Post on 01-Oct-2018
1Emilio Picasso
Diseño y Análisis de Experimentos
2Emilio Picasso
Diseño Completamente Aleatorizado
3Emilio Picasso
Diseño Completamente AleatorizadoCaso: Pozos Geotérmicos
Una compañía de explotación geotérmica desea ensayar dos nuevos diseños de
trépanos para perforación:
» Uno en base a una nueva aleación.
» Uno con una nueva geometría de los elementos de corte de la roca.
La variable respuesta es la duración de las herramientas en metros perforados de
pozo hasta el desgaste, determinado en base al ralentamiento del avance.
Las unidades experimentales son los tramos de pozo elegidos para ensayar cada
trepano:
» Estos tramos son asignados al azar a los tres tipos de herramientas ensayados: la
actual y las dos nuevas.
4Emilio Picasso
Diseño Completamente AleatorizadoCaso: Pozos Geotérmicos
Duración[m]
ActualNueva
AleaciónNueva
Geometría
104 115 180
128 108 146
140 128 244
156 180 155
145 104 197
71 164 145
70 147 110
Prom. 116.3 135.1 168.1
s 35.23 29.29 43.41
Modelo:
Condición de unicidad de efectos:
Supuestos:
ia i ia i iay
1
0p
i
i
2(homocedasticidad)
independientes
Normales
1) 0
2)
3)
4)
ia
ia
ia
ia
S E
S V
S
S
1... 1... i p a n N nii
5Emilio Picasso
Diseño Completamente AleatorizadoFactores Fijos vs Aleatorios
Factores fijos:
» Los p niveles en el experimento son todos los que existen, o bien son elegidos por
un procedimiento sistemático.
» Ejemplo: Cantidad de fertilizante: 10, 20, 30, 50.
» La inferencia se aplica a los niveles seleccionados. Si el factor es continuo puede
asumirse continuidad en el efecto, pero es un supuesto.
Factores aleatorios:
» Los p niveles en el experimento se eligen entre un conjunto mayor de P niveles
posibles al azar.
» La inferencia se aplica a todos lo niveles del factor.
6Emilio Picasso
Diseño Completamente AleatorizadoInferencia
El objetivo es ensayar:
Evaluar hipótesis múltiples es complicado, pero R.A. FISHER encontró una hipótesis
equivalente:
Utilizando la varianza de las medias, de ahí el nombre: Análisis de la Varianza.
» La varianza de las medias se define, según la convención de W. COCHRAN:
» Cuando el factor es fijo no es una verdadera varianza, sino un instrumento ingenioso
para convertir la hipótesis múltiple en simple.
0 1 2 0 1 2) ... o ) ... 0p pH H
2
0 ) 0H
2 211 ip
7Emilio Picasso
Diseño Completamente AleatorizadoInferencia
En busca de una estimación de:
Analizamos su análogo empírico:
Sin embargo se demuestra que, tanto para factor fijo como aleatorio su esperanza es:
» La varianza de los promedios no estima solamente a la varianza de las medias, sino
que se entromete el ruido experimental.
Si conociéramos 2 podríamos inferir sobre mediante:
» Pero cada experimento tiene un nivel de ruido propio desconocido.
2 211 ip
2 211
( )y ips y y
2 2 21y n
s E
2
2
0 121
( 1)Bajo :
y
p
n
p sH
2
8Emilio Picasso
Diseño Completamente AleatorizadoInferencia
Es necesario conseguir una estimación independiente del ruido.
Como dentro de cada grupo hay replicas se puede estimar el ruido en cada grupo y
amalgamar esos estimadores:
Evidentemente:
2 21
1
2 21
1
con ( )i
i
p
i i
i
n
i ia i
a
s s
s y y
1i i
i
n
2 2 2 21 1
1 1
p p
i i i
i i
s s
E E
9Emilio Picasso
Diseño Completamente AleatorizadoInferencia
Entonces por comparación de ambos estimadores podemos inferir sobre
» Si inferimos que y rechazamos H0
Como ambos estimadores son independientes por serlo de :
» que permite inferir.
» También se puede estimar :
» Como los estimadores son independientes puede dar negativa. En este caso puede
aceptarse H0, aunque si el cociente queda en la extremidad improbable de la
distribución F, seguramente se debe a error de especificación del modelo.
2
2 2 2
2 2
yns n
s
E
E
2 2
1
2 21
( )ny ip
i i
ns y y
s s
2 2
yns s 2 0
iy2
is2
1,2:
y
p N p
nsF
s
2
2 2 21
y ns s s
10Emilio Picasso
Diseño Completamente AleatorizadoInferencia
La inferencia se hace ordenadamente mediante la tabla ANOVA:
2 2
2
Total
/
1
1
i i
ia ia i
ia
Efecto Estimador Q CM Q CM
y y C C p n
y y C C N p
y y C C N
E
2
2
1
2
1 1
i
p
i i
i
np
ia
i a
C N y
C n y
C y
11Emilio Picasso
Diseño Completamente AleatorizadoCaso: Pozos Geotérmicos
2 2
2
Total
/
9645 2 4823
23901 18 1328
33546 20
i
ia
Efecto Q CM Q CM
n
E 410.760
420.406
444.307
C
C
C
1;18;95% 0
48233,632 * 4,7%
1328
3,55 se rechaza H
F
F
Empírico
12Emilio Picasso
Comparaciones Múltiples
13Emilio Picasso
Comparaciones MúltiplesCaso: Pozos Geotérmicos
El análisis de varianza da un resultado general: la hipótesis de FISHER.
Cuando los factores son fijos interesa hacer inferencias especificas:
Por ejemplo:
» Saber si los nuevos trépanos son mejores:
» Saber cual de los trépanos nuevos es mejor:
Estas comparaciones no pueden ensayarse por los métodos tradicionales por dos
razones:
» El nivel de significación conjunto de múltiples ensayos es mayor que el de cada
ensayo individual.
» Muchas veces las comparaciones son sugeridas por los resultados (a posteriori) y
esto altera la distribución del estadístico.
2 31
2
C
2 3 vs C
14Emilio Picasso
Comparaciones Múltiples
Las comparaciones se pueden plantear:
» A priori: antes de ver los datos.
» A posteriori: sugeridas por los datos.
Los siguientes métodos cubren los casos mas frecuentes:
Comparaciones
a Priori
STUDENT
BONFERRONI
DUNNETT
a PosterioriTUKEY
SCHEFFÉ
15Emilio Picasso
Comparaciones MúltiplesMétodo de Student
Definición de comparación o contraste:
Se desea ensayar la hipótesis:
» Donde habitualmente:
Estimador:
1
es una comparación sii 0p
i i i
i
c c
C
0 0)H C C
0 0C
1
ˆp
i i
i
c y
C
1 1
22 2
1 1
ˆ
ˆ
p p
i i i i
i i
p p
ii i
i i i
c y c
cc y
n
EC E C
VC V
16Emilio Picasso
Comparaciones MúltiplesMétodo de Student
Estimando esta varianza mediante:
Bajo el supuesto de normalidad entonces:
es t-Student con : grados de libertad de s2
Cuando se desea ensayar más de una comparación surge un problema: El resultado
de una comparación puede influir en otros, violando el nivel de riesgo tolerado. Es
decir, la segunda comparación no es verdaderamente a priori.
22 2
1
p
i
i i
cs s
n
C
ˆ :C N
0
22
ˆ
i
i
tc
sn
C C
17Emilio Picasso
Comparaciones MúltiplesMétodo de Student
Def:
Teorema:
Entonces se pueden ensayar varias comparaciones por el método de Student
siempre que sean ortogonales dos a dos.
Existen p-1 comparaciones ortogonales.
Para resolver el problema de la amplificación del riesgo se ajusta el nivel de
significación:
ˆ ˆ y independientes y ortogonales C C C C
1
y ortogonales 0p
i i
i
c c
C C
11 (1 ) p
c
18Emilio Picasso
Comparaciones MúltiplesMétodo de Student – Caso: Pozos Geotérmicos
Las comparaciones son ortogonales:
1 12 2
1 12 2
1 2 3
1
0 1 1
0 0
CC
C C
3 1 21 (1 ) 1 (1 5%) 2,5%c
2 30 1
22 22 2 1 1
2 2
181,5.1328
7
0
) 02
135,1 168,1ˆ 116,3 35,42
1 1 1,5( 1)
7 7
35,4 02,096
* 2,52% Rech
ii
i
H
cc
n n
t
H
C
0 3 2
22 2 2
182.1328
7
0
) 0
ˆ 168,1 135,1 33,4
1 1 2( 1) 1
7 7
33 01,649
* 11% No Rech
ii
i
H
cc
n n
t
H
C
19Emilio Picasso
Comparaciones MúltiplesMétodo de Bonferroni
R.A. FISHER emplea la desigualdad de BONFERRONI para ensayar comparaciones no
ortogonales a priori mediante una modificación de :
Se desea ensayar todos estas comparaciones con el mismo nivel de significación que
la hipótesis general:
Por la desigualdad de BONFERRONI:
Esto sugiere hacer el ensayo de STUDENT con:
0 1 2 0
0 0
0 0
) ... 1... : ) 0
(rech / )
(rech / )
j j
p
j j
c
H j r H
P H H
P H H
C
1 2
0 0 0(rech ... )rP H H H
1 2 1 2
0 0 0 0 0 0
* * *
(rech ... ) (rech ) (rech ) ... (rech )r r
cj c
P H H H P H P H P H
r
c r
20Emilio Picasso
Comparaciones MúltiplesMétodo de Bonferroni – Caso: Pozos Geotérmicos
Interesa comparar todos los pares de medias:
5%1,67%
3 3c
0 1 2
18 0
0 1 3
18 0
0 2 3
18
)
135,1 116,3 18,90,968 * 35% No rech
19,482.1328
7
)
168,1 116,3 51,92,662 * 1,6% 1,67% Rech
19,482.1328
7
)
168,1 135,1 331,694 * 11% 1,67% No
19,482.1328
7
c
c
H
t H
H
t H
H
t
0 rech H
21Emilio Picasso
Comparaciones MúltiplesMétodo de Dunnett
Fue diseñado para comparar todos los tratamientos contra un testigo o control
Estas comparaciones no son ortogonales. Podrían ensayarse por el método de
BONFERRONI, pero C. DUNNETT (1955) inventó un estadístico más potente:
La distribución de D esta tabulada a simple y doble extremidad.
0 1 1: grupo testigo) iH
1
,22
i
p
y yD
s n
22Emilio Picasso
Comparaciones MúltiplesMétodo de Dunnett – Caso: Pozos Geotérmicos
0 1 1
3;18 3;18;95% 0
0 3 1
3;18 3;18;95% 0
)
135,1 116,3 18,90,968 2,4 No rech
19,482.1328
7
)
168,1 116,3 51,92,662 2,4 Rech
19,482.1328
7
H
D D H
H
D D H
23Emilio Picasso
Comparaciones MúltiplesMétodo de Tukey
J. TUKEY (1949) encontró un método para comparar todas las diferencias de medias,
que puede usarse a posteriori (y por lo tanto también a priori):
Es menos potente que el de Student.
La distribución de q está tabulada a simple y doble extremidad.
0 ) i jH
,2
i j
p
y yq
s n
24Emilio Picasso
Comparaciones MúltiplesMétodo de Tukey – Caso: Pozos Geotérmicos
Obs: Rechaza más holgado que el método de BONFERRONI, pero menos que el de
DUNNETT.
0 1 1
3;18 3;18;95% 0
0 3 1
3;18 3;18;95% 0
)
135,1 116,3 18,91,37 3,61 No rech
13,771328
7
)
168,1 116,3 51,93,77 3,61 Rech
13,771328
7
H
q q H
H
q q H
25Emilio Picasso
Comparaciones MúltiplesMétodo de Scheffé
H. SCHEFFÉ (1953) encontró un método para ensayar comparaciones generales a
posteriori (y por lo tanto también a priori):
Se puede usar para diferencias de medias pero es conservador, en cambio el método
de TUKEY es exacto para ese caso.
El método de SCHEFFÉ es bastante más conservador que el de STUDENT pues:
2
0
1, 22
ˆ( )
( 1)
p
i
i
Fc
p sn
C C
2
0 0
1, 2222
ˆ ˆ( )
ii
ii
t Fcc ssnn
C C C C
0 0)H C C
26Emilio Picasso
Comparaciones MúltiplesMétodo de Scheffé – Caso: Pozos Geotérmicos
Analizaremos dos comparaciones no ortogonales:
2 30 1
22 22 2 1 1
2 2
2
2;18 1,5
7
0
) 02
135,1 168,1ˆ 116,3 35,42
1 1 1,5( 1)
7 7
(35,4 0)2,196
2.1328.
* 14% No rech
ii
i
H
cc
n n
F
H
C
0 3 1
22 2 2
2
2;18 27
0
) 0
ˆ 168,1 116,3 51,9
1 1 2( 1) 1
7 7
(51,9 0)3,544
2.1328.
* 5% No Rech
ii
i
H
cc
n n
F
H
C
27Emilio Picasso
Incumplimiento de Supuestos
28Emilio Picasso
Modelo y Supuestos
Modelo:
Supuestos:
S1 es parte de la definición de los efectos. No puede fallar.
La aleatorización asegura S3.
En cambio S2 y S4 pueden fallar. Cuando fallan en general lo hacen juntos:
distribuciones anormales y distintas, con distintas varianzas.
ia i ia i iay
2(homocedasticidad)
independientes (no autocorrelación)
Normales
1) 0
2)
3)
4)
ia
ia
ia
ia
S E
S V
S
S
1... 1... i p a n N nii
29Emilio Picasso
Heterocedasticidad
Es poco frecuente en experimentos agropecuarios, pero se da en experimentos
industriales y comerciales.
Diagnóstico:
» Método de W. COCHRAN (1941).
» Método de H. LEVENE (1960).
Resolución:
» Transformaciones homogeneizantes.
» Métodos no paramétricos: sólo en casos extremos porque son poco potentes.
30Emilio Picasso
HeterocedasticidadMétodo de Cochran
W. COCHRAN encontró la distribución del estadístico:
2 2 2
0 1 2) ... pH
2
2 2 2
1 2 ...
MAXp
p
sH
s s s
31Emilio Picasso
HeterocedasticidadMétodo de Levene
La desigualdad de Chebishev establece una relacion entre la varianza y las
desviaciones absolutas para cualquier variable aleatoria con varianza finita:
Esto sugiere comparar las medias entre grupos de la variable:
Lo cual puede hacerse mediante análisis de la varianza.
Si bien esto parece un argumento circular, el ensayo F es suficientemente robusto
como para evaluar esta hipótesis de manera aproximada, y eventualmente corregir
la heterocedasticidad para una evaluación mas exacta de la hipótesis original.
2
2P x kk
ia iy y
32Emilio Picasso
HeterocedasticidadResolución
Se aplican transformaciones homogeneizantes:
O la transformación general de BOX & COX:
» Buscando l en [-1;1] que optimice la verosimilitud o s2.
Variables económicas de corte transversal
Número de eventos discretos en un continuo
Distribución Gamma
Porciones (Binomial)
3
ln
(1 )
k y y
k y y
y y
y arcsen y
1 o ln para 0
yy y y
l
ll
33Emilio Picasso
Anormalidad
Es poco frecuente en experimentos agropecuarios, pero se da en experimentos
industriales y comerciales.
En general viene acompañada de la heterocedasticidad, y las soluciones son
comunes.
Diagnóstico:
» Q-Q plot de residuos.
» Modelado de la perturbación aleatoria.
Resolución:
» Transformaciones normalizantes.
» Métodos no paramétricos: sólo en casos extremos porque son poco potentes.
34Emilio Picasso
AnormalidadQ-Q plot
Bajo la hipótesis de normalidad:
» Los residuos estandarizados son una muestra de una variable normal estándar:
» Se ordenan en forma creciente:
» Y se calcula la función de distribución teórica:
Por otro lado se estima la función de distribución empírica:
Ambas deberían coincidir.
El Q-Q plot es un grafico de los cuantiles teóricos y empíricos:
» Si los puntos están alineados hay normalidad.
ia i
i
y yr
s
1 2 3; ; ;...o o o o Nr r r r
0,3227 o con mayor precisión segun O. Mermoz:
1 0,3546ˆ ˆ( ) ( )o i o i
i i
N NF r F r
( / 0;1)N o iF r
ˆ vs ˆ i
o i i Fr z z
35Emilio Picasso
AnormalidadResolución
Las mismas transformaciones homgeneizantes son generalmente normalizantes.
» En el caso de la transformación de BOX & COX puede diferir el parámetro l óptimo
para homogeneizar o normalizar. Se busca una solución de compromiso.
Los métodos no paramétricos (WILCOXON, KRUSKAL & WALLIS, etc) son el último
recurso dado que tienen poca potencia.
36Emilio Picasso
Principios del Diseño Experimental
37Emilio Picasso
Principios del Diseño Experimental
Unidad experimental:
» Sujeto sobre el que se miden las variables.
Principio de Replicación:
» Repetir los tratamientos o factores en varias unidades experimentales para
posibilitar y perfeccionar la inferencia estadística.
Principio de Aleatorización:
» Asignar los tratamientos o factores a las unidades experimentales al azar.
Principio de Control Local:
» Cuando el ruido experimental es excesivo se aplica esta técnica.
» Consiste en clasificar las unidades experimentales en bloques según un factor que
influye en la variable respuesta de manera de controlar el ruido.
38Emilio Picasso
Diseño en Bloques
39Emilio Picasso
Experimentos en BloquesCaso: Abrasivos
Granulo-metría
Adhesivo 1 Adhesivo 2 Adhesivo 3 Adhesivo 4 Adhesivo 5 Prom.
Fina 70 60 79 67 71 70 76 65 89 80 88 82 78 88 96 77,3
Media 54 61 62 62 51 59 62 70 72 82 72 65 77 75 74 66,5
Gruesa 50 49 52 49 44 61 46 58 59 44 57 60 67 80 73 56.6
Promedio 59,7 59,3 66,3 70,0 78,7
Variable respuesta: Porción de carga abrasiva retenida luego de la tarea de lijado normalizada.
40Emilio Picasso
Experimentos en BloquesTabla ANOVA
Donde las Q siguen las siguientes fórmulas de cálculo:
Total
/
1
1
1
1
i
j
ija
Efecto Q CM Q
C C p
C C q
C C C C pqn p q
C C pqn
2
2
2
2
i
j
ija
C pqn y
C qn y
C pn y
C y
41Emilio Picasso
Experimentos en BloquesInferencia
El objetivo es ensayar:
Y el efecto de los bloques, si se desea ver la efectividad del control local:
Se convierten estas hipótesis múltiples en simples según la idea de FISHER:
Utilizando la varianza de las medias, que según la convención de W. Cochran son:
» No son verdaderas varianzas salvo que los factores sean aleatorios.
0 1 2) ... pH
2 2
0 0) 0 ) 0H H
2 2 2 21 1
1 1 i ip q
0 1 2) ... qH
42Emilio Picasso
Experimentos en BloquesInferencia
Utilizando este artilugio se puede demostrar que las esperanzas de los cuadrados
completan la tabla ANOVA de esta manera:
2 2
2 2
2
Total
/
1
1
1
1
i
j
ija
Efecto Q CM Q CM
C C p qn
C C q pn
C C C C pqn p q
C C pqn
E
43Emilio Picasso
Diseño Factoriala 2 Factores Fijos Cruzados
44Emilio Picasso
Experimentos a 2 Factores Cruzados FijosCaso: Panel de Internet
Duracióncuestionario
Nivel Socioeconómico
ABC DE
10 min14,0 13,5 11,511,0 14,5 13,5
11,5 7,0 15,510,5 9,5 13,0
20 min14,0 9,0 14,012,5 11,5 16,0
7,0 8,0 8,55,0 7,0 9,0
30 min9,5 13,0 13,510,5 8,0 11,0
3,5 5,5 6,04,5 3,5 6,5
Variable respuesta: Tasa de respuesta = Porción de la gente invitada a responder la encuesta que la completa.Cada dato corresponde a 200 invitaciones.
: duración cuest.
: nivel socioeconómico
3
2
6
p
q
n
45Emilio Picasso
ExperimentosModelo Factorial a 2 Factores Cruzados
El modelo lineal:
Condiciones de unicidad de efectos:
Supuestos:
ija i j ij ijay
1 1 1 1
0 0 , : 0p q p q
i j ij ij
i j i j
i j
2(homocedasticidad)
independientes
Normales
1) 0
2)
3)
4)
ija
ija
ija
ija
S E
S V
S
S
1... 1... 1...i p j q a n
46Emilio Picasso
ExperimentosTabla ANOVA
Donde las Q siguen las fórmulas de cálculo:
Total
/
1
1
( 1)( 1)
( 1)
1
i
j
ij
ija
Efecto Q CM Q
C C p
C C q
C C C C p q
C C pq n
C C pqn
2
2
2
i
j
C pqn y
C qn y
C pn y
2
2
ij
ija
C n y
C y
47Emilio Picasso
ExperimentosInferencia
El objetivo es ensayar:
Evaluar hipótesis múltiples es complicado, pero Fisher encontró la forma de
convertirlas en hipótesis simples:
Utilizando la varianza de las medias, que según la convención de W. Cochran son:
» No son verdaderas varianzas salvo que los factores sean aleatorios.
0 1 2 0 1 2) ... ) ...p qH H
2 2
0 0) 0 ) 0H H
2 2 2 2 2 21 1 11 1 ( 1)( 1)
i i ijp q p q
48Emilio Picasso
ExperimentosInferencia
Utilizando este artilugio se puede demostrar que las esperanzas de los cuadrados
completan la tabla ANOVA de esta manera:
2 2
2 2
2 2
2
Total
/
1
1
( 1)( 1)
( 1)
1
i
j
ij
ija
Efecto Q CM Q CM
C C p qn
C C q pn
C C C C p q n
C C pq n
C C pqn
E
49Emilio Picasso
Diseño Factoriala 2 Factores Cruzados
Fijos o Aleatorios
50Emilio Picasso
Experimentos a 2 Factores Cruzados Fijos o AleatoriosCaso: Hilo de Poliéster
Turno 1 Turno 2 Turno 3
Maq. 1 3,786 3,810 3,702
Maq. 2 3,620 3,674 3,286
Maq. 3 3,656 3,148 3,180
Variable respuesta: Resistencia del hilo.
ijy
2 568,1979ijay
: máquina
: turno
3 8
3 Q 3
5
p P
q
n
51Emilio Picasso
Experimentos a 2 Factores CruzadosTabla ANOVA
Donde las Q siguen las fórmulas de cálculo:
2 2 2
2 2 2
2 2
2
Total
/
1 (1 )
1 (1 )
( 1)( 1)
( 1)
1
qQi
pPj
ij
ija
n qn
n pn
n
Efecto Q Q
C C p
C C q
C C C C p q
C C pq n
C C pqn
E
2
2
2
i
j
C pqn y
C qn y
C pn y
2
2
ij
ija
C n y
C y
52Emilio Picasso
Diseño Factoriala 2 Factores Anidados
53Emilio Picasso
Experimentos a 2 Factores AnidadosCaso: Restaurants
Grandes ciudades Ciudades chicas
G1 G2 G3 C1 C2 C3
72525642
71786567
43646073
42555746
10373143
23513354
55,5 70,3 60,0 50,0 30,3 40,3
61,9 40,2
Variable respuesta: Porción de las mesas que piden vino con la comida.
: tamaño ciudad
: local
2 2
3 Q
4
p P
q
n
54Emilio Picasso
Experimentos a 2 Factores AnidadosTabla ANOVA
Donde las Q siguen las fórmulas de cálculo:
2 2 2
2 2
2
Total
/
1 (1 )
( 1)
( 1)
1
qQi
j
ija
n qn
n
Efecto Q Q
C C p
C C p q
C C pq n
C C pqn
E
2
2
2
2
i
ij
ija
C pqn y
C qn y
C n y
C y
55Emilio Picasso
Diseño Factoriala 3 Factores
56Emilio Picasso
Experimentos a 3 Factores CruzadosCaso: Film de polietileno
Promedios:
Ctrl COC EVOH
MAQ1
Ctrl 501,8 297 255,4
Enfr. 311,8 200,2 156,8
E. ráp. 197,2 145,2 108,8
MAQ2
Ctrl 499,2 302 250,4
Enfr. 306 205,6 173
E. ráp. 225,4 181,4 126,6
Ctrl COC EVOH
Ctrl 500 300 253
Enfr. 309 203 165
E. ráp. 211 163 118
Maq 1 Maq 2
Ctrl 352 351
Enfr. 223 228
E. ráp. 150 178
Maq 1 Maq 2
Ctrl 337 344
COC 214 230
EVOH 174 183
: Enfriamiento 3 3
: Bi-laminado 3 3
: Máquina 2 5
4
p P
q Q
r R
n
2 6.709.748
246,867
ijkay
y
57Emilio Picasso
Experimentos a 3 Factores CruzadosTabla ANOVA
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
1
1
1
( 1)( 1)
/
i
j
k
ij
ik
p q r n q rn qr n qrn
q p r n p rn pr n prn
r p q n p qn pq n pqn
p q r n rn
Efecto Q Q
C C
C C
C C
C C C C
E
2 2 2
2 2 2
2 2
2
( 1)( 1)
( -1)( -1)
( 1)( 1)
( 1)
( 1)
Total 1
jk
ijk
ijka
p r q n qn
q r p n pn
p qn
r
pqr n
pqrn
C C C C
C C C C
C C C C
C C C C
C C
C C
donde: 1 1 1p q rp q r
P Q R
58Emilio Picasso
Experimentos a 3 Factores CruzadosTabla ANOVA
Donde las Q siguen las fórmulas de cálculo:
2
2
2
2
i
j
k
C pqrn y
C qrn y
C prn y
C pqn y
2
2
2
2
2
ij
i k
jk
ijk
ijka
C rn y
C qn y
C pn y
C n y
C y