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CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS J. Gómez-García
Tema 4:
Simplificación de Funciones Lógicas
CIRCUITOS DIGITALES – SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS J. Gómez-García
La expresión de una función lógica como suma de minterms o producto de maxterms no es necesariamente la expresión más simple.
Ventajas de un diseño sencillo:•Menor número de puertas•Dimensiones reducidas•Más barato•Más rápido•Tiempo de diseño reducido•Menor posibilidad de fallos•Más elegante
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Dada la función F(A, B, C) en forma de tabla de verdad:
11111011110110011110001001000000FCBA
∏ == 210 M·M·M)2,1,0(MF
76543 mmmmm)7,6,5,4,3(mF
++++=
==∑
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Utilizando las propiedades del álgebra de Boole podemos simplificar el Producto de los Maxterms.
)CA)·(BA()BBCA)·(CCBA(
)CBA)·(CBA)·(CBA)·(CBA(
)CBA)·(CBA)·(CBA(
M·M·M)2,1,0(MF 210
++=++++=
=++++++++=
=++++++=
===∏
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También utilizando las propiedades del álgebra de Boolepodemos simplificar la Suma de minterms.
ABC)BB(ABC
)CC(AB)CC(BA)AA(BC
ABCABCCABCBACBABCA
ABCCABCBACBABCA
mmmmm)7,6,5,4,3(mF 76543
+=++=
=+++++=
=+++++=
=++++=
=++++==∑
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En ambos casos, los diseños son más sencillos que la suma de minterms o el producto de maxterms.
ESTRATEGIA- Factorizar términos que difieren en una variable (aparece complementada en uno y sin complementar en el otro) para eliminar ésta (Términos adyacentes).
NECESARIO-Mucha práctica para poder agrupar y llegar a la expresión simple.-Procedimiento claro y conciso para no perderse
TABLAS O MAPAS DE KARNAUGH:-Sencillos-Equivalen a una tabla de verdad-Más clara para simplificar-Procedimiento definido de simplificación-No son útiles para más de 6 variables
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Principio de la simplificación en el desarrollo por minterms o “desarrollo por unos”: A)BB(A =+
A)BB(AABBAmmF 32 =+=+=+=Ejemplo:
111101010000FBA
Los valor de B cambian en estos dosminterms.
Los valor de A no cambian en estos dos minterms.
B se elimina, A permanece
ESTRATEGIA DE SIMPLIFICACIÓN:Encontrar parejas de minterms que difieren en el valor de una sola variable Esta variable se elimina.
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Principio de la simplificación en el desarrollo por Maxterms o “desarrollo por ceros”: A)B·B(A =+
ABBA)BA)·(BA(M·MF 10 =+=++==Ejemplo:
111101010000FBA
Los valor de B cambian en estos dos Maxterms
Los valor de A no cambian en estos dos Maxterms
B se elimina, A permanece
ESTRATEGIA DE SIMPLIFICACIÓN:Encontrar parejas de Maxterms que difieren en el valor de una sola variable Esta variable se elimina.
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Ejercicio:Calcular: a) como suma de minterms; b) como producto de Maxterms; c) la expresión más simplificada de esta función expresada en la siguiente tabla de verdad:
011
101
010
100
FBA
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011101010100FBA
011101010100FBA
El valor B no cambia
El valor A cambia
El valor B no cambia
El valor A cambia
BB)AA(BABAmmF 20 =+=+=+=
B)AA(B)BA)(BA(MMF 31 =+=++==
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La tabla de Karnaugh como alternativa a la tabla de verdad:
• Es una tabla de verdad
• Correspondencia biunívoca entre las casillas de una tabla de verdad y una tabla de Karnaugh
• Ordenada “estratégicamente”
• Permite determinar “adyacencias”
Adyacencia: Cuando dos expresiones tienen las mismas variables, todas igualmente complementadas o no, excepto en una única que varía.
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Tabla de Karnaugh de una variable: (existen únicamente 4 funciones)
11
00
FAn
011
100
FAn
011
000
FAn
111
000
FAn
111
100
FAn
10
10A
1
00
0
10A
1
10
0
10A1
10
1
10A
1
00
1
10A
• Tabla de una entrada con dos casillas, siendo ambas adyacentes.• Dos casillas adyacentes son simplificables, ya se desarrolle por ceros o por unos.
0AAF0F
==
=
AFAF
==
AFAF
=
=
1F1AAF
==+=
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Tabla de Karnaugh de 2 variables: (existen únicamente 16 funciones)
• Tabla de dos entradas con 4 casillas, siendo estas adyacentes por “vecindad” horizontal o vertical• Dos casillas adyacentes son simplificables, eliminándose una variable.• Cuatro casillas también son adyacentes, eliminándose 2 variables.
3
2
1
0
n
11011000
FBA
311
200
10AB
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3
2
1
0
n
011101010100FBA
3
01
01
2
10
10
10AB BF =
(B=0 en ambos casos)
3
2
1
0
n
111101010000FBA
3
11
01
2
10
00
10AB AF =
(A=1 en ambos casos)
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3
2
1
0
n
111101110100FBA
3
11
11
2
10
10
10AB
1F =(se elimina A y B)
El que se mueva en la foto no sale.
3
2
1
0
n
111001110000FBA
1
0
10AB
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Tabla de Karnaugh de 3 variables: (28=256 casos posibles)
11117
10116
11015
10014
11103
00102
01001
00000
FCBAn
5
17
13
11
01
4
16
12
00
00
10110100AB
C
• Tabla de dos entradas con 8 casillas, siendo éstas adyacentes por “vecindad” horizontal o vertical.• Las dos primeras variables se agrupan en una entrada y se ordenana según el código de Gray.• 2 casillas adyacentes son simplificables, eliminándose 1 variable.• 4 casillas también son adyacentes, eliminándose 2 variables,• 8 casillas son adyacentes, eliminándose 3 variables.
BC
A
ABCF +=
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Tabla de Karnaugh de 3 variables: (28=256 casos posibles)
11117
10116
11015
10014
11103
00102
01001
00000
FCBAn
5
17
13
11
01
4
16
12
00
00
10110100AB
C
• Tabla de dos entradas con 8 casillas, siendo éstas adyacentes por “vecindad” horizontal o vertical. También son adyacentes por los bordes.• Las dos primeras variables se agrupan en una entrada y se ordenan según el código de Gray.• 2 casillas adyacentes son simplificables, eliminándose 1 variable.• 4 casillas también son adyacentes, eliminándose 2 variables,• 8 casillas son adyacentes, eliminándose 3 variables.
A+B A+C
)CA)(BA(F ++=
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Tabla de Karnaugh de 4 variables: (216 casos posibles)
• Tabla de dos entradas con 16 casillas, siendo éstas adyacentes por “vecindad” horizontal o vertical. También son adyacentes por los bordes.
• Las dos primeras variables se agrupan en una entrada y se ordenan según el código de Gray. Lo mismo para las otras variables.
• 2 casillas adyacentes son simplificables, eliminándose 1 variable.
• 4 casillas también son adyacentes, eliminándose 2 variables.
• 8 casillas también son adyacentes, eliminándose 3 variables.
• 16 casillas también son adyacentes, eliminándose 4 variables.
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1111115
1011114
1101113
1001112
0110111
0010110
010019
000018
011107
101106
110105
100104
011003
101002
010001
100000
FDCBAn
10
014
16
12
110
11
015
17
03
011
9
013
15
11
001
8
012
14
10
100
10110100AB
CD
ABCBDAF ++=
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Tabla de Karnaugh de 5 variables: (232 casos posibles)
• 2 Tablas de dos entradas, con 16 casillas cada una.• Si el orden es ABCDE, la primera tabla respresenta A=0 y la segunda A=1.• Además de las adyacencias interiores, también son adyacentes dos casillas con idénticas posiciones relativas en ambo cuadros (propiedad de traslación)• 2n casillas adyacentes forman un grupo y se eliminan n variables.
A=0
10
114
16
02
110
11
015
17
03
111
9
013
15
11
001
8
112
14
10
100
10110100BC
DE
A=1
10
014
16
12
110
11
015
17
03
011
9
013
15
01
001
8
012
14
00
100
10110100BC
DE
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A=0
10
114
16
02
110
11
015
17
03
111
9
013
15
11
001
8
112
14
10
100
10110100BC
DE
A=1
10
014
16
12
110
11
015
17
03
011
9
013
15
01
001
8
012
14
00
100
10110100BC
DE
- Se eliminan ADE - Se eliminan BE - Se eliminan BD - Se eliminan AD - Se elimina E - Se elimina C EDBA
DCBAECBECADCA
BC
EDBADCBAECBECADCABCF
+++
+++=
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18
122
130
126
010
114
16
02
110
19
023
031
127
011
015
17
03
111
17
021
029
125
09
013
15
11
001
16
120
028
124
08
112
14
10
100
100101111110010011001000ABC
DE
- Se eliminan ADE - Se eliminan BE - Se eliminan BD - Se eliminan AD - Se elimina E - Se elimina C EDBA
DCBAECBECADCA
BC
EDBADCBAECBECADCABCF
+++
+++=
Tabla de Karnaugh de 5 variables (alternativa): (232 casos posibles)
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Tabla de Karnaugh de 6 variables (alternativa): (232 casos posibles)
10146210
11157311
9135101
8124000
10110100CD
EF
5862545010
5963555111
5761534901
5660524800
10110100CD
EF
2630221810
2731231911
2529211701
2428201600
10110100CD
EF
4347393410
4246383511
4145373301
4044363200
10110100CD
EF
B=0 B=1
A=0
A=1
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Ejercicios:
101
100
10A
B
11101
11000
10110100AB
C
111
000
10A
B
10101
10100
10110100AB
C
00111
01100
10110100AB
C
11001
10010
10110100AB
C
111110
111111
001001
100100
10110100AB
CD
111110
111111
001001
100100
10110100AB
CD
111110
100111
100101
111100
10110100AB
CD
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Funciones incompletamente especificadas:
• Algunos problemas o diseños no definen completamente una función lógica.
• Los casos no especificados no son “0” ni tampoco “1”. Pero pueden ser cualquiera de los dos.
• Se marcan como “X” en las tablas.
• Se convierten a “0” o a “1” según interese a la hora de simplificar.
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Ejemplo: circuito que detecta si un número en BCD es par (F=1) o impar (F=0)
XX1110
XX0011
0X0001
1X1X00
10110100AB
CD
X111115
X011114
X101113
X001112
X110111
X010110
010019
100018
011107
101106
010105
100104
011003
101002
010001
X00000
FDCBAn
DF =
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Criterios de Simplificación:
• Marcar y aceptar las casillas no combinables.
• Marcar y aceptar las casillas que se pueden combinar en grupos de 2 de una sola forma.
• Marcar y aceptar las casillas que se pueden combinar en grupos de 4 de una sola forma.
• ......
• Las casillas aún libres se agrupan con otras aunque ya estén marcadas, formando el menor número de grupos posible pero del máximo tamaño posible.
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Ejemplo de desarrollo por unos:
10
014
16
12
010
11
015
17
X3
011
9
113
05
11
001
8
012
14
10
100
10110100AB
CDCasilla 9 no combinable: DCBA
Casilla 0 sólo combinable con 4 para grupo de 2. Las demás admiten al menos 2 posibilidades:
DCA
Casilla 5 sólo combinable con 4, 6, 7 para grupo de 4: BA
Casilla 12 sólo combinable con 4, 6 y 14 para grupo de 4: DB
Casilla 15 sólo combinable con 6, 7 y 14 para grupo de 4: BC