Universidad Técnica Federico Santa María

Departamento de Matemática

ANEXO

ECUACION DE BESSEL DE ORDEN CERO

Prof. Jaime Figueroa Nieto

Se llama ecuación de Bessel de orden cero a la ecuación diferencial ordinaria de coeficientes

variables:

x2 y '' HxL+ x y ' HxL + x2 yHxL = 0 , x > 0

Claramente x=0 es un punto singular regular (ver nota al final).

Sustituyendo

yHxL = a0 xr + ⁄n=1¶ an xn+r

se obtiene una solución denotada:

J0HxL = 1 +⁄m=1¶ H-1Lm x2m2 2m Hm! L2 , x > 0

llamada "función de Bessel de primera clase y de orden cero".

Se observa que la serie converge absolutamente para todo x. Además J0HxL no es singular en x=0

5 10 15 20

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Las primeras raíces de J0HxL = 0 son sucesivamente:

{2.40483, 5.52008, 8.65373, 11.7915, 14.9309, 18.0711, 21.2116}

La determinación de una segunda solución linealmente independiente con J0HxL es mas complicada.

La segunda solución es:

Y0HxL = 2

pBIg + lnI x

2MM J0HxL +⁄m=1¶ H-1Lm+1 Hm

22m Hm!L2 x2m F , x > 0

en que

Hm =1

m+

1

m-1+ ....+

1

2+ 1 ; g º 0,5772..... Constante de Euler

Esta solución es la "función de Bessel de segunda clase y orden cero". No es acotada en x=0, hecho

importante por el cual no puede ser usada para obtener solucioens accotadas.

2 4 6 8 10 12 14

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

Observación.

Sea

PHxL y '' HxL + QHxL y ' HxL + RHxL yHxL = 0

Un punto x = x0 en que PHx0L = 0 se dice "singular". Se dirá "singular regular" si además:

limxØx9 Hx- x0LQHxLPHxL es FINITO

limxØx9 Hx- x0L 2 RHxLPHxL es FINITO

2 Ecuacion de Bessel.nb