varias variables II.Derivadas parciales y direccionales. Gradiente. Interpretacionesgeométricas y físicas. Aplicaciones.
Tema 3. Diferenciación en Rn. Teoremas para funcionesdiferenciables (regla de la cadena, valor medio, etc.). Derivadas deorden superior: derivadas cruzadas y fórmula de Taylor.Aplicaciones.
Tema 4. Teoremas de inversión local. Teorema de la funcióninversa. Teorema de la función implícita.
Tema 5. Extremos. Extremos relativos y absolutos. Extremoscondicionados: multiplicadores de Lagrange. Aplicaciones.
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TEMARIO DETALLADO
Tema 1. Introducción a las funciones de varias variables I.Límites y continuidad en Rn.
Tema 2. Introducción a las funciones de varias variables II.Derivadas parciales y direccionales. Gradiente. Interpretacionesgeométricas y físicas. Aplicaciones.
Tema 3. Diferenciación en Rn. Teoremas para funcionesdiferenciables (regla de la cadena, valor medio, etc.). Derivadas deorden superior: derivadas cruzadas y fórmula de Taylor.Aplicaciones.
Tema 4. Teoremas de inversión local. Teorema de la funcióninversa. Teorema de la función implícita.
Tema 5. Extremos. Extremos relativos y absolutos. Extremoscondicionados: multiplicadores de Lagrange. Aplicaciones.
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Tema 1. Introducción a las funciones de varias variables I.Límites y continuidad en Rn.
Tema 2. Introducción a las funciones de varias variables II.Derivadas parciales y direccionales. Gradiente. Interpretacionesgeométricas y físicas. Aplicaciones.
Tema 3. Diferenciación en Rn. Teoremas para funcionesdiferenciables (regla de la cadena, valor medio, etc.). Derivadas deorden superior: derivadas cruzadas y fórmula de Taylor.Aplicaciones.
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Tema 5. Extremos. Extremos relativos y absolutos. Extremoscondicionados: multiplicadores de Lagrange. Aplicaciones.
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TEMARIO DETALLADO
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Tema 2. Introducción a las funciones de varias variables II.Derivadas parciales y direccionales. Gradiente. Interpretacionesgeométricas y físicas. Aplicaciones.
Tema 3. Diferenciación en Rn. Teoremas para funcionesdiferenciables (regla de la cadena, valor medio, etc.). Derivadas deorden superior: derivadas cruzadas y fórmula de Taylor.Aplicaciones.
Tema 4. Teoremas de inversión local. Teorema de la funcióninversa. Teorema de la función implícita.
Tema 5. Extremos. Extremos relativos y absolutos. Extremoscondicionados: multiplicadores de Lagrange. Aplicaciones.
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Metodología
La asignatura está �dividida� en 3.2 créditos teóricos y 2.4créditos prácticos
y 4 horas de ½ordenador!
• Las horas de teoría se dedicarán a la explicación de los principalesconceptos teóricos así como a desarrollar distintos ejemplos quepermitan aplicar y profundizar los métodos aprendidos.
• Las horas prácticas se dedicarán a proponer y resolver diversosejercicios que permitan al alumno una comprensión más profundade los conceptos teóricos y que sirvan de complemento a las clasesteóricas.
• En las horas de laboratorio aprenderemos a usar un programa decálculo símbolico/numérico para resolver problemas.
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Metodología
La asignatura está �dividida� en 3.2 créditos teóricos y 2.4créditos prácticos y 4 horas de ½ordenador!
• Las horas de teoría se dedicarán a la explicación de los principalesconceptos teóricos así como a desarrollar distintos ejemplos quepermitan aplicar y profundizar los métodos aprendidos.
• Las horas prácticas se dedicarán a proponer y resolver diversosejercicios que permitan al alumno una comprensión más profundade los conceptos teóricos y que sirvan de complemento a las clasesteóricas.
• En las horas de laboratorio aprenderemos a usar un programa decálculo símbolico/numérico para resolver problemas.
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Metodología
La asignatura está �dividida� en 3.2 créditos teóricos y 2.4créditos prácticos y 4 horas de ½ordenador!
• Las horas de teoría se dedicarán a la explicación de los principalesconceptos teóricos así como a desarrollar distintos ejemplos quepermitan aplicar y profundizar los métodos aprendidos.
• Las horas prácticas se dedicarán a proponer y resolver diversosejercicios que permitan al alumno una comprensión más profundade los conceptos teóricos y que sirvan de complemento a las clasesteóricas.
• En las horas de laboratorio aprenderemos a usar un programa decálculo símbolico/numérico para resolver problemas.
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Metodología
La asignatura está �dividida� en 3.2 créditos teóricos y 2.4créditos prácticos y 4 horas de ½ordenador!
• Las horas de teoría se dedicarán a la explicación de los principalesconceptos teóricos así como a desarrollar distintos ejemplos quepermitan aplicar y profundizar los métodos aprendidos.
• Las horas prácticas se dedicarán a proponer y resolver diversosejercicios que permitan al alumno una comprensión más profundade los conceptos teóricos y que sirvan de complemento a las clasesteóricas.
• En las horas de laboratorio aprenderemos a usar un programa decálculo símbolico/numérico para resolver problemas.
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Metodología
La asignatura está �dividida� en 3.2 créditos teóricos y 2.4créditos prácticos y 4 horas de ½ordenador!
• Las horas de teoría se dedicarán a la explicación de los principalesconceptos teóricos así como a desarrollar distintos ejemplos quepermitan aplicar y profundizar los métodos aprendidos.
• Las horas prácticas se dedicarán a proponer y resolver diversosejercicios que permitan al alumno una comprensión más profundade los conceptos teóricos y que sirvan de complemento a las clasesteóricas.
• En las horas de laboratorio aprenderemos a usar un programa decálculo símbolico/numérico para resolver problemas.
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Bibliografía muy básica
1 Courant, R. y John, F. Introduction to Calculus and Analysis Vol. II(Springer, 1974). (hay traducción al castellano).
2 de Burgos, J. Cálculo in�nitesimal de varias variables (McGraw-Hill,2002).
3 Kudriávtsev, L.D. Curso de Análisis Matemático Vols. I y II (Mir,1988).
4 Zorich, V. A. Mathematical Analysis. Vol. I (Springer, 2004).
5 Carmona Álvarez, J., Facenda Aguirre, J. A., Freniche Ibáñez, F. J.Ejercicios de Cálculo Diferencial de varias variables. (Secretariado dePublicaciones. Universidad de Sevilla, 2008).
6 Liashkó, I.I. y otros. Matemática superior. Problemas resueltos Vol.3. (Editorial URSS, 1999).
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Evaluación
Se realizarán dos pruebas escritas a lo largo del curso:Primera prueba: temas 1, 2 y 3 (�nales de noviembre).Segunda prueba: temas 4 y 5 (última semana de clases).
Estas pruebas se evaluarán sobre 10 puntos cada una. Seránecesarios un mínimo de 4 puntos para aprobar cada prueba.La nota �nal la media obtenida en ellas y si es mayor o igualque 5 se aprobará la asignatura.
Habrá un examen �nal escrito. Para aprobar la asignatura senecesita sacar al menos 5 puntos en dicho examen.
examen ¾escrito?
1a convocatoria del examen �nal: ≈ enero-febrero. Examenmuy �especial�2a convocatoria del examen �nal: septiembre.
½Si aprendemos aprobamos pero no necesariamente alrevés!
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Evaluación
Se realizarán dos pruebas escritas a lo largo del curso:Primera prueba: temas 1, 2 y 3 (�nales de noviembre).Segunda prueba: temas 4 y 5 (última semana de clases).
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Habrá un examen �nal escrito. Para aprobar la asignatura senecesita sacar al menos 5 puntos en dicho examen.
examen ¾escrito?
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½Si aprendemos aprobamos pero no necesariamente alrevés!
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Evaluación
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Habrá un examen �nal escrito. Para aprobar la asignatura senecesita sacar al menos 5 puntos en dicho examen.
examen ¾escrito?
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½Si aprendemos aprobamos pero no necesariamente alrevés!
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Evaluación
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Habrá un examen �nal escrito. Para aprobar la asignatura senecesita sacar al menos 5 puntos en dicho examen.
examen ¾escrito?
1a convocatoria del examen �nal: ≈ enero-febrero. Examenmuy �especial�2a convocatoria del examen �nal: septiembre.
½Si aprendemos aprobamos pero no necesariamente alrevés!
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Evaluación
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examen ¾escrito?
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½Si aprendemos aprobamos pero no necesariamente alrevés!
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examen ¾escrito?
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Habrá un examen �nal escrito. Para aprobar la asignatura senecesita sacar al menos 5 puntos en dicho examen.
examen ¾escrito?
1a convocatoria del examen �nal: ≈ enero-febrero. Examenmuy �especial�2a convocatoria del examen �nal: septiembre.
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examen ¾escrito?
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Horario de Clases y Tutorías el tiempos de pandemia
Horario y Lugar: Depende de en que situación estemos ...
Horario y Lugar de las Tutorías: Las tutorías este curso seránonline. El horario se publicará en la web (previa cita). Fuera delhorario o�cial también se puede según disponibilidad.
Las prácticas de informática serán, en caso de que se cumplan lasmedidas de seguridad, en el Laboratorio de Informática y seanunciarán en la web.
Cambios de clase, etc
Contingencia covid-19: Todo va a estar en la web:
Las transparencias que proyectemos en clase.Las pruebas de los
teoremas. Los problemas que resolvamos en clase.Vídeos con las
clases. ¾Debo venir a clase?
Renato Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla DFVV
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Las prácticas de informática serán, en caso de que se cumplan lasmedidas de seguridad, en el Laboratorio de Informática y seanunciarán en la web.
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Las prácticas de informática serán, en caso de que se cumplan lasmedidas de seguridad, en el Laboratorio de Informática y seanunciarán en la web.
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Horario de Clases y Tutorías el tiempos de pandemia
Horario y Lugar: Depende de en que situación estemos ...
Horario y Lugar de las Tutorías: Las tutorías este curso seránonline. El horario se publicará en la web (previa cita). Fuera delhorario o�cial también se puede según disponibilidad.
Las prácticas de informática serán, en caso de que se cumplan lasmedidas de seguridad, en el Laboratorio de Informática y seanunciarán en la web.
Cambios de clase, etc
Contingencia covid-19: Todo va a estar en la web:
Las transparencias que proyectemos en clase.Las pruebas de los
teoremas. Los problemas que resolvamos en clase.Vídeos con las
clases. ¾Debo venir a clase?
Renato Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla DFVV
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Vídeos con las
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DATOS RELEVANTES
Profesor Renato Álvarez
Despacho: 1er piso, Mod 15, No. 15-07 Facultad de Matemáticas.
E-mail: ran@us.es Teléfono: 954 55 79 94
Web: https://renato.ryn-fismat.es
Web del curso: https://renato.ryn-fismat.es/clases.html
Renato Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla DFVV
¾Cómo comenzar el curso?
Con unos ejemplos representativos
f : R2 7→ R, z = f (x , y)
¾Cuál es la base de todo el Análisis?
Renato Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla DFVV
¾Y cómo comenzar el curso? f : R2 7→ R, z = f (x , y)
lım(x ,y)→(0,0)
f (x , y) =?
Ejemplo 1. Sea
f (x , y) =
x2 − y2
x2 + y2, si (x , y) 6= (0, 0),
0, si (x , y) = (0, 0).
Si elegimos y = αx , α 6= 0, con x → 0, está claro que
f (x , αx) =1− α2
1 + α2,
que depende de la dirección que tomemos, luego no existe (¾porqué?) el límite de f (x , y) cuando (x , y)→ (0, 0).
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¾Y cómo comenzar el curso? f : R2 7→ R, z = f (x , y)
lım(x ,y)→(0,0)
f (x , y) =?
Ejemplo 1. Sea
f (x , y) =
x2 − y2
x2 + y2, si (x , y) 6= (0, 0),
0, si (x , y) = (0, 0).
Si elegimos y = αx , α 6= 0, con x → 0, está claro que
f (x , αx) =1− α2
1 + α2,
que depende de la dirección que tomemos, luego no existe (¾porqué?) el límite de f (x , y) cuando (x , y)→ (0, 0).
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f (x , y) =?
Ejemplo 1. Sea
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x2 − y2
x2 + y2, si (x , y) 6= (0, 0),
0, si (x , y) = (0, 0).
Si elegimos y = αx , α 6= 0, con x → 0, está claro que
f (x , αx) =1− α2
1 + α2,
que depende de la dirección que tomemos, luego no existe (¾porqué?) el límite de f (x , y) cuando (x , y)→ (0, 0).
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Ejemplo 1. Sea
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x2 − y2
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0, si (x , y) = (0, 0).
Si elegimos y = αx , α 6= 0, con x → 0, está claro que
f (x , αx) =1− α2
1 + α2,
que depende de la dirección que tomemos, luego no existe (¾porqué?) el límite de f (x , y) cuando (x , y)→ (0, 0).
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f (x , y) =?
Ejemplo 1. Sea
f (x , y) =
x2 − y2
x2 + y2, si (x , y) 6= (0, 0),
0, si (x , y) = (0, 0).
Si elegimos y = αx , α 6= 0, con x → 0, está claro que
f (x , αx) =1− α2
1 + α2,
que depende de la dirección que tomemos, luego no existe (¾porqué?) el límite de f (x , y) cuando (x , y)→ (0, 0).
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¾Y cómo comenzar el curso? f : R2 7→ R, z = f (x , y)
lım(x ,y)→(0,0)
f (x , y) =?
Ejemplo 2. Sea la función
f (x , y) =
x2y
x4 + y2, si (x , y) 6= (0, 0),
0, si (x , y) = (0, 0),
Entonces lımx→0
f (x , αx) = 0 para todo α, α 6= 0, . . . pero
¾Qué ocurre si elegimos y = x2? f (x , x2) = 1/2 6= 0
Luego no existe el límite de f (x , y) cuando (x , y)→ (0, 0).
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lım(x ,y)→(0,0)
f (x , y) =?
Ejemplo 2. Sea la función
f (x , y) =
x2y
x4 + y2, si (x , y) 6= (0, 0),
0, si (x , y) = (0, 0),
Entonces lımx→0
f (x , αx) = 0 para todo α, α 6= 0, . . . pero
¾Qué ocurre si elegimos y = x2?
f (x , x2) = 1/2 6= 0
Luego no existe el límite de f (x , y) cuando (x , y)→ (0, 0).
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lım(x ,y)→(0,0)
f (x , y) =?
Ejemplo 2. Sea la función
f (x , y) =
x2y
x4 + y2, si (x , y) 6= (0, 0),
0, si (x , y) = (0, 0),
Entonces lımx→0
f (x , αx) = 0 para todo α, α 6= 0, . . . pero
¾Qué ocurre si elegimos y = x2? f (x , x2) = 1/2 6= 0
Luego no existe el límite de f (x , y) cuando (x , y)→ (0, 0).
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¾Y cómo comenzar el curso? f : R2 7→ R, z = f (x , y)
Ejemplo 3.
f (x , y) =
|x |3/2yx2 + y2
, si (x , y) 6= (0, 0),
0, si (x , y) = (0, 0).
Pero para todos x , y ∈ R se tiene que 2|xy | ≤ x2 + y2 (¾por qué)
0 ≤
∣∣∣∣∣ x3/2y
x2 + y2
∣∣∣∣∣ = |x |1/2∣∣∣∣ |xy |x2 + y2
∣∣∣∣ ≤ 12|x |1/2 → 0
cuando (x , y)→ (0, 0).
Luego deberíamos tener lım(x ,y)→(0,0)
f (x , y) = 0. ?????
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Ejemplo 3.
f (x , y) =
|x |3/2yx2 + y2
, si (x , y) 6= (0, 0),
0, si (x , y) = (0, 0).
Pero para todos x , y ∈ R se tiene que 2|xy | ≤ x2 + y2 (¾por qué)
0 ≤
∣∣∣∣∣ x3/2y
x2 + y2
∣∣∣∣∣ = |x |1/2∣∣∣∣ |xy |x2 + y2
∣∣∣∣ ≤ 12|x |1/2 → 0
cuando (x , y)→ (0, 0).
Luego deberíamos tener lım(x ,y)→(0,0)
f (x , y) = 0. ?????
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Ejemplo 3.
f (x , y) =
|x |3/2yx2 + y2
, si (x , y) 6= (0, 0),
0, si (x , y) = (0, 0).
Pero para todos x , y ∈ R se tiene que 2|xy | ≤ x2 + y2 (¾por qué)
0 ≤
∣∣∣∣∣ x3/2y
x2 + y2
∣∣∣∣∣ = |x |1/2∣∣∣∣ |xy |x2 + y2
∣∣∣∣ ≤ 12|x |1/2 → 0
cuando (x , y)→ (0, 0).
Luego deberíamos tener lım(x ,y)→(0,0)
f (x , y) = 0. ?????
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Ejemplo 3.
f (x , y) =
|x |3/2yx2 + y2
, si (x , y) 6= (0, 0),
0, si (x , y) = (0, 0).
Pero para todos x , y ∈ R se tiene que 2|xy | ≤ x2 + y2 (¾por qué)
0 ≤
∣∣∣∣∣ x3/2y
x2 + y2
∣∣∣∣∣ = |x |1/2∣∣∣∣ |xy |x2 + y2
∣∣∣∣ ≤
12|x |1/2 → 0
cuando (x , y)→ (0, 0).
Luego deberíamos tener lım(x ,y)→(0,0)
f (x , y) = 0. ?????
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Ejemplo 3.
f (x , y) =
|x |3/2yx2 + y2
, si (x , y) 6= (0, 0),
0, si (x , y) = (0, 0).
Pero para todos x , y ∈ R se tiene que 2|xy | ≤ x2 + y2 (¾por qué)
0 ≤
∣∣∣∣∣ x3/2y
x2 + y2
∣∣∣∣∣ = |x |1/2∣∣∣∣ |xy |x2 + y2
∣∣∣∣ ≤ 12|x |1/2 → 0
cuando (x , y)→ (0, 0).
Luego deberíamos tener lım(x ,y)→(0,0)
f (x , y) = 0. ?????
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|x |3/2yx2 + y2
, si (x , y) 6= (0, 0),
0, si (x , y) = (0, 0).
Pero para todos x , y ∈ R se tiene que 2|xy | ≤ x2 + y2 (¾por qué)
0 ≤
∣∣∣∣∣ x3/2y
x2 + y2
∣∣∣∣∣ = |x |1/2∣∣∣∣ |xy |x2 + y2
∣∣∣∣ ≤ 12|x |1/2 → 0
cuando (x , y)→ (0, 0).
Luego deberíamos tener lım(x ,y)→(0,0)
f (x , y) = 0.
?????
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|x |3/2yx2 + y2
, si (x , y) 6= (0, 0),
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Pero para todos x , y ∈ R se tiene que 2|xy | ≤ x2 + y2 (¾por qué)
0 ≤
∣∣∣∣∣ x3/2y
x2 + y2
∣∣∣∣∣ = |x |1/2∣∣∣∣ |xy |x2 + y2
∣∣∣∣ ≤ 12|x |1/2 → 0
cuando (x , y)→ (0, 0).
Luego deberíamos tener lım(x ,y)→(0,0)
f (x , y) = 0. ?????
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½Necesitamos formalizar estos límites!
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Espacios métricos, normados y euclídeos
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